广西壮族自治区玉林市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区玉林市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知等比数列中，，则（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】等比数列中，，解得.故选：A.2.已知曲线表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，即.故选：D.3.如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由是的中点，可知，所以，故选：D.4.已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A中，由，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是完整的双曲线，所以A不正确；对于B中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的下支，所以B正确；对于C中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的上支，所以C不正确；对于D中，由，不存在满足的点，所以D不正确.故选：B.5.若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心，直线方程为，或，将点代入上式，解得直线的方程为或.故选：C.6.已知抛物线焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，，则的面积为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】抛物线的焦点，准线，过点作，垂足为，由，得，于是，设，则，解得，所以的面积.故选：B7.南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（）A.561 B.595 C.630 D.666【答案】C【解析】由题意，设各层球的个数构成数列，可得，所以，则.故选：C.8.已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：，又因为，且分别为，的中点，所以,所以到渐近线的距离为，所以，，结合，可得：①因为，所以即，整理得：，将①代入，，所以故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知空间向量，则下列说法不正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由，得，故A错误；，故B错误；又，故C正确；，所以与不垂直，故D错误.故选：ABD.10.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（）A.抛物线的焦点坐标是B.焦点到准线的距离是2C.若点的坐标为，则的最小值为2D.若为线段中点，则的坐标可以是【答案】BD【解析】由题意，故A错误；焦点到准线的距离是，B正确；对于，过点作垂直于准线，垂足为，则，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为3，故C错误；对于D，假设的坐标是，设，则，由，两式相减得，即，所以，即，所以直线的方程为，即，将代入得，所以直线过点，符合题意，所以的坐标可以是，故D正确.故选：BD.11.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）A.是递减数列 B.C.当时， D.当或时，取得最大值【答案】ACD【解析】由数列的前项和为，当时，，又由，适合上式，所以数列的通项公式为，对于A中，由，即，所以数是递减数列，所以A正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，当时，，所以C正确；对于D中，因为的对称轴为，开口向下，又因为是正整数，且或时，取得最大值，所以D正确.故选：ACD.12.过点作两条相互垂直的射线与圆分别交于两点，则弦长可能的取值是（）A. B.4 C.5 D.6【答案】ABC【解析】如图，圆的圆心，半径为3，圆的直径为6，过圆心的直线的端点与，不存在的情况，否则在圆上，所以排除选项D.当轴时，，故B正确；当与正方向成角时，，，解得，此时，故A正确；同理当与正方向成角时，可得，故C正确；故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，包小题5分，共20分13.直线与直线平行，则______【答案】1【解析】因为，所以，解得或，当时，直线与直线重合，不合题意；当时，直线与直线平行，符合题意，综上所述：.故答案为：114.数列的前项和为，若，则__________.【答案】【解析】运用裂项相消法求解即可.因为，所以.故答案为：.15.已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则此椭圆的短轴长为__________；弦长__________.【答案】①②【解析】直线经过椭圆的左焦点，则，的周长为，解得，故，椭圆的短轴长为，由，得，故答案为：；.16.在中，为边上的动点，沿将折起形成直二面角，当最短时，__________.【答案】【解析】作于点，连接，设，则，所以，在中，由余弦定理可得，，因为为直二面角，所以面，所以，则，当最短时，，所以，即此时为的角平分线，由角平分线定理可得，.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤.17.已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）（1）求的通项公式；（2）设，求的前n项和．解：（1）设等差数列的首项为，公差为d，若选择条件①，由题可得，解得，若选择条件②，由题可得，解得，.（2）由(1)知，选择两个条件中的任何一个，都有，则，18.如图，在正方体中，为平面的中心.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.解：（1）解法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的坐标系.，，设面的法向量为，，令，则，且平面，平面；解法二：如图，连接，且，平行四边形中，平面平面，同理，，则平面且，平面平面，又为的中点，平面平面；解法三：连接交交于点，连接，为平面的中心是的中点，四边形是平行四边形，，是的中点，是的中点，，，四边形是平行四边形，，平面平面平面.（2）解法一：设到面的距离为，.解法二：设到面的距离为，，由，得，解得.19.已知双曲线经过点，一条浙近线的倾斜角为.（1）求双曲线的方程；（2）若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由.解：（1）因为双曲线的一条渐近线倾斜角为，所以，故，故，所以双曲线；（2）双曲线的右焦点为，当直线斜率不为零时，设直线的方程为：，设,，由，得恒成立，，，即以直径的圆恒过点.当直线斜率为零时，此时以为直径的圆为过点，综上，以直径的圆恒过点.20.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，点在上，且.（1）求证，平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.解：（1）因为平面，平面，可得，又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）因为，且，所以，又因为，所以，因为，所以为等腰直角三角形，可得，取中点，连接，可得，所以，由（1）可得，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由（1）可得，平面，可得为直线与平面所成角，即，所以，又由，可得，所以，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，因为轴平面，所以平面的法向量，设为二面角的平面角，且为锐角，则，二面角的余弦值为.21.如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为，轴建立如图所示的直角坐标系.（1）求出建筑物的中心的坐标；（2）由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为150万元，求开通的这条路的最低造价.（附：参考数据.）解：（1）解法一：由题可知，由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心，设圆的方程为，则，解得，圆的方程为，即，建筑物的中心的坐标为.解法二：由题可知，由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心，线段中点为，且线段的垂直平分线为，线段中点为，且，线段的垂直平分线为，联立，得，所以建筑物的中心的坐标为.（2）因为为建筑物的中心坐标，设线段的中点为，由垂径定理得的长度为点到的最小距离，，圆的半径为，点到的距离为，开通的这条路的最低造价为（万元）.22.定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，.（1）若，且