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文档简介

广东省广州市越秀区实验中学2025届高三下学期联考数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,圆锥底面半径为,体积为,、是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点,已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于()A. B.1 C. D.2.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,以(为坐标原点)为直径的圆交双曲线于两点,若直线与圆相切,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.3.已知向量,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.4.甲乙丙丁四人中,甲说:我年纪最大,乙说:我年纪最大,丙说:乙年纪最大,丁说:我不是年纪最大的,若这四人中只有一个人说的是真话,则年纪最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁5.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为()A.12 B. C. D.106.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分比乙同学的平均分高;③甲同学的平均分比乙同学的平均分低;④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是()A.③④ B.①② C.②④ D.①③④7.已知向量,,则向量与的夹角为()A. B. C. D.8.在四边形中,,,,,,点在线段的延长线上,且,点在边所在直线上,则的最大值为()A. B. C. D.9.已知复数z=2i1-i,则A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.设,分别为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P,若,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.11.小王因上班繁忙,来不及做午饭,所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12:00~12:10之间随机到达小王所居住的楼下,则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是()A. B. C. D.12.已知函数的部分图象如图所示,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,,若满足,且方向相同,则__________.14.函数与的图象上存在关于轴的对称点,则实数的取值范围为______.15.《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式.如图所示,弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形,若弧田的弧AB长为4π,弧所在的圆的半径为6,则弧田的弦AB长是__________,弧田的面积是__________.16.如图是某几何体的三视图,俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直,则该几何体的体积为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某精密仪器生产车间每天生产个零件,质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格,若较多零件不合格,则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产数据和经验,这些零件的长度服从正态分布(单位:微米),且相互独立.若零件的长度满足,则认为该零件是合格的,否则该零件不合格.(1)假设某一天小张抽查出不合格的零件数为,求及的数学期望;(2)小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件,若以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元,而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.假设充分大,为了使损失尽量小,小张是否需要检查其余所有零件,试说明理由.附:若随机变量服从正态分布,则.18.(12分)如图,三棱柱中,平面,,,分别为,的中点.(1)求证:平面;(2)若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)已知椭圆的左,右焦点分别为,直线与椭圆相交于两点;当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时,的周长为,且与椭圆的另一个交点的横坐标为(1)求椭圆的方程;(2)点为内一点,为坐标原点,满足,若点恰好在圆上,求实数的取值范围.20.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)已知数列的前n项和,是等差数列,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)令.求数列的前n项和.22.(10分)选修4-5:不等式选讲已知函数的最大值为3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求证:

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

建立平面直角坐标系,求得抛物线的轨迹方程,解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点的距离.【详解】将抛物线放入坐标系,如图所示,∵,,,∴,设抛物线,代入点,可得∴焦点为,即焦点为中点,设焦点为,,,∴.故选:D【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念,抛物线的性质,两点间的距离等基础知识;考查运算求解能力,空间想象能力,推理论证能力,应用意识.2、D【解析】

连接,可得,在中,由余弦定理得,结合双曲线的定义,即得解.【详解】连接,则,,所以,在中,,,故在中,由余弦定理可得.根据双曲线的定义,得,所以双曲线的离心率故选:D【点睛】本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.3、A【解析】

投影即为,利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量与向量的夹角为,由题意,得,,所以,向量在向量方向上的投影为.故选:A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.4、C【解析】

分别假设甲乙丙丁说的是真话,结合其他人的说法,看是否只有一个说的是真话,即可求得年纪最大者,即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话,则年纪最大的是甲,那么乙说谎,丙也说谎,而丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故甲说的不是真话,年纪最大的不是甲;②假设乙说的是真话,则年纪最大的是乙,那么甲说谎,丙说真话,丁也说真话,而已知只有一个人说的是真话,故乙说谎,年纪最大的也不是乙;③假设丙说的是真话,则年纪最大的是乙,所以乙说真话,甲说谎,丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故丙在说谎,年纪最大的也不是乙;④假设丁说的是真话,则年纪最大的不是丁,而已知只有一个人说的是真话,那么甲也说谎,说明甲也不是年纪最大的,同时乙也说谎,说明乙也不是年纪最大的,年纪最大的只有一人,所以只有丙才是年纪最大的,故假设成立,年纪最大的是丙.综上所述,年纪最大的是丙故选:C.【点睛】本题考查合情推理,解题时可从一种情形出发,推理出矛盾的结论,说明这种情形不会发生,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.5、C【解析】

取B1C1的中点Q,连接PQ,BQ,CQ,PD,则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱,此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圆半径,然后利用勾股定理可求出外接球的半径【详解】如图,取B1C1的中点Q,连接PQ,BQ,CQ,PD,则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱,所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上,的外接圆直径为,球O的半径R满足,所以球O的表面积S=4πR2=,故选:C.【点睛】此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系,及球的表面积公式,解题时要注意审题,注意空间思维能力的培养,属于中档题.6、A【解析】

由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误;,,则,故②错误,③正确;显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.7、C【解析】

求出,进而可求,即能求出向量夹角.【详解】解:由题意知,.则所以,则向量与的夹角为.故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算,考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时,通常代入公式进行计算.8、A【解析】

依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,根据求出的坐标,求出边所在直线的方程,设,利用坐标表示,根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解:依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,由,,,,,,,因为点在线段的延长线上,设,解得,所在直线的方程为因为点在边所在直线上,故设当时故选:【点睛】本题考查向量的数量积,关键是建立平面直角坐标系,属于中档题.9、C【解析】分析:根据复数的运算,求得复数z,再利用复数的表示,即可得到复数对应的点,得到答案.详解:由题意,复数z=2i1-i所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1),位于复平面内的第三象限,故选C.点睛:本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示,其中根据复数的四则运算求解复数z是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.10、C【解析】

设过点作圆的切线的切点为,根据切线的性质可得,且,再由和双曲线的定义可得,得出为中点,则有,得到,即可求解.【详解】设过点作圆的切线的切点为,,所以是中点,,,.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质,意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力,属于中档题.11、C【解析】

设出两人到达小王的时间,根据题意列出不等式组,利用几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,以12:00点为开始算起,则有,在平面直角坐标系内,如图所示:图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域,所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为:.故选:C【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式,考查了不等式组表示的平面区域,考查了数学运算能力.12、A【解析】

先利用最高点纵坐标求出A,再根据求出周期,再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可.【详解】由图象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),将代入得φ)=1,∴φ,结合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故选:A.【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由向量平行坐标表示计算.注意验证两向量方向是否相同.【详解】∵,∴,解得或,时,满足题意,时,,方向相反,不合题意,舍去.∴.故答案为:1.【点睛】本题考查向量平行的坐标运算,解题时要注意验证方向相同这个条件,否则会出错.14、【解析】

先求得与关于轴对称的函数,将问题转化为与的图象有交点,即方程有解.对分成三种情况进行分类讨论,由此求得实数的取值范围.【详解】因为关于轴对称的函数为,因为函数与的图象上存在关于轴的对称点,所以与的图象有交点,方程有解.时符合题意.时转化为有解,即,的图象有交点,是过定点的直线,其斜率为,若,则函数与的图象必有交点,满足题意;若,设,相切时,切点的坐标为,则,解得,切线斜率为,由图可知,当,即时,,的图象有交点,此时,与的图象有交点,函数与的图象上存在关于轴的对称点,综上可得,实数的取值范围为.故答案为:【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性,函数与方程等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,推理与运算求解能力,转化与化归思想和应用意识.15、612π﹣9【解析】

过作,交于,先求得圆心角的弧度数,然后解解三角形求得的长.利用扇形面积减去三角形的面积,求得弧田的面积.【详解】∵如图,弧田的弧AB长为4π,弧所在的圆的半径为6,过作,交于,根据圆的几何性质可知,垂直平分.∴α=∠AOB==,可得∠AOD=,OA=6,∴AB=2AD=2OAsin=2×=6,∴弧田的面积S=S扇形OAB﹣S△OAB=4π×6﹣=12π﹣9.故答案为:6,12π﹣9.【点睛】本小题主要考查弓形弦长和弓形面积的计算,考查中国古代数学文化,属于中档题.16、20【解析】

由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合,利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.【详解】由三视图知,该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆柱组合而成,其体积为.故答案为:20.【点睛】本题考查三视图以及几何体体积,考查学生空间想象能力以及数学运算能力,是一道容易题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)需要,见解析【解析】

(1)由零件的长度服从正态分布且相互独立,零件的长度满足即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为,满足二项分布,利用补集的思想求得,再根据公式求得;(2)由题可得不合格率为,检查的成本为,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断.【详解】(1),由于满足二项分布,故.(2)由题意可知不合格率为,若不检查,损失的期望为;若检查,成本为,由于,当充分大时,,所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件.【点睛】本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.18、(1)详见解析;(2).【解析】

(1)连接,,则且为的中点,又∵为的中点,∴,又平面,平面,故平面.(2)由平面,得,.以为原点,分别以,,所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,,,,.取平面的一个法向量为,由,得:,令,得同理可得平面的一个法向量为∵平面平面,∴解得,得,又,设直线与平面所成角为,则.所以,直线与平面所成角的正弦值是.19、(1);(2)或【解析】

(1)由椭圆的定义可知,焦点三角形的周长为,从而求出.写出直线的方程,与椭圆方程联立,根据交点横坐标为,求出和,从而写出椭圆的方程;(2)设出P、Q两点坐标,由可知点为的重心,根据重心坐标公式可将点用P、Q两点坐标来表示.由点在圆O上,知点M的坐标满足圆O的方程,得式.为直线l与椭圆的两个交点,用韦达定理表示,将其代入方程,再利用求得的范围,最终求出实数的取值范围.【详解】解:(1)由题意知.,直线的方程为∵直线与椭圆的另一个交点的横坐标为解得或(舍去),∴椭圆的方程为(2)设.∴点为的重心,∵点在圆上,由得,代入方程,得,即由得解得.或【点睛】本题考查了椭圆的焦点三角形的周长,标准方程的求解,直线与椭圆的位置关系,其中重心坐标公式、韦达定理的应用是关键.考查了学生的运算能力,属于较难的题.20、(1);(2)【解析】

(1)分类讨论去绝对值号,即可求解;(2)原不等式可转化为在R上恒成立,分别求函数与的最小值,根据能同时成立,可得的最小值,即可求解.【详解】(1)①当时,不等式可化为,得,无解;②当-2≤x≤1时,不等式可化为得x>0,故0<x≤1;③当x>1时,不等式可化为,得x<2,故1<x<2.综上,不等式的解集为(2)由题意知在R上恒成立,所以令,则当时,又当时,取得最小值,且又所以当时,与同时取得最小值.所以所以,即实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法,分类讨论,函数的最值,属于中档题.21、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】试题分析:(1)先由公式求出数列的通项公式;进而列方程组求数列的首项与公差,得数列的通项公式;(2)由(1)可得,再利用“错位相减法”求数列的前项和.试题解析:(1)由题意知当时,,当时,,所以.设数列的公差为,由,即,可解得,所以.(2)由(1)知,又,得,,两式作差,得所以.考点1、待定系数法求等差数列的通项公式;2、利

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