江苏省南京市两校2024-2025学年高一上学期期中学业质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市两校2024-2025学年高一上学期期中学业质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，，则.故选：A.2.已知，则（）A.－1 B.1 C. D.【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.3.已知函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】由，所以.故选；D.4.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】根据全称命题的否定可知，，的否定为，.故选：A.5.已知，则“”是“”的（）条件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】若，，满足，但不成立；若，则，则成立.“”是“”的必要不充分条件.故选：B.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由不等式性质，，故A错误，由，故B错误；由，故C正确；由，故D错误.故选：C7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，，，所以.故选：B.8.定义：表示、中的较小者．若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出函数的图象如下图中的实线所示：令，可得或，即点A0,-1、，令，可得，即点B1,-1，由图可知，当函数在区间上的取值范围是-1,0，且当时，取到最大值.故选：B.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.甲、乙、丙、丁四位同学均完成了道选项为、、、的单选题，他们的对话如下：甲：我选的；乙：我选的；丙：我选的；丁：我选的不是．已知这四位同学选的选项各不相同，且只有一位同学说了谎，则说谎的同学可能是（）A甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】AB【解析】若甲说了谎，则乙选，丙选，甲不选，则甲选，丁选，合乎题意；若乙说了谎，则甲选，丙选，乙不选，则乙选，丁选，合乎题意；若丙说了谎，则甲选，乙选，丙不选，则丙选，丁选，不合乎题意；若丁说了谎，则丁选，丙选，不合乎题意.故选：AB.10.已知函数，的定义域均为，下列结论正确的是（）注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值A.若，均增函数，则也为增函数B.若，均为减函数，则也为减函数C.若，均存在零点，则也存在零点D.若，均存在零点，则也存在零点【答案】AC【解析】对A，，均增函数，则也为增函数，故A正确；对B，，均为减函数，则不一定是减函数，例如，不是减函数，故B错误；对C，因为定义域为，且有解，则有解，故C正确；对D，，均存在零点，则不一定有零点，例如都有零点，但无零点，故D错误.故选：AC.11.设，正数，且且，则（）A.的最小值是2 B.的最大值是C.的最大值是 D.的最大值是【答案】ACD【解析】由，所以，对A，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对B，由可得，当且仅当下时取等号，令，则，解得，即，，当且仅当时取等号，故B错误；对C，由，令，则，解得，即，当且仅当时等号成立，故C正确；对D，由可得，所以，令，由B知，则由可知当时，，故当时，有最大值，故D正确.故选：ACD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的定义域为___________.【答案】【解析】由可知：，故，即函数的定义域为.13.已知，，则__________（用、表示）【答案】【解析】因为，则，又因为，所以.14.已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则_________，的取值范围为_________．【答案】【解析】由题意，，即，设不等式的解集为，则，，则，因为不等式解集中有且仅有个整数，所以，即，解得，所以的对称轴满足，而，即离对称轴距离最近的整数只有，所以，所以三个整数解为，所以，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，．（1）当时，求；（2）若，求的取值范围．解：（1）因为，当时，，则或x≥4，此时，.（2）因为，则，显然，则，解得，因此，实数的取值范围是.16.已知，命题，，命题，．（1）若为真命题，求的最小值；（2）若和恰好一真一假，求的取值范围.解：（1）为真命题，即对任意恒成立，所以对任意恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，解得，即的最小值为.（2）若为真命题，即当时，有解，因为开口向上，对称轴为，所以只需，即，所以当真假时，则，解得；当假真时，则，解得，综上，的取值范围.17.已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行.（1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间；（2）一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值．解：（1）如下图所示：由题意可得，，，，，由勾股定理可得，因此，此人从海岛到达地的时间为.（2）如下图所示：，，，，由勾股定理可得，由题意可得，即，可得，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，快递员的速度的最大值为.18.已知函数，．（1）是否存在，使得？请说明理由；（2）设函数，判断并证明在区间上的单调性；（3）设函数证明：，且，．注：函数在上单调递增．解：（1）函数，，由，得，解得，所以存在x∈R，使得，.（2）依题意，函数定义域为，在上单调递减，，，由，得，则，即，因此，所以在区间上的单调递减.（3）依题意，函数，①，，由，得，则，于是；②，，由，得，于是；③，，，，当时，，，，则，，因此；当时，，，函数在上单调递减，则，则，，因此，即，，所以，且，.19.我们知道，任何一个正实数都可以表示成．当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如．（1）求，，并写出的表达式（不必写