三角形面积最值问题-2024年中考数学二次函数压轴题

专题05三角形面积最值问题

一、知识导航

求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角

函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法.

【问题描述】在平面直角坐标系中，已知4(1,1)、8(7,3)、C(4,7),求AABC的面积.

【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样:

构造矩形ADEF,用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积.

这是在“补”，同样可以采用“割”：

}

^ABC=S^CD+StfiCD=^CD-AE+iCD.BF=^CD（AE+BF）

此处AE+AF即为A、8两点之间的水平距离.

由题意得：AE+BF=6.

下求CD:

19

根据4、2两点坐标求得直线AB解析式为：y=-x+-

-33

由点C坐标（4,7）可得。点横坐标为4,

将4代入直线解析式得。点纵坐标为2,

故。点坐标为（4,2）,CD=5,

【方法总结】

作以下定义：

A、8两点之间的水平距离称为“水平宽”；

过点C作无轴的垂线与AB交点为D,线段C。即为A8边的“铅垂高”.

,团1衿„水平宽x铅垂高

如图可行：S“BC=-------------------------

八y

c

【解题步骤】

（1）求A、5两点水平距离，即水平宽;

(2)过点C作x轴垂线与AB交于点。，可得点。横坐标同点C;

(3)求直线A3解析式并代入点。横坐标，得点。纵坐标；

(4)根据C、。坐标求得铅垂高；

(5)利用公式求得三角形面积.

【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？

铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因

此，动点若不在两定点之间，方法类似：

【铅垂法大全】

(1)取A8作水平宽，过点C作铅垂高CO.

(2)取AC作水平宽，过点5作5。轴交直线AC于点。，即对应的铅垂高,

q=qq=水平宽x铅垂高

^AABC~^AABD-、ABCD-Z

(3)取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD

甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高.

(4)取8C作水平宽，过点A作铅垂高AO.

ky

C

水

平

宽

//-—、

A铅蠡#

0

(5)取AC作水平宽，过点3作铅垂高跳).

p

C

水

平

宽

A

(6)取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD.

二、典例精析

例一、

如图，已知抛物线、=依2+法+5经过A(-5,0),3(T,-3)两点，与x轴的另一个交点为C.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点P为该抛物线上一动点(与点3、C不重合)，设点P的横坐标为m.当点P在直线BC的下方运

动时，求APBC的面积的最大值.

【分析】

(1)y=x2+6x+5,

(2)取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQJ_尤轴交直线BC于点。，则P。即为铅垂高.

根据2、C两点坐标得8、C水平距离为4,

根据2、C两点坐标得直线8C解析式：y=x+l,

设尸点坐标为(〃2,源+6加+5),则点。(771,771+1),

得PQ=r庐5机-4,

考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大.

527

当-一时，△BCP面积最大，最大值为一.

28

【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高.

例二、

在平面直角坐标系中，将二次函数〉=办2(。＞0)的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如

图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点3的左侧)，04=1,经过点A的一次函数

y=Ax+6(左70)的图像与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为£),AA皮)的面积为5.

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点石在一次函数的图像下方，求AACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标.

【分析】

13

(1)抛物线解析式：y=-^2-x--;

22

一次函数解析式：丫=：%+；.

(2)显然，当AACE面积最大时，点E并不在AC之间.

已知A(-1,0)、c[o，g],

设点E坐标为[加,；加2-加-|[,过点E作EFLx轴交直线于f点,

F点横坐标为m,代入一次函数解析式得(租,gm+g)

13

可得EF=--nr+-m+2

22

考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大.

既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了，

对坐标系中已知三点A（X1,yJ、B（%，%）、,

按铅垂法思路，可得：

S^ABC—%%一三%一尤必|

如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯.

【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄

明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松.

三、中考真题演练

1.（2023・辽宁阜新•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-V+6x-c的图象与x轴交于点

4（-3,0）和点3（1,0）,与y轴交于点C.

图1图2

⑴求这个二次函数的表达式.

⑵如图1,二次函数图象的对称轴与直线AC：y=x+3交于点，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动

点，求△MCD面积的最大值.

【详解】（1）解：由题意得,

y=—(%+3)(%—1)=一/―+3；

(2)解：如图1,

图1

作MQ_LAC于Q,作于b，交AC于£,

-OA=OC=3,ZAOC=90°,

:.ZCAO=ZACO=45°,

/.ZMEQ=ZAEF=90°-ZCAO=45°,

抛物线的对称轴是直线：彳==已=-1,

2

y=x+3=—1+3=2,

•.0(1,2),

VC(0,3),

CD=\f2，

故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大,

设过点以与AC平行的直线的解析式为：y=x+m,

当直线y=x+机与抛物线相切时，△MCD的面积最大，

由x+m=-x2一2%+3得，

x2+3x+(m-3)=0,

由4=0得，

32-4(m一3)=0得，

09

m-5=—,

4

9

x9+3%H——0

4f

33

y=%+3=----F3=一,

22

“厂1539

ME=----=一,

424

9V2_9A/2

?.MQ=ME.sin/ME。=ME•sin45°=-x-----,

2-----8

.e」x拒/9及_9.

2.（2023・湖南娄底•中考真题）如图，抛物线y=Y+a+c过点A（T,0）、点3（5,0）,交y轴于点C.

⑵点PR,%）（O<Xo<5）是抛物线上的动点

①当不取何值时，APBC的面积最大？并求出APBC面积的最大值;

【详解】（1）解:将A（-l,0）、3（5,0）代入抛物线y=/+bx+c中,

1—Z?+c=0b=-4

可得:解得:

25+5。+c=0c=-5

即：Z?=-4,c=-5；

（2）①由（1）可矢口：y=x2-4x-5,

当尤=0时，、=一5,即C（0,-5）,

设2c的解析式为：y=kx+b,

将3（5,0）,C（0,—5）代入产反+人中,

5k+b=0k=l

可得V，解得:

b7=-5b=-5

二•JBC的解析式为：y=x-5,

过点尸作尸轴，交BC于点E,交x轴于点Q,

・••点E的横坐标也为与,则纵坐标为力=%。-5,

p==X-22

•*-^yE~yo(O5)-(XO-4XO-5)=-XO+5XO,

△PBC的面积=§△PEC+S4PEB

5

231

2

'•当/=彳5时，5BC的面积有最大值，最大值为12一5；

2o

3.（2023•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，抛物线y=f+fex+c与1轴交于点A（-l,0）,B（4,0）,与y轴交

于点C.

(1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标;

⑵求ABCP的面积.

2

bHzizj.-HIb4ac-b

注：抛物线y=口2+区+c(〃W0)的对称轴是直线x=—五，顶点坐"-五，-丁

2a

【答案】⑴抛物线对应的解析式y=/-3x-4,P

(2)SABCP=3

【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的表达式，再根据解析式求点尸的坐标即可；

(2)求出点C(0,f和抛物线顶点尸］|,-彳)A(TO),8(4,0)利用S4CP=SAOCP+SAOBP-SABOC即可

得到答案.

【详解】(1)•.・抛物线》=*+云+,经过点4(-1,0),5(4,0),

Jl-Z?+c=O

,116+46+c=0'

解这个方程组，得『二一「

抛物线对应的解析式y=%2-3x-4.

点是抛物线的顶点坐标,

33

b,4农一与,即.b-:;；4a一64xlx(T)-(—3)225

2a4aj2a2x124〃4*]4

(2)如图，连接。P.

vA（-I,o）,5（4,0）,C（0,-4）,P

13

•*-S^OCP=-x4x—=3,

Q_1.25_25

S^OBP=5*4*彳=万,

=-X4X4=8.

SRBCP~S^OCP+S^OBP'△BOC'

S^BCP=3+/-8=5・

【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，掌握数形结合的思想和

割补法求三角形面积是解题的关键.

4.（2023•山东青岛・中考真题）如图，在菱形A5C。中，对角线AC,3。相交于点O,AB=10cm,

BD=4^cm.动点尸从点A出发，沿A5方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，动点。从点A出发，沿AD

方向匀速运动，速度为2cm/s.以AP，A。为邻边的平行四边形APMQ的边尸M与AC交于点E.设运动时

间为《s）（Ov，K5）,解答下列问题：

⑵连接助.设△FEB的面积为S（cm2）,求s与/的函数关系式和S的最大值;

【分析】⑴证明皿…”则等=上，即可求解；

(2)由S=即可求解;

【详解】(1)•••平行四边形APMQ,

AAQ//PM,AQ=PM,QM//AP,QMAP

由题意得：DQ=10-2t,PM=2t,PB=10-t,QM=AP=t,

如下图，点加在班)上时，

/.ZDQM=ZDAB=ZMPQ,ZDMQ=ZMBP,

八DQMs^MPB,

则然篝即10—2才t

2t—10一

解得：?=y

(2)如上图,

•；AQ//PM,

：.ZAEP=ZEAQ,

•.•四边形ABCD是菱形,

则ZQAE=NEAP,

,ZAEP=ZEAP,

•..VAPE为等腰三角形，则PE=AP=t

过点。作DH_LA?于点H,

则\ABD=|XABZ)H=|XAODB

即10DH=Ji。?-"扃*4区解得：DH=8,

e./八…DH84

贝UsmZDAH=---=——=一,

AD105

设VPE5中PB边上的高为力，则

1114/2

S=-PBh=-(10-t)sinZDHAAE=-(10-t)-=--t2+4t

2

即：5=--(f-5)9+10(0<?<5)

v-1<0,故S有最大值，

当r=5时，s的最大值为10；

5.(2023・湖南张家界•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数y=af+6x+c的图象与X轴交

于点A(-2,0)和点3(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6).点。为线段3c上的一动点.

⑴求二次函数的表达式；

(3)如图2,过动点。作DP〃AC交抛物线第一象限部分于点P,连接PAM,记右/^£)与的面积和

为S,当S取得最大值时，求点尸的坐标，并求出此时S的最大值.

【分析】(1)根据题意设抛物线的表达式为丁=。(％+2)(尤-6),将(0,6)代入求解即可；

(3)由待定系数法确定直线BC的表达式为y=-x+6,直线AC的表达式为y=3x+6,设

p[m-^m2+2m+6^,然后结合图形及面积之间的关系求解即可.

【详解】(1)解:由题意可知，设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-6),

将(0,6)代入上式得：6=o(0+2)(0-6),

1

a=——

2

所以抛物线的表达式为y=-；尤2+2尤+6；

(3)由已知点4(一点0),B(6,0),C(0,6),

设直线BC的表达式为y^kx+n,

{yl—0(——1

将3(6,0),。(0,6)代入丫=丘+〃中，一，解得一，

〃=0n=6

直线BC的表达式为y=-x+6,

同理可得：直线AC的表达式为y=3x+6,

PD//AC,

；•设直线尸〃表达式为y^x+h,

由（1）设尸[九-；疗+2^+6，代入直线PO的表达式

1

得：h=——m9—m+6,

2

・,•直线尸。的表达式为：y=3x-^m2-m+6,

乙[121

ry=—x+ox=—m+—m

,84

由212得1,,

y=3x——m-m+o121

y7y=——m——m+or

iZ184

21121八

D\—m+—m,——m——m+o,

（8484）

VP,。都在第一象限，

,・S=S^PAD+S^PBD=S^PAB—SRDAB

“孤一3）2+§,

・・・当机=3时，此时尸点为3,T

27

2

【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题,

理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键.

6.(2023•山东聊城•中考真题)如图①，抛物线>=依2+版-9与x轴交于点A(-3,0),3(6,0),与y轴交于

点C,连接AC,点P是x轴上任意一点.

图①图②

(1)求抛物线的表达式；

(3)如图②，当点P(机,0)从点A出发沿x轴向点8运动时(点尸与点A,8不重合)，自点P分别作PE〃3C,

交AC于点E,作PDLBC,垂足为点。.当初为何值时，VPED面积最大，并求出最大值.

13

【答案】⑴尸/-]…

⑵点。坐标(3,-9),或4+华7,9)或(|-华乎，9)；

31

(3)机=不时，S△.有最大值，最大值为1()6.

2o

【分析】(1)将4(-3,0),3(6,0)代入〉=0?+法-9,待定系数法确定函数解析式;

(3)如图，过点。作。GLAB,过点E作EFJ.AB,垂足为G,F,

可证？FPE?DBP,1PDG?DBP；运用待定系数法求直线AC解析式y=-3x-9,直线3C解析式

333

y=-x-9；设点E（P，-3p-9）,D（q,-q-9）,则PF=m-p,PG=q-m,EF=3p+9,DG=--q+9,

____________3

运用解直角三角形，RUBOC中，BC=JOC2+OB2=后,tan?OBCRtZkPE/中，

tan?FPE—=可得p=」（m-6）,PF=~（m+3）,PE=PF>^^-=3）;RtAPDG中，

PF23369

tan?P£>G怒，，可得，4=2（4加+54）,PG--^（m-6）,PD=PG・^~=-6）,于

1131

是凡尸留二7尸。•尸石二-彳（根+3）（根-6）,从而确定根=彳时，最大值为10三・

2228

【详解】（1）将A（—3,0）,5（6，。）代入〉=以2+法—9,得

1

ci———

9a-3b-9=02

36a+6b-9=0,解得'

b=-3

2

13

二抛物线解析式为：y=-x2-^x-9

（3）如图，过点。作。GLAB,过点石作石FLAB,垂足为G,F,

：.?DPE?PDB90?

?FPE?DPB90?

?DPB1DBP90?

?FPE?DBP,同理可得？尸QG2DBP

设直线AC的解析式为：y=kx+h

—3k+h=0k=-3

则,解得

h=-9h=-9

・,・直线AC：y=-3x-9

3

同理由点3(6,0),C(0,-9),可求得直线BC：y=1x-9

3

设点石(p,-3p-9),D(q,-q-9),

3

则PF=m-p,PG=q-m9EF=3P+9,DG=-+9

中，03=6,OC=9

BC=yj0C2+OB2=A/62+92=yflll

93

工tan?OBC———,

62

EF3

RtAPEF中，tan?FPE----=tan?OBC

PF2

解得P

:•S=],=4〃”6),

m-p23

2

PF=m-p=—(m+3)

PFOB6

Vcos?FPE---二cos?OBC

PEBC-TH?

PE=PF巫L巫7(m+3);

69

PG3

RtAPDG中,tan?PDGtan?OBC-

2

q-m=3

=3,解得,q-^(4m+54)

PG=q-m=--(m-6)

PG9

sin?PDG——=sin?OBC~^=

PD屈

・・PD=PG+-----=----------(m-6)

913

11

S11^17

--(m-6)•J；7(.+3)=-j(加+3)(m-6),

22

13

113

即SPDE=--(^+3)(根-6)=--(m--)9+

・・1/

・—<

2

31

・••加=7时，-3＜机＜6,S△曲有最大值，最大值为101

2o

【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解直角三角形,

结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键.

7.（2023・湖北荆州•中考真题）已知：V关于无的函数y=（a-2）x2+g+i）x+b.

⑴若函数的图象与空桥釉有两个公共点，且。=4》，则。的值是；

（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（-2,0）,8（4,0）,并与动直线/:x=m（0＜机＜4）交

于点P,连接24,PB,PC,BC,其中R4交，轴于点。，交BC于点、E.设△P3E的面积为Sj,CDE

的面积为S?.

①当点P为抛物线顶点时，求APBC的面积；

②探究直线/在运动过程中，邑是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）0或2或

（2）①6,②存在，y

【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性

质以及与坐标轴交点的情况即可求出«值.

（2）①根据A和3的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标尸，从而求出P”长度，再利用A

和B的坐标点即可求出2C的直线解析式，结合号=4即可求出P点坐标，从而求出尸尸长度，最后利用面

积法即可求出APBC的面积.

②观察图形，用机值表示出点尸坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出M和”,

将二者相减转化成关于加的二次函数的顶点式，利用机取值范围即可求出S,-S2的最小值.

【详解】（1）解：•.•函数的图象与半桥轴有两个公共点，

(a—2)f+(a+])x+/7=0,

a=4-b,

(a-2)Y+(〃+])%+]=0,

当函数为一次函数时，a-2=0,

:.a=2.

当函数为二次函数时，

(a-2)x2+(〃+1)%+^=。，

若函数的图象与空桥触有两个公共点，即与x轴，y轴分别只有一个交点时，

A=b2—4QC=(Q+1)?—4(Q—2)♦1=4a+1=0,

1

ci——.

4

当函数为二次函数时，函数的图象与半标轴有两个公共点，即其中一点经过原点,

Z?=0,

•/a=4b,

..a=0.

综上所述，〃=2或0.

故答案为：。或2或-1.

4

(2)解：①如图所示，设直线/与BC交于点/，直线/与A8交于点

抛物线的解析式为：y=+2x+8=-(尤-1)?+9.

•・•点尸为抛物线顶点时，P(L9),C(0,8),

:.PH=9,%尸=1,

由3（4,0）,C（0,8）得直线BC的解析式为y=-2x+8,

在直线5C上，且在直线/上，则尸的横坐标等于尸的横坐标，

/.F（l,6）,

:.FH=6,OH=1,

PF=PH-FH=9-6=3,BH=OB-OH=4-1=3

Spn-Sr+SPFR=—x•OH-\—HB,PF=—x3x1—x3x3=6.

r△Prrrtt^rfD2厂p22H2

故答案为：6.

②W-s?存在最大值，理由如下：

如图，设直线x=，”交X轴于H.

由①得：03=4,AO=2,AB=6,OC=8,AH=2+m,P（m,-m2+2/77+8）

PH=—m2+2机+8，

■：ODYx,PHrAB,

:.OD//PH,

AOOP

2OD

即----=-5------------,

2+m—m+2m+8

/.OD=8—2m

1*'_q_qS-S-S

Si=Q四边形皮>03，°2一»AOBCQ四边形EDO5，

6（-m+2m+8）2（8-2m）4x82

•s-S—S—S—s------------------------------=-3m+8m,

,•°1°2PAB222

「.S]—Sz=_3(m_j+?,

Q-3<0,0<m<4,

・・・当时,SY有最大值，最大值为学.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线

分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题.

8.(2023・湖南•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+x+c经过点人(-2,0)和点3(4,0),

且与直线/：>=-尤-1交于E两点(点。在点E的右侧),点M为直线/上的一动点，设点M的横坐标为

(1)求抛物线的解析式.

⑵过点"作x轴的垂线，与抛物线交于点N.若0</<4,求ANED面积的最大值.

【分析】(I)待定系数法求解析式即可求解；

(2)根据题意，联立抛物线与直线，求得点的横坐标，表示出的长，根据二次函数的性质求得

的最大值，根据即可求解；

【详解】(1)解：：抛物线y=-2+x+c经过点A(-2,0)和点3(4,0),

.\4a-2+c=0

|16Q+4+C=0'

1

a=——

解得：2,

c=4

，抛物线解析式为：y=~x2+x+4-

(2)解：•.•抛物线了=一;d+x+4与直线/：y=f_i交于。、E两点,(点。在点E的右侧)

y=—兀？+%+4

联立2

〔，=—X—1

X=2+A/14尤=2-旧

解得：＜或＜

y=-3—J14y=-3+V14

D(2+^,-714-3),£(2-714,5^4-3),

.•.”“(2+啊_(2_炳=2/5,

:点M为直线/上的一动点，设点M的横坐标为J

则f—1),N^t,——t2+t+4^,

1119

：.MN=--t2+t+4-[-t-^=--f+2t+5=--(t-2y+l,当/=2时，MN取得最大值为7,

•S"ND=5(*D-XE)XMN,

当MN取得最大值时，S«END最大，

•••S®D=；X2亚x7=79，

ANED面积的最大值7旧；

9.(2023・湖南怀化・中考真题)如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ox2+bx-8与x轴交于

A(T,0)、3(2,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC,连接24、