广东省肇庆市2025届高三第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省肇庆市2025届高三第一次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.4 B. C. D.2【答案】D【解析】.故选：D2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由不等式，得，所以，又，可得.故选：A3.曲线在处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，则，即，f1=0，所以曲线在处的切线方程为，即，故选：D.4.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，解得，与求交集得，当，，解得，与求交集得，故的解集为.故选：D5.已知复数，，则“”是“”的（）A.充分必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，所以，充分性显然成立；对于必要性，只需举一个反例即可，如，，此时，，所以“”是“”的充分不必要条件.故选:C6.已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】定义在上的函数，因为是奇函数，也是奇函数，所以是奇函数.由.因为是增函数，所以是减函数.又因为是减函数，所以在上单调递减.因为，所以，解得.故选：B.7.已知，，则（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，，所以，，所以.故选：A.8.在中，且，若（），则的最小值为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】因为，所以，即，得，因为A是的内角，所以，故，即，所以.以为邻边作平行四边形，由，即在直线上，所以的最小值即为点到直线的距离，因为，，过向作垂线，垂足为,，所以的最小值为，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设正实数m，n满足，且，则下列说法正确的是（）A. B.C.的最大值为2 D.的最小值是4【答案】AC【解析】对于A选项，，故，故A正确；对于B选项，因为，所以，故B错误；对于C选项，因为，当且仅当，即，时，等号成立，故C正确；对于D选项，因为，所以，故当，时，有最小值，故D错误.故选：AC.10.将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（）A.37 B.58 C.67 D.79【答案】ACD【解析】不妨设第n（）个“拐弯数”为，不难发现，，，，…，所以（），利用累加法得，因而，当时，也符合上式，所以（）.代入选项验算可知A，C，D三个选项正确.故选：ACD.11.已知（，）在上是单调函数，对于任意的满足，且，则下列说法正确的是（）A.B.若函数（）在上单调递减，则C.若，则的最小值为D.若函数在上存在两个极值点，则【答案】BCD【解析】对于A选项，因为，所以，可得的图象关于点对称，又因为对任意，都有，所以当时，取得最小值.因为在是单调函数，所以得，所以，又因为函数在时取得最小值，所以由，得，.解得，.又，所以，故A错误；对于B选项，易知，所以，当时，，若函数（）在上单调递减，则，解得，故B正确；对于C选项，最小正周期为，当时，则，分别为函数的最大、最小值，所以，故C正确；对于D选项，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，要使在上存在两个极值点，要满足，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数满足，则_________．【答案】【解析】因，所以.故答案为：.13.已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为__________.【答案】1【解析】因为单位向量，满足，可得：，也即则，则向量在向量上的投影向量的模为.14.已知函数（）在上单调递增，则的最大值为__________.【答案】【解析】由题意，得，因为在上单调递增，所以在上恒成立.当时，，在上，，不符合题意；当时，令，解得，.当时，在上，，，，不符合题意；当时，在上，，，，不符合题意；当时，在上，，，；在，，，；所以.因此，有，化简可得，故当且仅当，即时，等式成立.故的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的通项公式.解：（1）设等比数列的公比为，由题意得，解得（舍去），所以.即数列的通项公式为.（2）由（1）知①，所以②.①－②得所以.16.已知向量，，，函数，且的最小正周期为.（1）若，求的值域；（2）将的图象先向下平移个单位长度，再向左平移m（）个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数的图象重合，求实数m的最小值.解：（1），因为最小正周期为，所以，解得，所以，因为，所以，则，所以，所以当时，的值域为.（2）向下平移个单位长度得，向左平移m（）个单位长度得，横坐标变为原来的2倍得.因为，所以要使得与的图象重合，则，，解得，当时，实数m取得最小值.17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）若，求的面积；（2）求A的最大值.解：（1）由余弦定理，得，所以.（2）解法一：因为，，所以，由正弦定理，可得，则，因为，所以，C是钝角，所以B是锐角，所以.当且仅当时等号成立，此时，，.又因为A为锐角，正切函数在上是增函数，所以，故A的最大值为.解法二：因为，则，所以C为钝角，如图，过点A作交BC于点H，则，，设，则，，所以，当且仅当，即时，等号成立，又因为角A为锐角，正切函数在上是增函数，所以，故的最大值为.18.已知函数.（1）当时，求的最大值；（2）若存在极大值，求a的取值范围.解：（1）由题可知的定义域为0,+∞，当时，，.令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，取极大值，也是最大值，故的最大值为.（2）.令，则当时，，在0,+∞上单调递减，当时，；，根据零点存在定理，得在0,2内存在唯一的零点，在上，gx>0，，单调递增；在上，gx<0，，单调递减，存在极大值.当时，令，解得，（舍去），在上，，单调递减；在上，，单调递增.所以当时，取极小值，也是最小值，故.当，即时，由于当时，，此时，在上，必定存在唯一的零点.在上，gx>0，，单调递增；在，gx<0，，单调递减，存在极大值，当时在0,+∞上，，单调递增不存在极大值.综上所述，a的取值范围是.19.对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的p阶和数列.（1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；（2）若，求的二阶和数列的前n项和；（3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数