材料力学（第2版）课件：杆件的内力分析B

杆件的内力分析(B)InternalForcePARTB杆件的内力分析（B）InternalForce（PARTB）2.4弯曲的概念与实例2.5剪力与弯矩2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系2.4弯曲的概念与实例2.4弯曲的概念与实例

杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bending）。主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。栋梁（屋顶最高处的水平木梁，支承着椽子的上端）之才2.4弯曲的概念与实例支座的简化固定铰支座可动铰支座2.4弯曲的概念与实例支座的简化固定铰支座可动铰支座固定端约束问题：这些约束上有哪些约束反力(偶)？2.4弯曲的概念与实例梁的类型简支梁外伸梁悬臂梁2.4弯曲的概念与实例

当杆件承受垂直于其轴线的外力，或在过其轴线的平面内作用有外力偶时，杆的轴线将变为曲线，这种变形称为弯曲。平面弯曲梁轴线纵向对称面变形后，梁的轴线弯成外载荷作用平面内的平面曲线。2.4弯曲的概念与实例

桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布载荷q)的作用下,大梁将发生弯曲。2.4弯曲的概念与实例

石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。2.5剪力与弯矩2.5剪力与弯矩如图所示简支梁，求任意截面处的内力可求约束反力利用截面法求内力FS

剪力

与横截面相切的分布内力系的合力M

弯矩

与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩凡剪力对所取梁内任一点的力矩顺时针转向的为正，反之为负；凡弯矩使所取梁段产生上凹下凸变形的为正，反之为负。2.5剪力与弯矩

在求解问题中，可预先设置剪力和弯矩为正。剪力和弯矩均按图示设为正。剪力和弯矩均按图示设为正。

取截面左右两侧的部分构件计算，所得到的内力大小相等，方向相反，但正负号相同。2.5剪力与弯矩【例题2.5】

如图所示简支梁，AC段受均布载荷q作用，支座B内侧受力偶Me=ql2作用，求截面D-D、E-E上的剪力和弯矩，其中截面E-E无限接近于右端支座但位于集中力偶作用处的左侧。2.5剪力与弯矩(1)求约束力(过程略)(2)求截面D-D上的内力(3)求截面E-E上的内力2.5剪力与弯矩【讨论】(1)力矩平衡方程中下标C表示默认向横截面形心C取矩。(2)梁任一横截面上的剪力，数值上等于该截面左边(或右边)梁上所有外力的代数和。截面左边梁上向上的外力(或截面右边梁上向下的外力)引起的剪力为正，反之为负。(3)梁任一横截面上的弯矩，数值上等于该截面左边(或右边)梁上所有外力对该截面形心C之矩的代数和。截面左边梁上的外力和外力偶对该截面形心C之矩为顺时针(或截面右边梁的外力和外力偶对该截面形心C之矩为逆时针)转向的为正，反之为负。2.5剪力与弯矩求解梁指定截面的剪力和弯矩的一般步骤：1、求出约束反力（重要）；2、选择被截下部分的梁作为研究对象，并预设剪力弯矩为正值方向，画出受力分析图；3、按照静力学平衡方程求出截面上的剪力和弯矩的具体数值。2.5剪力与弯矩2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程

一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置而变化，若以横座标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为x的函数(分段函数)。剪力方程弯矩方程

依照剪力方程和弯矩方程绘制的内力曲线图(x轴-横截面位置，y轴-剪力弯矩)称为剪力图和弯矩图。2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图如图所示简支梁受均布载荷q作用,求

(1)剪力方程和弯矩方程;

(2)画剪力图和弯矩图。解(1)求约束力(2)列剪力方程和弯矩方程(3)画出剪力图和弯矩图剪力图斜直线弯矩图二次抛物线2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图讨论(1)梁结构和载荷相对于梁中点横截面对称，其剪力(反对称内力)图相对于梁对称面反对称，弯矩(对称内力)图相对于梁对称面对称。(2)无外力偶作用的铰支端，弯矩为0。(3)集中力作用处(支座约束力)，自左向右弯矩图不变，剪力图沿集中力方向突变集中力值。(4)弯矩图实际上是画在梁的受压边。2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图如图所示悬臂梁受集中力F作用,求

(1)剪力方程和弯矩方程;

(2)画剪力图和弯矩图。解(1)列剪力方程和弯矩方程(2)画出剪力图和弯矩图剪力图水平直线弯矩图斜直线2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图讨论(1)有集中力偶(本题为约束力偶)作用的固定端，弯矩图突变集中力偶值；(2)无外力偶作用的自由端弯矩为0。2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图如图所示简支梁受集中力偶Me作用,求

(1)剪力方程和弯矩方程;

(2)画剪力图和弯矩图。解(1)求约束力(2)列剪力方程和弯矩方程AC段CB段2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图讨论(1)在集中力偶Me作用两侧，剪力图不变化，弯矩图突变集中力偶值；(2)若a=b

则结构对称，载荷反对称，从而剪力图对称，弯矩图反对称。2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图如图所示简支梁受集中力F作用,

画剪力图和弯矩图。解(1)求约束力(2)列剪力方程和弯矩方程AC段CB段2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图讨论(1)若a=b=l/2则结构对称，载荷对称，从而弯矩图对称，剪力图反对称；(2)集中力作用处，剪力图沿集中力方向突变集中力值。由以上各例的内力方程可见内力与外载荷成线性关系，若某简支梁同时作用上面各例中的载荷，可利用叠加法绘制其剪力图和弯矩图。2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图【例题2.6】

如图所示，写出外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图（已知均布载荷q=3kN/m,集中力偶M=3kN·m）【例题2.6】解q=3kN/m,M=3kN·m(1)求约束力(2)列剪力方程和弯矩方程

在CA

AD

DB三段中，剪力和弯矩都不能用同一个方程式来表示，所以应分为三段建立剪力方程和弯矩方程。分段连续函数。(2)列剪力方程和弯矩方程CA段:AD段:DB段:求AD段的极值：2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系

由于载荷的不同，梁的剪力和弯矩图也不同。

图中FS=0的截面上，弯矩有极值，其他的例子中也总结了一些规律，这都说明载荷、剪力、弯矩之间存在着一定的关系；

找到这些关系，对我们方便快速地画出剪力弯矩图具有很大的益处。2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系如图所示受任意载荷的直梁建立坐标系取其中一微段dxq(x)为连续函数，规定向上为正将该微段取出，加以受力分析2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系由（1）式可得:（2）式中略去高阶微量注意在集中力和集中力偶作用处微分关系不成立2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系剪力图上某点的斜率等于分布载荷的数值弯矩图上某点的斜率等于剪力的数值2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系在剪力图无突变(无集中力作用)的某段梁上，有在弯矩图无突变(无集中外力偶作用)的某段梁上，有上述积分关系有时可简化控制截面的内力计算。q图的面积Fs图的面积2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系若q(x)为常数，则可根据这些关系得到如下表格2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系忽略高阶微量忽略高阶微量在有集中力F

作用处两侧截面上剪力值突变F在有集中力偶M作用处两侧横截面上弯矩值突变Me若梁上某处既有集中力，又有集中力偶，则该截面剪力突变，弯矩突变2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系【例题2.7】

如图所示，不列剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图（已知均布载荷q=3kN/m,集中力偶M=3kN·m）2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系(1)计算约束力q=3kN/m,M=3kN·m(2)画出剪力图集中力突变均布载荷线性渐变2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系(3)画出弯矩图根据微分关系列表(熟练后可省略)

由于剪力值均为负，且AC段无集中力偶，故AC段任一截面上弯矩不可能大于0

剪力为