河北省石家庄市辛集市2024届高三上学期期末考试数学试卷题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省石家庄市辛集市2024届高三上学期期末数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.设集合，则的元素个数为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】复数,故，则对应的点在第二象限，故选：B3.已知向量，，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.【答案】D【解析】依题意，，解得，则，所以，故．故选：D．4.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，且在恒成立，所以，，解得所以，实数的取值范围为故选：D5.已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，则实数m的值是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意知，，则，∵直线，即，代入得，，由解得．故选：B．6.“数列，都是等差数列”是“数列是等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若数列，都是等差数列，则设数列，的公差分别为，所以为常数，所以数列是等差数列，若数列是等差数列，如是等差数列，而此时均不是等差数列，所以“数列，都是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件故选：A.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，即，所以.故选：A.8.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为,所以又因为，所以，对等式两边去括号，并移项整理得，，所以，所以，即，所以.故选：A.二、多选题9.已知一组样本数据，其中（，2，…，15），由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中，则（）A.两组样本数据的样本方差相同B.两组样本数据的样本平均数相同C.，，…，样本数据的第30百分位数为D.将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5【答案】AC【解析】由题意可得：，∵，则，，故A正确，B错误；由于求第30百分位数：15×0.3=4.5，故为第5个数，的排列为：，因此，第30百分位数为，C正确；将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，新样本的平均数为，D错误，故选：AC．10.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（）A.函数的周期为2 B.函数的图象关于对称C.函数为偶函数 D.函数的图象关于对称【答案】BC【解析】依题意，上的函数，，则，函数的周期为4，A错误；因为函数是偶函数，则，函数的图象关于对称，且，即，函数图象关于对称，B正确；由得，则函数为偶函数，C正确；由得，由得，因此，函数的图象关于对称，D错误.故选：BC.11.正多面体因为均匀对称的完美性质，经常被用作装饰材料.正多面体又叫柏拉图多面体，因古希腊哲学家柏拉图及其追随者的研究而得名.最简单的正多面体是正四面体.已知正四面体的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（）A.异面直线与所成角为B.点A到平面的距离为C.四面体的外接球体积为D.四面体的内切球表面积为【答案】BCD【解析】由题意，四面体为正四面体，取底面的中心为，连接并延长，交于，则为的中点，且，连接，则平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A错；由四面体的所有棱长为，得，又，，故B正确；设四面体的外接球的球心为，半径为，连接，则，解得，则四面体的外接球的体积为，故C正确；根据对称性，正四面体的外接球和内切球球心均是，设正四面体内切球半径为，则，又，，所以,则四面体的内切球表面积为.故D正确.故选：BCD.12.已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则以下结论正确的是（）A.圆锥底面圆的半径为2cmB.该圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面在圆锥的侧面上）的侧面积的最大值为C.该圆锥的内接圆柱的体积的最大值时，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为D.该圆锥的内切球的表面积为【答案】ABC【解析】设圆锥底面圆的半径为，母线长为，依题意得，所以，根据圆锥的表面积为，解得cm,所以A正确;如图为圆锥和内接圆柱体的轴截面，由题可知，，设由相似关系得,即，解得，则内接圆柱的侧面积等于，当时侧面积最大，等于，所以B正确;内接圆柱的体积等于，，令，解得，令，解得，所以在单调递增，单调递减,所以当时圆柱体积最大，此时圆柱的高为，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为，所以C正确;设内切圆的圆心为半径为，因为,即所以因为圆锥的内切球的半径等于，所以内切球的体积等于，所以D错误.故选:ABC.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13.从0，1，2，⋯，9这10个数字中任取三个数，使这三个数的和是3的倍数，则不同的取法有_________种．（用数字作答）【答案】42【解析】将这些数字分组，记，，，从而和为3的倍数的情况共有种．故答案为：42.14.已知正三棱台的各个顶点都在同一个直径为10的球面上，上底面边长为，下底面边长为，则该正三棱台的体积为__________.【答案】或【解析】设正三棱台，外接球球心为，上底面所在小圆面的圆心为，下底面所在小圆面的圆心为，如图①，可求得，同理，作剖面图如图②，当球心在三棱台内部时，，，此时三棱台的体积为；如图③，当球心在三棱台外部时，，此时三棱台的体积为故答案为:或.15.若函数，在上恰有两个最大值点和四个零点，则实数ω取值范围是______________．【答案】【解析】由三角恒等变换可得，时，有，若要满足题意则需：.故答案为：16.已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点A是双曲线的一条渐近线上一点，且．若的面积为，则双曲线的离心率为________．【答案】【解析】不妨设点A为第一象限内一点，双曲线的渐近线方程为，设点，其中，易知、，，，因为，则，因为，解得，即点，所以，，所以，，所以，，因此，双曲线的离心率为.故答案为：.四、解答题17.已知，，分别为内角A，，的对边,且.（1）求的值；（2）若面积为，求边上的高的最大值．解：（1）∵，∴，，，∴，∵，∴.（2）由面积为得：，而，∴∵边上的高为，∴，则，∵，∴，当且仅当时，取“=”，即的最小值为2．此时最大为．18.如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上的动点（不与A、C重合），平面与棱交于点.（1）求证；（2）若平面平面，，判断是否存在点D使得平面与平面所成的锐二面角为，并说明理由.（1）证明：，且平面，平面，∴平面，又∵平面，且平面平面，∴；（2）解：连接，取AC中点O，连接，，在菱形中，，∴是等边三角形，又∵O为AC中点，∴，∵平面平面，平面平面，平面，且，∴平面，平面，∴，又∵，∴，以点为原点，，，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，假设存在点D，满足题意，设，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，所以，令，则，，故，设平面的法向量为，，，，令，则，，故，，解，所以点D在点C的位置时，平面与平面所成锐角为，由于D不与A、C重合，故AC上不存满足题意的点.19.已知数列的前n项和为，若，．（1）记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由．（2）记，的前n项和为，求．解：（1）因为，当时，，又因为，所以当时，因为，由，得①，所以②，所以得：，经验证，当时不等于，所以不是等差数列.（2）由，得，两式相减得：所以当时：数列（）是首项为，公差为6的等差数列；数列（）是首项为，公差为6的等差数列.当为偶数时，不妨设，则，此时因为，所以此时.当为奇数时，不妨设，则，此时.因为，所以此时综上所述，当为偶数时，，当为奇数时，.20.哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.（1）若高三学年获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望.（2）已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入两个纸箱中，A箱中有3道选择题和2道填空题，箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率.解：（1）依题意得甲获得决赛资格的概率为，乙获得决赛资格的概率为，的所有可能取值为，，，，所以的分布列为：012所以.（2）记“甲从A箱中抽出的是道选择题”，“乙从箱中抽取的第一题是选择题”，则，，，，，，所以.甲从箱中抽出的是2道选择题的概率为.21.已知点，动点M在直线上，过点M且垂直于x轴的直线与线段的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）已知圆的一条直径为，延长分别交曲线C于两点，求四边形面积的最小值．解：（1）法一：设点，则．由题意知，即，整理得：，则曲线C的方程为．法二：由题意知，点P到点的距离等于其到直线的距离相等，则点P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，则曲线C的方程为.（2）法一：由题意知，为圆的直径，则．由题意知直线存在斜率，设为k，且，则直线的斜率为．又OA所在直线为，联立，解得：或，则不妨取S点横坐标为，联立，解得：或，则不妨取A点横坐标为，所以．同理可得，四边形的面积,令，,则,因为S在上单调递增，所以当时，S有最小值36．即当时，四边形面积的最小值为36法二：设方程为，由,得．由,得,∴,同理可得：．令则在上单调递增．∴，当即时，四边形面积的最小值为36，即四边形面积的最小值为36．22.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，恒成立．（1