学案：第1章1周期变化

高中数学精选资源PAGE2/2§1周期变化学习目标核心素养1.了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期．(难点)2．初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性．(难点、重点)1.通过周期函数的概念的学习，逐步培养数学抽象素养．2．借助周期函数的判定，培养逻辑推理素养.1．周期函数的概念一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．思考：1.为什么规定T非零？提示：T若为零，则任意函数都是周期函数．2．常函数f(x)＝c，x∈R是周期函数吗？若是，其周期是什么？提示：是周期函数，其周期是任意非零实数．1．下列变化中，不是周期现象的是()A．“春去春又回”B．钟表的分针的运行C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某同学每天上学的时间D[由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期变化．故选D．]2．探索如图所呈现的规律，判断2019至2020箭头的方向是()ABCDC[观察题图可知0到4为一个周期，则从2019到2020对应着3到4.]3．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．10[4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．]4．已知函数feq(\a\vs4\al\co1(x))是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R都有feq(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝feq(\a\vs4\al\co1(x))＋feq(\a\vs4\al\co1(2))，f(1)＝4，求feq(\a\vs4\al\co1(3))＋feq(\a\vs4\al\co1(10))的值．[解]由题意可知feq(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝feq(\a\vs4\al\co1(x))＋feq(\a\vs4\al\co1(2))，令x＝－2，可求得feq(\a\vs4\al\co1(－2))＝0，又函数feq(\a\vs4\al\co1(x))是定义在R上的偶函数，所以feq(\a\vs4\al\co1(2))＝0，即feq(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝feq(\a\vs4\al\co1(x))，所以feq(\a\vs4\al\co1(x))是以4为周期的周期函数，又feq(\a\vs4\al\co1(1))＝4，所以feq(\a\vs4\al\co1(3))＋feq(\a\vs4\al\co1(10))＝feq(\a\vs4\al\co1(－1))＋feq(\a\vs4\al\co1(2))＝feq(\a\vs4\al\co1(1))＋0＝4.周期现象【例1】水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？[思路点拨]由于水车每隔5分钟转一圈，所以要计算1小时内最多盛水多少升，关键是确定1小时内水车转多少圈．[解]因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1920(升)．1．周期现象的判断首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．2．收集数据、画散点图，分析数据特点，能直观的发现函数的周期性．eq\o([跟进训练])1．利用本例中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？[解]设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝eq\f(x,5)×160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．周期函数[探究问题]1．若存在非零常数a，使函数feq(\a\vs4\al\co1(x))在定义域上满足：feq(\a\vs4\al\co1(x＋a))＝－feq(\a\vs4\al\co1(x))，则feq(\a\vs4\al\co1(x))是周期函数吗？若是，其周期是什么？提示：由已知得，feq(\a\vs4\al\co1(x＋2a))＝－feq(\a\vs4\al\co1(x＋a))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－f(\a\vs4\al\co1(x))))＝feq(\a\vs4\al\co1(x))，根据周期函数的定义，feq(\a\vs4\al\co1(x))是以2a为一个周期的周期函数．2．若存在非零常数a，使函数feq(\a\vs4\al\co1(x))在定义域上满足：feq(\a\vs4\al\co1(x＋a))＝eq\f(1,f(\a\vs4\al\co1(x)))，则feq(\a\vs4\al\co1(x))是周期函数吗？若是，其周期是什么？提示：由已知得，feq(\a\vs4\al\co1(x＋2a))＝eq\f(1,f(\a\vs4\al\co1(x＋a)))＝eq\f(1,\f(1,f(\a\vs4\al\co1(x))))＝feq(\a\vs4\al\co1(x))，根据周期函数的定义，feq(\a\vs4\al\co1(x))是以2a为一个周期的周期函数．【例2】已知函数feq(\a\vs4\al\co1(x))满足feq(\a\vs4\al\co1(x))feq(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝13，求证：feq(\a\vs4\al\co1(x))是周期函数．[证明]由已知得feq(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝eq\f(13,f(\a\vs4\al\co1(x)))，所以feq(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝eq\f(13,f(\a\vs4\al\co1(x＋2)))＝eq\f(13,\f(13,f(\a\vs4\al\co1(x))))＝feq(\a\vs4\al\co1(x)).所以feq(\a\vs4\al\co1(x))是周期函数，4是它的一个周期．判定一个函数是周期函数需分两步1先猜想出其周期；2用周期函数的定义证之.eq\o([跟进训练])2．已知函数feq(\a\vs4\al\co1(x))满足feq(\a\vs4\al\co1(x＋1))＝eq\f(1＋f(\a\vs4\al\co1(x)),1－f(\a\vs4\al\co1(x)))，求证：feq(\a\vs4\al\co1(x))是周期函数．[证明]由已知得，feq(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝eq\f(1＋f(\a\vs4\al\co1(x＋1)),1－f(\a\vs4\al\co1(x＋1)))＝eq\f(1＋\f(1＋f(\a\vs4\al\co1(x)),1－f(\a\vs4\al\co1(x))),1－\f(1＋f(\a\vs4\al\co1(x)),1－f(\a\vs4\al\co1(x))))＝eq\f(2,－2f(\a\vs4\al\co1(x)))＝－eq\f(1,f(\a\vs4\al\co1(x))).所以feq(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝－eq\f(1,f(\a\vs4\al\co1(x＋2)))＝－eq\f(1,－\f(1,f(\a\vs4\al\co1(x))))＝feq(\a\vs4\al\co1(x)).所以feq(\a\vs4\al\co1(x))是周期函数，4是它的一个周期．周期函数的应用【例3】设feq(\a\vs4\al\co1(x))是(－∞，＋∞)上的奇函数，feq(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝－feq(\a\vs4\al\co1(x))，当0≤x≤1时，feq(\a\vs4\al\co1(x))＝x.(1)求feq(\a\vs4\al\co1(π))的值；(2)当－4≤x≤4时，求feq(\a\vs4\al\co1(x))的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数feq(\a\vs4\al\co1(x))的单调递增(或减)区间．[思路点拨]第(1)问先求函数feq(\a\vs4\al\co1(x))的周期，再求feq(\a\vs4\al\co1(π))；第(2)问，推断函数y＝feq(\a\vs4\al\co1(x))的图象关于直线x＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，观察图象写出．[解](1)由feq(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝－feq(\a\vs4\al\co1(x))，得feq(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝－feq(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－f(\a\vs4\al\co1(x))))＝feq(\a\vs4\al\co1(x))，所以feq(\a\vs4\al\co1(x))是以4为周期的周期函数，∴feq(\a\vs4\al\co1(π))＝feq(\a\vs4\al\co1(－1×4＋π))＝feq(\a\vs4\al\co1(π－4))＝－feq(\a\vs4\al\co1(4－π))＝－eq(\a\vs4\al\co1(4－π))＝π－4.(2)由feq(\a\vs4\al\co1(x))是奇函数与feq(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝－feq(\a\vs4\al\co1(x))，得feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((\a\vs4\al\co1(x－1))＋2))＝－feq(\a\vs4\al\co1(x－1))＝feq(\a\vs4\al\co1(1－x))，即feq(\a\vs4\al\co1(1＋x))＝feq(\a\vs4\al\co1(1－x)).故知函数y＝feq(\a\vs4\al\co1(x))的图象关于直线x＝1对称．又0≤x≤1时，feq(\a\vs4\al\co1(x))＝x，且feq(\a\vs4\al\co1(x))的图象关于原点成中心对称，则feq(\a\vs4\al\co1(x))的图象如图所示．当－4≤x≤4时，feq(\a\vs4\al\co1(x))的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))＝4.(3)函数feq(\a\vs4\al\co1(x))的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．1．已知feq(\a\vs4\al\co1(x))是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，feq(\a\vs4\al\co1(x))＝x3－x，则函数y＝feq(\a\vs4\al\co1(x))的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A．6 B．7C．8 D．9B[当0≤x＜2时，令feq(\a\vs4\al\co1(x))＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，又feq(\a\vs4\al\co1(x))的最小正周期为2，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，∴y＝feq(\a\vs4\al\co1(x))的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.]2．已知feq(\a\vs4\al\co1(x))是定义在R上的奇函数，且满足feq(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝feq(\a\vs4\al\co1(x))，则f(2)＝()A．0 B．1C．2 D．3A[由题意，feq(\a\vs4\al\co1(x))为周期函数且周期为4，∴f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，又f(－2)＝－f(2)，则f(2)＝－f(2)，所以f(2)＝0.]研究周期函数时，通常先研究其在一个周期上的性质，然后把它拓展到定义域上，这样可简化对函数的研究.1．应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的．2．只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何周期函数都有最小正周期． ()(2)若T是奇函数feq(\a\vs4\al\co1(x))的一个周期，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))＝0． ()(3)若T是函数feq(\a\vs4\al\co1(x))的一个周期，则nTeq(\a\vs4\al\co1(n∈N*))也是函数feq(\a\vs4\al\co1(x))的一个周期． ()[答案](1)×(2)√(3)√2.设feq(\a\vs4\al\co1(x))是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则feq(\a\vs4\al\co1(16))＝()A．1 B．0C．－1 D．2A[由于feq(\a\vs4\al\co1(x))是定义在R上的周期为3的周期函数，所以feq(\a\vs4\al\co1(16))＝feq(\a\vs4\al\co1(5×3＋1))＝feq(\a\vs4\al\co1(1))，而由图象可知f(1)＝1，所以feq(\a\vs4\al\co1(16))＝1.]3．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3s，又经过0.2s，第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间可能是________s.1.4[质点从O点向左运动，O→M用了0.3s，M→A→M用了0.2s，由于M→O与O→M用时相同，因此质点运动半周期eq\f(T,2)＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M时用时应为M→O→B→O→M，所用时间为0.