三角形中的角平分线模型（解析版）-2023年中考数学几何模型重点突破

专题05三角形中的角平分线模型

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【模型1］如图，已知0P平分ZAOB,过点P作尸。CM,尸£，08；可根据角平分线性质证得NODP

卷AOEP,从而可得NOP。=NO尸£,OD=OE;PD=PE。

A

EB

【模型拓展】与角平分线有关的辅助线作法

【辅助线作法一】

如图，已知0P平分NZ08,点C是0A上的一点，通常情况下，在0B上取一点D,使得0。=。。，连接

PD,结合。尸=。尸，NPOC=ZPOD,可证得AOPC以AOPD。从而可得PC=PD,ZPCO=ZPDO,

ZCPO=NDPO。

P

DB

【辅助线作法二】

如图，己知0P平分NZ05,CPLOP,通常情况下，延长CP交0B于点D,结合。尸=。尸,

ZPOC=ZPOD,ZOPC=ZOPD=90°,可证得AOPCgAOPD。从而可得尸C=尸。，

ZPCO=ZPDO,OC=ODa

A

c

DB

【辅助线作法三】

如图，已知OP平分4408,通常情况下，过点P作PC〃OB,根据平行线性质：两直线平行内错角相等;

结合/尸。。=/尸。£>,从而可得尸C,ZCOP=ZCPOo

【例1】如图，OC为々108的角平分线，点P是。C上的一点，PD工04于D,PELOB于E,尸为OC上另

一点，连接。尸，EF,则下列结论：®OD=OE；②DF=FE；③乙DFO=LEFO；@SADFP=SAEFP,正

确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】证明△0。尸三△OEP(AAS),由全等三角形的性质可推出OD=OE,证明/三△EPF(S4S),由

全等三角形的性质可推出。尸=£足4>FP=LEFP,SADFP=SAEFP,则可得出答案.

【解析】解：①・・,OC平分乙

:•乙DOP=(EOP,

•・•尸ZHCM于点。，PELOB于点、E,

工乙ODP=£OEP=9。。,

，：OP=OP,

^.AODP=AOEP(AAS),

：.OD=OE.故①正确；

@---AODP=AOEP,

：.PD=PE,乙OPDxOPE,

・•・乙DPF=(EPF,

，:PF=PF,

•••△DPF三AEPF(SAS)f

：.DF=EF.故②正确；

@--ADPF=AEPF,

.-.ADFO=AEFO,故③正确；

@---ADPF=AEPF,

■■.SADFP=SAEFP,故④正确.

故选：D.

【例2】如图，已知0c平分WON,点/、8分别在射线OM,ON上,且O/=O8.

求证：AAOC=ABOC.

【答案】见解析

【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立.

【解析】证明：:OC平分39N,

"OC=LBOC,

在A4OC和△8OC中,

OA=OB

</AOC=/BOC,

oc=oc

•.AAOC=ABOC（&4S）.

【例3】请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理：如图1,在△ZBC中，4。平

分乙BAC,则空二丝，下面是这个定理的部分证明过程：

证明：如图2,过。作CE,交氏4的延长线于瓦

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）如图3,已知RfA42c中，AB=3,2c=4,ZJ5c=90。，4D平分4B4C,求AD的长.（请按照本题题干

的定理进行解决）

9+3加

【答案】（1）见解析；（2）2.

【分析】（1）如图2：过。作CEII。/.交R4的延长线于E,利用平行线分线段成比例定理得到空=答

CDEA

利用平行线的性质得乙2=乙4。£,乙l=LE,由N1=/2得乙4CE=N£,所以即可证明结论；

ArCD5CD

（2）先利用勾股定理计算出4C=5,再利用（1）中的结论得到二=须；，即g=W则可计算出

ABBD3BD

BD=W，然后利用勾股定理计算出4）=述，从而可得到418。的周长.

22

【解析】（1）解：如图2：过C作CEIID4.交8/的延长线于E,

■■■CE//AD,

BDBA

—,£2=cACE,zl=zE,

~CDEA

-AD平分乙BAC

•,.Z.1=Z2,

工乙4CE=^E,

：.AE=AC,

AB_BD

"ACCD'

(2)♦：AB=3,BC=4,乙45C=90。，

・.4C=5,

-AD平分ABAC,

ACCD54—BD

•••——=——,n即n一=-----,

ABBD3BD

3

:.BD=—,

2

■■AD=^BD2+AB2=J])+3?=孚，

■■.AABD的周长=』+3+—="3振.

222

一、单选题

1.如图，中，AB=5,BC=6,CA=10，，点£分别在BC,口上，DE//AB,F为DE中点,

AF平分NB4C,则8。的长为()

BDC

368

A.—B.—C.-D.2

255

【答案】B

【分析】根据角平分线和平行可得区4=斯，从而可得。E=2/E,然后证明△EDC-△/2C,利用相似

三角形的性质即可求出/E,DE,进而求出CD,最后进行计算求出50即可解答.

【解析】解：・••尸为DE中点，

•••ED=2EF，

•・•AF平分ABAC,

ZEAF=/FAB,

-DE//AB,

・•・/FAB=ZAFE,

；"EAF=/AFE,

•••EA=EF,

DE=2AE,

设=贝lJO£=2x,

-DE//AB,

ZEDC=ZB,

•・•zc=zc,

••.△EQC〜LABC,

EDECDC

.•耘一就一就‘

vAB=5,BC=6,CA=10,

2x_10-x

,,一，

510

x-2,

DE=2x=4,

ACD

一=，

56

24

：.CD=—,

BD=BC-CD=6--=-.

55

故选：B.

2.如图，平行四边形4BCD中，的平分线/£交8于E,若48=5,BC=3,则EC的长为（

A.1B.2C.2.5D.4

【答案】B

【分析】根据平行四边形的性质可得45=。。=5,4。=8。=3,4价。。,然后根据平行线的性质可得出5=乙4切,

然后根据角平分线的定义可得"45=乙以。，从而得出N区4。=々助，根据等角对等边可得即

可求出EC的长.

【解析】解:•・•四边形4BCZ）是平行四边形，AB=5,BC=3,

；.AB=CD=5,AD=BC=3,AB\\CD

；/EAB=〃lED

-AE平分（DAB

：/EAB=（EAD

:.乙EAD=UED

：.DA=DE=3

：.EC=CD—DE=2

故选B.

3.如图，O尸平分NMCW,尸于点A,点。是射线OM上的一个动点，则下列结论正确的是（）

二/M

0AN

A.PA=PQB.PA<PQC.PA>PQD.PA<PQ

【答案】D

【分析】连接尸0,当尸时，根据角平分线的性质得出PQ=PA,利用直线外一点到直线的垂线段最

短即可得出结论.

【解析】解：连接尸0,

M

ON

当尸Q1（W时,

•：OP平分乙MON,PQLOM,PALON,

：.PQ=PA,

此时点P到OM的距离PQ最小,

■■.PA<PQ,

故选：D.

4.如图，CD,CE,CF分别是A/BC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）

A.AB=2BFB.ZACE=-ZACBC.AE=BED.CDVBE

2

【答案】C

【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.三角形一个内

角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线.三

角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.依此即可求解.

【解析】解：,•・”），CE,CF分别是△N5C的高、角平分线、中线，

：.CDLAB,Z.ACE=\/.ACB,AB=2BF,无法确定

故选：C.

5.如图，在Al5c中，ZC=9O°,平分NA4C,DEL4B于E,则下列结论：①4D平分乙CDE；

②乙BACMBDE；③DE平分4LD2；@BE+AC=AB,其中正确的有（）

B

E

CA

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出

正确的结果.

【解析】解：以。平分NR4C,

；"AC=3AE,

,•"=90°,DELAB,

.•"=NE=90°,

■.AD=AD,

■■.ADAC=ADAE,

:.4CDA=£EDA,：.@AD平分乙CDE正确；

无法证明Z.BDE=60°，:.③DE平分乙4D2错误；

■■■BE+AE=AB,AE=AC,

■.BE+AC=AB,.-.@BE+AC=AB1E^；

■■■/.BDE=90°-Z.B,乙BAC=9Q°-乙B,

,.乙BDE=LBAC,二②4BAC=4BDE正确.

综上，正确的个数的3个，

故选：C.

6.如图，乙BAC=30°,平分N8/C,DFLAB交AB于F,DELDF交AC于E,若/£=8,则。/等于

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】过点。作。G，ZC,根据角平分线的性质可得。尸=QG,根据角平分线的定义，平行线的性质以

及等腰三角形的判定，可得AE=ED,进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解.

【解析】如图，过点。作。GL4C

•••4。平分/胡。，DFLAB,DG1AC

DF=DG,ACAD=ABAD

・：DE1DF,DFLAB,

AB//DE

/BAD=/EDA

/LEAD=NEDA

EA=ED

AE=8

DE=AE=8

,•24C=30。，

/DEG=30°

DG=LDE=4

2

DF=4

故选B

二、填空题

7.如图，已知4D是A43C的角平分线，DEIMC交于点E,请你添加一个条件，使四边形/皮火

是菱形.

A

【答案】DF\\AB

【分析】添加DWI/5,根据DEII/C交N8于点E,。尸||/8交/C于点R可以判断四边形NEZ小是平行四

边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立.

【解析】解:DFUB,理由如下：

•.DEWAC交AB于点E,DF\\AB交AC于点F,

•••四边形4EZ＞厂是平行四边形，4EAD=UDF,

"AD是AABC的角平分线，

••・Z-EAD=Z.FAD,

:•乙4DF=cFAD,

・・・FA=FD,

平行四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

8.如图，在平行四边形/BCD中，DE平分UDC,AD=8,BE=3,则N8的长为.

【答案】5

【分析】首先由在平行四边形48CD中，/。=8,BE=3,求得CE的长，然后由DE平分乙4DC,可证CD=

CE=5,即可求解.

【解析】•••在平行四边/BCD中，40=8,

■.BC=AD=S,AD//BC,

:CE=BC-BE=8-3=5,AADE=Z.CED,

■■.DE平分乙4DC,

：.^ADE=/-CDE,

:.乙CDE=4CED,

；.CD=CE=5=AB,

故答案为：5.

9.如图，在中，N/C8的平分线交于点D,D£_L/C于点£尸为2C上一点，若DF=AD,

SAACD-S^CDF=6,贝!U/EO的面积为.

【答案】3

【分析】在CN上截取CG=CF,连接。G.根据题意易证ACDG泌CDF(SNS),得出DG=DP,

S&CDG=$ACDF•即可求出AD=DG,SAADG=6.最后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求出S“DE.

【解析】如图，在。上截取CG=CF,连接。G,

,:CD平分/LACB,

/.ZACD=/BCD.

'CG=CF

在△CDG和/中，\ZGCD=ZFCD,

CD=CD

.sCDG=^CDF(SAS),

DG=DF,SKDG=S^CDF.

..v_v=£

•°AACDn^CDF~口，

SAACD—SXCDG=6，即SA/DG=6.

VAD=DF,

AD=DG.

：.AE=EG,

.<?-<?—V—2

J

,•0LADE_2"GDE_2°^ADG~•

故答案为：3.

10.如图，AB=BE,3BC=guBE,BDLAC,则下列结论正确的是：.（填序号）

①3c平分ZDCE；②A48E+NECZ）=180。；③AC=2BE+CE；@AC=2CD-CE.

【答案】①②④

【分析】根据已知■乙48E，BDL4C,想到构造一个等腰三角形，所以延长CD以8为圆心，BC

长为半径画弧，交C£＞的延长线于点R则8尸=BC,就得至IUF3C=2乙D3C,然后再证明三△C8E,

就可以判断出3c平分ZDCE,再由角平分线的性质想到过点3作8GLCE,交CE的延长线于点G,从而证

明4ABDmAEBG,即可判断.

【解析】解：延长CD,以8为圆心，3c长为半径画弧，交CD的延长线于点尸，则8F=BC,过点8作

BG1CE,交CE的延长线于点G,

"FB=BC,BDLAC,

：.DF=DC,ZJDBC=LDBF=y乙FBC,

"DBC=|UBE,

Z-FBC=Z-ABE,

:,乙FBA=^CBE,

•；AB=AE,

:•△FABdCBE(S4S),

:,乙F=2LBCE,

•：BF=BC,

••・cF=^BCD,

:•乙BCD=LBCE,

•••5C平分NOCE,

故①正确；

•:乙FBC+乙F+乙BCD=180°,

・・・^ABE+乙BCE+乙BCD=180°,

；BE+5CE=T800,

故②正确；

•:乙BDC=^BGC=90。,BC=BC,

:ABDC三ABGC(44S),

：.AD=GE,CD=CG,

-AC=AD+DC,

^AC=AD+CG

=AD+GE+CE

=2GE+CE,

•：GE丰BE,

:・AC丰2BE+CE,

故③错误；

•-AC=CF-AF,

・・・AC=2CD-CE,

故④正确；

故答案为：①②④.

11.如图，在A48C中，8。平分乙交ZC于点。，DE//AB,交BC于点E,BE=2,则QE的长是

A

D

【答案】2

【分析】根据角平分线的定义得到乙根据平行线的性质得到乙48。=乙以）E,等量代换得到

乙DBE—BDE,得到。于是得到结论.

【解析】解：MD平分乙45C,

：.Z.ABD=Z-CBD,

-DE//AB,

・•・Z-ABD=Z-BDE,

'-Z-DBE—Z-BDE,

:.DE=BE,

•・・5£=2,

.，.£)£=2.

故答案为：2.

12.如图，A42C中，40、BD、CD分别平分ZkABC的外角NC/E、内角4LBC、外角乙4CF,AD\\BC.以

下结论：®^ABC=^ACB；@^ADC+^ABD=90°；③8。平分乙4DC；④2乙BDCNBAC.其中正确的结论有

____________.（填序号）

【答案】①②④

【分析】根据角平分线的定义得到NE4D=NC4。，根据平行线的性质得到乙弘£>=乙48C,乙CAD=UCB,求

得UBC=UCB,故①正确；根据角平分线的定义得到乙4。。=90。-3乙48C,求得乙4OC+乙450=90。故②正

确；根据全等三角形的性质得到/2=酸，与题目条件矛盾，故③错误，根据角平分线的定义和三角形外角

的性质即可得到2乙MCVA4C,故④正确.

【解析】解：•••4D平分㈤C,

,.乙EAD=LCAD,

■■■ADWBC,

:/EAD=UBC,乙CAD=UCB,

,.乙4BC=UCB,故①正确；

■：AD,CD分别平分乙弘C,乙4CF,

・•・可得ZJOC=90。-gAABC,

：.^ADC+^/-ABC=9Q°,

：.^ADC+/-ABD=9Q0,故②正确；

■：^ABD=/-DBC,BD=BD,右1DB"BDC,

■■.AABD=ABCD(ASA),

：.AB=CB,与题目条件矛盾，故③错误，

■：/-DCF=/-DBC+Z^DC,UCF=LABC+乙BAC,

.­.2ADCF=2ZJDBC+2^BDC,2ZDCF=23BC+乙BAC,

；.24BDC=ABAC,故④正确，

故答案为：①②④.

三、解答题

13.如图，AC=BC,Z1=Z2,求证：O£>平分乙408.

【答案】见详解

【分析】证明A4C。三ABC。即可求证.

【解析】证明：•.N1=N2,41+乙4co=180°,z2+z5CO=180°,

：./.ACO=/.BCO,

■■■AC=BC,CO=CO,

■■.AACO^ABCO,

工人AOC=£BOC,

・•.6）平分乙405.

14.如图，在中，AE平分/BAC,BELAE于点E,延长交4c于点。，点厂是的中点.若

AB—3,AC—5,求瓦7的长.

A

/

B乙二——4----------'、

FC

【答案】1

【分析】根据角平分线的定义结合题意，即可利用“ASA”证明AH4EMD4E,即得出/。=/8=3,

BE=DE,从而可得出CD=2,点£为8。中点，从而可判定E尸为△8C。的中位线，进而可求出£尸的

长.

【解析】平分/A4C,BE1AE

：.NBAE=2DAE,ZAEB=ZAED=90°.

又,；AE=AE,

；.ABAE=ADAE（ASA）,

AD=AB=?>,BE=DE,

;.CD=AC-AD=2,点、E为BD中点、.

,•・尸是8c的中点，

；.£户为△BCD的中位线，

.-.EF=-CD=1.

2

15.已知：如图，在A43C中，AB=AC,乙4=100。，2D是442c的平分线，BD=BE.求证：

（□△CEO是等腰三角形；

Q）BD+AD=BC.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】⑴由/8=/C,乙4=100。求出乙48C=NC=40。，再由8。是ZA8C的平分线求出N£>8C=9

乙4BC=20。,根据3£>=3E求出乙8ED=A8Z)E=80。，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求得

z££)C=40°,贝此EDC=NC,从而证明ED=EC,即△(7成)是等腰三角形；

(2)在8E上截取连结。尸，先证明△F5O三A48。，则阳=4),乙8阳=乙4=100。，可证明

乙EFD=^FED=80°,贝!J/。=阳=£。=£(7,即可证明8O+/O=8E+£C=8C.

【解析】(1)■■-AB=AC,乙4=100。,

.-.zJSC=zC=yX(180°-100°)=40°,

-■BD是ZABC的平分线，

；/DBC=guBC=20°,

,:BD=BE,

:.(BED=(BDE=：x(180°-20°)=80°,

.­.z£Z)C=z5£'Z)-zC=80o-40o=40o,

工人EDC=(C,

：,ED=EC,

・•.△CEO是等腰三角形.

(2)如图，

在边BC上取点尸，使BF=B4,

在和&FBD中

AB=FB

•.・</ABD=/FBD

BD=BD

・•・Z\ABDQ/\FBD

AD=DF,ZBFD=ZA=100°,

.•./£）在=180。-100。=80。，

；.NDFE=NDEF

DF=DE

AD=EC

：.BD+AD=BE+EC=BC.

16.如图，为A48C的角平分线.

图3

(1)如图1,若CEL4Z)于点F,交于点E,48=8,AC=5.则2E=

(2)如图2,若乙C=24B,点£在上，MAE=AC,AB=a,AC=b,求CD的长；(用含a、6的式子表示)

(3)如图3,BGLAD,点G在40的延长线上，连接CG,若MCG的面积是7,求A45C的面积.

【答案】(1)3；Q)CD=a—b；(3)5^=14

【分析】(1)利用/“证明A4EP三A4CF,得NE=/C=5,得出答案;

(2)利用证明ZUDE三A4OC,得4C=UED,DC=DE,再证明乙8=乙8。£,得出即可得到结

论;

(3)利用NS4证明A4G3三A4GH,得出3G=//G,即可得出A43C的面积.

【解析】(1)以。是△/8C的平分线,

工乙BAD=(CAD,

••,CE1AD,

；・CCFA=^EFA,

ZEAF=ZCAF

•・•在4AEF和4ACF中\AF=AF

ZAFE=ZAFC

.'.AAEF=AACF(ASA),

-'-AE=AC=5,

,-AB=S,

•♦.BE=AB-AC=8-5=3,

故答案为：3；

(2)・・・40平分乙8ZC,

'-Z.BAD=Z.CAD,

在A4OE和中

AE=AC

</LEAD=ZCAD

AD=AD

:・AADE三A4DC

；ZC=UED,DC=DE

又•：(C=2么B,UED=^B+乙BDE

­-Z-B=Z-BDE

••DE=BE,

：,DC=DE=BE=AB-AE=AB-AC=a—b；

(3)如图，分别延长4C,BG交于点、H,

-AD平分乙BAC,

•••Z-BAD=Z-CAD,

，乙AGB=CAGH=9O。,

•・•在ZUGB和A4GH中

/BAD=/CAD

<AG=AG,

/AGB=/AGH

:.AAGB三AAGH,

:・BG=HG,

,.•UQ^BCH~—乙7Qv&BCG-27^vHCG，

又•・•SAABC+SsBCH_2（S«4CG+SACGH^

'''S./BC=14.

17.已知：如图1,在必A48C中，AACB=90°,AB=60°,AD,CE是角平分线，4D与C£相交于点

F,FMVAB,FNLBC,垂足分别为M,N.

【思考说理】

（1）求证：FE=FD.

【反思提升】

（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件"//C8=90。”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结

论（即相=即）仍成立.你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出

证明.

【答案】（1）证明见详解；（2）正确，证明见详解;

【分析】（1）由角平分线的性质、三角形内角和定理证用MDN=QANEEM（44S）即可求解;

（2）在N2上截取。=CO,分别证ACE甲三ACP厂（"S）、AAFE三A4EP（/"）即可求证;

【解析】证明：（1）vAD平分4B4C,CE平分乙4CB,

二点厂是A4BC的内心,

'：FMVAB,FN1BC9

；.FM=FN,

vZ^CB=90°,ZABC=60°,

•，ZCAB=30°

.-.ZCAD=15°

・•.NADC=75。

vZACE=45°

・•./CEB=75°

・•.ZADC=ZCEB

RtAFDN=Rt\AFEM(AAS)

；.FE=FD

(2)如图，在48上截取。尸=CD,

在AC。尸和AC尸尸中,

CD二CP

ZDCF=ZPCF

CF=CF

ACDF"CPF〈SAS)

・•.FD=FP,乙CFD=^CFP,

•••4。平分NH/C,CE平分々CB,

；/CAD=XBAD,UCE=cBCE,

,・z5=60°,

“C5+4氏4C=120。，

••ZC4D+乙4CE=60。,

山厂0120。，

-/.CFD=Z.AFE=1800-/-AFC=60°,

-Z-CFD=Z-CFP,

.'.^AFP=^CFP=^CFD=^AFE=60°,

在\AFE和\AFP中，

ZAFE=ZAFP

<AF-AF

NPAF=ZEAF

・•.AAFE=AAFP(ASA)

：,FP=EF

：.FD=EF.

18.如图，入3N是一个钝