七年级数学下册压轴题攻略湘教版-专题09 平行线的性质与判定压轴题六种模型全攻略（解析版）

专题09平行线的性质与判定压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用对顶角相等求角度】 1【考点二同位角、内错角、同旁内角的辨别】 3【考点三同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行】 5【考点四两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补】 7【考点五根据平行线的性质与判定求角度】 10【考点六平行线的性质与判定探究角的关系】 13【过关检测】 20【典型例题】【考点一利用对顶角相等求角度】例题：（2024上·山西晋城·七年级统考期末）如图，直线与交于点O，．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】主要考查了对顶角性质和垂线的定义，正确得出的度数是解题关键．直接利用邻补角的定义结合垂线的定义进而得出答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故B正确．故选：B．【变式训练】1．（2024上·福建福州·七年级校联考期末）如图，已知直线，相交于O，平分，，则．【答案】/35度【分析】根据角平分线定义得到，根据对顶角性质得到．本题主要考查了角平分线，对顶角．熟练掌握角平分线定义，对顶角相等，是解决问题的关键．【详解】∵平分，，∴，∵，∴．故答案为：．2．（2024上·湖南衡阳·七年级校联考期末）如图，AB与CD相交于点O，，，则．【答案】/90度【分析】本题考查对顶角，角的和差计算，解题的关键是根据对顶角相等得到，再根据，代入计算计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：．【考点二同位角、内错角、同旁内角的辨别】例题：（2023上·七年级课时练习）如图所示，直线与被直线所截得的内错角是；直线与被直线所截得的内错角是；的内错角是．AI【答案】和和和【分析】根据内错角的概念，结合图形中各角的位置即可顺利完成填空．【详解】直线与被直线所截得的内错角是和；直线与被直线所截得的内错角是和；的内错角是和．故答案为：和；和；和．【点睛】本题考查了内错角的概念，熟练掌握两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）如图，（1）当直线、被直线所截时，的内错角是；（2）的同位角是；（3）的同旁内角是．【答案】、、、【分析】（1）根据内错角的定义进行解答即可；（2）根据同位角的定义进行解答即可；（3）根据同旁内角的定义进行解答即可．【详解】解：（1）当直线、被直线所截时，的内错角是．故答案为：．（2）的同位角是、．故答案为：、．（3）的同旁内角是、、．故答案为：、、．【点睛】本题主要考查了同位角，内错角和同旁内角的定义，解题的关键是熟练掌握定义，同位角：在截线同旁,被截线相同的一侧的两角；内错角：在截线两旁,被截线之内的两角；同旁内角：在截线同旁,被截线之内的两角．2．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，填空．（1）若直线，被直线所截，则与是同位角；（2）若直线，被直线所截，则与是内错角；（3）与是直线和直线被直线所截构成的角；（4）与是直线和直线被直线所截构成的角；（5）图中的同旁内角有个，它们是．【答案】内错同位3，，【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个求解即可．【详解】解：（1）若直线，被直线所截，则与是同位角；（2）若直线，被直线所截，则与是内错角；（3）与是直线和直线被直线所截构成的内错角；（4）与是直线和直线被直线所截构成的同位角；（5）图中的同旁内角有3个，它们是，，，故答案为：，，，内错，，，同位，3，，，．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，能根据图形找出同位角、内错角和同旁内角是解此题的关键．【考点三同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行】例题：（2023下·上海徐汇·七年级校考期中）如图所示，已知，垂足为，，垂足为，，试说明直线与平行．

解∶∵，垂足为B，垂足为D，(已知)，∴____，____(_____)即，，又∵(___)，∴____=____(___)，∴(___)．【答案】、、垂直的定义、已知、、、等量代换、同位角相等，两直线平行．【分析】根据垂直的性质，平行线的判定求证即可．【详解】证明：∵，垂足为B，垂足为D，(已知)，∴，(垂直的定义)即，，又∵(已知)，∴(等量代换)，∴(同位角相等，两直线平行)．故答案为：、、垂直的定义、已知、、、等量代换、同位角相等，两直线平行．【点睛】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．【变式训练】1．（2023下·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．

证明：∵（已知），（______________），∴（_______________），又∵（已知），∴（____________）（等式的性质）∴（_______________）又∵（_____________），∴（等式的性质）∵（已知），∴，∴（___________________________）【答案】对顶角相等；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；邻补角互补；内错角相等，两直线平行【分析】根据对顶角，邻补角的性质，平行线的判定定理，进行作答即可．【详解】证明：∵（已知），（对顶角相等），∴（等量代换），又∵（已知），∴（）（等式的性质）∴（同旁内角互补，两直线平行）又∵（邻补角互补），∴（等式的性质）∵（已知），∴，∴（内错角相等，两直线平行）故答案为：对顶角相等；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；邻补角互补；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了对顶角，邻补角的性质，平行线的判定定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，，与互余．(1)与平行吗？为什么？(2)若，则与平行吗？为什么？【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析【详解】解：（1）．理由如下：，，与互余，，，．（2）．理由如下：由（1）知，，，．【考点四两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补】例题：（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，已知，，垂足分别为D、F，．求证：．（

）：∵，（已知）∴（

）∴（

）（同位角相等，两直线平行）∴（

）∵（

）∴（

）∴（

）∴（

）【答案】证明；垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先根据垂直定义可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用同角的补角相等可得，进而可得，最后利用平行线的性质可得，即可解答．【详解】证明：∵，（已知）∴（垂直的定义）∴（同位角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同旁内角互补）∵（已知）∴（同角的补角相等）∴（内错角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同位角相等）【变式训练】1．（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）如图，已知，，求证：．【答案】见解析，【分析】本题考查了邻补角，平行线的判定与性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．由题意可得，，证明，进而可得，证明，进而可证．【详解】证明：由题意知，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）推理填空：如图：，．求证：．

证明：因为（已知），（____________），得，所以（____________），得，因为（已知），得（等量代换），所以（____________），所以（____________）．【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等【分析】本题考查了平行线的判定及性质，根据平行线的判定及性质即可求证结论，解题的关键是掌握平行线的判定及性质．【详解】证明：因为（已知），（对顶角相等），得，所以（同位角相等，两直线平行），得，因为（已知），得（等量代换），所以（内错角相等，两直线平行），所以（两直线平行，内错角相等），故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【考点五根据平行线的性质与判定求角度】例题：（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，点在同一条直线上，点在同一条直线上，连接，过点作，已知．(1)求证：；(2)若平分，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、利用邻补角求角的度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由平行线的性质可得，从而得出，从而即可得出；（2）由角平分线的定义可得，利用邻补角求出，从而得出，最后由平行线的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：，，

，．

；（2）解：平分，，

，，

，

，．【变式训练】1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）已知：如图，在中，点在边上，分别交，于点，，平分，，

(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【详解】（1）证明：∵，∴．∵．∴．∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，又∵，∴．2．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，在中，，F、G是、上的两点，．

(1)求证：；(2)若，平分，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【考点六平行线的性质与判定探究角的关系】例题：（2023下·辽宁营口·七年级统考期中）如图，已知，．点P是射线AM上一动点（与点A不重合）、BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．(1)求的度数．(2)当点P运动到使时，的度数是多少？为什么？(3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)不变，【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．（1）由（1）知，再根据角平分线的定义知、，可得，即；（2）由得、，根据平分知，从而可计算；（3）由得、，根据平分知，从而可得结果．【详解】（1），，，，平分，平分，，，，；（2），，，，；由（1）可知：，，，；（3）不变，．，，，平分，，．【变式训练】1．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，已知直线，且和分别交于A、B两点，点P在直线上．(1)之间的关系为；(2)如果点P在A、B两点之间运动时，之间的关系为；(3)如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，之间关系为．【答案】(1)∠3=∠1+∠2；(2)∠3=∠1+∠2(3)或【分析】本题考查了平行线性质：两直线平行，内错角相等，平行于同一直线的两条直线平行．（1）过点P作，如图1，由于，则，根据平行线的性质得，，所以；（2）由（1）中的证明过程，可知之间的关系不发生变化；（3）根据题意，画出图形，分点P在延长线上和点P在延长线上两种情况；利用平行线的性质可推出之间的关系．【详解】（1）解：如图1，过点P作，∵，∴（两直线平行，内错角相等），∵（已知），∴（平行于同一条直线的两直线平行），∴（两直线平行，内错角相等），∵，∴∠3=∠1+∠2（等量代换）；故答案为：∠3=∠1+∠2；（2）解：由（1）的证明过程知，之间的关系不发生变化；故答案为：∠3=∠1+∠2；（3）解：过点P作，∵，∴；当点P在延长线上时，如左图，则，∠1=∠CPQ=∠3+∠4，∴，即；当点P在延长线上时，如右图，∵，∴，∠2=∠CPQ=∠3+∠4，∴，即；综上，或．故答案为：或．2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点P在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明．(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成过点作．∵，∴________（

）∴____（

）又∵∴∴________．(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若，点P在、外部，，，的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．(3)探究：若，如图3，图4，请直接写出小于平角的，，之间的数量关系．【答案】(1)；；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行内错角相等；(2)(3)；【分析】本题考查了平行线的性质与判定；（1）首先过点P作，根据平行线的性质，可得，，从而证得；（2）同（1）的方法可得，，，进而即可得出结论；（3）同（1）的方法分别结合图3，图4，得出，，的关系，即可求解．【详解】（1）解：过点作．∵，∴（平行于同一条直线的两条直线平行）∴（两直线平行内错角相等）又∵∴∴．故答案为：；；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行内错角相等；．（2）发生变化，应是．证明：如图2，过点作．∵，∴（平行于同一条直线的两条直线平行）∴又∵∴∴．即（3）如图3，过点作，∵，，∴∴又∵∴∴．即如图4，过点作，∵，∴∴又∵∴∴．即【过关检测】一、单选题1．（2023下·山东济南·七年级统考期中）如图，和是对顶角的是（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角是对顶角，据此求解即可．【详解】解：由对顶角的定义可知，只有A选项中的和是对顶角，故选：A．2．（2024上·重庆沙坪坝·九年级统考期末）如图，，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查平行的性质，根据邻补角的定义得到，再由平行的性质得到是解题的关键．【详解】解：如图，∵，∴，又∵，∴，故选C．3．（2023上·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定条件是关键，根据内错角相等、同位角相等、同旁内角互补逐一判断，即可得出答案．【详解】解：A、可判断平分，不能判断，符合题意；B、由内错角相等，两直线平行，可判断，不符合题意；C、由同位角相等，两直线平行，可判断，不符合题意；D、由同旁内角互补，两直线平行，可判断，不符合题意；故选：A．4．（2024上·山西长治·七年级统考期末）风筝是中国古代劳动人民发明于东周春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸骨架中，与构成同位角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是同位角的定义，关键是知道哪两条直线被第三条直线所截．根据同位角的定义解答即可【详解】解：如图可知，和是同位角，故选：．5．（2024上·甘肃兰州·八年级校联考期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：；；平分；平分．其中正确结论的个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．【详解】解：延长，交于，∵，∴，，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∴错误；正确，∵平分，∴，∵，∴，∴，可见，的值未必为，只要和为即可，∴平分，平分不一定正确．故选：．二、填空题6．（2023下·吉林松原·七年级校考阶段练习）如图，直线与相交于点O，，，则的度数是．

【答案】50【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系求解．【详解】解：，，，，故答案为：50．【点睛】本题考查对顶角的性质和角的和差关系，解题的关键是根据对顶角相等求出的度数．7．（2024上·重庆黔江·七年级统考期末）如图，已知，平分，且，则．

【答案】/121度【分析】本题考查的是平行线的性质和垂线的定义，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．先根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，进而得出的度数，由即可得出结论．【详解】解：，，，，平分，，，，，．故答案为：8．（2023下·河南焦作·七年级校考阶段练习）如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是.

【答案】①【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义意义判断即可，同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角；内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角；如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角．【详解】解：与构成同旁内角的是，有2个，故①正确；与构成同位角的角的是，有1个，故②错误；与构成同旁内角的角的是，有5个，故③错误；故答案为：①．【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关概念．9．（2024上·福建泉州·七年级统考期末）有经验的渔夫用鱼叉捕鱼时，不是将鱼叉对准他看到的鱼，这是由于光从空气射入水中时，发生折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水中时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，则的度数为．【答案】【分析】本题考查了平行线的性质、几何图中角度的计算，根据平行线的性质可得，再根据，进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：，，，，，，故答案为：．10．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）一副直角三角尺如图1叠放，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动，要求两块三角尺的一组边互相平行．如图2，当时，有一组边，再继续转动三角尺的过程中，请你写出符合要求的（）的度数是度．【答案】或或【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：当时，；当时，∵，∴；

当时，∵，∴．

综上所述，的度数为或或；故答案为：或或．三、解答题11．（2024上·云南昆明·七年级统考期末）如图，，．(1)求证：；(2)若，平分，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算．掌握平行线的判定和性质，是解题的关键．（1）根据两直线平行，同位角相等，得到，进而推出，即可得出结论；（2）平行线的性质，得到，角平分线得到，再根据平行线的性质，得到，即可．【详解】（1）证明：∵∴．

又∵，∴，

∴；（2）∵，∴

又∵平分∴

又∵∴．12．（2024上·广东佛山·八年级统考期末）如图，是学生用两块三角板拼成的图形，其中，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上，，，，过点作平分交于点．(1)求证：；(2)求的度