江西省九校联考2025届高三上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省九校联考2025届高三上学期11月期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故，故,故选：B.2.如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（）A.45 B.C. D.【答案】C【解析】由图得，则，所以，虚部为.故选：C3.设等差数列的前n项和为，若，则的值为（）A.4 B. C.1 D.【答案】D【解析】由题设，则，又，所以，易知的公差，故，所以.故选：D4.已知，则a，b，c的大小顺序为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，则.故选：A5.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以，故，即是奇函数，若，可得，故，可得，故充分性成立，令，，此时满足，但不满足，故必要性不成立，故A正确.故选：A6.已知α为锐角，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，因为锐角，，所以.故选：B7.已知函数有两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函数有两个零点，，所以与的两个交点横坐标分别为，结合图象知，，且，则，令，则，又在区间0,1上单调递减，，故选：B8.若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由f2x+1偶函数，知的图象关于直线对称，因图象关于点2,3成中心对称，则①，且，所以，所以是周期为的周期函数.令代入①，可得，而，所以，综上，.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（）A. B.的最大值为C.的最小值为15 D.的最小值是9【答案】ACD【解析】因为，则，又，，共线，所以，A正确；由，则，则，当且仅当时取等号，B错误；由，当时有最小值，C正确；因为，当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：ACD10.关于函数，则下列命题正确的有（）A.是偶函数 B.的值域是C.在上单调递增 D.都是的极值点【答案】BC【解析】对于A，，所以函数是奇函数，所以A不正确.对于B，因为函数在上连续，且当时，，所以的值域是，所以B正确；对于C，由，当，，所以在单调递增，所以C正确.对于D，，因为，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以不是函数的极值点，所以D不正确.故选：BC11.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且，则下列结论正确的有（）A.B.任意的，C.存在，使得D.数列有最大值，无最小值【答案】ABD【解析】令，则，所以，令，得，又，可得，A正确；由，，所以，C错误，由，且，B正确，由，得，所以，即，所以随的增大而减小，故为正项单调递减的无穷数列，且，故数列有最大值2，无最小值，D正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知向量，若，则___________.【答案】【解析】由题设.13.在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为_________.【答案】【解析】由，得，即，因为，所以，因为，所以，由，两边平方，所以，则.14.已知函数，若存在实数且，使得，则的最大值为__________.【答案】【解析】根据题意作函数的图象，如图所示，令，解得或，令，解得或或，由题意可知：与有三个交点，则，此时由二次函数对称性知，令，可得，则，令，则，可知在内单调递增，则的最大值为，所以的最大值为.故答案为：.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数.（1）求的单调区间;（2）若存在极值M，求证：.解：（1）由题设，当时，恒成立，故的增区间为，无减区间；当时，令，得，故上，上，所以的减区间为，增区间为.（2）由（1）知，当时，在上单增，没有极值；当时，在上单减，在上单增，存在极小值令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，在时取最大值0，所以恒成立，即.16.已知各项全不为零的数列的前n项和为，且，其中.（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前n项和为，求证:.解：（1）当时，由及，得，当时，由，得，因为，所以，从而，，，综上.（2）由，则，又，所以，.17.已知向量，函数.（1）求的单调递减区间；（2）将的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数的图象与的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求t的值.解：（1）由题设，令，，可得，，所以单调递减区间为，；（2）由y=fx图象向左平移个单位，得，将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则，所以图象如下，由图知，，令横坐标由小到大依次为，由题意，可得，所以.18.已知函数（1）求函数图象上点到直线的最短距离；（2）若函数与的图象存在公切线，求正实数a的最小值；（3）若恒成立，求a的取值范围.解：（1）设与平行且与相切的直线，与的切点为，由题设，令，知，则M到直线的距离最短，所以.（2）设点是公切线在上的切点，则，则切线方程为，即，设点是公切线在上的切点，则，则切线方程为，即，综上，，，消去得，设函数，则，所以时，，单调递增，时，，单调递减，所以最大值为，则，即，所以，实数a的最小值为.（3）由，从而恒成立，设，则，设，则，则在上递减且，当时，，即单调递增；当时，，即，单调递减；所以得最大值为，则的取值范围是.19.对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换T，变换T将集合A变换为集合（1）若，求；（2）若集合A有n个元素，证明：的充要条件是集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列；（3）若且{1,2,3,...,25,26}，求元素个数最少的集合A.解：（1）若集合，则，；（2）令，不妨设.充分性：设是公差为的等差数列，则，，且.所以共有个不同的值，即，必要性：若，因为，，所以中有个不同的元素，，…，，，，…，，任意的值都与上述某一项相等，又，且，.所以，所以是等差数列，且公差不为0.（3）首先证明：.假设，中的元素均大于1，从而，因此，，故，与矛盾，因此，设的元素个数为，的元素个数至多为，从而的元素个数至多为.若，则元素个数至多为5，从而的元素个数至多为，而中元素至少为26，因此，假设A有三个元素，设，且，则1，2，，，，，，，，从而.若，中比4大的最小数为，则与题