数值分析 习题答案 陈丽娟 第5章

习题51..2.回代得。3.则。4..令得，得。5.1）,，,。2）由解向量的精度的估计式：。6.设右端矩阵相乘并比较等式两端。由第一列有，可得。比较第二列有,求得，。由第三列得，故，由解得,由解得。7.。8.由得:令，由，得，再由，得。9.证明： 1)。2)。3)。其中是由下式得到 。10.。11.12.importnumpyasnp#列主元高斯消元法求解线性方程组defgaussian_elimination_2(A,b):n=len(b)AugmentedMatrix=np.hstack([A,b.reshape(-1,1)])x=np.zeros(n)foriinrange(n):#列主元消去:寻找主元max_row=np.argmax(np.abs(AugmentedMatrix[i:,i]))+iAugmentedMatrix[[i,max_row]]=AugmentedMatrix[[max_row,i]]#主元化:将主元变为1AugmentedMatrix[i]=AugmentedMatrix[i]/AugmentedMatrix[i,i]#将当前列其他元素消为0forjinrange(i+1,n):factor=AugmentedMatrix[j,i]AugmentedMatrix[j]-=factor*AugmentedMatrix[i]#回代foriinrange(n-1,-1,-1):x[i]=AugmentedMatrix[i,-1]-np.dot(AugmentedMatrix[i,i+1:n],x[i+1:])returnxdefgaussian_elimination(A,b):n=len(b)AugmentedMatrix=np.hstack([A,b.reshape(-1,1)])forcolinrange(n):pivot=AugmentedMatrix[col,col]AugmentedMatrix[col]=AugmentedMatrix[col]/pivotforrowinrange(col+1,n):factor=AugmentedMatrix[row,col]AugmentedMatrix[row]-=factor*AugmentedMatrix[col]x=np.zeros(n)foriinrange(n-1,-1,-1):x[i]=AugmentedMatrix[i,-1]-np.dot(AugmentedMatrix[i,i+1:n],x[i+1:])returnxdefgaus(A,b):n=A.shape[1]rank_A=np.linalg.matrix_rank(A)augmented_matrix=np.column_stack((A,b))rank_augmented=np.linalg.matrix_rank(augmented_matrix)ifrank_A!=rank_augmented:return"NoSolution",rank_A,rank_augmented,n,Noneelifrank_A==rank_augmentedandrank_A==n:x=gaussian_elimination(A,b)return"UniqueSolution",rank_A,rank_augmented,n,xelse:return"InfiniteSolutions",rank_A,rank_augmented,n,None#例子：解线性方程组AX=bA=np.array([[0.3*10**-15,59.14,3,1],[5.291,-6.13,-1,2],[11.2,9,5,2],[1,2,1,1]])b=np.array([59.17,46.78,1,2])#求解solution_type,rank_a,rank_ab,n,X=gaus(A,b)solution_2=gaussian_elimination_2(A,b)print("高斯消元法:",X)print("列主元高斯消元法:",solution_2)运行结果：高斯消元法:[32.-0.0816706132.-32.]列主元高斯消元法:[3.845714851.60951739-15.4760545410.4113049]13.importnumpyasnp#进行LU分解deflu_decomposition(A):n=A.shape[0]L=np.eye(n)U=np.copy(A)forkinrange(n-1):foriinrange(k+1,n):factor=U[i,k]/U[k,k]L[i,k]=factorU[i,k:]-=factor*U[k,k:]returnL,U#返回值分别对应下三角和上三角矩阵#例子：进行LU分解A=np.array([[0.001,2,3],[-1,3.712,4.623],[-2,1.072,5.643]])b=np.array([1,2,3])L,U=lu_decomposition(A)#利用Numpy库中的linalg.solve求解y=np.linalg.solve(L,b)x=np.linalg.solve(U,y)#打印输出结果print("方程组的解为：")print(x)运行结果：方程组的解为：[-0.49039646-0.051035180.36752025]14.#追赶法解三对角线性方程组defchase(a,b,c,f):N=len(f)x=[0]*Ny=[0]*Nd=[0]*Nu=[0]*Nd[0]=b[0]#追的过程foriinrange(N-1):u[i]=c[i]/d[i]d[i+1]=b[i+1]-a[i+1]*u[i]y[0]=f[0]/d[0]foriinrange(1,N):y[i]=(f[i]-a[i]*y[i-1])/d[i]#赶的过程x[N-1]=y[N-1]foriinrange(N-2,-1,