江苏省盐城市阜宁县2023-2024学年高一上学期1月期末学情调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省盐城市阜宁县2023-2024学年高一上学期1月期末学情调研数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据交集的概念可得，.故选：B.2.已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】由已知可得，扇形的半径，圆心角的弧度数，所以，扇形的弧长为，扇形的周长为.故选：D.3.若，则“”是“”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件【答案】D【解析】若，则和无意义，得不出，若，则，可以得出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：D.4.已知角的终边过点，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，由三角函数的定义可得：，整理可得：，因为，所以.故选：C.5.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数在上连续单调递增，且，所以函数的零点在区间内.故选：C.6.已知，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】＝-sin[]＝.故选：C．7.设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，若，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以函数的周期为2，因为函数是定义在上的偶函数，所以，，因为，在上单调递增，所以，所以.故选：B.8.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第次操作中去掉的线段长度之和不小于，则的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】第一次操作去掉的线段长度为，第二次操作去掉的线段长度之和为，第三次操作去掉的线段长度之和为，，第次操作去掉的线段长度之和为，由题意可知，，则，则，所以，即，又，带入上式，可得.故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题.每小题5分共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知，，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】对于A，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以A正确；对于B，因为，当且仅当时取等号，所以B正确；对于C，因为，当且仅当时取等号，所以C错误；对于D，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以D错误.故选：AB.10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C.当时，的值域为 D.在上单调递减【答案】ABD【解析】由图象可得函数的周期为，故，故A正确；由，故，所以，其中，所以，故，故B正确；当时，，故，故C错误；当时，，而在为减函数，故在上为减函数，故D正确.故选：ABD.11.有如下命题，其中真命题的标号为（）A.若幂函数的图象过点，则B.函数(，且)的图象恒过定点C.函数有两个零点D.若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是【答案】BD【解析】设幂函数，将代入，解得，则，不成立，错误；函数中，令，则函数图象恒过定点，B正确；函数在上单调递增，且，故只有一个零点，C错误；函数的对称轴为，此时取得函数最小值，又，故的取值范围是，，D正确.故选：BD．12.若函数满足：在定义域D内存在实数，使得成立，则称函数为“1阶马格丁香小花花”函数.给出下列4个函数，其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】选项：对于，若是“1阶马格丁香小花花”函数，则有解，变形可得，而该方程无实数解，故不是“1阶马格丁香小花花”函数；选项B：对于，其定义域为，若“1阶马格丁香小花花”函数，则方程有解，变形可得，解可得，故函数是“1阶马格丁香小花花”函数；选项C：对于，若存在，使，则，即，而，故方程无解，故不是“1阶马格丁香小花花”函数；选项D：对于，存在，有成立，故是“1阶马格丁香小花花”函数．故选：BD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知，若是第二象限角，则的值为__________.【答案】【解析】，所以，所以，所以.又因为是第二象限角，所以，，所以.14.已知函数，若，则__________.【答案】【解析】由题意知，则，.15.若，，则______________．【答案】0或【解析】由已知可得，，所以，，整理可得，，解得或.当时，，，；当时，，，.综上所述，或.16.已知函数(是自然对数的底数)有唯一零点，则___________.【答案】【解析】，故为偶函数，而为唯一零点，故零点为，故即.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知.（1）求值：；（2）求值：．解：（1）由已知可得，.因为，所以原式.（2）由已知可得，.因为，所以原式.18.已知函数，直线是其图象的一条对称轴．（1）求值；（2）用五点作图法列表画出函数的草图，并写出函数在上的单调减区间．解：（1）根据已知结合正弦函数的性质可得，，所以.又，所以，.（2）令，列表可得，00010作出函数的图象如下：由图象可知，函数在上的单调减区间为，.19.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现．某珍稀水果树的单株产量即（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为（单位：元）．（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?解：（1）由已知.（2）由（1）得，即由二次函数的单调性可知，当时，，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取得最大值，综上，当时取得最大利润，最大利润为480元.20.已知函数，且当时的最小值为.（1）求的值；（2）先将函数的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求方程在区间上所有根之和.解：（1），∵，∴，∴，∴.（2）依题意得，由得，∴()或()，∴或，解得或，∴所有根的和为.21.若函数f(x)满足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1).（1）求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．解：（1）令logax＝t(t∈R)，则x＝at，∴f(t)＝(at－a－t)．∴f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)．∵f(－x)＝(a－x－ax)＝－(ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0，∴f(x)为增函数．当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0，∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．（2）∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，只需f(2)－4≤0，即(a2－a－2)≤4.∴()≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，∴2－≤a≤2＋.又a≠1，∴a的取值范围为[2－，1)∪(1，2＋]．22.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称函数“局部中心函数”.（1）已知二次函数，试判断是否为“局部中心函数”.并说明理由