数值分析 课件ch7-数值积分与微分

数值积分与微分07Chapter7.1引言7.1引言

——Riemann积分积分的概念

即7.1引言黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一,著作不多，却异常深刻，富于对概念的创造与想象，思想极其深邃难以理解。许多奠基性、创造性的工作，直接影响了19世纪以后的数学发展，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。■黎曼几何、流形、微分流形、椭圆几何的创始人爱因斯坦用黎曼几何将广义相对论几何化。黎曼几何是现代理论物理必备的数学基础。■完善微积分理论的出杰人物之一

■解析数论、与复变函数的里程碑■组合拓扑的开拓者■代数几何的奠基人

■在数学物理、微分方程等领域贡献卓著7.1引言根据定义计算

积分的计算Riemann积分从定义上基本不可算

Newton-Leibniz公式求定积分的值,Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题7.1引言N-L公式的局限性积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：1.被积函数有原函数，但形式复杂难解

2.找不到原函数

7.1引言希望研究一种新的积分方法来解决N-L公式所不能或很难解决的积分问题数值积分方法

7.1引言

左矩形公式

右矩形公式中矩形公式梯形公式

Simpson公式

7.1引言

求积系数求积节点值机械求积公式求积节点

为截断误差,又称求积余项.7.1引言数值积分方法是近似方法近似程度(精度)代数精度考虑如何衡量代数精度

如果

但

7.1引言

考查

如果

则

一般，如果

则7.1引言

即

因此，判断代数精度只需用最简多项式

7.1引言代数精度

7.1引言

所以梯形公式具有1次代数精度

7.1引言

所以Simpson公式具有3次代数精度

7.1引言

具有三阶的代数精度7.1引言

为插值型求积公式插值型求积公式

4.1引言

证:充分性

必要性所以该求积公式为插值型。

7.2Newton-Cotes公式7.2Newton-cotes公式Cotes系数

7.2Newton-cotes公式

Cotes系数

Newton-Cotes公式7.2Newton-cotes公式Cotes系数

Simpson求积公式

梯形公式

Cotes求积公式4.2Newton-cotes公式

7.2Newton-cotes公式

数值积分的误差分析

7.2Newton-cotes公式以梯形公式误差为例

7.2Newton-cotes公式

梯形公式Simpson公式

Cotes公式

7.2Newton-cotes公式

如何改进复化求积法复化求积法第一步：等分区间：

第三步：求和

7.2Newton-cotes公式

7.2Newton-cotes公式复化求积公式的误差复化梯形公式为

则

7.2Newton-cotes公式同理，复化Simpson和复化Cotes公式的误差分别为

复化梯形、复化Simpson和复化Cotes公式分别具有二阶、四阶和六阶收敛精度。7.2Newton-cotes公式

7.3Romberg算法7.3Romberg算法考察复化梯形公式

二分前的步长

7.3Romberg算法

可以得到两个结果结果一:

区间二分后的误差是二分前后差值的三分之一结果二：

加速公式7.3Romberg算法

令

即

则

7.3Romberg算法考察复化Simpson公式

可以验证得

7.3Romberg算法考察复化Cotes公式

记

称Romberg公式7.3Romberg算法Romberg算法计算步骤

1.梯形公式2.变步长梯形公式3.加速公式

（1）二分前的步长（2）二分前的区间中值

二分点7.3Romberg算法解：

因此

例7.3.1：计算

对照值

7.3Romberg算法

7.3Romberg算法例7.3.2：用Romberg算法计算

0***1**2*3

7.4Gauss公式7.4Gauss公式

定义：如果适当选取求积公式

Gauss点

7.4Gauss公式Gauss点

定义

Gauss定理：对于插值型求积公式

即

7.4Gauss公式Gauss-Legendre公式回顾：Legendre多项式

n=3时

n=2时n=1时

见P587.4Gauss公式Legendre多项式的两个重要结论

（1）

（2）

且

则Gauss-Legendre公式7.4Gauss公式Gauss-Legendre公式

例如取

利用两个Gauss点构造求积公式：代入求积公式

又因为有3次代数精度（n=1)所以

即7.4Gauss公式两点Gauss-Legendre求积公式因此

类似可得三点Gauss-Legendre求积公式

7.4Gauss公式解：（1）

7.4Gauss公式

7.4Gauss公式得Gauss点

根据代数精度得

即

7.4Gauss公式7.4Gauss公式梯形和Simpson求积公式低精度的方法,但对于光滑性较差的被积函教有时效果比用高精度的方法还好,再加上公式简单,因而使用非常广泛.特别在计算上,复化的梯形公式和Simpson公式便于采用逐次分半的方法,计算程序十分简单Romberg求积方法算法简单,程序也便于实现,且当节点加密时,前面的计算结果直接参与后面的计算,因而大大减少了计算量.此方法的一个最大缺点是节点的增加是成倍的。Gauss型求枳公式最高代数精度的求积方法,但它的节点和求积系数都没有规律,当节点增加时,前面的计算结果不能被利用,只能重新计算。它的最大优点是适用于某些无穷区间上的广义积分的计算。7.5数值微分7.5数值微分

关于微分的计算通过微分法则基本可以得到任意可微初等函数的导函数,但对于列表函数，求导数通常使用数值微分。

微分的数值运算大多应用于微分方程的离散化。

即将微分方程转化为离散点上的代数方程.7.5数值微分插值函数数值微分法

思想方法：以插值多项式近似代替函数，以插值多项式在节点上的导数值近似代替函数在节点上的导数值。推导公式：用此方法求微商，可以先求出插值多项式，然后各点上的微商就可以同时求出。

7.5数值微分

常用的数值微分公式

一阶微商的两点公式一阶微商的三点公式

7.5数值微分一阶微商的五点公式三点公式与五点公式中有中点项。由于中点的导数值的表达式中不含有中点的函数值项，且函数值项的系数不大，因此选取节点的方法：在考察的节点两侧选取。中点微分公式精度较高。实际应用中,多利用中点微分公式。用五点公式求数值导数,其精确度高于三点公式(同阶导数)。7.5数值微分数值微分在常微分方程离散化的应用例

记

7.5数值微分整理得

即有其中事实上，本方程的解析解为

7.5数值微分解析解近似解h=(b-a)/10近似解h=(b-a)/20误差h=(b-a)/10误差h=(b-a)/20u11.45521.49741.47690.04220.0217u21.90331.98251.94410.07920.0408u32.33842.44762.39460.10920.0562u42.75552.88612.82270.13060.0672u53.1510