陕西省安康市2024-2025学年高二年级上册期中考试检测数学试卷

陕西省安康市2024-2025学年高二上学期期中考试检测数学

试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/=任|%2+苫-240},0="€2|尤|42}，则〃cQ=()

A.{0,1}B.{-2,-1,0,1}C.[-2,1]D.[0,1]

2.若复数z=5+3i，且iz=a+eA),则a+6=

A-2B--2C'-8D-8

3.已知直线4：》+2了+5=0与4：3尤+9+6=0平行,且1过点(-3,1),则巴=()

C

A._3B.3--2D.2

,什tana=2ncos2a,,..,

4.若，则.c,的值为()

sin2a+cosa

A.--B.0f|C.-D.-

452

5.直线y=2x+6被圆（x+2『+V=4截得的弦长为（)

A.回B.5/C.8石D.2业

35

6.如图，在直三棱柱48c-48cl中，V4BC是等边三角形，回=也,AB=2,则点C

到直线力用的距离为（）

试卷第11页，共33页

A.^6B.C.2^D.巫

3333

7.已知圆G：X2+/=1与圆G：（x_q『+（y_l）2=]6g>0）有4条公切线，则实数。的取

值范围是（）

A.（。,2夜）B,（2板,+8）

C.（0,2灰）D.（2跖+8）

8.如图，在棱长为2的正方体45。>_48£2中，P为4口的中点，。为/向上任意一

点，£,尸为CD上两点，且斯的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）

A.点P到平面QE户的距离

B.直线尸0与平面尸石尸所成的角

C.△QE尸的面积

试卷第21页，共33页

D.三棱锥尸-QEF的体积

二、多选题

9.已知直线y=2x与x+y+a=O交于点尸（1/），则（）

A.a=-3嗔

b=2

C.点尸到直线"+“+3=°的距离为名叵

13

D.点尸到直线^+勿+3=°的距离为迤

13

10.已知空间向量£=（_3,-1,2）,5=（3,3,1），则下列说法正确的是（）

A.（3Q+2B）//QB.Q_L（5Q+7B）

C.|a|=V14D,1^1=719

11.直线y=2x+加与曲线"="73恰有两个交点，则实数加的值可能是（

9

-AB.C4.D5

2-

三、填空题

12.过点（3,1）且在x轴、V轴上截距相等的直线方程为.

13.若正实数。，6满足4°+6=M，则4“+6的最小值是一

试卷第31页，共33页

14.己知圆C：X2+/=4,从点E(-4,2)出发的光线经过x轴反射后的反射光线要想不被

圆C挡住从而到达点厂(5,加)(当光线与圆相切时也认为光线没被圆挡住)，则实数机的取

值范围为—.

四、解答题

15.已知V4BC的顶点坐标为一1,6),8(-3,-1),。(4,21

(1)若点。是4C边上的中点，求直线go的方程；

(2)求边上的高所在的直线方程.

AAnR

16.已知圆C过点4(0,1)，且圆心。在直线丫口工生B上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点尸(-4,2)的直线/与圆C相切，求直线/的方程.

17.如图，在直三棱柱-445中，48J_/C,/8=/C=/4，点E,尸分别为棱

48,44的中点•

(1)求证：4F//平面81C£;

(2)求直线ClE与直线AF的夹角的余弦值.

18.已知x,，是实数，且(x7『+(y_2『=4-

试卷第41页，共33页

(1)求3x+4y的最值;

(2)求上的取值范围;

X

⑶求产衣的最值・

19.如图，在四棱锥尸-ABCD中，四边形48CL(为矩形，AB=242,BC^2,平面尸/C，

平面N3CLH且P/=PC，点£,斤分别是棱PC的中点，

(1)求证平面尸/C；

(2)若直线PA与平面PBD所成的角的正弦值为亚.

3

①求.的长；

1

②求平面与平面FDR的夹角的余弦值.

rpUrE)jFrUD

试卷第51页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案AADBCCDBABDBCD

题号11

答案BC

1.A

【分析】分别求得集合.和N，根据交集的定义即可求解.

【详解】由题可知，M={x\-2<x<l}^0={0,1,2}，

所以Mc0={O,l}，

故选：A.

2.A

【详解】因为z=5+31，所以匕=一3+5]=。+n,/.4=一3,6=5,「.4+6=2,故选A.

3.D

【分析】根据两直线平行的条件求出〃=6,将代入直线4求出b=3即可.

【详解】因为直线4：x+2y+5=0与直线4:3%+@+6=0平行，

所以Ixq-2x3，解得a-6f

又直线，2过则-9+6+b=0，解得6=3,

经验证4与4不重合，所以3=2.

b

故选：D.

4.B

【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次式法求值即得.

■、江左力..tana=2/曰cos2acos2a-sin2a1-tan2a1-223

【详解】由，W---------^―=—：----------^―=--------=------=一一

sin2a+cosa2sin«cosa+cosa2tana+12x2+15

故选：B

答案第11页，共22页

5.C

【分析】先求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长.

【详解】由题意可知：圆（》+2『+/=4的圆心为（-2,0），半径厂=2,

圆心（一2，。）到直线"-了+6=0的距离为八艮!*=2，

所以直线被圆截得的弦长为26彳=述.

5

故选：C.

6.C

【分析】取NC的中点。，以03所在直线为X轴，OC所在直线为V轴，。与4G中点连

线所在直线为Z轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】解：取/C的中点0，

则8O_L/C,8O=5

以所在直线为x轴，oc所在直线为、轴，。与4G中点连线所在直线为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系。一孙Z，

所以/（0,-1,0）田（后0,后）,40,1,0）,

所以而在函上的投影的长度为回鲂=二_=",

\AB}|V63

答案第21页，共22页

zA

CAB,

故点到直线的距离为1=MC「_使

3

故选：C.

7.D

【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：马。

【详解】根据题意可知，圆eq外离，/小+，2，▽1>1+4•/>24,又

a>O,:.a>2A/6•

故选：D

8.B

【分析】对ACD,根据斯面积表达式确定其面积，结合平面QEF为确定的面判断即

可；对B,根据尸所为确定面，进而分析直线尸。与平面尸防所成的角是否变化即可；

【详解】对A,因为平面0E尸即平面4℃片为确定的面，且点尸为确定的点，故点尸到平

面0£尸的距离为定值；

对B,易得平面尸为平面，且//DC，4耳也平面尸E尸，DCu平面PEF,故

44〃平面尸£户.因为,故。到平面PE户的距离为定值，又尸0长度不为定值，故

答案第31页，共22页

P0与平面PEF所成的角的正弦不为定值，即尸。与平面PEF所成的角不确定;

对CD,因为。到斯的距离为定值，故尸为定值，由A可得点尸到平面以户的距离

为定值，故三棱锥P-QE尸的体积为定值，故斯的面积与三棱锥尸的体积均为

定值；

故选：B.

9.ABD

【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数。、b,进而应用点线距离公式求？到直线

亦+如+3=0的距离即可.

【详解】由题意，得：P=2,解得"=-3,b=2,故人、B正确，

[1+6+Q=0

氧21-3无+2y+3=0|-3+4+3|_4713

•••到直线的距离♦=八_3)?+22=三一'故C错误，D正确.

故选：ABD.

10.BCD

【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算,

即可求解.

【详解】因为向量3=(一3,-1,2),5=(3,3,1)，可得同2=1“工=-10，

对于A中,由3。+2彼=(一3,3,8)，设3公+2刃=苏，gP(-3,3,8)=2(-3,-1,2)-

-3=-3A3a+1ba

可得3=4，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误；

8=24

对于B中，由小(53+7办)=5a2+1a-b=5xl4+7x(-10)=0,

答案第41页，共22页

所以a，(53+7B),所以B正确；

对于c中，由同=1-3)2+(-1)2+22=旧,所以C正确；

对于D中，由］=j32+32+『=M,所以D正确.

故选：BCD.

11.BC

【分析】由曲线y=表示圆一+y=4在x轴的上半部分，利用直线与圆相切求出加

的值，结合图形即可得答案.

【详解】解：曲线尸”7/表示圆/+y=4在x轴的上半部分，

2

当直线)=2》+加与圆x+/=4相切时，_H=2；解得旭=±2后，

所以由图可知实数机的取值范围为426，

故选：BC.

12.x+y_4=0或x_3y=0

【分析】由题意，截距相等包括截距都为0和截距相等且不为0两种情况，分别用点斜式

与截距式求解方程即得.

答案第51页，共22页

【详解】设直线在X轴、歹轴上的截距均为4，

①若"二°,即直线过原点，设直线方程为，=入，代入（3」），可得左=」，

3

故直线方程为y=；x,即“一3了=0；

②若"二°,则直线方程为'+2=1,代入（3/）可得之+1=1,

aaaa

解得〃=4，故直线方程为x+歹-4=0-

综上所述：所求直线方程为x+y-4=0或x-3y=0.

故答案为：％+y-4=0或工-3>=0.

316

【分析】由基本不等式得到4AV（4。+6）2,将4。+°=岫代入，求出最小值.

4ab<-------

4

【详解】因为由基本不等式得<A<（4。+6）2,

Aab<-------

4

即4（4»）V）2,解得小吐16,

当且仅当4a=6，即a=2,6=8时，等号成立.

故答案为：16

14.[10,+8）

【分析】令从点£（-4,2）出发的光线射到x轴上的入射点为B,反射光线的反向延长线必过

答案第61页，共22页

点£(-4,-2),设直线£8的方程为〉=以彳+4)_2,(%＞0)，根据直线与圆的位置关系求出

人的取值范围，再由机=9%-2求出心的范围.

【详解】令从点E(-4,2)出发的光线射到x轴上的入射点为B，反射光线的反向延长线必过

点E'(T,-2)，

设直线E'B的方程为了=依＞+4)-2,住＞0)，

当直线E5与圆c：/+/=4相交时，反射光线被圆C挡住不能到达点尸(5,以)，

则不被挡住时，平工解得后或(舍去)，

7F7T3

直线E'2与直线x=5的交点尸(5,加)，因此m=9左-2210，

所以实数旭的取值范围为［10,+8).

15.(l)10x-9y+21=0

(2)2x+7y-22=0

【分析】(1)由中点坐标公式得到。(g,4)，再由两点求出斜率，最后有点斜式方程求出

答案第71页，共22页

即可;

AR9

(2)由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为-工，再由点斜式得到直线方程

7

即可；

【详解】(1)因为点。是“°边上的中点，则。(1，力，

_-1-410

所以须

-j—

2

所以直线助的方程为y+l=£(x+3),

即10x—9歹+21=0;

-1-67

(2)因为

-3+1-5

所以“'边上的高所在的直线的斜率为-2,

7

所以“'边上的高所在的直线方程为了-2=-：(>4),即加+7y-22=0.

16.(1)(x+2)2+(y-1)2=4；(2)x=_4或3x_4y+20=0.

【解析】(1)圆C过点/(oj),5(-2,-1)-且圆心C在直线y目x处上，可用待定系数法

求圆的标准方程；

(2)求圆的切线,分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论.

【详解】解：(1)直线N8的斜率为上上1=1,线段的中点坐标为(T'°)

0-(-2)

直线AB的垂直平分线的方程为y=_(x+1),整理为y=-x-l

答案第81页，共22页

联立方程?=x+3,解得「=一2

[y=_xT[y=i

由圆C的性质可知，圆心c的坐标为（-2,1）,可得圆c的半径为|/c|=2

故圆C的标准方程为（x+2）2+（>>-1）2=4

（2）①当直线/的斜率不存在时，直线丫=_4正好与圆。相切，

故此时直线/的方程为x=_4

②当直线/的斜率存在时，设直线I的方程为尸2=《（X+4），

整理为kx-y+Ak+2=0

由直线/与圆C相切，有口二+"+2]=2,解得左=3

可得直线I的方程为士x-y+5=0,

4

整理为3x-4.y+20=0

故直线/的方程为x=-4或3x-4y+20=0.

【点睛】求圆的切线方程的思路通常有两种：

（1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径；

（2）代数法:直线方程与圆的方程联立，利用A=0.

17.（1）答案见解析

⑵立

5

【分析】（1）先证口.即/，再由线线平行正线面平行即可；

（2）由题意建系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得.

答案第91页，共22页

【详解】(1)因48C-431cl是直三棱柱，则48〃4稣48=44，

又因点£,尸分别为棱AB,44的中点，P斤以4E〃BF，AE=BF，

则四边形/Eq厂是平行四边形，所以AF//B[E，

又因/尸(z平面B.CE,B、Eu平面B\CE，故AF11平面BXCE；

(2)

ZA

如图，因直三棱柱/2C-/4cl中48/ZC，故可以A为原点，以/2,/C,44]

所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

不妨设44j=2，则G(0,2,2),£(1,0,0),尸(1,0,2)，于是甲=(1,-2,-2),万=(1,0,2)，

QEAFe___\C^E.AF\/7

设直线与直线的夹角为，则cosO=卜os〈GE,//〉卜j右定=彳,

故直线G“与直线”/的夹角的余弦值为啦.

5

18.(1)21

(2),oo,-gU[0,+oo)

(3)最小值为百一2,最大值为6+2

答案第101页，共22页

【分析】（1）首先设3x+4y=z，利用直线与圆有交点，列式求z的最值；

（2）首先设左=2,转化为直线"用的与圆有交点，列不等式求％的取值范围；

X

（3）根据不了的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值.

【详解】（1）设3x+4y=z，化为3x+4y-z=0，

可知直线3x+4y-z=0与圆（x_i）2+（y_2『=4有交点，圆心（1,2），半径为2,

<I3+8_ZI<2>解得1"21,

5

可得3x+4y的最小值为1，最大值为21；

（2）设左=上，化为.用项，

X

可知直线Ax西^B0与圆+（,一2）2_4有父点，

有卜解得或《V/，

故上的取值范围为1-00,-gU[0,+oo）;

（3）/T宁的几何意义为坐标原点到圆（x_]『+（y_2）2=4上任意一点的距离，

圆（x_iy+（j,_2）2=4的圆心到坐标原点的距离为彳百=指，

故后k的最小值为行-2,最大值为火+2・

19.（1）答案见解析

⑵①2；②2庶

11

答案第111页，共22页

【分析】（1）利用二角函数先证/c,，记8Z）c/C=O，连接尸0，再证「o’平面

ABCD,得P0工DE,由线线垂直即可推得线面垂直；

（2）①通过建系，写出相关点和向量坐标，求得平面尸A3的法向量坐标，利用空间向量

的夹角公式列方程，求解即得；②分别求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计

算即得.

【详解】⑴在矩形4BCD中，AB：BC=y/2：l＞且E是A8的中点，

6..ZADE=ZCAB

tan/ADE=tan/CAB='故'

2

又/G45+Z714C=90°，则//DE+/D/C=90°，即NC_LOE，

如图，记=连接P。，

因ABCZ）是矩形，故°是/c的中点，又PA=PC，所以PO_L/C，

又平面尸NC_L平面48cD,平面尸/CPI平面48co=/C,尸Ou平面尸/C,故尸。_L平面

ABCD,

又DEu平面/BCD，所以P0_LDE，

又NCCPO=O,/C,POu平面尸NC,所以。E_L平面上4C;

(2)

答案第121页，共22页

z,

C

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