考研学习笔记 《信号与线性系统》（第5版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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反褶，时延；(3)尺度变换，时延，反褶。重绘的波形，并与例题1-2的结果相答：波形如图1-8(1)～(3)所示。图1-81.8试判断下列方程所描述的系统是否为线性系统，是否为时变系统。将代入方程左边，可得：将将代入方程右边，可得：可知方程左右两边不相等，所以该系统是非线性的。又因为该系统方程为常系数微分方程，所以该系统是时不变的。(2)同理，将代入方程左边，可得：将代入方程右边，可得：可知方程左右两边相等，所以该系统是线性系统。又因为该系统方程不是常系数微分方程，所以该系统是时变的。(3)将代入方程右边，可得：将kri(t)+k₂Y₂t)代入方程左边，可得：可知方程左右两边不相等，所以该系统是非线性系统。又当激励为==时，系统响应为,该系统是时不变系统。将kie(t)+ke₂(t)代入方程右边，可得：0可知方程左右两边不相等，所以该系统是非线性系统。又因为该系统方程不是常系数微分方程，所以该系统是时变的。1.9证明线性时不变系统有如下特性：即若系统在激励一三作用下响应为一三，则当激励为又由叠加性和均匀性~又由叠加性和均匀性~取的极限，可得：1.10一线性时不变系统具有非零的初始状态，已知当激励为e(t)时，系统全响应为;当初始状态不变，激励为一=时，系统全响应为L。求在同样初始状态条件下，当激励为一时系统的全响应。答：设零输入响应为一厂，零状态响应为自，则全响应-当激励为时，响应为：①①当激励为一E时，响应为：②②联立式①②可得：所以当激励为一：二时，响应为：1.11一具有两个初始条件三、国的线性时不变系统，其激励为elt),输出响应为r(t),(1)当一|时，求时的零状态响应。系统零状态响应为Iz₂(t);答系统零状态响应为Iz₂(t);时的响应为时的响应为该系统在无激励，初始条件时的响应为时的响应为该系统在无激励，初始条件根据题意：所以当时，系统的零状态响应为1.3名校考研真题详解1.两个线性时不变系统相级联的先后顺序不影响总的输入输出关系。()[中山大学2010研]【解析】线性时不变系统级联，总的系统函数相当于各个系统函数相卷积，根据卷积的性质，卷积的次序是可以交换的。2.两个周期信号之和一定为周期信号。[北京邮电大学2012研]【答案】×查看答案【解析】两个周期信号之和不一定是周期信号，例如,周期为无理数，所以不是周期周期3.若h(t)是一个线性时不变系统的单位冲激响应，并且h(t)是周期的且非零，则系统是不稳定的。[北京邮电大学2012研]【答案】×查看答案【解析】系统也可以是稳定的。稳定系统即有界输入，有界输出。图1-9例如(t)=cost,,当输入信号为,输出为,可见有界输入有界1.方程描述的系统是()。[北京航空航天大学20072.计算l=()。[电子科技大学2012研]2.信号x(t)如图1-10所示，画出信号的图形。[北京邮电大学2012图1-10图1-11(a)图1-11(b)图1-11(c)图1-11(d)第2章连续时间系统的时域分析2.1复习笔记建立并求解线性微分方程1.时域分析法：在时间域内进行分析，即在分析过程中所涉及的函数的变量都是时间t。经典解法：微分方程的解=齐次方程的通解+特解齐次方程为通解为：自然响应(自由响应)非齐次方程特解的形式由激励函数决定——受迫响应即系统的全响应=自由响应+受迫响应此法适合于激励函数为直流，正弦或指数等简单形式的情况，复杂函数激励时，可用叠加积分法或变换域方法。全响应=零输入响应+零状态响应2.变换域分析法：为了便于求解微分方程而将时间变量变换成其它变量如频率(频域)等。二、系统方程的算子表示法1.微分算子及其运算规则引进算子「令于是有则微分方程：可写成引进p后，微分方程→代数方程，一般情况下，代数方程的运算规则也适用于算子方程，2.转移算子n阶线性微分方程为：即即令求零输入响应时，此时方程为齐次方程：求解系统的零输入响应，就是解式==所示齐次方程代数方程一2==0称为系统的特征方程。1.当根均为单根时，则齐次方程解的一般形式应为：代入初始值，可得到齐次方程的解。2.若当特征方程中有一k阶的重根时，微分方程的解应为：四、奇异函数1.阶跃函数(1)单位阶跃信号(2)延迟的阶跃信号图2-1单位阶跃信号与延迟的阶跃信号2.单位冲激函数图2-2单位冲激函数3.冲激函数的性质(1)抽样性质(2)单位冲激函数的积分是单位阶跃函数(3)单位冲激函数与单位阶跃函数的关系：(4)奇异函数的若干次积分和若干次微分也都是奇异函数图2-3单位冲激响应以符号h(t)表示，单位阶跃响应以一F1.卷积的定义2.卷积的性质(1)互换律、结合律和分配律(2)函数相卷积后的微分与积分(3)与冲激函数、阶跃函数的卷积(4)卷积的多阶导数或多重积分运算规律 设一,则有一。其中，i、j取正整数时为导数的阶(5)函数延时后的卷积(6)相关与卷积LTI系统：全响应=零输入响应+零状态响应，若特征方程无重根，且考虑到N(p)的幂次一般低于D(p),则有：2.2课后习题详解2.1写出图2-4中输入三和输出一及一之间关系的线性微分方程，并求转移算子。图2-4答：(1)利用节点法来分析电路，可得对于节点1:①对于节点2:将式③代入式④可得：用微分算子表示为：(2)同理，将式①代入式③可得：整理得：即2.2写出图2-5中输入=和输出一=之间关系的线性微分方程，并求转移算子H(p)。答：由图2-5可得：用微分算子表示为：图2-5利用克莱姆法则求一国，可知：所以转移算子为：其微分方程为：2.3分别求图2-6(a)、(b)、(c)所示网络的下列转移算子：图2-6对式①②两边同时乘以p(即求导),再利用克莱姆法则可得：三对一的转移算子为：uo对-三的转移算子为：(b)绘制图2-6(b)的算子电路图，如图2-7(b)所示。图2-7列出算子方程：整理上述方程组，利用克莱姆法则，可得：i₂对f(t)的转移算子为：uo对f(t)的转移算子为：图2-7(c)利用等效阻抗的概念，可得：i₂对的转移算子为：uo对f(t)的转移算子为：2.4已知系统的转移算子及未加激励时的初始条件分别为：求各系统的零输入响应并指出各自的自然频率。答：(1)由系统转移算子可知其特征方程为：特征根为：故系统零输入响应为：利用初始条件有：解得即系统零输入响应为：其自然频率即为特征根，为-1,-2。(2)由系统转移算子可知其特征方程为：代入初始条件，有：解得：即系统零输入响应为：其自然频率为(3)系统的特征方程为：特征根为：故系统零输入响应形式为：代入初始条件，有：解得：即系统零输入响应为：其自然频率为-1。2.5已知系统的微分方程与未加激励时的初始条件分别如下：答：(1)由系统微分方程可得转移算子为：其特征方程为：解得特征根：则系统零输入响应形式：代入初始条件得：故系统零输入响应为：系统的自然频率为0和-1。(2)由系统微分方程可得转移算子为：其特征方程为：解得特征根：则系统零输入响应形式：代入初始条件得：故系统零输入响应为：系统的自然频率为0,-1和-2。2.6已知电路如图2-8所示，电路未加激励的初始条件为：求上述两种情况下电流i(t)及-E的零输入响应。图2-8答：由图2-8可得：化为算子方程可得：根据上述方程组，可知系统的特征方程为：故的零输入响应的形式分别为：(1)对于一，代入初始条件,可得：故一的零输入响应为：对于一同，需要计算出它的初始条件。代入一的初始条件得：(2)已知初始条件7,则有：③故-三和一三的零输入响应为：2.8写出图2-9所示各波形信号的函数表达式。图2-92.9求题2-9所给各信号的导函数并绘其波形。波形如图2-10(a)～(f)所示。图2-102.10已知信号f(t)波形如图2-11所示，试绘出下列函数的波形：图2-11答：波形如图2-12(1)～(6)所示。由图2-11可知信号f(t)的表达式为：ft)(1)将波形按时间轴压缩一半得到|==,如图2-12(1)所示；(2)取波形当t>0的部分得到三例,如图2-12(2)所示；(3)形沿x轴右移两个单位，再取其t>0的部分得到1,如图2-12(3)(5)将f(t)的波形沿x轴左移两个单位得到f(2+t)波形，再对称于坐标轴y轴反褶得到f(2一t)波形，取其t<0的部分即得到波形，如图2-12(6)所示。图2-12=并绘其波形。图2-13上式化为算子方程可得：将式②代入式①,消去三可得：则转移算子为：(1)当激励i(t)=8(t)时其响应波形如图2-14所示。图2-14其响应波形如图2-15所示。图2-152.12图2-16所示电路，求激励e(t)分别为δ(t)及=(t)时的响应电流E及响应电压并绘其波形。图2-16答：由图2-16可得：则转移算子为特征根(1)当激励响应电流为：响应电压为：波形如图2-17所示。图2-17(2)当激励一=时波形如图2-18所示。图2-182.13求图2-19所示电路的冲激响应-三。图2-19其中分别为流经的电流，则有：用微分算子表示为：则系统转移算子为：故冲激响应为：(b)由图2-19(b)列回路电压方程，有：式①两端对t求导，并将式②代入整理得：代入式①可得冲激响应为：2.14图2-20所示电路中，元件参数为：响应为电流24)。求冲激响应一=及阶跃响应一：=。图2-20答：设图2-20中流经R₁的电流为i,方向向下，可得电路方程：故系统转移算子为：2.15图2-21电路中，元件参数为,响应为电压图2-21阶跃响应2.16求取下列微分方程所描述的系统的冲激响应。答：(1)由微分方程引入算子得：(2)由微分方程引入算子得：(3)由微分方程引入算子得：故系统转移算子为：(4)由微分方程引入算子得：故系统转移算子为：(5)由微分方程引入算子得：故系统转移算子为：2.17线性系统由图2-22的子系统组合而成。设子系统的冲激响应分别为。求组合系统的冲激响应。图2-22答：由图2-22可知组合系统在e(t)激励下的响应为故组合系统的冲激响应为2.18用图解法求图2-23(a)～(e)中各组信号的卷积,并绘出所得结果的波形。图2-23二F三与一三相乘再积分，得：的波形如图2-24(a)所示。可将t划分为五个时段分别考虑，其波形如图图2-24综上，可得卷积的波形如图2-24(g)所示。综上，可得卷积图2-25的波形如图2-25(g)所示。和一日的波形如图2-26(a)所示。可将t划分为其波形如图2-26图(b)～(f所示。图2-26综上，可得卷积的波形如图2-26(g)所示。可将t划分为四个时段分别考虑，其波形如图2-27(b)～(e)图2-27综上，可得卷积的波形如图2-27(+所示。则其卷积波形如图2-28所示。图2-28求图2-29所示信号的卷积。请注意积分限的确定。求图2-29所示信号的卷积。请注意积分限的确定。图2-29答：由图2-29可知一三和一F表达式为：2.20用卷积的微分积分性质求下列函数的卷积。答：(1)由卷积性质，可得：(2)由卷积性质，可得：(3)由卷积性质，可得：(4)由卷积性质，可得：2.21已知某线性系统单位阶跃响应为,试利用卷积的性质求下列波形(见图2-30)信号激励下的零状态响应。图2-30答：由单位阶跃响应与单位冲激响应的关系，可得零状态响应为：(a)由图2-30(a)可知e(t)表达式为：故其零状态响应为：(b)由图2-30(b)可知e(t)表达式为：故其零状态响应为：(c)由图2-30(c)可知e(t)表达式为：故其零状态响应为：(d)由图2-30(d)可知e(t)表达式为：设(c)题的激励为日，零状态响应为一日，则故其零状态响应为：(e)图2-30(e)可知e(t)表达式为：由卷积的基本性质，可得其零状态响应为：图2-31答：设i为流经R₁的电流，由图2-31可得：消去i(t),可得：2.23图2-32所示电路，其输入电压为单个倒锯齿波，求零状态响应电压uL(t)。图2-32答：设电感支路的电流为同，方向向下，由图2-32所示电路可得：可得系统的冲激响应为：由图可知输入电压为：故零状态响应为：2.24图2-33所示电路设定初始状态为零，(1)如电路参数时，测得响应电压~时，测得响应电压求激励电流i(t);,求电路元件图2-33答：由图2-33列电路方程可得：(1)将一代入上式，有： 根据方程①可得算子方程：对照两式，可得：2.25已知图2-34所示电路的初始状态为零，求下列两种情况下流过AB的电流'i(t)。图2-34u(t答：设上下两个电容上的电压分别为=和“2,极性均为上正下负。(1)当激励源为电流源时，根据图2-34可得节点方程：写成算子形式为于是在is(t)=ε(t)A激励下的响应为于是在es(t)=ε(t)V激励下的响应为2.26图2-35所示电路中，元件参数为,激励源分别为,求电容C上的电压,图2-35答：设F上的电流为=,方向自左向右，则可写出如下方程：转移算子所以冲激响应当激励源分别为时，电容上的电压2.27已知图2-36所示电路，在t=0时合上开关目，经0.1s后又合上开关三，求流过电阻三的电流i(t)。图2-36答：设流过电感L的电流为三，方向自左向右，则此时z(t)的响应包括零输入响应和零状态响应两部分，且零状态响应为所以,2012研]2.3名校考研真题详解1.任何系统的全响应必为零状态响应与零输入响应之和。[北京邮电大学2012研]【解析】零输入响应为仅由起始状态所产生的响应。零状态响应是系统的初始状态为零时，【解析】1.信号x(t),h(t)波形如图2-38所示，画出卷积y(t)=x(t)*h(t)结果的波形。[北京邮电大学图2-38如图2-39所示图2-391,单位冲激响应为=。[北京邮电大学2012研]学技术大学2012研]根据冲激函数的性质计算可得：v(t)=sin(t)[u(t-2π)-u(4.如果,证明[电子科技大学2012研]5.已知当输入信号为三时，某连续时间LTI因果系统的输出信号为国，E和-国的波形如图2-40所示。试用时域方法求：图2-40(1)该系统的单位阶跃响应-匡，并大概画出巨的波形；(2)在系统输入为图2-41所示的一三时的输出信号一=,并大概画出一的波形。[中国科学院2005研]图2-41答：(1)设系统的冲激响应为h(t),则有根据卷积积分的微分性质，有由y(t)波形微分可得丰波形，如图2-42所示，则有图2-42(2)由题(1)可得：,则有由图2-41可得将=代入，可得所求系统输出为的波形如图2-43所示。3.1复习笔记1.正交矢量图2-43第3章连续信号的正交分解定义：如果两个矢量和一=相互垂直，则称=和=为正交矢量。若用一E来近似表示A,则表达式(1)要用一个矢量分量去代表原矢量，当分量是原矢量的垂直投影时，误差矢量最小：(2)若从解析角度考虑三的取值问题，可令误差矢量的平方最小：当A和A₂全相同时，,当和A₂互相垂直时，标志着两个矢量相互接近的程度。平面上任意矢量在直角坐标系中可分解为两个正交矢量的组合。2.正交函数(1)若非零实函数日和一庄在区间一日内满足(2)若一：=和=为复函数，两函数在区间内正交的条件是3.正交函数集定义：在一E区间上定义的n个非零实函数集其中任意两个函数均满足：其中4=为常数，称此函数集为正交函数集。当4==1时，上述函数集就称为归一化正交函数集。4.完备正交函数集则称此函数集为完备正交函数集。5.信号的正交分解任一函数f(t)用n个正交函数的线性组合来近似，即在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当一三时(为完备正交函数集),均方误差为零。1.三角傅里叶级数对于对于任何一个周期为T的周期信号一，其三角傅里叶表示式为：其中系数=、=和幅度=、相位=之间的关系为2.指数傅里叶级数其中3.函数的偶、奇性质及其与谐波含量的关系(1)偶函数若函数f(t)满足,则称f(t)为时间t的偶函数。如图3-1(a)所示。此时f(t)的三角傅里叶级数只包含余弦项谐波分量a,并且当函数的平均值不为零时图3-1(2)奇函数此时f(t)的三角傅里叶级数只包含正弦项谐波分量bnsinnQt,而无直流分量和余弦项谐波分(3)非奇非偶函数如图3-2所示。图3-2若函数f(t)为奇谐函数，则其满足如图3-3所示，奇谐函数中不包含直流分量和偶次谐波而只包含奇次谐波.图3-3(5)偶谐函数如图3-4所示，函数中只包含偶次谐波分量。图3-41.周期信号的频谱率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。图3-5周期性矩形脉冲信号及其频谱(1)频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦分量，所以这样的频谱称为不连续(2)频谱的每条谱线，都只能出现在基波频率Ω的整数倍的频率上，频谱中不可能存在任何具有频率为基波频率非整数倍的分量。(2)各条谱线的高度，也即各次谐波的幅度，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的；当谐波次数无限增高时，谐波分量的幅度亦就无限趋小。2.周期与脉冲对频谱的影响图3-5所示周期性矩形脉冲信号的第n次谐波的幅度为由此可知，谐波的幅度数值与“之比有关。图3-6所示为抽样函数对于不同周期与脉冲宽度比的频谱图。图3-6四、傅里叶变换傅里叶变换与傅里叶反变换的公式1.傅里叶变换的基本性质(1)线性特性若,则其中，三为常数，为正整数。(2)延时特性若l,则(3)移频特性若,则(4)尺度变换特性若,则(5)奇偶特性若f(t)为时间t的实函数。频谱函数的实部一E三与虚部一E=以及模量与相角(6)对称特性若,则(7)微分特性若f(t)→F(w),则(10)卷积特性(卷积定理),则一时域频域时域频域1五、帕塞瓦尔定理与能量频谱为功率谱，功率谱只与幅谱平方有关，与相谱无关。帕萨瓦尔定理：周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各分量功率之和。2.能量信号的能量此等式即为雷利定理：对于非周期信号，在时域中求得的信号能量与在频域中求得的信号能量相等。3.能量密度频谱函数能量频谱是G(o)是某角频率w处的单位频带中的信号能量。信号在整个频率范围内的全部能量为(1)如用在同一时间区间上的正弦信号来近似表示此方波信号，要求方均误差最小，写出此正弦信号的表达式；(2)证明此信号与同一时间区间上的余弦信号一(n为整数)正交。答：(1)设在(0,2π)区间内以均方误差最小为原则来逼近一面，则最佳系数 所以，三在此区间内和余弦信号二：=(n为整数)正交。3.2已知。求it在f₂t)上的分量系数三及此二信号庙答：(1)分量系数(2)相关系数二3.3证明两相互正交的信号f(t)与f₂(t)同时作用于单位电阻上产生的功率，等于每一信号在单位电阻上产生的功率：同时作用于单位电阻上产生的功率：当一=相互正交时，有所以，可证E(1)当时，相互正交。二者单独作用时，有同时作用时，有(2)当时，相互不正交。二者单独作用时，有同时作用时，有命题得证。3.4将图3-7所示的三角形信号在时间区间上展开为有限项的三角傅里叶级数，使其与实际信号间的均方误差小于原信号一=总能量的1%。写出此有限项三角傅里叶级数的表达式。图3-7答：由f(t)在上的偶对称特性知从而一同。下面求系数a0和an。直流分量：余弦分量：因此，信号可表示为：信号的总能量：只取有限项表示信号，均方误差为：只取直流项时，均方误差为：此时，有：取直流分量和基波分量时，均方误差为：此时，有：满足题意要求，所以可以用直流分量和基波分量来近似表示f(t),即3.5求图3-8(a)所示的周期性半波整流余弦脉冲信号及图3-8(b)所示的周期性半波整流正弦脉冲信号的傅里叶级数展开式。绘出频谱图并作比较脉冲信号的傅里叶级数展开式。绘出频谱图并作比较，说明其差别所在。图3-8故一的傅里叶展开式为：图3-93.6利用周期性矩形脉冲与周期性三角形脉冲的傅里叶级数展开式(3—30)及式(3—38),求图3-10波形所示信号的傅里叶级数。图3-10图3-11由教材式(3-38b)可直接得到周期性三角脉冲f₂(t)的傅里叶级数：3.7试判断在时间区间上展开的傅里叶级数是仅有余弦项，还是仅有正弦项，还是二者都有。如展开时间区间改为则又如何。答：三=波形如图3-12(可得如图3-12(b)所示波形，只取时间区间上的波形进行周期延拓，可得如图3-12(c)所示波形。图3-12图3-12(b)波形关于原点对称为奇函数，所以它只包含正弦项谐波分量=而无直流分量和余弦波分量。图3-12(c)波形关于y轴对称为偶函数，所以它只包含余弦项谐波分量=,函数的平均值不为零，还存在直流分量，而没有正弦波分量。3.8已知周期信号f(t)前四分之一周期的波形如图3-13所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。1)f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；(2)J()是t的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；(3)是t的偶函数，其傅里叶级数同时有奇次谐波与偶次谐波；(4))是t的奇函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；(5)f(t)是t的奇函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；ft(6))是t的奇函数，其傅里叶级数同时有奇次谐波与偶次谐波。图3-13答：(1)f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波，表明f(t)是偶谐函数，满足,如图3-14(a)所示；(2)f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波，表明f(t)是奇谐函数，满足及,如图3-14(b)所示；(3)f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数同时有偶次谐波和奇次谐波，表明f(t)是既不是偶谐函数，也不是奇谐函数，满足=,如图3-14(c)所示；(4)f(t)是t的奇函数，其傅里叶级数只有偶次谐波，表明f(t)是偶谐函数，满足及,如图3-14(d)所示；(5)f(t)是t的奇函数，其傅里叶级数只有奇次谐波，表明f(t)是奇谐函数，满足及,如图3-14(e)所示；(6)f(t)是t的奇函数，其傅里叶级数同时有偶次谐波和奇次谐波，表明f(t)既不是偶谐函数，也不是奇谐函数，满足=,如图3-14(①所示。图3-143.9试绘出图3-15所示波形信号的奇分量及偶分量的波形。图3-15所以分别对进行分解，结果如图3-16所示。图3-163.10利用信号的奇偶性，判断图3-17所示各信号的傅里叶级数所包含的分量。图3-17答：(1)fi(t)是偶函数，且平均值为零，所以不含正弦项和直流分量，同时f₁(t)又是奇谐对称的，不包含偶次谐波，所以fi(t)只含有奇次余弦分量。(2)f₂(t)是奇函数，所以不含余弦项和直流分量，所以f₂(t)只含有正弦分量。(3)f₃(t)是偶函数，且平均值不为零，所以不含正弦项，同时f₃(t)又是偶谐对称的，不包含奇次谐波，所以f₃(t)只含有偶次余弦分量和直流分量。(4)f₄(t)是非奇非偶函数，可以分解为正弦与余弦分量的叠加，无直流分量，同时f₄(t)又是奇谐对称的，不包含偶次谐波，所以f₁(t)只含有奇次分量。3.11已知一E的频谱函数为一E=,与一E三波形有如图3-18的关系，试用一E三的F因为所以由傅里叶变换的时延性和尺度变换，有3.12利用傅里叶变换的移频特性求图3-19所示信号的频谱函数。图3-19答：(1)由图3-19可知图示波形为：因为(2)由图3-19可知图示波形为：因为三角形脉冲函数的傅里叶变换为：(3)由图3-19可知图示波形为：由傅里叶变换的时移性质，有：所以3.13如时间实函数，f(t)的频谱函数,试证明f(t的偶分量的频谱函数为一，奇分量的频谱函数为一=。f(证明：若)为实函数，则其频谱函数的实部为偶函数，虚部为奇函数，即f(t)f(t)3.14利用对称特性求下列函数的傅里叶变换。答：(1)因一,故根据对称性有：又由时延特性，有：(3)因三角形脉冲函数的傅里叶变换为：根据对称性，有：整理得：3.15求下列频谱函数对应的时间函数。答：(1)已知--(2)已知门函数(3)已知指数函数则(频域微分特性)(4)已知符号函数3.16试用下列特性求图3-20所示信号的频谱函数。(2)用时域微分、积分特性。图3-20答：(1)对于图3-20(a)①用延时和线性特性求解因为门函数又由图3-20(a)可得：根据延时特性，有：再由线性特性，可得：②用时域微分、积分特性求解(2)对于图3-20(b)①用延时和线性特性求解由图3-20(b)所示可得：由频域卷积定理可得：②用时域微分、积分特性求解3.17试用时域微分、积分特性求图3-21波形信号的频谱函数。图3-21(时移特性)故由傅里叶变换的积分特性，可得：(b)对图3-21(b)的f(t)求二次导，有：由积分特性，有：(c)由图3-21(c)所示波形可知：则3.18由原教材中的表3-1中的第13号矩形脉冲的频谱函数导出第17号三角形脉冲的频谱函数。(1)用时域微分、积分特性；(1)利用微积分特性由教材表3-1第17号三角形脉冲求导，可得：(2)利用卷积定理由时域卷积定理，可得：3.19利用频域卷积定理，由|3=的傅里叶变换及一三的傅里叶变换导出的傅里叶变换。由卷积特性可得：3.20由冲激函数的频谱函数求图3-22所示波形信号的频谱函数。图3-22答：(1)由图3-22可得：求导得：求导得：由时移性质，可得：又由积分性质，可得：(2)由图3-22可得：求导得：由时移性质，可得：…又由积分性质，可得：(3)由图3-22可得：二次求导得：由线性和时移性质，可得：又由积分性质，可得：(4)由图3-22可得：由时移特性，可得：3.21已知。f(t)的频谱函数为F(jw),求下列时间信号的频谱函数。(尺度变换特性)(频域微分特性)(2)(频域微分特性)(3)(时域微分特性)(频域微分特性)所以:=的傅里叶变换为：(尺度变换)所以一=的傅里叶变换为：(5)由(4)可知：(延时特性)所以日=的傅里叶变换为：3.22证明下列函数的频谱函数，当一时俱逼近于一的频谱函数1。即这些函数在二E时都可视为单位冲激函数。所以(2)因为,由傅里叶变换的对称性，有令当一==时，(3)查教材表3-1可知，对于三角形脉冲函数，有：(3)查教材表3-1可知，对于三角形脉冲函数，有：3.23已知it)的频谱函数为F(jo),将fi(t)按图3-23的波形关系构成周期信号f₂(t),图3-23则而一E的傅里叶级数系数为故根据周期信号的傅里叶变换式(3-67),可得3.24三角形周期脉冲的电流如图3-24所示。(1)若一，求此周期电流的平均值与均方值；(2)求此周期电流在单位电阻上消耗的平均功率、直流功率与交流功率，并用帕塞瓦尔定理核对结果。图3-24答：(1)电流的平均值：所以，电流的均方值：(2)平均功率：因为i(t)是偶函数，所以bn=0,则有：故7,符合帕塞瓦尔定理。3.25求图3-25所示三角形周期信号的沃尔什级数中不为零的前三项。图3-25答：由图3-25可知：因f(t)是偶函数，故bs=0,则有：其中，沃尔什系数为：3.26证明沃尔什级数展开时，帕塞瓦尔定理关系式成立。1.连续非周期信号的频谱也是连续非周期的。()[中山大学2010研]2.若x(t)的傅里叶变换为X(f),则x(O)=X(f)的面积=[北京邮电大学2012研]【解析】x(t)的傅里叶反变换为1.已知信号x(t)的频谱带限于1000Hz,现对信号进行抽样，求使一回不失真的最小抽样频率为()。[中国科学院研究生院2012研]【解析】x(t)的频谱带限于1000Hz,根据尺度变换特性可知，F的频谱带限为3000Hz,2.若f(t)的奈奎斯特角频率为=,则的奈奎斯特角频率为()。[中山大学2010研]【答案】C查看答案3.若信号波形相对于纵轴对称，则该信号的傅里叶级数中()。[中国科学院研究生院2012研]A.不含有直流项B.不含有正弦项C.不含有余弦项D.各项都包含【答案】B查看答案三、填空题1.有些信号的频谱是连续的，有些是离散的；而有些信号的频谱是周期的，有些是非周期的，对于单脉冲信号、周期脉冲信号以及抽样信号(带限非周期连续时间信号经理想抽样得频谱是非周期的有。[南京航天航空大学2012研]【答案】单脉冲信号，抽样信号；周期脉冲信号；抽样信号；单脉冲信号，周期脉冲信号。级数系数为。[华南理工大学2011研]【答案】三查看答案【解析】设x(t)的傅里叶级数系数为日，信号x(t)也表示成1.使用傅里叶变换进行频域分析的充分条件是什么?写出傅里叶变换对的数学表达式，并计算—==的时间函数。[中国科学院研究生院2012研]答：使用傅里叶变换进行频域分析的充分条件是信号需要满足狄里赫利条件。信号的傅里叶变换才是存在的。才可以进行频域分析。傅里叶变换对：的信号，信号一被用来调制载波c(t)以得到1。用一个带通滤波器，使当输入为一=时，该滤波器的输出是,则该带通滤波器的通带带通滤波器的通带为。[华南理工大学2012研]三为一实周期信号，Y(t)经过带通滤波器后只存在k=-1,与k=1分量3.在图3-26所示系统中，已知带通滤波器的如图3-26(b)所示，同。求零状态响应间。[北京航空航天大学2005研]4.已知信号F的最高角频率为，当对取样时，求其频谱不混叠的第4章连续时间系统的频域分析1.系统函数(1)定义②从微分方程直接求解(方程两边去傅里叶变换);③从系统的冲激响应(3)系统的频率特性2.系统在周期性信号激励下响应的频域分析(1)基本信号-,输出(2)正弦信号(3)任意周期信号3.系统在非周期性信号激励下响应的频域分析非周期信号输入到系统中，如图4-1所示图4-1(2)确定系统函数(4)取一的反变换，得三。1.理想低通滤波器具有如图4-2所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器，三称为截止角频率。图4-2图4-32.冲激响应3.阶跃响应式中1.物理可实现的条件就时域特性而言，一个物理可实现的系统，其冲激响应在一时必须为0,即就频域特性来说，佩利—维纳证明了物理可2.可实现滤波器(1)最平坦型滤波器巴特沃斯滤波器图4-4图4-5不同阶数切比雪夫滤波器特性。(2)通带起伏型滤波器—切比雪夫滤波器图4-5为不同阶数切比雪夫滤波器特性。1.调制和解调2.抑制载频调幅(AmplitudeModulationwithSuppressedCarrier,AM-SC)(1)调制设信号e(t),不包含直流分量，且其频谱为一带限频谱，如图4-6(b)所示。而载波信号的频谱,为一对处于±@c处强度为的冲激，如图如图4-6(d)所示图4-6抑制载波调幅及其频谱调制信号的能量集中在零频率附近，其频宽B==,已调信号的频宽为调制信号频宽的两大于@c的部分，即@c至@c+@m的频谱称为上边带；小于@c的部分，即@一@m至@c的(2)解调谱结构来实现，如图4-7所示。图4—7同步解调的框图及频谱用一个截止频率大于@m,小于2@-@m的低通滤波器将其滤出，从解调所加的载波为cos(@ct+0)解调后的信号为：3.幅度调制(AmplitudeModulation,AM)(1)调制图4-8(a)的框图描述的为调幅过程。图4-8幅度调制框图及其频谱函数(2)解调图4-9描述的是调幅信号解调过程。图4-9包络检波器4.脉冲幅度调制(PAM)图4-10描述的为脉冲幅度调制的频谱。图4-10脉冲幅度调制的频谱脉冲调幅信号包含了调制信号的所有信息，通过一=@m的理想低通滤波器就可以恢复1.频分复用2.时分复用1.希尔伯特正变换2.希尔伯特反变换1.信号不失真传输时域条件信号在传输过程中不失真，意味着响应r(t)与激励e(t)波形相同，当个因子K,同时在时间上也可能延迟一段时间to,如图4-11所示。图4-11不失真传输时，系统的激励与响应波形2.信号不失真传输频域条件图4-12为不失真传输系统频域响应模量和辐角。图4-12理想传输系统的转移函数的模量和辐角4.1正弦交流电压全波整流产生图4-13(b)所示的周期性正弦脉冲信号。求此信号通过图4-13(a)所示的RC电路滤波后，输出响应中不为零的前三个图4-13由图4-13(a)所示RC电路可知其系统函数为所以，前三项响应分量分别是：所以，输出的前三个分量为：4.2图4-14(b)所示的周期性矩形脉冲信号，其脉宽为周期的一半，其频率f=10kHz,加到一谐振频率为l=30kHz的并联谐振电路上，以取得三倍频信号输出。并联谐振电路的转移函数为如要求输出中其他分量的幅度小于三次谐波分量幅度的1%,求并联谐振电路的品质因数Q。图4-14的振幅的1%即可。设,则三个分量波形图如下图4-15虚线所示，响应近似波形为实线所示。图4-15激励为：前三个分量的波形如下图4-16虚线所示，激励近似波形图4-164.4设系统转移函数为2求单位阶跃响应，有e(t)=ee(t)时，因为所以4.5设系统转移函数为,试求其冲激响应及2当激励时，4.6一带限信号的频谱如图4-17(a)所示，若此信号通过如图4-17(b)所示系统。试绘出A、B、C、D各点的信号频谱的图形。系统中两个理想滤波器的截止频率均为@c,通带内传输值为1,相移均为0,@e>E。图4-17图4-184.7理想高通滤波器的传输特性如图4-19所示，亦即其转移函数为图4—19答：高通滤波器的转移函数可用一个全通滤4.8求的信号通过图4—20(a)的系统后的输出。系统中理想带通滤波器的传输特性如图4—20(b)所示，其相频特性图4—20对于带通滤波器,只允许4.9有一调幅信号为答：(1)已知调幅信号形式为则其调幅系数为mn。(2)调制信号的频谱为图4-21即调幅波中含有五个频率分量，即振幅为100V的载频分量；振幅为15V的一对上下边频分量，其频率分别在|==;振幅为5V的一对上下边频分量，其频率分别在(3)平均功率：载波功率：边频功率：4.10图4-22为相移法产生单边带信号的系统框图。如调制信号e(t)为带限信号，频谱如图所示。其中，信号==经过90°移相网络后的输出为试写出输出信号a(t)的频谱函数表达式，并绘其频谱图。图4-22其中故其频谱图如图4-23所示：图4-234.11证明希尔伯特变换有如下性质；(2)-与三正交，即【证明】(1)因为希尔伯特变换式为故其频谱能量为而由上述两式可证故即可证(3)①如果f(t)为偶函数，则即一三为奇函数；②如果f(t)为奇函数，则4.12试分析信号通过图4—24所示的斜格型网络有无幅度失真与相位失真。图4-24答：设,其戴维南定理等效电路图如图4-25所示。图4-25从电阻R两端看进去的等效电阻zo和等效电压一E=分别为：所以系统函数该系统为全通系统，无幅度失真。对于相位，若无失真，则根据无失真传输条件，=应与F成线性关系，即—=:=,展开上式有当x很小时，有,即当二很小时，有真条件，此时其输出电压的幅度不变，仅有时延4.13宽带分压器电路如图4-26所示。为使电压能无失真地传输，电路元件参数R1、C1、图4-264.14在图4-27所示电路中，为使输出电压一=与激励电流i(t)波形一样，求电阻R1、R2的数值。图4-27答：由电路图可知系统函数将元件值代入整理得由题意要求，有即波形中含有的直流分量为()。[中国科学院研究生院2012研]=1。而与三角函数形式的傅里叶级数的一般表达二、填空题1.对于线性时不变连续时间系统，稳定的充分必要条件为;对于线性时不变离散时间系统，稳定的充分必要条件为;在实际中通常可以根据它们系统函数的极点在复平面中的位置来判定，对于因果稳定的线性时不变连续时间对于因果稳定的线性时不变离散时间系统，的极点应位于。[南京航天航空大学2012研]案2.有些信号的频谱是连续的，有些是离散的；而有些信号的频谱是周期的，有些是非周期的，对于单脉冲信号、周期脉冲信号以及抽样信号(带限非周期连续时间信号经理想抽样得【答案】单脉冲信号，抽样信号；周期脉冲信号；抽样信号；单脉冲信号，周期脉冲信号。3.已知某周期信号的指数形式傅里叶级数为,该周期信号是。[北京邮电大学2012研]【答案】【解析】查看答案示示4.已知周期为F的冲激序列一：,其表达式为一：)=的傅里叶变换表达式为_。[北京邮电大学2012研]【解析】的傅里叶系数为则其傅里叶变换为5.已知f(t)的傅立叶变换为，则函数的傅立叶变换为。[华南理工大学2012研]【答案】【解析】令1.图4-28所示系统中，激励信号f(t)的傅立叶变换为已知，画出该系统A点和B点的频谱图。[北京邮电大学2012研]图4-28图4-28答：图4-292.正弦载波调制器和解调器如图4-30所示：图4-30(1)写出信号一|:=、一：=和一|==的时域、频域表达式并画出频谱示意图；(2)若解调器本地载波存在相位(如上图所示),讨论作的不同会对解调产生什么样(3)若解调器本地载波存在的是频率差一，重复以上讨论。[中国科学院研究生院2012答：(1)若调制信号·f(t)的频谱为频谱图如图4-31:图4-31图4-34(2)由S₄(t)的频谱图可以看出，不同的Φ对解调输出信号的波形大小有影响，而输出波(3)若解调器本地载波存在的是频率差△w,可以得到：图4-353.若已知f(t)的傅里叶变换为一底，利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换：答：(1)由时域微分性质可得：(2)由时移性得：(3)由尺度变换性质得：F=冲激信号串，即(1)试求周期信号f(t)指数形式的傅立叶级数的系数E;(2)试求周期信号f(t)的频谱F(jw);(3)试求系统的输出信号-。[中山大学2012研]F答：(1)由周期信号J()指数形式的傅立叶级数的系数n的定义可得：(2)由周期信号的傅里叶变换可得：则第5章连续时间系统的复频域分析5.1复习笔记(1)双边拉普拉斯变换(2)单边拉普拉斯变换2.拉氏变换的物理意义拉普拉斯变换把函数分解成许多形式为的指数分量之和。每一对正、负②的指数分量决满足绝对可积条件。在作平面(或称复平面)上使—E=满足绝对可积条件的的取值范围称为或一|==的收敛区。三、常用函数的拉普拉斯变换表5-1常见函数的拉普拉斯变换123456789时域函数1四、拉普拉斯反变换1.部分分式法该方法要求F(s)为实系数有理真分式，若F(s)为假分式，将其化为多项式加真分式的形式。对于多项式部分，对应的逆变换是冲激函数一=及其各阶导数之和。对于真分式，有式中一称为一的特征多项式，方程一称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率(或自然频率)。n个特征根称为F(s)的极点。(1)只有单极点(2)存在多重极点则如果=有高阶重极点，设s=p1为r重极点，其余极点为相异单阶极点，则可将一=展开为(3)存在共轭复数极点若L,分解F(s)有，2.围线积分法(留数法)(2)若sk为p重极点，则留数为：1.线性2.尺度变换3.时间平移4.频率平移5.时域微分6.时域积分7.复频域微分与积分及9.初值定理10.终值定理11.卷积定理1.积分微分方程的拉普拉斯变换s域代数方程响应象函数描述n阶系统的微分方程的一般形式为解得2.从信号分解的角度看拉普拉斯变换(拉氏变换求解电路问题)(1)用拉氏变换分析动态电路的步骤②画出S域电路图(特别注意初值电源);电感、电容和互感分别用其S域模型代替。(2)三种常用元件的s域模型表5-23种元器件的s域模型名称3.系统函数(1)定义系统函数H(s)定义为在零状态下，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，即(2)系统函数的求解七、信号流图利用梅森公式可以根据信号流图很方便地求得输入输出间的系统函数。梅森公式为其中△称为信号流图的特征行列式，其中：为所有不同回路的增益之和；为所有两两互不接触回路的增益乘积之和；为所有三个互不接触回路的增益乘积之和；便是由源点到汇点的第条前向通路的标号。P;表示由源点到汇点的第i条前向通路增益；△;表示第i条前向通路特征行列式的余子式。5.2课后习题详解5.1标出下列信号对应于s平面中的复频率。(1)三；(2)三；(3)cos2t;(4)sin(-5t)5.2写出下列复频率对应的时间函数模式。5.3求下列函数的拉普拉斯变换，并注明收敛区。所以所以所以所以所以所以则所以所以5.4用部分分式展开法求下列函数的拉普拉斯反变换。拉氏逆变换，有拉氏逆变换，有取拉氏逆变换，有取拉氏逆变换，有取拉氏逆变换，有5.5用部分分式展开法求下列函数的拉普拉斯反变换。取拉氏逆变换(2)部分分式展开，得取拉氏逆变换(3)部分分式展开取拉氏逆变换(4)部分分式展开取拉氏逆变换5.6用留数法求下列函数的拉普拉斯反变换。各极点留数：所以，有一个单极点si=-3和一个二重极点s₂=-2。各极点留数分别为：所以，有三个单极点各极点留数分别为：所以有两个单极点s₁=0,s2=-4。各极点留数分别为：5.7用尺度变换性质求下列函数的拉普拉斯变换。再由尺度变换特性，可得尺度变换特性，可得尺度变换特性，可得尺度变换特性，可得5.8画出图5-2时间函数的波形，并求其拉普拉斯变换答：各函数的波形图如图5-3(1)~(4)所示。图5-3而一由时间平移特性，可得5.9用拉普拉斯变换的性质求图5-4各波形函数的拉普拉斯变换。图5-4而(b)由图5-4(b)可知而所以所以(d)由图5-4(d)可知 5.10从单位阶跃函数的变换一|==出发，求图5-5所示波形函数的拉普拉斯变换。图5-5所以所以所以所以5.11求图5-6所示波形的单边周期函数的拉普拉斯变换。图5-6因所以，周期序列f(t)的拉氏变换为故周期序列f(t)(T=2)的拉氏变换为(4)由题(3)可知根据频率平移特性，有根据复频域积分特性，有(6)由题(5)可知根据时域积分性质，有5.13求下列函数的拉普拉斯反变换。取拉氏反变换，可得因为所以令T=1,则根据拉氏变换时域卷积定理，有因为三=5.14已知系统函数与激励信号分别如下，求零状态响应的初值和终值。5.15用拉普拉斯变换分析法求下列系统的响应。答：(1)微分方程两边进行拉氏变换，有代入初始条件，整理得取拉氏反变换，响应为(2)微分方程两边进行拉氏变换，有代入及初始条件，整理得取拉氏反变换，响应为(3)对微分方程组进行拉氏变换，有代入及初始条件，整理得解得代入及初始条件，整理得解得取拉氏反变换，响应为5.16求微分方程是的系统，在如下激励信号时的零状态响应。答：对微分方程两边取拉氏变换，有整理得系统函数为故零状态响应为故零状态响应为5.17电路如图5-7所示，激励为e(t),响应为i(t),求冲激响应与阶跃响应。图5-7图5-8由图5-8可列出s域回路方程5.18已知图5-9电路参数为,激励为2V直流。设开关S在t=0时断开，断开前电路已达稳态，求响应电压u(t),并指出其中的零输入响应与零状态响图5-9开关断开后，电路的s域模型如图5-10图5-10求得故输出为取拉氏反变换，可得全响应为故零输入响应自由响应：瞬态响应：稳态响应：5.19图5—11中激励信号,电路参量为.求零状态响应u(t)。图5-11图5-12答：根据图5-19所示电路可得系统的复频域等效电路如图5-12所示，则系统转移函数当激励时，有故5.20图5—13所示电路中，已知电路参数为L1=L2=1H,R=2E=10V。设开关S在t=0时断图5-13开关断开后电路的s域模型为图5-14所示图5-14故5.21图5—15所示电路中，已知电路参数为R=1,Cl=C2=1F,El=E2=1V。设开关S在t=0时由①倒向②,求电容C1上的电压一|:=及电流i(t)。图5-15答：当t<0时，开关处于①位置，电路处于稳态，此时系统初始条件为当t=0时，开关S由①倒向②,此时电路s域模型图如图5-16所示故图5-165.22图5-17所示电路中，已知R1=4F,R2=2F,L1=L2=M=1H,响应为i2(t)。求单位冲激响应与单位阶跃响应。图5-17答：根据图5-17,电路的s域模型如图5-18所示图5-18列出方程，有整理得，系统函数为故单位冲激响应为当激励为时，有故单位阶跃响应为5.23求图5-19(a)所示方波电压作用下，RC电路的响应电压u(t).图5-19答：由图5-19(a),可得激励在一个周期内的表达式为故因为所以由图5-19(b)可知系统函数为所以则所以T=2时，有则则系统函数故5.25已知某系统在一E作作用下全响应为,阶跃电压作用下的全响应。联立12,可得当激励时，5.26下列函数是否有双边拉普拉斯变换，如有求其Fd(s)并标注收敛区。答：(1)右边函数的拉氏变换(2)右边函数拉氏变换(3)因为右边函数的收敛域为,左边函数的收敛域为,二者没有公共部分，5.27求下列Fd(s)的时间原信号。答：(1)由收敛域可知，左侧极点一后，右侧极点信。对应左边函数所以原时间信号为(2)由收敛域可知，左侧极点==,右侧极点对应右边函数对应左边函数所以原时间信号为对应左边函数所以原时间信号为对应右边函数对应左边函数所以原时间信号为5.28求对应于不同收敛区时的原时间函数。答：一间有三个极点，-3,-1,1。应用部分分式法化简得到(1)当收敛域为一F=时，三个极点均为右侧极点，对应左边函数。对应右边函数对应左边函数(3)当收敛域为时，-3,-1为左侧极点，1为右侧极点。对应右边函数图5-20对应左边函数(4)当收敛域为一：时，三个极点均为左侧极点，对应右边函数。5.29求激励为答：当激励一时，对应左边函数面作，同系统函数有公共收敛区域，所以由收敛区域可知，1为左侧极点，2为右侧极点对应右边函数对应左边函数响应为5.30试绘出下列算子方程描述的系统直接模拟框图。答：(1)系统直接模拟框图如图5-20(a)所示。(2)系统直接模拟框图如图5-20(b)所示。5.31已知二系统框图如图5-21所示，试求其系统函数，说明此二系统框图对应的是同一系统。图5-21答：(1)设第一个加法器的输出为一三，则由图5-21(a)所示的系统框图可列出方程消去中间变量一E,可得系统函数为消去中间变量底，可得系统函数为所以此二系统框图对应的是同一系统。5.32设系统函数H(s)如下，试绘其直接模拟框图、并联模拟框图及级联模拟框图。答：(1)1由,可画出直接模拟框图如图5-22所示。图5-222对系统函数部分分式分解，有-,故其并联模拟框图如图5-23所图5-233因为二二,故其级联模拟框图如图5-24所示。图5-24(2)1由,可画出直接模拟系统框图如图5-25所示。(2)1由图5-252对系统函数进行部分分式分解，有,故其并联模拟框图如图5-26所示。图5-26,故其级联模拟框