七年级数学下册压轴题攻略湘教版-专题06 平方差公式与完全平方公式压轴题八种模型全攻略（原卷版）

专题06平方差公式与完全平方公式压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一判断是否可用平方差公式运算】 1【考点二运用平方差公式进行运算】 2【考点三运用完全平方公式进行运算】 4【考点四利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算】 6【考点五通过对完全平方公式变形求值】 7【考点六求完全平方式中的字母系数】 9【考点七平方差公式与几何图形】 10【考点八完全平方公式与几何图形】 14【过关检测】 18【典型例题】【考点一判断是否可用平方差公式运算】例题：（2024上·福建泉州·八年级统考期末）下列各式中不能用平方差公式进行计算的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2024上·湖南衡阳·八年级统考期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．2．（2024上·陕西延安·八年级统考期末）在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．【考点二运用平方差公式进行运算】例题：（2023·上海·七年级假期作业）计算：(1)；(2)；(3)．【变式训练】1．（2024下·全国·七年级假期作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【考点三运用完全平方公式进行运算】例题：（2023上·八年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)．2．（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）运用乘法公式计算：(1)(2)【考点四利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算】例题：（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）求值：(1)(2)．【变式训练】1．（2023下·江西赣州·七年级校考阶段练习）利用乘法公式进行简便计算．(1)(2)【考点五通过对完全平方公式变形求值】例题：（2023上·河南南阳·八年级校联考阶段练习）已知，求下列各式的值．(1)(2)【变式训练】1．（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）阅读理解：已知，，求的值．解：∵，∴，即，∵，∴，参考上述过程解答：(1)若，．①___________；②求的值；(2)已知，，求的值．2．（2024上·甘肃定西·八年级统考期末）阅读材料：若满足，求的值．解：设，，则，所以请仿照上例解决下面的问题：(1)问题发现：若x满足，求：的值．(2)若，求：的值．【考点六求完全平方式中的字母系数】例题：（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期末）如果是一个完全平方式，那么k的值是．【变式训练】1．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）若是x的完全平方式，则2．（2023上·全国·八年级期末）若多项式的结果是一个多项式的平方，则单项式．【考点七平方差公式与几何图形】例题：（2023上·吉林·八年级统考期末）探究活动：（1）如图1是边长分别为a、b的正方形，可以求出阴影部分的面积是．（写成两数平方差的形式）（2）如图2，若将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是．（写成多项式乘积的形式）（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到等式：．知识应用：①计算：；②计算【变式训练】1．（2022上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考阶段练习）实践与探索：如图1，在边长为的大正方形里挖去一个边长为的小正方形，再把图1中的剩余部分（阴影部分）拼成一个长方形（如图2所示）．(1)上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的一个）A．B．C．(2)请应用这个等式完成下列各题：①已知，则______．②计算：．2．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题．从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证的一个等式是．(2)若，，求的值．(3)计算的值是．【考点八完全平方公式与几何图形】例题：现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的代数式表示出来）；图1表示：；图2表示：；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(2)若，，则；；(3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．【变式训练】1．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．解：因为，所以，即．又因为，所以．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若，，则；(2)若，，求的值；(3)两个正方形如图摆放，面积和为34，，则图中阴影部分面积和为．2．如图①，正方形是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的．(1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是；(2)若m满足，请利用（1）中的数量关系，求的值；(3)若将正方形的边、分别与图①中的、重叠，如图②所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．【过关检测】一、单选题1．（2023下·辽宁朝阳·七年级校考期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．2．（2023下·河北唐山·七年级统考期末）如果，则括号内的多项式为（

）A． B． C． D．3．（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）若代数式，则（）A． B．9 C．10 D．4．（2023上·广东汕头·九年级汕头市澄海中学校考阶段练习）若，，则M与N的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定5．（2023上·四川宜宾·八年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）诚诚同学在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板A，B进行拼接（重组）探究，已知纸板A与B的面积之和为52，如图所示，现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为9，若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（

）A．40 B．43 C．44 D．45二、填空题6．（山西省大同市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）计算：．7．（2023上·河南商丘·八年级校考阶段练习）若可以用完全平方公因式分解，则．8．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）已知，，则．9．（2021上·河南郑州·七年级校考期中）我们定义，例如．如果、均为有理数，并且满足，那么的值为．10．（2024上·北京丰台·八年级统考期末）如图，有边长分别为，的型和型正方形纸片，长为、宽为的型长方形纸片若干张、1张型纸片、1张型纸片和2张型纸片可以无缝隙、不重叠地拼成一个正方形，则这个正方形的边长为（用含，的式子表示）．

三、解答题11．（2024上·湖北恩施·八年级统考期末）计算：(1)(2)12．（2024上·辽宁·八年级统考期末）（1）；

（2）．13．（2023下·江苏·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中，．14．（2023下·山东青岛·七年级校考期末）计算：(1)利用整式乘法公式计算：；(2)先化简，再求值：，其中，．15．（2023上·云南昆明·八年级校考期中）（1）简便计算：（2）先化简再求值：，其中，．16．（2023上·全国·八年级课堂例题）利用乘法公式简化运算：(1)；(2)．17．（2024上·陕西汉中·八年级统考期末）如图是一块长米，宽米的长方形地块，市发改委计划在阴影部分铺设塑胶跑道，中间修建一个边长为米的正方形足球场地．

(1)塑胶跑道的面积是多少平方米？（用含，的代数式表示）(2)当，时，求塑胶跑道的面积．18．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）下面是小明同学化简求值的过程，请你认真阅读并完成相应的任务．先化简，再求值：，其中．解：原式……第一步……第二步……第三步当时，原式．……第四步(1)小明同学第________步开始出现错误．(2)写出正确的化简求值过程．19．（2024上·陕西延安·八年级统考期末）完全平方公式：．将完全平方方式适当地变形可以解决很多数学问题．例：若，，求的值．解：，，，．，．根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：(1)若，，求的值．(2)若，求的值．20．（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期末）【发现问题】小亮同学把图①长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分为四个小长方形，然后拼成了如图②所示的正方形．小亮进一步发现图②里面的小正方形的面积可以用