指数与指数函数（原卷版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第05讲指数与指数函数

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................3

第三部分：高频考点一遍过...........................................3

高频考点一：指数与指数塞的运算..................................3

高频考点二：指数函数的概念......................................4

高频考点三：指数函数的图象......................................5

角度1：判断指数型函数的图象..................................5

角度2：根据指数型函数图象求参数..............................6

角度3：指数型函数图象过定点问题..............................6

角度4：指数函数图象应用......................................6

高频考点四：指数（型）函数定义域................................9

高频考点五：指数（型）函数的值域...............................10

角度1：指数函数在区间［私网上的值域...........................10

角度2：指数型复合函数值域....................................10

角度3：根据指数函数值域（最值）求参数.......................11

高频考点六：指数函数单调性......................................12

角度1：由指数（型）函数单调性求参数.........................12

角度2：根据指数函数单调性解不等式...........................12

高频考点七：指数函数的最值......................................13

角度1：求已知指数型函数的值域................................13

角度2：根据指数函数最值求参数...............................13

第四部分：新定义题(解答题)........................................15

第一部分：基础知识

(1)概念：式子后叫做根式,其中〃叫做根指数，。叫做被开方数.

(2)性质:

①(而)"=a("cN*且〃>1);

②当“为奇数时，当九为偶数时，后=|a|=

、[-a,a<0

2、分数指数塞

①正数的正分数指数幕的意义是a：="(a>O,〃z,〃eN*,且〃>1)；

m1

②正数的负分数指数幕的意义是。下a>Q,m,neN*,且〃>1)；

③0的正分数指数暴等于0；0的负分数指数幕没有意义.

3、指数累的运算性质

①0ros=ar+s(a>0,r,5eR)；

②(a，=ars(a>0,r,seR)；

③(ab)r=arb\a>0,b>0,reR).

4、指数函数及其性质

(1)指数函数的概念

函数/(%)=优(a>0,且awl)叫做指数函数，其中指数》是自变量，函数的定义域是R.

(2)指数函数/(%)=优的图象和性质

底数a>l0<tz<l

图象L

°5

定义域为R，值域为(0,+s)

性质

图象过定点(0,1)

当x>0时，恒有

当x>0时，恒有/（x）>l；

0</（x）<l;

当x<0时，恒有0</（x）<l

当x<0时，恒有/（x）>l

在定义域尺上为增函数在定义域R上为减函数

指数函数/（x）=优（a>0,且aw1）的图象和性质与a的取值有关,应分a>1

注意

与0<。<1来研究

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•天津•统考高考真题）设"=1.01。5,1=1.01。6,。=0.6。5,则。也c的大小关系为（

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

2.（2022,浙江,统考高考真题）已知2°二5/og83=b,则4内=()

255

A.25B.5C.—D.—

93

3.(2022•北京•统考高考真题)已知函数〃无)=丁\,则对任意实数x,有()

1+2

A./(-x)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0

C./(-%)+/(%)=1D./(-%)-/U)=1

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：指数与指数幕的运算

典型例题

例题L（2024上•湖北•高一校联考期末）计算：273+（；）+]g\_21g3=

例题2.（2024上•河南漂河•高一漠河高中期末）计算.

-1

(1)(0.0081尸-3xX

(2)^425+#(-36)2+0(1)6一料兀y-

练透核心考点

1.（2024上•安徽亳州•高一亳州二中校考期末）化简求值.

⑴(0.12)

1+lofe2

(2)3+Ig5+log32xlog23xlg2

2.（2024上•湖南长沙•高一统考期末）计算下列各式的值:

g)+0.252x

(l)V(-4)3-

ln2

(2)lg|+21g2-log24+e

高频考点二：指数函数的概念

典型例题

例题1.（2024上•内蒙古呼伦贝尔•高一校考期末）已知指数函数，（尤）=。一'（a>0且“W1），/⑴=g,则/（-I）=

（）

11

A.3B.2C.-D.-

32

例题2.（2024上•云南昆明•高一期末）若指数函数的图象经过点（2,9）,求“X）的解析式及〃-1）的

值.

练透核心考点

1.（多选）（2024•江苏,高一假期作业）若函数〃》）=（苏+2加-2）/是指数函数，则实数加的值为（）

A.-3B.1C.-1D.-2

2.（2024上•山东枣庄•高一校考期末）若指数函数y=的图象经过点、2,巳］,则ff-|V

高频考点三：指数函数的图象

角度1：判断指数型函数的图象

典型例题

例题1.（2024下•浙江温州•高一浙江省乐清中学校联考开学考试）在同一直角坐标系中，函数＞="与

y=l+甘的图像可能是（）

角度2：根据指数型函数图象求参数

典型例题

例题1.（2024・上海•高一专题练习）若函数y=+根的图象与x轴有公共点，则加的取值范围是（）

A.m<—1B.—1<m<0C.m>lD.0<m<l

例题2.（多选）（2024•全国•高一专题练习）函数='的图象如图所示，其中为常数，则下列结

论正确的是（）

A.a>lB.b>0C.OvavlD.b<0

角度3:指数型函数图象过定点问题

典型例题

例题1.（2024上•重庆•高一重庆市青木关中学校校考期末）函数/•（彳）=。“3+1（°>0且。工1）的定点

为.

例题2.（2024上•广东江门•高一统考期末）已知函数/（X）=。1+1（。>0,且"1）的图象恒过定点P,

则尸的坐标为.

角度4：指数函数图象应用

典型例题

例题1.（2024下•四川遂宁•高三射洪中学校考开学考试）函数的图象大致为（）

例题2.（2024上•安徽•高一校联考期末）函数/"）=4凶-/在卜3,3］上的大致图象为（）

例题3.（2024上•上海•高一上海南汇中学校考期末）已知函数＞的定义域为眸,句，值域为0,；

则6-。的最大值为（）

,4,2

B.log2

A.log3-3C-log3-D.2

练透核心考点

x2

L（2。24上・陕西西安・高一西安市铁一中学校考期末）函数，⑴=可的图象大致为（）

2.（多选）（2024上,湖南娄底•高一统考期末）在同一直角坐标系中，函数>=/+依+〃-3与丁=优的图

象可能是（）

3.（多选）（2024上•江苏常州•高一统考期末）若函数/（x）=a'+6（其中。>0且。中1）的图象过第一、

三、四象限，则（）

A.0<a<lB.a>l

C.—1<Z?<0D.b<—1

4.（多选）（2024下•全国•高一开学考试）已知函数/（尤）=葭（0>0且。工1）的图象如图所示,则函数y=x“+a

的大致图象不可能为（）

6.（2024上•福建宁德•高一统考期末）函数、=优"+1（。＞0且。中1）的图象经过的定点坐标为.

7.（2024上•黑龙江齐齐哈尔■高一统考期末）函数〃x）=4a'T+5（a＞。），且a"）的图象恒过定点尸，点

P又在幕函数g（x）的图象上，则g（-2）=.

高频考点四：指数（型）函数定义域

典型例题

例题1.（2024上•山东威海•高一统考期末）函数—尤）=的定义域为（）

A.[0,+oo)B.(0,+aO)C.D.(-oo,0)

例题2.（2024上•北京•高二统考学业考试）函数/（尤）=后二？的定义域为（）

A.[-3,+oo）B.[-2,+oo）C.[2,+oo）D.[4,W）

练透核心考点

1.（2024•江苏•高一假期作业）函数/（幻=立三的定义域为（）

A.（-00,2]B.（-co,5）U（5,y）

C.[2,+a）]D.[2,5）U（5,+W）

_4

2.（2024上•安徽阜阳•高一统考期末）函数“司=1------------口的定义域为____.

（V-3x-4j

高频考点五：指数（型）函数的值域

角度1:指数函数在区间[利网上的值域

典型例题

例题L（2023上广西南宁・高一校考期中）函数/（%）=2二彳4-1』的值域是（）

A.（0,2）B.g,21C.1,2D.[0,2]

例题2.（2023上•上海浦东新•高三上海南汇中学校考阶段练习）函数y=2'+2x-l,%目2,+力）的值域

为.

角度2：指数型复合函数值域

典型例题

例题1.（2023上•福建三明•高一校联考期中）函数"力=4'-29+2在T4xW1时的值域是

例题2.（2023上•全国•高一专题练习）已知函数/（同=1^的图象经过点（1,）.

（1）求实数。的值；

⑵求函数的定义域和值域.

例题3.（2023上•河南省直辖县级单位•高一校考阶段练习）求函数y=?（-3<x<1）的单调区间与值

域.

角度3：根据指数函数值域（最值）求参数

典型例题

例题1.（2023下•广东广州•高一校考期中）函数>=优-2（a>0且“ITWxWl）的值域是-*1,则

实数。=（）

1„12f3

A.3B.—C.3或—D.二或一

3332

例题2.（2023上，全国,高一期末）如果函数产0+2/—1,（。>0且awl）在区间上的最大值是14,

则。的值为（）

,1U„1

A.3B.—C.—5D.3或一

33

练透核心考点

1.（2023上•新疆喀什・高一统考期末）yj],xe[0,3]的值域是（）

A.[0,3]B.[1,3]C.1,0D.

|_oJ|_o

2.（2023上•广东东莞•高一东莞市东莞中学校考期中）函数〃x）=2*+i的值域为.

3.（2023上•黑龙江绥化•高三校考阶段练习）当X。时，函数/（司=4,-2m+2的值域为.

4.（2023•江苏•高一专题练习）已知函数/。）=2M-1在区间。间上的值域为[03,则实数小的取值范

围为.

zxax-4x+3

5.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=：1,若/（x）的值域是（。,+◎,求。的值.

高频考点六：指数函数单调性

角度1:由指数（型）函数单调性求参数

典型例题

x2-2ax+2,x＜1

例题1.（2024下•内蒙古赤峰•高三校考开学考试）若函数（1Y是R上的减函数，贝匹的

取值范围是（）

A•旧B.[1,|]C.[IM

例题2.（2024上,湖南湘西•高一统考期末）若函数/（X）=2*+G在区间IT」]上单调递增，则实数。的取值

范围是（）

(-co,2][2,+00)

(一8,—2][-2,+8)

角度2：根据指数函数单调性解不等式

典型例题

例题1.（2024上•广东潮州•高一统考期末）已知函数/'（同=5忖+/,则满足〃2尸1）＜（£|的了的取值

范围是（）

例题2.（2024上•河北邯郸•高一统考期末）已知函数/⑺=2国,则f（2-x）＞〃2x+3）的解集为

练透核心考点

1.（2024•全国•高一专题练习）已知函数＞=（/_『2+3在区间[],+向上是增函数，则。的取值范围是（）

C.(1,+(»)

2.(2024上•陕西渭南•高一校考期末)已知函数/(司=卜[46+2,“<1,对于任意两个不相等的实数4,

a,x>l

巧，都有'■)一"尤2)<0成立,则实数。的取值范围是.

%~X2

3.(2024上•新疆乌鲁木齐•高一校联考期末)不等式GJ"।WB'-的解集为.

4.(2024上•山西长治•高一校联考期末)已知函数/⑺=/-b，则不等式的解集

为.

高频考点七：指数函数的最值

角度1：求已知指数型函数的值域

典型例题

例题L(2024•全国■高三专题练习)函数/(X)=3A2《+2X-4«-1的最小值为.

例题2.(2024上•广东深圳•高一校考期末)已知定义在R上的函数=-2旬+l-〃?(〃zwR)

⑴若m=1,求函数〃尤)在[0,2]上的最大值；

(2)若存在xeR,使得/(l+x)+/(l-x)=0,求实数加的取值范围.

角度2：根据指数函数最值求参数

典型例题

例题L(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(尤)=2「工-2f+a.若函数/(x)的最大值为1,则实数。=()

7799

A.----B.-C.—D.—

8888

例题2.(2024上,河南•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=22-a.2'+4,若/(x)20恒成立，则实数a

的取值范围为()

A.(-»,4]