直线、平面平行与垂直的判定与性质（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第30讲直线、平面平行与垂直的判定与性质

（6类核心考点精讲精练）

I他.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第6题,5分线面关系有关命题的判断

2024年天津卷，第17题,15分证明线面平行面面角的向量求法点到平面距离的向量求

2023年天津卷，第17题,15分证明线面平行广求点面距离求二面角

2022年天津卷，第17题,15分空间位置关系的向量证明线面角的向量求法，面面角的向量求法

2021年天津卷，第17题,15分空间位置关系的向量证明线面角的向量求法，面面角的向量求法

2020年天津卷，第17题,15分空间向量垂直的坐标表示线面角的向量求法面面角的向量求法

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为15分

【备考策略】1.理解、掌握空间集体中的线面关系。

2.能掌握线面平行与垂直的问题。

3.会解空间中的动点问题，利用线与面中的平行与垂直关系去参数问题。

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出几何体求解线与面的关系，以及动点问题。

12.考点梳理*

知识讲解

知识点一.直线和平面平行

1.定义：直线与平面没有公共点，则称此直线/与平面a平行，记作/〃a

2.判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果平面外的一条直线和这个1//1,

线〃线n线〃面平面内的一条直线平行，那么这条Z_/Ilua>n/〃a

直线和这个平面平行（简记为“线线1Ua

平行n线面平行

如果两个平面平行，那么在一a〃g

//>=>a//p

面〃面n线〃面个平面内的所有直线都平行于另一aua

个平面X/

3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线和1//a

一个平面平行，经过IS

线〃面n线〃线这条直线的平面和这a0=1'

个平面相交，那么这

条直线就和交线平行

知识点二.两个平面平行

1.定义:没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面a和夕，若a/3=@,则a〃4

2.判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理如果一个平面内有两aua,bua,ab=P

线〃面=>条相交的直线都平行于另/

B，b//j3^a//j3

面〃面一个平面，那么这两个平面//

平行（简记为“线面平行n

面面平行

线_1_面=>如果两个平面同垂直I.La]

\na〃B

面〃面于一条直线，那么这两个平lVf3\

面平行

3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果两个平面平行，那

面〃面二>线〃面aII(3

么在一个平面中的所有直线〃u。>=>〃//6

都平行于另外一个平面

如果两个平行平面同时

a11[3

和第三个平面相交，那么他二ay=al1匕.

性质定理

们的交线平行（简记为“面面By=b

平行n线面平行”）

如果两个平面中有一个

al1p

面〃面二>线，面垂直于一条直线，那么另一>n/_L尸

I-La

个平面也垂直于这条直线三

【解题方法总结】

线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示.

1.证明直线与平面平行的常用方法:

①利用定义，证明直线。与平面a没有公共点，一般结合反证法证明；

②利用线面平行的判定定理，即线线平行n线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向

进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；

③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；

2.证明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；

②利用面面平行的判定定理；

③利用两个平面垂直于同一条直线；

④证明两个平面同时平行于第三个平面.

3.证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

知识点三.直线与平面垂直

1.定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.

2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一1

个平面内的两条相a,bua

aLI

判断定理交直线都垂直，则>n/J_。

b-Ll

该直线与此平面垂acb=P

直

两个平面垂

直，则在一个平面a-LJ3

ac/3=a

面，面今线，面内垂直于交线的直>nh_La

/bu。

线与另一个平面垂zCb-La

直

一条直线与两—

平行平面中的一个

alm

平行与垂直的关系平面垂直，则该直>nq_L夕

ala

线与另一个平面也//

垂直

两平行直线中gb

有一条与平面垂allb

平行与垂直的关系

直，则另一条直线a.La

—

与该平面也垂直

3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

1b

alia

垂直于同一平面

性质定理auB卜=>〃///?

的两条直线平行

ac0=b

文字语言图形语言符号语言

垂直于同一

ala]

垂直与平行的关系直线的两个平面

平行

如果一条直

线垂直于一个平

线垂直于面的性质面，则该直线与平/_La,aua=/_La

面内所有直线都

垂直

知识点四.平面与平面垂直

L定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相

垂直.（如图所示，若ac0=CD,CDLy,且cy=AB,4c7=BE,ABBE,则c_L/）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过bLa]

$=>a_L"

另一个平面的垂bu队

线，则这两个平面

垂直

3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

性质定理两个平面垂直，aVP

则一个平面内垂直ac(3=a

7)>=>Z7_La

bu(3

于交线的直线与另

二b-La

一个平面垂直Z

【解题方法总结】

判定定理,判定定理、

线上线(性质定理线上面《性质定理面,面

1.证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质(a_La,6uen“_L6);

⑦平行线垂直直线的传递性(aLc,a/IbnbLc).

2.证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定(a_LZ?M_LGcu%bua,bcc=P=>a_L6Z)；

③面面垂直的性质(a工(3,ac/3=b,a工b,aua=a工/3);

平行线垂直平面的传递性(a_La,Z?//a=>b_La)；

⑤面面垂直的性质(a_Lcc尸=/=

3.证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理(aLB，aua=aLB).

空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置.

考点一、线面平行问题

典例引领

1.(2025高三・全国・专题练习)如图，在正方体4BCD-4/1的。1中，E是棱。区的中点.

(1)证明：BDi〃平面4EC；

(2)若正方体棱长为2,求三棱锥D-4EC的体积.

2.(2024・陕西商洛•模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形力BCD是矩形，MN分别是PD和BC的

中点，平面PAB_L平面4BCD,P4=PB=AB=AD=2.

(1)证明：MN〃平面/MB；

(2)求三棱锥M-ABC的体积.

即时检测

I____________________

1.(2024・江西•模拟预测)如图所示，四边形BCDE为直角梯形，且BC//DE,ED1CD,BC=2,CD=V3,

ED=1.△力BE为等边三角形，平面ABE_1_平面8。。£.

(1)线段4C上是否存在一点G,使得。G//平面4BE,若存在，请说明G点的位置；若不存在，请说明理由；

(2)空间中有一动点Q,满足力Q1BE,且砺•无=0.求点Q的轨迹长度.

2.(2024•宁夏吴忠.模拟预测)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面4BCD是边长为2的正方形,P。1底面48CD,

(1)试确定点E的位置，并说明理由；

(2)是否存在实数九使三棱锥E-BPD体积为岂若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由.

3.(2025高三•全国•专题练习)如图，在四棱台4BCD—4B1GD1中，DA_L平面ABCD,4D〃BC,AD=DC=2,

BC=1,乙BCD=60。,4。1==1.记平面与平面B/CC1的交线为/,证明：1//BC-,

4.(2025高三・全国・专题练习)如图，在三棱柱力BC-a/iQ中，AC=BC,ArC=ArB,侧面BBiQC为矩

形.记平面&BCi与平面ABC交线为I,证明：AC//1-,

考点二、面面平行问题

典例引领

1.（2025高三・全国・专题练习）如图，在四棱锥P-4BCD中，PA=3,AB=2,四边形2BCD为菱形，NABC=$

PAL^^ABCD,E,F,Q分别是BC,PC,PD的中点.证明：平面EFQ〃平面PH8；

P

2.（2025高三・全国・专题练习）如图，在三棱柱ABC-4/ICI中，侧面441cle为矩形，M,N分别为AC,

久的的中点.求证：平面BM4〃平面BiNC；

1.（2025高三•全国•专题练习）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台力BCD-A/iGA中，E,F分

别为力的中点，48=24/1=4,侧面8/6。与底面4BCD所成角为45。.求证：B。4/平面&EF；

2.（23-24高三上•河北承德・期中）如图，在四棱锥S-4BCD中，平面SBD_L平面力BCD,底面力BCD是正方

形，且E、尸分别是SB、SD上靠近S的三等分点.

（2）在SC上是否存在一点M,使平面MBD〃平面4EF?若存在，求出差的值；若不存在，请说明理由.

3.（2024高三.全国.专题练习）如图1,直角梯形4BCD中，AB=^CD=2,AD=2,AD1CD,ABIICD,将直

角梯形4BCD绕4。旋转一周得到如图2的圆台，EF为圆台的母线，且CF=4,M是BC的中点.在线段CF上

是否存在一点N,使MN//平面AEFD?说明理由；

图1图2

考点三、平行中的动点问题

典例引领

1.（2024・四川乐山•三模）在三棱柱ABC-&&C1中，点。在棱BBi上，满足力-BCQD=1cl，点M在

棱41cl上，且而^=而温，点N在直线上，若MN〃平面4DC],则箸=（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2024•辽宁•模拟预测）已知四棱锥P-ABC。的底面48CD是边长旧的正方形，PA=V3,PA1平面ABCD,

M为线段P4的中点，若空间中存在平而a满足BD〃a,MCuct,记平面a与直线PD,PB分别交于点E,F,

贝|PE=,四边形MECF的面积为.

即0唧（

1.（2024・西藏拉萨•二模）如图，正四棱锥P-4BCD的所有棱长都为2,E为PC的中点，M是底面力BCD内（包

括边界）的动点，且EM||平面P4B,则EM长度的取值范围是.

2.（2024.陕西榆林.三模）如图是一个半圆柱,DC,4B分别是上、下底面圆的直径，。为4B的中点，且4B=2。=

2,E是半圆脑上任一点（不与人B重合）.

（1）证明：平面DE41平面CEB,并在图中画出平面DEA与平面CEB的交线（不用证明）;

⑵若点E满足DE=当EB,空间中一点P满足丽=2PB,求三棱锥。-EOP的体积.

考点四、线线、线面垂直问题

1.（2024•陕西咸阳・模拟预测）如图1,在高为6的等腰梯形力BCD中，AB//CD,且CD=6,4B=12,将它

沿对称轴。Oi折起，使平面ADO1。，平面BCOi。，如图2,点P为BC的中点，点E在线段力B上（不同于4B

两点），连接。E并延长至点Q,使4Q〃。丛

（2）若BE=24E,求三棱锥P-4BQ的体积.

2.（24-25高三上•山西大同・期末）如图，四棱锥P-4BCD中，底面4BCD为矩形，PA_L底面2BCD,且M,N分

别为棱ZB,PC的中点，平面CMN与平面P2D交于直线，.

（2）若PD与底面A8CD所成角为a,当a满足什么条件时，MN1平面PCD.

■♦即时购

1.（2024•广东东莞•模拟预测）如图，已知四棱台48CD-4/164的上、下底面分别是边长为2和4的正

方形，441=4,且441，底面ABCD,点P、Q分别是棱DD1的中点.

⑴在底面A/IGA内是否存在点M,满足AM，平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明

理由；

（2）设平面CPQ交棱441于点T,平面CPTQ将四棱台4BCD-&B1C1D1，分成上、下两部分，求上、下两

部分的体积比.

2.（22-23高三上•贵州黔东南•阶段练习）如图，在四棱锥P-4BC。中，PA1平面48CD,四边形2BCD为正

方形，4B=4P,点F为线段PC的中点，过力，D,F三点的平面与PB交于点E.

（1）求证：PB1FD.

（2）求平面2DFE将四棱锥分成两部分的体积之比.

3.（2025高三•全国•专题练习）如图，在直三棱柱aBC—a/iG中，E是上的点，且&E1平面ABiQ.

4.（2025高三•全国・专题练习）如图，多面体力BCDEf1中，已知面力BCD是边长为4的正方形，△FBC是等边

三角形，EF//AB,EF=平面F8C1平面力BCD.求证：EF1BF；

考点五、面面垂直问题

典例引领

1.(23-24高三上•重庆南岸•阶段练习)如图，在三棱柱ABC—4/16中，侧面BBQC为矩形，^BAC=90°,

AB=AC^4,44i=8,4在底面ABC的射影为BC的中点N,M为的中点.

(1)求证：平面4MM4_1_平面&BC；

(2)求三棱柱的体积和表面积.

2.(2022.河南安阳•模拟预测)如图，在正三棱柱ABC—4B1G中，4B=2,C6=3,点O,E分别在棱441和

棱CCi上，且4。=1,CE=2.

(1)求证：平面BDE1平面BCC/i；

(2)求多面体-D8E的体积.

即时检测

I_________________

1.(2025高三•全国•专题练习)在三棱台中，底面△ABC是等边三角形，侧面4遇CC1是等腰梯

形，。是4C的中点，当0是两异面直线8/和2C的公垂线，且4B=9&Bi=2百，BB1=2V2.证明：侧面

ABBrAr1平面BMC；

2.（2025高三•全国•专题练习）如图，在三棱锥P—48C中，平面PAC_L平面PBC,△P4C和△48c均为等腰

直角三角形，且P力=PC=V2,PB=①.证明：平面ABC1平面P4C

3.（2025高三•全国・专题练习）如图，4B是圆的直径，平面P4C1面4CB,S.AP1AC.求证：BC，平面P4C；

4.（2025高三•全国•专题练习）如图，在三棱台ABC—中，AB1BC,BB1VAC,平面4BB1&1平面

ABC.求证：BB1_L平面ABC；

考点六、垂直中的动点问题

典例引领

1.（2024高三・全国・专题练习）已知二面角a-是直二面角，AEa,BEp,设直线4B与平面a,。所成

角分别为。1，。2,则（）

A.%+62=90°B.er+e2>90°

c.4+。2490°口.er+e2<90°

2.（24-25高三上•湖南•开学考试）己知三棱锥4-BCD中，AC=旧，其余各校长均为2,P是三棱锥4-BCD

外接球的球面上的动点，则点P到平面BCD的距离的最大值为（）

AV26DV26c1+V1314-V13

A.D.C.-------D.----------

6363

即时检测

1.（23-24高三上•湖南•阶段练习）如图，平面4BCD，平面ABEF,正方形ABCD的边长为4,矩形ABEF

的边AF的长为2,若G是边EF上的动点，则三棱锥C-A8G的外接球体积的最小值为.

GE

2.（23-24高三上•河南•期中）已知在四棱锥P—48CD中，AD//BC,AD=3,BC=1,PB=3/，PA1AB,

4D_L平面PAB,当四棱锥P—A8CD的体积最大时，coszCPD=

22

3.（22-23高三下•江苏连云港•阶段练习）已知双曲线C+一a=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别是F1.，

过点Fi的直线与C交于4B两点，且力B1&F2，现将平面人0尸2沿尸1尸2所在直线折起，点4到达点P处，使面

。叱2，面BFiB，若COS"F2B=|，则双曲线C的离心率为.

4.（2024.黑龙江•三模）如图所示，A/IBC中，力C18C,2C=2,8C=4,E,F分别是边上的点，

将ABEF沿EF折起，点B折起后的位置记为点P,得到四棱锥P-4CFE,则四棱锥P-ACFE体积的最大值

为.

IN.好题冲关

1.（2023•河北保定•一模）设a,0是两个不同的平面，贝「a内有无数条直线与£平行”是“a〃夕”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.(21-22高三上•天津南开•阶段练习)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,点P为

DD1的中点.

(1)求证：直线BD1〃平面PAC；

(2)求证：平面PAC_L平面BDD1；

(3)求三棱锥D-PAC的体积.

3.(22-23高三上•广西玉林•阶段练习)如图，在四棱锥P-2BCD中，底面ABCD是正方形，侧面P2。，底

面ABCD,E,F分别为PA,BD中点，PH=PD=4D=2.

(1)求证：EF//平面PBC；

(2)求四面体P-D48的体积.

4.(2025高三・全国•专题练习)已知四棱柱ABCD-481GA中，底面4BCD为梯形，AB//CD,，平面

ABCD,AD_LA8,其中AB=AA1=2,AD=DC=1.N是当前的中点,M是。久的中点.求证〃平面C/M；

5.(2025高三•全国・专题练习)如图，在四棱锥P-4BCD中，BC//AD,AB=BC=1,4D=3,点E在4D

上，且PE14D,PE=DE=2.若尸为线段PE中点，求证：BF//平面PCD.

p

D

BC

6.（2025高三•全国•专题练习）如图，在四棱锥P—4BCD中，PAl¥ffiXBCD,底面4BCD为正方形，E为

线段48的中点，PA=4B=2.

7.（2025高三•全国・专题练习）如图，已知多面体A8CD的底面ABCD是菱形，侧棱1底面

ABCD,且CC】=2441=4BB1=证明：ArC1BD；

B能力提升

1.（2024.全国.模拟预测）如图，四棱锥a—8CDE是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥2-CDF是正四面体,

G为BE的中点，则下列结论错误的是（）

A.点4B,C,F共面B.平面ABE〃平面CDF

C.FG1CDD.FG_L平面ACD

2.（2025高三・全国・专题练习）由平行六面体ABCD-公当的£>1截去三棱锥当-后得到如图所示的几

何体，其体积为5,底面ABCD为菱形，AC与BD交于点O,ArB=BCr.

（1）证明：必。〃平面4/Ci；

（2）证明：平面A。。_L平面A18cl.

3.（2024高三・全国・专题练习）如图，在正三棱柱力BC-4B1G中，BC=CG，M,N,P分别是以1，28,8当的

中点.在线段BBi上是否存在一点Q,使44，平面&MQ?若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明

4.（2025高三•全国•专题练习）如图，在三棱锥P-4BC中，AB1BC,AB=2,BC=2或，