浙江省金华市十校2024届高三数学上学期一模期中试题（含解析）

考试时间：120分钟；总分：150分;

一、单选题

1.设集合A4.*2<。｝,B=｛x|log2x<3｝；则AB=(

A.(—1,2)B.(0,2)C.(-1,8)D.(0,8)

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求两个集合，再求交集

【详解】X2-X-2<0«(J2)<0,解得：—1<x<2,

A=^x\-l<x<2^,

B={x|0vxv8},

log2%<3=^>0<x<8,J

AnB=1xO<x<21.

故选：B

2.复数z满足(l+i)z=2'-i\,则彳=

A.l+iB.1-zC.—1—iD.—1+i

【答案】A

【解析】

【详解】

(l+z)z=73-z=2,.-.z=-——=1—z,z=1+z,故选A.

l+i

3.如图，正方形ABC。中，〃是BC的中点，AC=AAM+]uBD,则彳一〃=()

R

AB

,415

A.—B.1C.—D.2

38

【答案】B

【解析】

1

【分析】建立直角坐标系，用坐标分别表示出AC,BD，AM由已知AC=XAM+〃3£>,求解出X和〃,

再计算X-〃即可.

【详解】由题意，以A3为无轴，以A。为y轴建立直角坐标系，如图所示,

设正方形4BCD边长为2,

则A(0,0),5(2,0),C(2,2),0(0,2),M(2,l),

所以AC=(2,2),诟=(-2,2),AM=(2,1)，

AAM+juBD="2,1)+〃(-2,2)=(22-2〃,2+2〃),

又AC=AAM+/JBD,

2=-

22,—2u=23

所以《°CC，解得

2+2/z=21

〃二一

3

所以2—〃=1.

【点睛】本题主要考查平面向量线性运算的坐标表示，恰当的建立直角坐标系将向量形式转化为坐标形式,

属于基础题.

4.已知y(x)=<(：—满足对任意西/々，都有了(石)一/(马)〉0成立,那么。的取值范

Cl,X21X?

围是()

A.(1,2)B.fl,-|c,■|,2)D.(1,+co)

【答案】C

【解析】

2

【分析】根据八"'2'>。分析出函数单调递增,列不等式组即可得解.

玉一％2

【详解】依题意，对任意尤1。々，不妨取％<%2，；；>。所以/(/)</(%2)，

所以f(x)是在R上的增函数,

2-a>0

,3

于是有《a>l,解得一<a<2.

2

2—。+1Wa

故选：C.

22

5.己知耳，B分别为椭圆C:=+二=l(a〉6〉0)的左右焦点，户为C上一动点，/为C的左顶点，若

aa

3PR=2PA+PB,则C的离心率为()

R色1

AD.----------C.一D

-I33f

【答案】A

【解析】

\EF?\/、

【分析】由3尸耳=224+尸耳可得命;=2,即2c=2(a—c),化简即可求出答案.

【详解】解：：3PR=2PA+PF2

：.PFX=^PA+^PF2,即:（期_PB）=g（PA_P£）片=2耳A^^=2,

C_1

2c=2（a—c）2c=a,e

a2

故选：A.

6.从圆必-2》+丁2-2丁+1=0外一点尸(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()

3「>/3

AB.-u.----D.6

-I52

【答案】B

【解析】

【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解.

3

【详解】由好一2%+/一2y+l=0得（％—1丫+（丁—1）2=1,所以圆心为半径为r=1,设切点

分别为瓦C,连接24,则NBPC为两切线的夹角，

由于|PA|=J(3-+(2-=逐，所以sin?APB"5

3

由二倍角公式可得cos?CPB1-2sin2?APB1-2一,

5

7.已知数列｛4｝满足#0,则6+%=。2+%是｛q,｝为等差数列的（）

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】举反例结合等差数列的定义可判断充分性不成立，根据等差数列的通项关系可确定必要性成立,

即可得结论.

【详解】解：例如q=1，4=-1，。2=3,%=-3,满足%+。4=%+%，但是。2=2W%=-6,

不符合等差数列的定义，故推不出｛4｝为等差数列;

若｛4,｝为等差数列，设公差为d，所以

q+%=%+%+3d—2%+3d,a?+。3=%+d+Q+2d—2%+3d,

则%+%=%+%.

所以％+%=%+%是｛。"｝为等差数列的必要条件但不是充分条件.

故选：B.

4

…sE"呼

71071

8.已知戊，夕e（0,兀），tanClf+-则cos(2a—4)=()

6

T

R小「5A/3

D.--------------u.-------D

39-f

【答案】D

【解析】

JT]7TT

【分析】根据待求式的结构，21一，=2e+/?+——彳求解即可.

o)2

A兀兀

【详解】解：因为cos（2a—,）=cos2a+6+"万=sin2a+

2

TTJTTT7T

=sin2(a+—)cos(P+—)-cos2(a+—)sin(/+—).

3636

2sin(a+1)cos(cr+j)2tanIcif+—

272

siniftz+j2sin(cr+y)cos(cr+y)

.2/兀、2/兀、?I兀)i3

sin(a+j)+cos(。+1)tanI6Z+jI+1

3

cos2(zex,+-兀)、-si.n2(Zct+—兀、)1-tan21a+5

2z兀、.2/兀、

cos2a+—-cos(。+1)-sin(。+1)=

I32兀、.2z兀、2(兀)i3

cos(Za+y)+sin(。+耳)tanI6/+jI+1

3

(4尸+71口逅,

G呜,

I63

所以sin[/?+t71)=¥，

6

故cos(2cr一分)=当

故选：D.

二、多选题

9.已知样本数据X],巧，L,x”和样本数据%,%，L,%满足y=依,-+6（，=1,2,…,八,0＜。＜1）,

则()

A.%，%，L，%的平均数小于巧，L，X”的平均数

B.%，%，L，%的中位数小于A，巧，L，X”的中位数

5

C.%,%，L,y„的标准差不大于X],巧，L,xn的标准差

D.%,%，L,%的极差不大于事，巧，L，X”的极差

【答案】CD

【解析】

【分析】根据数据的平均数、中位数，以及标准差和极差的定义和计算方法，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，数据石,々，-，斗，的平均数为数据%,%,-,%的平均数为亍，

因为y=0Xj+6,可得y=ax+/?,所以y不一定小于所以A不正确；

设数据再，无2,…，F的中位数为4，数据%，为，…，。的中位数为几，

因为％=axi+b(O＜a＜Y),可得=axm+b,

则以不一定小于学,，所以B不正确；

设数据看,％2,的方差为s；,数据%,％,一，%的平均数为s；,

因可得5；=/5；,又因为所以s；＜s；,

可得忘＜&，所以C正确；

数据石,々，，土的极差为Xmax一/in，数据%，%，・，%的平均数为，max一＞min，

因为％=。七+6(0＜。＜1)，可得乂皿一Nmin=a(%max—/JV/ax一//所以D正确•

故选：CD.

10.从4G至U5G通信，网络速度提升了40倍.其中，香农公式。=刖。82。+:]是被广泛公认的通信理

论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率。取决于信道带宽W、信道内信号

的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中一叫做信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是

N

()(参考数据：lg5«0.6990)

V

A.若不改变信噪比一，而将信道带宽W增加一倍，则。增加一倍

N

B.若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S,而将高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加

一倍

V

C.若不改变带宽W,而将信噪比一从255提升至1023,C增加了25%

N

6

D.若不改变带宽W,而将信噪比一从999提升至4999,。大约增加了23.3%

N

【答案】ACD

【解析】

(\

+2W1S21+

【分析】计算2刖。821+(］=2。可判断八；计算刖。821+今=Wlog2*°1；

Wog2(1+1023)Wog2(1+4999)

判断B；计算-1的值可判断C；计算—1可判断D.

VWog2(1+255)VWog2(1+999)

q

【详解】对于A，若不改变信噪比一，而将信道带宽W增加一倍,

N

IP2WogJl+^i=2C,则。增加一倍，所以A正确;

对于B，若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S,

而将高斯噪声功率N降低为原来的一半，

/\

即VWog21+-^-=VWog2^1+VWog21+蚤+［三］=2VWog2^l+-^；^,所以B错误;

q

对于C,若不改变带宽W,而将信噪比一从255提升至1023,

N

10

Wlog2(1+1023)log22101

HIH---------------------------------------------------------------------------------------------------------——

8

'Wlog2(1+255)log2284

所以C增加了25%,所以C正确；

s

对于D,若不改变带宽W，而将信噪比一从999提升至4999,

N

Wog2(1+4999)_log25000_lg5000lg5+lgl0001_lg5

Wlog2(1+999)log21000IglOOO33

所以D正确.

故选：ACD.

11.已知函数/(x),g(x)的定义域为R,g'(x)为g(x)的导函数，且/(x)+g'(x)=2,f(x)-g'(4-x)=2,

若g(x)为偶函数，则下列结论一定成立的是()

A./(4)=2B.g'⑵=0

C./(-1)-/(-3)D./(1)+/(3)=4

7

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据复合函数的导数法则，结合偶函数的性质、函数的对称性逐一判断即可.

【详解】对A：：g(x)为偶函数，贝！jg(x)=g(—x),

两边求导可得g'(x)=—g'(一%),

.•.g'(x)为奇函数，则g'(O)=O,

令％=4,则可得/«)—g'(O)=2,贝iJ/(4)=2,A成立；

除⑵+g<2)=2f/(2)=2

对B：令-2,则可得［/⑵一加,则［g,⑵=。’B成立；

•••f(x)+g'(x)=2,则可得/(2+x)+g'(2+x)=2,

f(x)-g<4-x)=2,则可得/(2—x)—g'(2+x)=2,

两式相加可得：/(2+%)+/(2-x)=4,

/(x)关于点(2,2)成中心对称，

则/⑴+/■⑶=4,D成立，

又•:/(x)+g'(x)=2,则可得/(x—4)+g'(x—4)=/(x-4)-g,(4-x)=2,

/(x)-g,(4-x)=2,则可得/(x)=/(x-4),

••./(无)以4为周期的周期函数，

根据以上性质只能推出了(—1)+/(-3)=4,不能推出/(-!)=/(—3),C不一定成立，

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知等式进行求导、利用偶函数的性质.

12.已知球的半径为1(单位：m),该球能够整体放入下列几何体容器(容器壁厚度忽略不计)的是()

A.棱长为2.1m的正方体

B.底面边长为2.1m的正方形，高为1.1m的长方体

C.底面边长为4君111，高为26m的正三棱锥

D.底面边长为4君111，高为log212m的正三棱锥

【答案】ACD

8

【解析】

【分析】若球的半径为1,该球能够整体放入下列几何体容器，则几何体的内切球半径大于1,

对于A,正方体的内切球直径为正方体的棱长即为2,可判断A正确；

对于B,长方体的最短棱长为L1,即为球够整体放入的最大直径，可判断B错误；

对于C,先求得正三棱锥的内切球半径，即可判断；

对于D,根据选项C比选项D的正三棱锥高小，可判断D的内切球半径大于C,即可判断.

球的半径为1m,则直径为2m,

对于A,棱长为2.1m的正方体内切球直径为2.1>2,A正确;

对于B,长方体高为高小于球直径，B错误；

对于C,如图所示，设正三棱锥为P—ABC,

设。为三棱锥的内切球的球心，。为正三角形A8C的中心，

所以为正三棱锥高，PD=26，

设E是A3的中点，正三棱锥的底面边长为4如，

所以CE=昱BC=昱义46=6，DE=LCE=2,

223

因为尸£＞为正三棱锥的高，所以PE=y/PD2+DE2=,(2百『+正=4，

由正棱锥的性质可知:…,

SNABC=半？(4厨12A/3，入c=312百义2百=24,

内切球半径为人

^P-ABC=^O-ABC+V0-PBC+^O-PBA+^O-PAC=f+3X§X80jF=24,

2,

得厂=W〉1,c正确;

9

对于D,和C的正三棱锥相比，底面边长相同，只需比较高的大小,

即比较log212和26的大小，由于log212=2+log23>2+log22、/5=2+m=g>2j^,故选项D正确

故选：ACD

三、填空题

13.甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知3人都在2至6层的某一层出电梯，且在每一层最多只有

两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙3人出电梯的不同方法总数

是.

【答案】120

【解析】

【分析】分①3人都在2至6层的某一层1人独自出电梯；②3人中有2人在同一层出电梯，另1人在另外

一层出电梯，两种情况讨论即可求解.

【详解】由题意，

①3人都在2至6层的某一层1人独自出电梯，共有A：=60种；

②3人中有2人在同一层出电梯，另1人在另外一层出电梯，共有C；A；=60种；

故甲、乙、丙3人出电梯的不同方法总数是60+60=120种.

故答案为：120

14.已知圆锥的底面半径为2,侧面展开图是一个圆心角为120。的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的

下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为1,则圆台的体积为.

【答案】也回兀

3

【解析】

【分析】由已知求出圆锥的高，进而求出截去的小圆锥的高，利用大圆锥体积减去小圆锥体积求圆台体积

即可.

【详解】设圆锥母线长为/,则/-？-=4兀=/=6,故圆锥的高为力=/工=40，

由圆台的上底面半径为1,故截去的小圆锥的高为“=2四,

2

11h14J2

所以圆台体积为匕64兀一匕&兀=二/=二丝兀.

33263

故答案为:此3

10

15.已知函数/(x)=Gcosftu-sin°x(o>0)在区间［0,可上恰有三个极值点和三个零点，则。的取值

范围是.

【答案】

【解析】

【分析】先利用三角恒等变换将/(X)化简，再结合y=sin*的图像和性质得解.

(173)

【详解】f(-^)=cosa)x-sincox=2——sina)xH---cosox

(22

=2sina)x-cos—7r+coscox-sin—7：=2sin(yx+一兀

I33JI3

OWXWTI,

27i2兀27i

/.----〈COXH----W兀H----,

333

、2兀2兀，，2兀

设t—COXH---，——<t<am+——

333

-y=2sin%有三个极值点和三个零点，由y=sinx的性质可得,

兀

72兀4

-----<6971+—<4兀

2363

1710

故答案为:T，T

16.双曲线二—2=10〉。〉0)的左、右焦点分别为片、F2,过F1的直线/交双曲线于46两点，A,

ab

6分别位于第一、二象限，△ABg为等边三角形，则双曲线的离心率e为.

【答案】"

【解析】

【分析】利用等边三角形的性质,然后结合双曲线的定义求解;

11

由双曲线的定义可得|然|—|A闻=2a,忸闾一忸耳|=2。

所以取AB的中点D，连接。工，

又因为△43工为等边三角形，

则|明|—|初|=2。=忸耳忸月|=4a

在直角三角形心中，0■+RR「=忸囚2,

即（4a『+（2Ga『=（2C）2,

解得：7a2=02,即0=近，

故答案为：近.

四、解答题

17.已知a,6,c分别为说角三个内角A,8,C的对边，满足sin?A—sin2B—sin2C+sinBsinC=0.

（1）求/；

（2）若为2,求_A3C面积的取值范围.

【答案】（1）A=《；（2）吟,2布）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理的边角互化可得/=廿+°2一〃°,再利用余弦定理即可求解.

（2）利用正弦定理可得c=三里一，再利用三角形的面积公式可得SMC=—义2义』一sinA,根据三

sin32sin3

角形的内角和性质以及两角差的正弦公式可将式子化为迫+3x」一，结合8的取值范围即可求解.

22tanB

【详解】解：（1）由己知及正弦定理得，«2=b2+c2-bc,

序+「2_〃21

由余弦定理可得cosA=-—-——=-.

2bc2

又0VAV7T,

,n

/.A——.

3

（2）由已知及正弦定理得，。=2吧£,

smB

12

由3+。=女，得S--x2x2smCsinA

3ABC2sinB

_Ain(g—3]

-------------------------------------------1—X-----------.

sin522tanB

jr2.7E7TTCTC

.ABC是锐角三角形，得0<3<—,0<——B<—,得一<B<一.

23262

3

0<---<

tanB

——<SABC<2^/3.

2/IDC

所以面积的取值范围是,25

【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式、两角差的正弦公式,

属于中档题.

18.如图，在四棱锥尸—A3CD中，底面A3CD为矩形，上4,底面ABCD,PA=48=工3。=1,石为线

2

段总的中点，R为线段3c上的动点.

（1）求证：平面AEF，平面P3C；

（2）试求砂1的长，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为45.

【答案】（1）证明见解析

⑵2一半

【解析】

【分析】（1）可先证平面P3C,从而得到平面AEFL平面03C；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设厂（LZ0）（0<X<2）,求出平面的法向量和平面PCD的

法向量后结合题设中的面面角可求4,从而可得BF的长.

13

【小问1详解】

Q4,平面ABCD，3Cu平面ABC。，

:.PA±BC,

ABCZ）为矩形，.：AB15C,

又PAiAB=A,上4,718<=平面/^16,

.•.3C，平面B43，

A^u平面上43,

.-.AE1BC,

PA=AB，E为线段PB的中点，

:.AE±PB，

又PBcBC=B,P3,3Cu平面P3C,

.•.AEL平面P3C,又AEu平面AEF，

所以平面AEF±平面PBC.

【小问2详解】

以/为坐标原点，AB,AD,AP分别为了轴，,轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

则A(0,0,0),3(1,0,0),C(l,2,0),0(0,2,0),P(0,0,l),ER,0,|j,

AE=PC=(1,2,-1),PD=(O,2,-l),

设尸(l,4O)(O<X<2),.•.AF=(l,%0),

设平面AEF的一个法向量为“=（玉,％,4）,

n-AE=0玉+4=0

则

n-AF=0%+2%=0，

14

x——A

令M=1,贝叫}「，

[Z]=4

n=(—2,1,2),

设平面PCD的一个法向量为加=（尤2，%，Z2），

mPC=0[x2+2y2-z2=0

二

m-PD=0I2y2-z20

Y—f)

令%=1，贝M2c，

匕=2

/.m=(0,l,2),

平面A跖与平面尸CO所成的锐二面角为45，

.2卜哈金3=与,解得人2士叵，

11HH/x，21+l22

0<2<2

.】、

..4=20-------，即BnBnrr—2--------，

22

，当5P=2-叵时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为45.

2

19.某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸

球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为:；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次

抽中的概率为若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为;.记该顾客第〃次摸球抽中奖品的概率为4.

（1）求鸟的值，并探究数列｛与｝的通项公式；

（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程.

【答案】⑴立P=3-

42"77161

（2）第二次，证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据全概率公式即可求解乙，利用抽奖规则，结合全概率公式即可由等比数列的定义求解，

15

311n-l

(2)根据_I,即可对兀分奇偶性求解

6

【小问1详解】

记该顾客第，(ieN*)次摸球抽中奖品为事件4依题意，/]=|,

^=P(A)=P(A)P(AI4)+^(A)^(AIA)=|X|+[I-|V|=^.

/«,/k//乙r1乙

1/_____、1

因为尸=尸(AJ4_J=5,匕=/(4),

所以P(4)=P(4T)P(A“I4T)+P(M)P(A“|二),

所以月=；ET+：(1—£T)=—；月T+；，

32o2

所以匕7t

231

又因为《=—,则片——二——。0,

777

所以数列]匕-是首项为-，，公比为-，的等比数列，

776

3

故匕

7

【小问2详解】

31319

证明：当〃为奇数时，P=--------<-<—,

n“776T742

31

当〃为偶数时，P„=-+—^T>则与随着〃的增大而减小,

77-6

19

所以，P<P=—.

n742

综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.

20.如图，已知点尸&5)。>0),抛物线V=2py的焦点是/(0,1)，46是抛物线上两点，四边形E4PB

是矩形.

16

(1)求抛物线的方程；

(2)求矩形E4QB的面积.

【答案】(1)­=4〉

(2)8

【解析】

【分析】(1)根据抛物线必=2刀的焦点是尸(0,1),由勺1求解；

(2)设A(2：片)，5(2占璜，根据四边形E4PB是矩形，可得^=苫'广，力；%=力；力

且E4-EB=0,进而得到“2=1，然后结合抛物线的定义，S-|E4|-|EB|求解.

【小问1详解】

因为抛物线V=2py的焦点是歹(0,1),

所以3=1,

2

解得p=2,

所以抛物线的方程为/=4＞；

【小问2详解】

设4(21片),3(2%£),

因为四边形川阳是矩形，

所以±±歪=上生&±也="±",且出.郎=0，

2222

即24+2%J,i±l=9=3,且2//2巧+(片一1)(片一1)=0.

2222

tf1

所以4+4=彳，稼=——3，且「—16/一512=0.

28

所以(产一32)(产+16)=0.

解得t2=32，环2=1,

由抛物线的定义得:陷"+1,|FB|=」+1,

所以矩形E4pB的面积为：

S=|^4|-|FB|=Gf+l)af+l),

17

—%：/；+/：+/；+1=1+6+1=8.

所以矩形E4PB的面积为8.

1—a

21.已知函数/(x)=lnx-办H------l(〃eR).

(1)当时，求函数/(无)的单调区间；

(2)当%目0,内)时，恒有/(x+l)+@匚+a+l<0成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)/(X)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(L+8)

(2)ae[1,+oo)

【解析】

[分析]⑴求导得到了'("二._"二^=_(rl)Lx〉0)，根据aNl，由制x)>0,

/'(x)<0求解；

(2)将尤e[0,H<o)时，恒有J(x+l)+--^+a+l<0成立，转化为ln(x+l)-对任意xe[0,y)

恒成立，令/z(x)=In(x+1)—依，利用导数法求解.

【小问1详解】

做Q(、11-。(x-l)[ax+(<7-l)]

解：f(x)=一一a——厂=-------―---------(%>0)-

XX"X

当。之1时，ax+a-l>0,

由第x)>0,得0—由尸(司<0,得%>1,

故a»l时，/(尤)的单调递增区间是(0』)，单调递减区间是(L”)；

【小问2详解】

因为当XG[0,”)时，恒有/'(x+l)+=+a+l<0成立,

即ln(x+l