河北省石家庄市七县2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省石家庄市七县2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线与垂直，则实数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线与垂直，则，解得，所以实数.故选：C2.设函数在处存在导数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选：A．3.已知在正项等比数列中，，，则（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】在正项等比数列中，，解得，而，则公比，所以.故选：C4.如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（）A. B.2 C.3 D.6【答案】D【解析】由题意得，代入得，解得，即，因此虚轴长为，故选：D．5.如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】连接，.故选：A.6.已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（）A.20 B.24 C.36 D.40【答案】C【解析】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列，显然，而，且，解得，则，，由，得，因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数，所以的最大值为.故选：C.7.如图所示，椭圆的左焦点为F，A、B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】连接，设，因为轴，所以，又因为，所以，故y轴垂直平分线段，即为等边三角形，且，可得，将其代入，可得，又，整理可得，即，解得，可得（负值舍去），由椭圆的离心率，可得.故选：B．8.在如图所示的直四棱柱中,底面是正方形,是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示，则，设．设平面的一个法向量为，则，设，则，则，所以点到平面的距离为，又，所以当时，点到平面距离取得最小值为．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列选项正确的是（）A.，则B.，则C.，则D.，则【答案】BCD【解析】A选项，，A错误；B选项，，则，B正确；C选项，，C正确；D选项，令，D正确．故选：BCD．10.下列四个命题中为假命题的是（）A.已知是平面的法向量，是直线l的方向向量，若，则B.已知向量，则与的夹角为钝角C.已知是空间中的三个单位向量，若两两共面，则共面D.已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底【答案】ABC【解析】对于A，当时，满足条件，但直线l不平行于平面，故A假；对于B，因为，所以，所以与的夹角不是钝角，故B假；对于C，两两共面，但是不一定共面，可能两两垂直，故C假；对于D，若不能构成空间向量的一组基底，则共面，即存在，使得，即，由于是空间向量的一个基底，则，，无解，所以也是空间向量的一个基底，故D真．故选：ABC．11.如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设，其中，则，，所以，，因为，则，所以，，所以，，故选：BD．12.已知数列中，，，，则（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】由题意得：，，，，…，数列是以为周期的周期数列；对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，由递推关系式知：，，D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在等差数列中，，，则__________．【答案】12【解析】根据等差数列性质可得，解得.故答案为：12.14.曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】由于，所以有，因此切点为，由于,所以曲线在点处的切线的斜率,故所求切线方程为:,即,故答案为：．15.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如果在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则将军所经过的最短路程为___________．【答案】【解析】如图，设关于直线的对称点为，则,解得．圆的圆心为，半径，所以将军所经过的路程为．故答案为:．16.已知A，B是椭圆与双曲线的公共左、右顶点，P是双曲线在第一象限上的一点，直线交椭圆于M，N两点．若直线过椭圆的右焦点F，则的面积为___________．【答案】3【解析】由题意可知．如图，设，可得直线的斜率分别为．因为点P在双曲线上，则，因此．设点，可得直线的斜率，因为点在椭圆上，则，整理得，所以，即，可得，所以直线与关于x轴对称．又因为椭圆也关于x轴对称，且M，N过椭圆右焦点F，则轴，则，所以．故答案为：3．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.正项数列满足，．（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前n项和．解：（1）整理得，即，令，则，故是首项为4，公比为4的等比数列；（2）由（1）可得，即，根据分组求和可得18.已知，四棱锥，底面是正方形，M为棱的中点，平面平面．（1）求证：平面;（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）∵平面平面,平面平面平面,平面．（2）由题意和（1）知，两两垂直，以A为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．所以．易知平面的一个法向量为．设平面的法向量为，则，令，得，则．设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．19.已知等差数列的前n项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．解：（1）等差数列中，，解得，又，解得，因此等差数列的公差，则，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，则，所以.20.如图，在正四棱柱中，分别为的中点，点M在线段上，，且A，E，M，F四点共面．（1）求t的值；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）平面平面，，又，∴以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则，．．因为A，E，M，F四点共面，则存在使，故，解得．（2）设平面的一个法向量为，则，取，得，故．设直线与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为．21.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线l交抛物线于A，B两点，且．（1）求抛物线E的方程；（2）设过点且互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点M，N，证明：直线过定点．解：（1）拋物线的焦点，则直线的方程为：，由消去y并整理得，，显然，设，则，因此，解得，所以抛物线的方程为：.（2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，点，由消去x得，，当时，，由，得，显然，因此，满足，则直线：，过定点，所以直线过定点.22.已知圆，定点是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点E．（1）求点E的轨迹方程；（2）过点，且与x轴不重合