元函数的导数及其应用综合测试卷（新高考专用）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

第三章一元函数的导数及其应用综合测试卷

(新高考专用)

(考试时间：120分钟；满分：150分)

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.(5分)(2024•湖北襄阳•二模)已知函数/(%)=/+士贝()

1

A-1B.5C.2D.4

【解题思路】由题意，根据求导公式和运算法则可得尸(1)=1,结合导数的定义即可求解.

【解答过程】由题意知，八x)=2x-3则=

所以fO+常毋1)=1limfC⑴=i八1)=i

故选：B.

2.(5分)(2024•全国•模拟预测)函数(0)=修(>2一2%+2)的图象在点(-1/(一1))处的切线方程为()

A.x+ey—4=0B.%—ey+6=0C.ex—y+6=0D.ex—y+e+|=0

【解题思路】根据导数的几何意义，即可求解.

【解答过程】由f(x)=ex(%2-2%+2),可得/'(%)=x2ex,

WZ(-1)=7又汽―1)=e-x[(-l)2-2x(-1)+2]=：,

则所求切线方程为y-|=；(x+l),即*—ey+6=0.

故选：B.

3.(5分)(2023•上海闵行•二模)某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、

设企业的污水排放量W与时间/的关系为w=/(t),用-，竺的大小评价在阿句这段时间内企业污水治

b-a

理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是

()

污

水

达

标

排

放

量

A.在上工2］这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；

B.在±2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；

C.在与时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；

D.甲企业在［办加这三段时间中，在上工21的污水治理能力最强

【解题思路】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力.

【解答过程】设甲企业的污水排放量勿与时间t的关系为W=乙企业的污水排放量W与时间t的关系

为W=g(t).

对于A选项，在比,均这段时间内，甲企业的污水治理能力九«)=—“切一”口),

12Tl

乙企业的污水治理能力g(t)=_g⑸)-g(ti).由图可知,八。1)一八Q2)>g(h)—g(t2)，

七2Tl

所以h(t)>g(t),即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；

对于B选项，由图可知，八(£)在灰时刻的切线斜率小于g(t)在以时刻的切线斜率，

但两切线斜率均为负值，故在12时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；

对于C选项，在13时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，

故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；

对于D选项，由图可知,甲企业在［0,切，国1，均，［办句这三段时间中，

在时八(ti)一出它)的差值最大，所以在时的污水治理能力最强，故D选项正确，

故选：D.

4.(5分)(2024•江西宜春•三模)已知。=上，6=黑，c=苧，其中e=2.71828…为自然对数的底数,

2ye2V24

则()

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【解题思路】首先将a,6,c化成统一形式，构造函数f(x)=?(%>0),研究单调性进而比较大小即可.

【解答过程】由题意得。=三=竿，6=整=噂，。=苧=竿=?；

2Ve2V2V2442

设/(%)=¥,则八%)=手，

当0V%Ve时，/(x)>0,所以/(%)单调递增，又。<四<代<2<®,

所以/(鱼)</(Ve)</(2),即V所以b<a<c.

故选：A.

5.(5分)(2024•广东深圳•模拟预测)已知函数f(x)=驷箸竺+x在(0,TT)上恰有两个极值点，则实数a

的取值范围是()

A.卜A)B.(0,日叫C.仔,+8)D.仁武+8)

【解题思路】根据函数有两个极值点的个数，转化为导数在(0,元)上有两个变号零点，再进行参数a的讨论即

可.

【解答过程】由题意得/(X)=二詈+1.

因为函数f(x)在(0,n)上恰有两个极值点，贝好'(比)在(0m)上有两个变号零点.

当aW。时，/(%)>0在(OJT)上恒成立，不符合题意.

当a>0时，令八(切=二詈+1,则/(久)=染尸包=理号吱，

当％E时，h'(x)>0,所以h(%)在上单调递增，

当％C(0()时，h%x)<0,所以以%)在(05)上单调递减，

又h(0)=ft(TU)=1fh(B)=1——

所以九G)=l—与VO,则a>苧自，即实数a的取值范围是母£,+8).

故选：D.

6.(5分)(2024・四川•模拟预测)已知函数"x)为定义在R上的函数/(久)的导函数，/(久-1)为奇函数，

f(x+l)为偶函数，且/'(0)=2,则下列说法不正确的是()

A./(0)=/(2)B.八-1)+/'⑶=0

C.八4)=2D.if(2i)=-22

【解题思路】由奇函数、偶函数性质可得/(—x—1)=—f(x—1)与/(一%+1)=/(%+1),分别对两式两

边求导可得/'(-久-1)=f\x-1)与/'(-x+1)+y'(x+1)=0,进而可得/'(久)的一个周期，结合赋值法

及周期性判断各项即可.

【解答过程】因为人久一1)为奇函数，所以f(一％-1)=一/。-1),①

因为f(x+l)为偶函数，所以f(—x+1)=f(x+l),②

对①两边求导可得一f'(一X-1)=一/''(X-1),即/—X-1)=/'(X-1),③

对②两边求导可得-/'(一x+1)=/'(x+1),即/'(一x+1)+f'(x+1)=0,④

对于A项，将X=1代入②可得-0)=/(2),故A项正确；

对于B项，将x=2代入④可得尸(一1)+/'(3)=0,故B项正确；

对于C项,将x=3代入④可得/'(—2)+/'(4)=0,将x=1代入③可得;—2)=汽0)=2,所以/'(4)=—

2,故C项错误；

对于D项，由③可得—-2)—1)=/'((%—2)—1),即f'(—x+l)=f'(x-3),⑤

所以由④⑤可得/'(X—3)=—/'(x+1),⑥

所以由⑥可得/'((x+3)-3)=-f'((久+3)+1),即八x)=-/'"+4),⑦

由⑦可得/''(久+4)=-/(比+8),⑧

所以由⑦⑧可得八x)="x+8),故8是尸(x)的一个周期.

所以八8)=八0)=2,

将x=1代入④可得/(0)+/'(2)=0,即/'(2)=-2,

由C项知，f'(4)=-2,

将x=2代入⑦可得/'(2)=一f'(6),即f'(6)=2,

所以2鲁i/z(2i)=f'(2)+2/'(4)+3八6)+4f/(8)+…+9/'(18)+10/'(20)=(-1-2+34-4-5-

6+7+8-9-10)X2=-22,故D项正确.

故选：C.

7.(5分)(2024•江苏南通•模拟预测)设定义域为R的偶函数y=f(>)的导函数为y=f0),若f'(x)+(比+l)2

也为偶函数，且f(2a+4)>/(。2+1),则实数a的取值范围是()

A.(-8,-1)u(3,+8)B.(-CO,-3)U(1,+co)

C.(-3,1)D.(-1,3)

【解题思路】先令g(x)=f(x)+(x+l)2,判断g。)的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶

性即可求解不等式.

【解答过程】因为y=/(x)为偶函数，

所以/(-%)=/(%),所以一/'(一％)=/'(%),

令9(%)=/W+(%+1)2,

因为/'(%)+(%+1)2为偶函数，

则。(一X)=g(%)，即/'(-%)+(-%+I)2=/(%)+(%+1)2,

即一/(%)+(—％+1)2=/(%)+(%+I)2,

所以/'(汽)=-2x,

当％>0时，/(%)=-2%<0,即f(%)在(0,+8)上单调递减，则/(%)在(一8,0)上单调递增，

由/(2。+4)>/(a2+1),即f(|2a+4|)>f(a2+1),

所以|2a+4|V4+1,即—(次+1)<2a+4</+1,解得a<—1或a>3,

即实数Q的取值范围是(一8,-1)u(3,+8).

故选：A.

8.(5分)(2024・四川•三模)已知关于％的方程e2%—a%e%+9e2%2=o有4个不同的实数根，分别记为

则—e)(：—。)(，—e)(,—e)的取值范围为()

4444

A.(0,16e)B.(0,12e)C.(0,4e)D.(0,8e)

【解题思路】变形给定方程，构造函数f(无)=g利用导数探讨方程t=m取得两个不等根的t的范围，再借

助一元二次方程求解即得.

【解答过程】显然第=0不是方程e2%-axex+9e2x2=0的根，

则方程e?%-axex+9e2x2=0的根即为方程彳)？一。~+9e2=0的根，

令力=亍，得/一成+9e2=0,设/(%)=亍，求导得/'(%)=，

由/'(%)<。，得％V。或OVxVl，由/(%)>0,得x>1,

即函数/(%)在(一8,0)和(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,/(I)=e,

作出/(%)的大致图象，如图，

依题意，方程产-at+9e2=0有两个不相等的实数根，设为打，以，

观察图象知，方程t2-at+9e2=0的每一个根，由t=H得两个不同的x值，

X

(△=次—36e2>0

于是ti+上=。"也=9e2,且ti>e,《2>e,由｛e，解得6eVa<10e,

Ie2—ae4-9e2>0

222222

贝!J(_—e)(——e)(——e)(——e)=—e)(t2—e)=«住2-et]—et2+e)=(10e—ae),

X\%2X3%4

由6eVaVlOe,得0<(10e2—ae)2<16e4,

所以(〜一e)(——e)(——e)(——e)的取值范围为(0,16e4).

%2%3%4

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(2023•河南•模拟预测)已知定义在R上的函数/O),g(x),g'(x)是贝久)的导函数且定义域也是R,

若g(久)为偶函数，/(%)+g'Q)=3,/(久)—g'(2—X)=3,贝I]()

A./(8)=3B.g'(-6)=lC./(一1)+f(3)=6D.g'(—3)—/(3)=6

【解题思路】先根据已知条件判断g'O)的奇偶性和周期性，再结合已知条件求相应的函数值，进行判断.

【解答过程】由gO)为偶函数，得g(-x)=g(x),两边求导，得一g'(-x)=/(久)，所以g'(x)为奇函数，所

以g'(0)=0，由f(x)+g'o)=3及/'(%)-g'(2-x)=3,得g'(x)+g'(2-x)=0,所以。'(久)=g'(x-2),

故g6)的周期为2.

所以g'(8)=g'(—6)=g'(0)=0,又/(8)+g'(8)=3,所以/(8)=3,故A正确，B错误；

由/'(%)+g'(x)=3,得/■(一1)+/(-1)=3,/(3)+g'(3)=3,又g'(x)+/(2-%)=0,所以+g'(3)=

0,所以f(—1)+/(3)=6,故C正确；

由f(x)+9‘(x)=3,得f(3)+g'(3)=3,所以g'(—3)—f(3)=g'(—3)-3+g'(3)=-3,故D错误.

故选：AC.

10.(6分)(2024•山东泰安•模拟预测)已知函数(0)=3欠-2。则()

A.f(x)是R上的增函数B.函数h(x)=/(久)+久有且仅有一个零点

C.函数f(x)的最小值为-1D./(久)存在唯一个极值点

【解题思路】对于A：求导，代特值检验即可；对于B：分x=0、工>0和％<0三种情况，结合函数值的

符号分析判断零点；对于C：分x=0、x>0和x<0三种情况，可得/'(x)>-1,即可判断；对于D：根

据f(x)的单调性，结合零点存在性定理分析可知mxoCR,使/(&)=0,进而判断f(x)的单调性和极值.

【解答过程】对于选项A：因为f(x)=3—2X,则八x)=3xln3-2/2=2X[(|)%ln3-ln2),

1G

当

贝d

X-a-Ht,u可得0ln3—ln2=lnV3—ln2<0,

10r2

即/(%)=3%ln3—2%ln2<0,所以/(%)=3%一2%不是R上的增函数，故A错误；

对于选项B：因为h(%)=f(x)+x,

当％=0时，/i(0)=/(0)+0=0,可知％=0是九(%)的零点；

当％>0时，/i(x)=/(x)+%=3X—2x+%>0,可知九(%)在(0,+8)内无零点；

当x<0时，0<<1,则/O)=2X[(17-1]<0,

可得无(无)=f(x)+x<0,可知h(无)在(一8,0)内无零点；

综上所述：函数/i(x)=f(x)+%有且仅有一个零点，故B正确；

对于选项C：当x>0时，/(%)=3X-2X>0；

当x=0时，/(0)=3°-2°=0；

当x<0时，则0<3欠<1,0<2Z<1,可得/'(x)=3X-2方>-2X>-1,

综上所述：所以一1不是函数f(x)的最小值，故C错误；

对于选项D：因为=3Bn3-252=2》[(|)1n3-ln212X>0,

所以f'0)的符号决定于(|fln3—M2,

显然y=(|)Xln3-ln2是R上的增函数，

又因为当x=0时，G)“ln3-ln2=ln3-ln2>0；

当x=logg(时，停)ln3—In2=lnV3—ln2<0,

所以m&eR,使/'3)=0,

所以/'(X)在(一8,%0)上为减函数，在(右,+8)上为增函数.

所以/(%)有唯一极小值点.故D正确.

故选：BD.

11.(6分)(2024•福建福州•模拟预测)已知函数/■(久)=a久(e"+『X)一e》+1工恰有三个零点Xi，x2,x3,

且0<k3，贝।()

A.%1+%2+%3=0B.实数a的取值范围为(0,1]

C.+1>0D.ax3+a>1

【解题思路】利用f(x)的奇偶性可判断A选项；将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题，再利用导

数和基本不等式确定切线斜率的取值范围，进而得实数a的取值范围，即可判断B选项；由。勺+1=导7

ezxi+l

来可判断C选项；由a%3=1-苫I三得。=e(1一岩石)，进而a%3+Q>1等价于e2%3-2右一1>0，令

/i(x)=e2x—2x—l(x>0),用导数证明h(%)>0,即可判断D选项.

【解答过程】函数/(%)=ax(ex+e-x)-ex+已-"定义域为R,

/(—%)=a(—x)(e-x+ex)—e-x+ex=—[ax(ex+e-x)—ex+e-x]=—/(%),

所以/(%)是奇函数，则f(0)=0,

又因为/(%)有三个零点且第1V%2〈汽3，f(xD=/(%2)=/(%3)=。，

所以％i=—的，X2=0,即％I+%2+%3=°，故A选项正确；

“PX—P-XP2X—17

f(x)=ax(ex+e-x)-ex+e-x=0,侍ax==1一；5777，

令g(x)=l-J*,则g'(x)=>0,所以/'(x)在R上增函数，

e+1(e2x+l)

当且仅当汽=0时取等号，即0Vg(x)<1,

所以0Va<l,故B错误；

ax1+1=(1—苫g)+1=^71>°，故C选项正确；

由倏=1一磊得口=11——又与〉0，

-2x

要使a久3+a=1—e2x：+l+|(1e3+l)>1成立,则e?”-2%3-1>0成立,

令/i(%)=e2%-2x—l(x>0),/1(x)=2(e2x—1)>0(%>0),

所以h(%)在(0,+8)单调递增，则h(%)>/i(0)=0,

于是e2%3—2久3-1>0,则a%3+a>1，故D正确.

故选：ACD.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(2024•四川成都•模拟预测)已知函数y=G的图象与函数y=alnx的图象在公共点处有相同

的切线，则公共点坐标为.

【解题思路】设公共点为(打，%)，由心=巴，可得x°=4a2(a>0),进而利用导数可得［,求

24工0%olain%。一7x0

解即可.

【解答过程】函数y=alnx的定义域为(0,+8),可得f'(久)=由g'(x)=击，

设曲线f(%)=aln%与曲线g(%)=C的公共点为(&,yo),

由于在公共点处有共同的切线，所以右=巴，所以与=4。2(。>0),

“XoXQ

由f(%o)=9(%o)，可得Qln%0=国,联立可得［;°~^a.—，

(Qin%。=A/%Q

解得xo=e2,所以y°=e,所以公共点坐标为(e2,e).

故答案为：(e2,e).

13.(5分)(2024•四川成都•三模)若不等式emxgx-ln2)-xln/20,对任意％e卜，+8)恒成立，则

正实数小的取值范围是_1上旦)

【解题思路】将已知变形为通过不等式3In?>xlnx恒成立，进一步利用g(t)=tint/>:的单调性得到

m>?对任意XG［i,+8)恒成立，进一步即可求解.

【解答过程】若不等式emx(nu；-ln2)—xlnx2>0,对任意xe+8)恒成立，则与-In8->xlnx,

mxa。11

而m>0,所以o-^>彳=彳>-，

222e

设g(t)=tint,t>贝！Jg'(t)=Int+1>0,

所以g(t)在卜,+8)上单调递增，从而-2%,

即m>”对任意％e卜，+8)恒成立，

设f(x)=",则-0)=书名，

当"x<•!时，/'⑴>0,/(%)在g0上单调递增，

当%时，/'(%)<0,/(%)在6,+8)上单调递减，

所以当汽=；时，/(x)min=/Q)=7

综上，正实数血的取值范围是E+8).

故答案为：[：,+8).

14.(5分)(2024•天津•一模)已知定义在(0,+8)上的函数/(%)满足/(%)=/(5x),当％G[1,5)时,/(%)=Inx.

若在区间[1,25)内，函数g(%)=/(%)-我有三个不同零点，则实数。的取值范围为目

Inx1Vxv5

lnx"二”一”画出函数图像，计算直线y=ax与函数相切和过点

(in5,J人乙J

(25/n5)时的斜率，根据图像得到答案.

【解答过程】函数/(%)满足/(%)=/(5x),当%6[1,5),f(x)=Inx,

所以当xe[5,25),声[l,5),f(x)=/g)=ln|,

fInx,1<%<5

故f(久)=j]n工5Vx<25'9(久)=/(%)—ax-0)/(%)=ax,

画出函数图像，如图所示，观察图像可知，要使函数g。)=/(久)-ax有三个不同零点，

则直线y=ax应在图中的两条虚线之间，

上方的虚线为直线与人式)=In^(5<x<25)相切时，

下方的虚线是直线y=ax经过点(25,ln5)时，

当直线y=ax与/'(%)=Inf(5<%<25)相切时,

/&)=(设切点为p[o，l吟)，

则斜率a=工=上5°,ln^=1,/.x0=5e,此时。=｝，

XQ3一055e

当直线y=a%经过点(25,ln5)时，a=fc=

故答案为：偿,J.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(23-24高二下•上海闵行•阶段练习)遥控飞机上升后一段时间内，第ts时的高度为/"(t)=5t2+

45t+4,其中上升高度/(t)的单位为m,f的单位为s；

(1)求飞机在[1,2]时间段内的平均速度；

(2)求飞机在七=2s时的瞬时速度.

【解题思路】(1)根据平均变化率计算；

(2)根据瞬时变化率计算.

【解答过程】⑴"股@=5x22+45x2+4-(5x12+45x1+4)=6()⑺/。

2—11

(2)第2s末的瞬时速度为lim?=lim段竽酸

△10AtAt-OAt

5(2+At)2+45(2+At)+4-(5x22+45x2+4)

=lim------------------------------------------------------------------------

△t-oAt

=lim+65At_]jm[5(At)+65]=65(m/s).

△t—oAtAt-»0

因此，第2s末的瞬时速度为65m/s.

16.(15分)(2024•陕西渭南•二模)已知函数f(%)=%ln%,g(x)=—%+1.

(1)求函数g(%)的单调区间；

(2)若当久>0时，mx2—ex<7n/(%)恒成立，求实数m的取值范围.

【解题思路】(1)求出函数g(%),再利用导数求出或式)的单调区间.

(2)等价变形给定不等式得-In%)<ex-lnx,令t=%-In%并求出值域，再换元并分离参数构造函数，

求出函数的最小值即得.

【解答过程】(1)依题意，函数g(%)=21n%：的定义域为(0,+8),

求导得/(%)=|-1-I)2<0,当且仅当工=1时取等号，

即g(%)在(0,+8)上单调递减，

所以函数9(%)的递减区间为(0,+8),无递增区间.

(2)当久>0时，mx2—ex<m/(x)<=>mx2—ex<mx\nxQm(x—In%)<^-=e"Tn%恒成立，

令h(%)=x—\nx,x>0,求导得h(%)=1—

当0V久<1时，h/(x)<0,当％>1时，/i(x)>0,

即函数九(%)在(0,1)上递减,在(1,+8)上递增，则当l>0时，h(x)>h(l)=1,

令t=x—In%,依题意，Vte[1,4-oo),mt<ef«m<(恒成立，

令求导得w'(t)=e(；广)K0,则函数？(t)在[1,+8)上单调递增，

当t=1时，9(t)min=9(1)=e,因此m<e,

所以实数m的取值范围(一8,e].

17.(15分)(2024•北京•三模)已知f(%)=—aln%—a%—1.

(1)若a=-1,求曲线y=f(%)在点P(l,2)处的切线方程；

(2)若函数y=/(%)存在两个不同的极值点％1，第2，求证：/(%i)+/(%2)>。・

【解题思路】(1)先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程;

(2)由已知结合导数与单调性及极值关系先表示/(勺)+/(%2)，然后结合二次方程根的存在条件即可证明.

【解答过程】(1)当。=一1时，/(%)=2Vx+Inx+%-1,

爪)=»：+1/⑴=3，

所以曲线y=/(%)在点P(L2)处的切线方程为y-2=3(%-1),即y=3x-1；

(2)/'(%)=^=--~a,

yjxX

令f(%)=。，得〒----a=0r令£=y/xf贝！Jt>0,

'y/Xx

原方程可化为a产-t+a=0①，则方=恒也=恒是方程①的两个不同的根,

(△=1-4a2>01

所以1、八，解得0Va</

I；>02

由韦达定理得ti+t2=("也=1，贝际+g=(ti+b)2-21也=5一2,

-2

所以+/(%2)=2(61+7^2)一矶1皿+lnx2)-a(%i+x2)

=2(h+t2)-aln(t"分—+g)—2=2a+[—2,

令h(d)=2aH---2(0<aV万)，则/i(a)=2—<0(0VaVJ,

所以函数h(a)在(0，)上单调递减，

所以/i(a)=2ad---2>h(J=1>0,

所以/(%1)+/(%2)>。.

18.(17分)(2023,山东潍坊•模拟预测)已知函数/(%)=In%-a+/(a>0).

(1)若曲线y=/(%)在点处与无轴相切，求a的值;

⑵求函数八久)在区间(l,e)上的零点个数.

【解题思路】(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；

(2)由/''(久)=0,求得％=a,分类讨论％=。与(1了)的位置关系，结合函数的单调性，以及零点存在定理,

即可判断出函数的零点个数.

【解答过程】(1)由题意得f(x)=lnx—a+久a>0)定义域为(0,+8),

f7G_1a_x-a

因为y=fO)在点(Lf(D)处与x轴相切，且/'(1)=o.

所以f'(l)=l—a=0,解得a=l.经检验a=1符合题意.

(2)由(1)知/''(%)=爰，令/''(X)=0,得％=a,

当久<a时，/(%)<0,当x>a时，/(%)>0,

(i)当0<aS1时，xG(l,e),f'(x)>0,函数/(x)在区间(l,e)上单调递增.

所以f(x)>/(D=0,所以函数f(x)在区间(l,e)上无零点；

(ii)当l<a<e时，若1cx<a,贝!|/'(x)<0,若a<x<e,贝行(%)>0.

函数f(x)在区间(1,a)上单调递减，在区间(a,e)上单调递增.

且/'(1)=0,则f(a)<f(1)<0,而f(e)=1—a+：.

当f(e)=1—a+9>。，即1<。<三时，函数/O)在区间(l,e)上有一个零点；

ee—1

当f(e)=l-a+：W0时，即当言Wa<e时，函数f(x)在区间(l,e)上无零点；

(iii)当aNe时，x6(l,e),f\x)<0,函数/(x)在区间(l,e)上单调递减.

所以f(x)</(l)=0,所以函数人支)在区间(l,e)上无零点.

综上：当0<aWl或a2六时，函数/(x)在区间(l,e)上无零点；

当1<a<六时，函数f(x)在区间(l,e)上有一个零点.

19.(17分)(2024・福建南平•模拟预测)已知函数/(无)=等，其中e为自然对数的底数.

(1)讨论人支)的单调性；

(2)若方程/(%)=1有两个不同的根%1，%2・

⑴求a的取值范围；

(ii)证明:就+后>2.

【