湖南省邵阳市新邵县2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省邵阳市新邵县2023-2024学年高二上学期期末数学试题考生注意：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，本试卷共22题，满分150分，考试时量120分钟.2．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.3．选择题的做题：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效.4．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区无效.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，则直线AB的倾斜角为（）A.0° B.90° C.180° D.不存在【答案】B【解析】∵直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，∴直线AB的斜率不存在，∴直线AB的倾斜角90°．故选B．2.如图，在四面体OABC中，M在棱OA上，满足，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据空间向量可知，，故选：C3.已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）A.1 B.3 C.7 D.9【答案】B【解析】由题意，，∴，，故选：B．4.设,记不超过的最大整数为，如，，令，则，，，三个数构成的数列（）A.是等比数列但不是等差数列B.是等差数列但不是等比数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】A【解析】=-1=,=1,故三个数成等比,选A．5.双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线离心率为（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】抛物线的焦点为，即为双曲线的一个焦点坐标，所以离心率为，故选：C．6.设等差数列的前项和为，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由等差数列的性质可知，、、、成等差数列，且该数列的公差为，则，所以，，因此，.故选：D.7.已知，，是圆：上的动点，则外接圆的周长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】中点横坐标为，所以外接圆的圆心在上，设圆心为，则半径为，圆心距，圆，又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，所以，显然成立，两边同时平方可得，，所以，所以所以当且仅当解得时取得等号，所以周长的最小值为，故选:C.8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数：，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.设数列的前项和为，记，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因，所以①，②，由①+②，得，又，即，所以.故选：C.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（）A.是a，b，c成等差数列的充要条件B.是a，b，c成等比数列的充要条件C.若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列D.若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列【答案】AC【解析】对于选项A：根据等差中项即可得出是a，b，c成等差数列的充要条件，故A正确；对于选项B：，即，又a，b，c为非零实数，所以根据等比中项即可证明a，b，c成等比数列，a，b，c成等比数列，只能证明，即是a，b，c成等比数列的充分不必要条件，故B错误；对于选项C：若a，b，c成等比数列，则，则，则，，成等比数列，故C正确；对于选项D：若a，b，c成等差数列，则，无法得到，故D错误；故选：AC.10.已知方程，则下列说法中正确的有（）A.方程可表示圆B.当时，方程表示焦点在轴上的椭圆C.当时，方程表示焦点在轴上的双曲线D.当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10【答案】BCD【解析】对于A，当方程可表示圆时，，无解，故A错误.对于B，当时，，，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确.对于C，当时.，，，表示焦点在轴上的双曲线，故C正确.对于D，当方程表示双曲线时，；当方程表示椭圆时，，所以焦距均为10，故D正确.故选：BCD11.已知直线与椭圆C）交于A，B两点，线段AB的中点为，则C的离心率可能是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】设，，则，从而，故，由题意可得，故，又因为，则，从而，因为，所以，椭圆C的离心率，所以椭圆离心率范围为，故与满足要求.故选：BD12.如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段，上的动点（不含端点），且.则下列说法正确的是（）A.平面B.该三棱柱的外接球的表面积为C.异面直线与所成角的正切值为D.二面角的余弦值为【答案】ABD【解析】对于A项，因为，所以.根据直三棱柱的性质可知，，所以，.因为平面，平面，所以，平面.故A项正确；对于B项，如图，分别取的中点为，连接，则中点即为三棱柱的外接球的球心.又根据三棱柱的性质可知，点也是的中点.由已知可得，，，，所以，.所以，，即外接球的直径为，半径为，表面积为.故B项正确；对于C项，因为，所以与所成的角即等于异面直线与所成角.在中，有.故C错误；对于D项，如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，.设是平面的一个法向量，则，取，则.设为平面的一个法向量，则，取，则.所以，.又由图可知，二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为.故D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线在点处的切线方程为___________．【答案】【解析】所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．14.已知点是圆的动点，直线上存在两点，使得能成立，则线段长度的最小值是_________．【答案】【解析】由圆得圆心,半径.因为直线上存在两点，使得恒成立，则以为直径的圆包含圆，当长度最小时，两圆内切，设中点为，则此时,所以.故答案为：15.已知数列满足：，，，则______．【答案】1或8【解析】①若为偶数，则由可得，若为偶数，则由可得，进而或者，均满足要求，若为奇数，则由可得，不符合要求，舍去，②若为奇数，则由可得，不符合要求，舍去，综上或，故答案为：1或816.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上上存在一点满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________．【答案】【解析】取的中点Q，连接，如图所示，

则，所以，所以，所以为等腰三角形，即，且，所以，又因为点在右准线上，所以，即，所以，即，解得或，又，所以，故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知等比数列的各项均为正数，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求．解：（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，即，解得或（舍去），所以．（2）因为，所以．18.已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点．（1）求圆的标准方程；（2）当时，求直线的方程．解：（1）设圆A的半径为r，由题意知，圆心到直线l的距离为，即，所以圆A的方程为；（2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即，点A到直线的距离为1，此时，符合题意；当直线与x轴不垂直时，设，即，取的中点Q，连接，则，因为，所以，又点A到直线的距离为，所以，解得，所以直线方程为．综上，直线的方程为或．19.如图，四棱锥中，，且，（1）求证：平面平面；（2）若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面（2）∵平面平面，交AD于点F，平面，平面平面，∴平面，以为原点，，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，求得法向量为，由，所以直线与平面所成角的正弦值为.20.已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等比数列；（2）若，数列前项的和为，求．解：（1）由，得，即，即，所以数列为等比数列，首项，公比（2）由（1）得，①②①-②，得21.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若，求函数的极值.解：（1），，，当时，，所以在区间上单调递增；当时，取，解得（舍去负值），当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，，取，解得（舍去负值），当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以有极大值为，无极小值.22.在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.解：（1）因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，所以，轨迹的方程为.（2）[方法一]【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设,设直线的方程为．联立,化简得，，则．故．则．设的方程为，同理．因为，所以，化简得，所以，即．因为，所以．[方法二]：参数方程法设．设直线的倾斜角为，则其参数