指数与指数函数 （含新定义解答题）解析版-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第05讲指数与指数函数（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

1.（2024下•全国•高一开学考试）下列运算中，正确的是（）

A..（-3）3+8§=1B.片.必=。3（。>0）

C.3晦2=9D.[-V+lg—=-—

⑶1009

【答案】A

【分析】AB选项，根据指数运算法则计算出答案；CD选项，根据指数运算和对数运算法则

进行计算.

【详解】A选项，y（一3）3+8上=-3+Q3）3=一3+4=1,A正确；

B选项，.第=a"aQ=髀9>0），B错误；

C选项,3幅2=2,C错误;

D选项，[g]+lg-X-=^_炮100=：—2=：,D错误.

故选：A

2.（2024上•江西景德镇•高一统考期末）当a>0且分1时，函数/（"="毋3+2（）23恒过

定点（）

A.（2022,2023）B.（2023,2024）C.（2024,2025）D.（2025,2026）

【答案】B

【分析】由指数函数的性质即可求解.

【详解】当x=2023时，/（2023）=。2°/3-2023+2023=2024,与。无关，

则函数/（X）恒过定点（2023,2024）.

故选：B.

4"

3.（2024上•广东茂名•高一统考期末）若m-2〃=1,则刀=

B&

C.D.y/2

22

【答案】C

【分析】利用根式与分数指数幕的互化与运算法则即可得解.

【详解】因为7〃-2〃=1,则2〃一〃2=-1,

故选：C.

V_1_3T

4.(2024下•山东济南•高三济南一中校联考开学考试)函数/(x)=W^-的图象大致为()

【答案】A

【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可得到选项.

V_i_3T3'+3T

【详解】由函数〃”=关「，〃_x)=V^-=/(x),令Y-i?o,解得尤N±l,

则其定义域为{x1xw±l},关于原点对称，

所以函数在定义内为偶函数，排除C,D选项，因为/(0)=3二=一2,观察选项可知，选

—1

A.

故选：A

5.(2024下,江苏南通•高三海安高级中学校考开学考试)设acR.若函数/(彳)=(。-1厂为

指数函数，且/(2)>/(3),则q的取值范围是()

A.l<a<2B.2<a<3

C.a<2D.。<2且awl

【答案】A

【分析】借助指数函数性质分类讨论即可得.

【详解】由函数/5)=(。-1)工为指数函数，故。>1且。力2,

当。>2时，函数/'(x)=(aT),单调递增，有/(2)<7(3),不符合题意，故舍去；

当1<。<2时，函数〃x)=(。-以单调递减,有/(2)>〃3),符合题意，故正确.

故选：A.

6.(2024下•安徽芜湖・高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习)已知。>0且。片1,若

,、ax,x<2

函数/x=心、°。在R上单调递增，则实数。的取值范围为()

\(3-a)x+2,x>2

A.(1,+8)B.(1,3)C.(1,2)D.(1,2]

【答案】D

【分析】若满足条件，则每一段上都为增函数，且在分界点处的函数值前一段的函数值不大

于后一段的函数值，求解即可.

/、ax,x<2

【详解】：函数7(x)="3_a)x+2x>2在R上单调递增，

a>1

<3-tz>0,:A<a<2f

«6—2〃+2

二实数。的取值范围为(1,2],

故选：D.

7.(2024上•江苏无锡•高一江苏省天一中学校考期末)已知函数/'(X)为R上的奇函数，当

x<o时，f{x)=r-]-,则/(力<。的解集为()

O

A.(-3,O)U(O,3)B.(-3,3)

C.(0，―3)。(0,3)D.(F,-3)U(3,4W)

【答案】C

【分析】先由奇偶性求出Ax)的解析式，再由指数函数单调性求解不等式得解.

【详解】函数为R上的奇函数，当x<0时，/(无)=2'-：，

O

则当x>0时，—x<0,有〃尤)=_/(一尤)=_(2一，-3=：-2一*,显然"0)=0,

OO

x<0x>0

不等式〃X)<。转化1八或，11„，解得x<-3或0<x<3,

2----<U---------<0

〔8〔82X

所以不等式y(x)<0的解集为(―,-3)5。,3).

故选：C

8.(2024上咛夏石嘴山•高一石嘴山市第三中学校考期中)已知函数〃力=4凶-岸工+国，

则不等式/(%+2)>/(2x-1)的解集为()

A-（T3）B.1/JC..3,jD.［-pj）

【答案】B

【分析】探讨函数的奇偶性、单调性，再利用性质求解不等式即得.

【详解】函数/（x）=4W-Jd+l+|x|的定义域为R，/（一元）=4臼一J（-尤了+1+1_尤|=f（x）,

即函数Ax）是R上的偶函数，当xNO时，=4'-+%=4'--=L—,

Vx+l+x

函数y=V7T1+X在［0,+8）上单调递增,则y=j,+x在［0,+8）上单调递减，

1

y=—rv=-在。+8）上单调递增，又y=4、在［0,+8）上单调递增，

yjx+1+X

因此fM在［0,+8）上单调递增，而不等式/（%+2）>f（2x-l）o/（|x+2|）>f（|2x-l|）,

于是|x+2|>|2x-l|,两边平方得3/一8犬-3<0,解得-；<无<3,

所以所求不等式的解集为（-，3）.

故选：B

二、多选题

9.（2024上•河南漠河•高一濠河高中校考阶段练习）已知°-4+“后=3,下列各式中正确

的是（）

A.。24+。-26=7B./阴+〃-3"=］8

3

22D.对+=2小

•a+a=y[5a二毋F尸

【答案】ABCD

【分析】利用完全平方，立方和展开式，指数运算计算得出结果.

【详解】A：+才2*=（才有+a啰）2一2°一百+4=9_2=7,故A正确;

B：/有+a-3有=（晨召+。有）卜-2有_晨屈后+/有）=3x（7-1）=18,故B正确;

招W（小A/3V/不4__

一七飞+a有+20TF=43+2=#,故C正确;

有]3世还V叵立、

a2H-------忑=a2+a2=a2+a2cT^+a^—a22=y/5x（3—1）=2^/5

cT1如•混l人）

,故D正确;

故选:ABCD.

10.（2024上・黑龙江牡丹江・高一牡丹江市第二高级中学校考期末）已知21=［；1,则3，+3>

的值可以为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】CD

【分析】先由等式得到x+y=2,再应用基本不等式求得3,+3,的范围，结合选

项判断即可.

【详解】由2A得：21=27,解得无-2=-y,即x+y=2,

由于3*>0,3，>0,3*+3,22斤斤=2底方=6，当且仅当3*=3，（即x=y=l）时取得

等号.

故选：CD.

三、填空题

11.（2024上,江西•高二校联考期末）（石+1『+（6-1『=.

【答案】112

【分析】根据完全平方式的特征即可求解.

［详解］（括+11+（岔一I?=［（括+1『+（岔一1）1-2（75+l）2（^5-1）2=122-2x42=112,

故答案为：112

12.（2024上•山西长治•高一校联考期末）已知函数〃x）=e「eT,则不等式

/（%-3）>/（1-^）的解集为.

【答案】（2,+8）

【分析】根据函数的单调性化简不等式/（%-3）>/（1-力，由此求得不等式的解集.

【详解】•."=€，在R上单调递增，y=b在R上单调递减，.•"（x）=e=eT在R上单调递

增，

则由/（无一3）>/（1-x）得x—3>l—x,解得x>2,即不等式的解集为（2,+8）.

故答案为：（2,+4

四、解答题

13.（2024上•湖南娄底•高一校考期末）已知求下列各式的值:

ClICt-J

(l)a+a~1;

3_3

(2)a，+〃万-3.

a2+a~2-2

【答案］⑴7

(2)-

3

【分析】(1)由完全平方公式以及分数指数幕的运算即可得解.

(2)由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幕的运算即可得解.

।］(---V

【详解】由题意〃一所以2

(1)"Cl5_1।_Cl5-_Jq,Q+〃T=+a^—2=3—2=7.

\7

(2)由题Cl意ICt—-3J-

1-1+Q5,Q5+QT］-3/、

所以M+a2-3=(人J=3X(7_1)—3=15=J_.

a2+a2-2-(«+«->)2-4~72-4-芯-1

14.(2024下•吉林长春•高一长春外国语学校校考开学考试)已知函数/(x)=优(。>0且aW1)

3

在［-M］上的最大值与最小值之差为：

(1)求实数。的值；

⑵若g(x)=/(x)-f(-x),当。>1时，解不等式g(x2+2x)+g(x-4)>0.

【答案】(1)。=2或g

(2)(-OO,-4)U(1,+OO)

【分析】(1)根据函数的单调性，求函数的最值，结合条件，即可求解；

(2)首先求函数g(x)的解析式，再根据函数g(x)的性质，化解不等式，即可求解.

【详解】⑴当时，f［x}^a,/Wmin=1.

13

则Q——二］，解得〃=2

a2

当。<a<l时，〃尤)f(x)^=a,

131

贝U__=-,解得4=彳

aa22

综上得：a=2或!

(2)当a>l时，由(1)知。=2,

g(x)=2「2一、为奇函数且在R上是增函数，

g(x2+2x)+g(x-4)>0gpg(x2+2x)>-g(x-4)=g(4-x),

.-.x2+2x>4-x>得x>l或x<-4,

所以，不等式g(Y+2x)+g(x-4)>0的解集为(一S,T)U(1,+8).

B能力提升

1.（2024•四川•校联考一模）函数〃x）=).

【分析】根据题意，得到函数/（X）为偶函数，排除C,D,再结合x＞0,利用/（x）的函数

值的符号，即可求解.

【详解】由函数=可得其定义域为R,关于原点对称,

且,（一尤，+3"=,（-/+3x）=-3x）=/（x），

乙II乙乙I-1

可知/（尤）为偶函数，其函数〃尤）的图象关于y轴对称，可排除c,D；

当尤＞0时，可得士~-＞0,

2,+1

若0cx〈若时，尤3_3%＜0,则/'（X）＜0；

若时，可得尤3-3彳＞0,贝Uf（x）＞0,此时B不符题意.

故选：A

2.（2024上•四川宜宾•高一统考期末）函数丁=优+1-2（。＞0,。中1）的图象恒过定点A,且

一21

点A的坐标满足方程如+：9+1=。，其中相＞0,n＞0,则一+一的最小值为（）

mn

A.7B.6C.3+2及D.2+72

【答案】C

【分析】先利用必过定点确定A的坐标，后利用基本不等式'1'的代换处理即可.

【详解】在丁=。向一2(。>0,。*1)中，当产一1时，y=T,故4-1,一1),

将代入直线方程中，化简得m+〃=1,

故(加+〃)(2+工)=2+1+®+生23+2、叵互=3+2加，

mnmn\mn

7i

当且仅当'〃，=2,产时取等，即三+上的最小值为3+2后.

mn

故选：C

3.(2024上•陕西西安•高三统考期末)已知函数/(尤)=2,一2一,+也+2(。eR),若〃2)=5,

则/(-2)=()

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】A

【分析】构造函数8(尤)=/(0一2=2，一2一£+以，证明其为偶函数，据此可得解.

【详解】设g(x)=/(x)—2=2"-2T+办，

则8(—尤)=2"—2'—依=—g(%),

所以g(x)+g(T)=0,即“X)-2+/(T)-2=0,

所以〃x)+/(—x)=4.

因为"2)=5,所以1(—2)=4—5=—1.

故选：A

4.(2024下•河南•高一校联考开学考试)己知函数〃x)满足f(x)=〃x+4),当xe[-l,3)

时，f(x)=T+a,且〃2023)=4,则当xe[-7,-3)时，不等式〃x)>1的解集为.

【答案】[-7,-5)U(<-3)

【分析】首先确定函数的周期，再利用周期，求xe[-7,-5)和xe[-5,-3)的解析式，再解不

等式.

【详解】由〃x)=/(x+4)知,函数〃x)是周期函数，周期为4,

17

f(2023)=/(-1)=-+a=4,得

所以当xe[-l,3)时，/(尤)=2，；，

设xe[-7,-5),x+8e[l,3),

则〃尤)=〃尤+8)=2-8+；>不得x>—8,即xe[-7,-5),

当xw[—5,-3),x+4e[-l,l),

7Q

则〃无)=〃尤+4)=2田+；>三得x>T,即x«T,-3),

Q

综上可知不等式/(x)>；的解集为[-7,-5)U(Y,-3).

故答案为：[-7,-5)U(T-3)

5.(2024上•重庆・高一重庆市青木关中学校校考期末)若/(x)满足以下条件：①

/(x+y)=/(x)-/(y)；②〃尤)的图象关于x=0对称；③对于不相等的两个正实数a,6,

有"⑷-〃6)](a-6)>0成立，则〃尤)的解析式可能为〃力=.

【答案】3恸(答案不唯一)

【分析】由指数函数的性质，图象关于尤=0对称，和对于不相等的两个正实数6,有

成立共同得出即可.

【详解】设f(x)=3也

因为〃x+y)=L=3心期=/(x)-/(y),故满足①;

图象为：

故满足②；

设a>6>0,则”6>0,由指数函数的性质可知7(3>0,故

"(a)-/S)](a-6)>。，所以满足③；当0<。<6,则a-6<0,由指数函数的性质可知

f(a)-f(b)<0,故羽(a-6)>0,也满足③.

故答案为：3同(答案不唯一).

C综合素养

6.(2024上•广东茂名•高一统考期末)若函数/(x)满足：对于任意正数%,n,都有

/(m)>0,/(z?)>0,且/(»+/(〃)</O+"),则称函数/(元)为"速增函数

(1)试判断函数工(X)=/与力⑴=log2(x+1)是否为"速增函数"；

⑵若函数g(元)=2-1+242"-1)为"速增函数〃，求“的取值范围.

【答案】(I"。)一?是"速增函数"，力(x)=log2(x+l)不是“速增函数”

⑵卜”11

【分析】(1)根据"速增函数"的定义，利用作差法可判断函数力(x)=Y；根据"速增函数"

的定义，通过举反例可判断函数力(X)=log?(X+1).

(2)先根据"速增函数"的定义将问题转化为不等式恒成立问题；再利用指数运算法则和指

数函数的单调性即可求解.

【详解】(1)对于函数力(彳)=舄

当机>0,w>0时，=m'>O,yj(«)=n3>0；

因为工(〃z)+/(〃)一工(m+ri)=m3+n3—(m+n)3=—3nm2—3nzm<0,

所以工(%)+工(〃)<10+〃),

故根据"速增函数"的定义可得：工⑶=丁是“速增函数J

对于函数力(x)=log2(x+l),

当加="=1时,有f2(m)+f2(n)=2>log23=f2{m+ri),

故根据"速增函数"的定义可得：力(X)=log2(X+1)不是“速增函数J

(2)因为g(x)=2X-l+2a(2T-l)是"速增函数"，

根据"速增函数"的定义可得：

当〃>0时，8(〃)=2"-1+24(2一'-1)>0恒成立；

当几>0,根>0时，g(〃)+go)<g(〃+m)恒成立.

由当〃>0时，g(〃)=2"-1+2。(2一"-1)>0恒成立可

得：(2"-1)(2"-2。)>0对一切正数n恒成立.

又因为当〃>0时，

所以2a<2"对一切正数n恒成立，

所以2a<1,即

2

由当〃>0,相>0时，8（"）+8（%）<8（"+加）恒成立，可得：g（"+〃?）-[g（"）+gO）]>0,

即2m+n-2m-T+l+2a（2-m-"-2-m-2-n+1）>0对一切正数"J"恒成立.

因为2"+"一2"—2"+]+2。（2一2"一2一一2一"+]）

=2"（2m-l）-（2m-l）+2a（2-m-1）（2-n-1）

=（2m-1）（2"-1）+2a-2-m-"（2"-1）（2"-1）

（2m-l）（2n-l）（2m+n+2a）

Qtn+n

所以（2"，_1）（2"-1）（2"+"+2a）>0,

又因为当〃>0,根>0时，（2"-l）（2w-l）>0,

所以2"*"+2a>0,

由2吁"+24>0对一切正数〃恒成立，可得2a+lN0,即

2

综上可知，a的取值范围是.

7.（2024上,山东临沂・高一山东省临沂第一中学期末）临沂一中校本部19、20班数学小组

在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数

的图象，例如函数y=ln无和y=Y,虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异.通

过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念.已知定义：设连续函数

f（x）的定义域为［a,可，如果对于［a,可内任意两数为,三，都有了（土产）4八斗）丁（尤2）,

则称〃x）为［a,3上的凹函数；若氏"三后」区无2）,则〃尤）为凸函数.对于函数的

凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若/（x）是区

间［a,6］上的凹函数，则对任意的占=尤2=---=xne［a,6］,有不等式

〃占+%+■••+%）<恒成立（当且仅当为=%=…=%时等号成立）.

nn

小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式

求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数/（X）=J—和对数函数

g（x）=log“x,研究函数的凹凸性.

⑴设玉，％2,…，Zn>2,且玉+々+•..+%”=1,求W=■;----+-----+•••+------的取小值.

1一玉1-X11-Xn

111、〃

（2）设？公…,G为大于或等于1的实数，证明R+R+…+」（提示：可

彳+i马+15+1

设q=e&）

⑶若。>1,且当xe（O,l］时，不等式g（如2+*v0恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】（1）3

n-l

⑵证明见解析

（3）—l<m<0.

【分析】(1)先证明/(尤)=一一在(0,1)为凹函数，再利用琴生不等式求解；

(2)证明/＜同=/在[0,+◎为凹函数再结合琴生不等式得证；

(3)分离参数，求函数最值得解.

【详解】(1)记函数/(同=乙，首先证明其凹凸性：

\—X

]]

占e(0,1),则=j'f+------1

1-------

2

_1T1+1_%________2_[(1—西)+(1—%)]—4(I—%)。一%)_[(I-%)-。-.)]_____

2(1—%)(1—%2)1—%+1—%22(1—玉)(1—%)(1—$+1—%2)2(1—%)(1—%2)(1—X]+1—%2)

所以〃%)=—―在(0,1)为凹函数.

1-X

由琴生不等式，得力―斗]"6小)+…+小“),

\nJn

1

i(、一

即工工+-^+...+』^>^L-

1-X21-xJ

n

%xxn