福建省南平市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省南平市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列Venn图能正确表示集合和关系的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，又，所以，选项B符合.故选：B.2.函数的定义域为（）A B.C. D.【答案】C【解析】由题意，解得或，所以函数的定义域为.故选：C.3.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】命题“”的否定为.故选：B.4.设，，，则a、b、c的大小关系是（）A. B.C D.【答案】D【解析】因函数在R上单调递减，，则有，又函数在R上单调递增，，则有，而函数在上单调递增，，则有，于是得，所以.故选：D.5.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意定义域为全体实数，它关于原点对称，且，所以是偶函数，当时，，此时，且，当时，，此时，对比选项可知，只有B选项符合题意.故选：B.6.不等式成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】要成为不等式成立的一个充分不必要条件，则该条件所对应的集合为不等式的解集的真子集，解，得，故不等式的解集为，逐一分析各选项，可知只有D选项对应的集合满足题意，故D正确.故选：D.7.若函数在恰好有3个零点，则正实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令得，因为函数在恰好有3个零点，所以函数在上恰有条对称轴，当时，，函数在上恰有条对称轴，如图：，则，解得.故选：C.8.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，由题意知，则函数的定义域为，又，所以是奇函数，当时，为增函数，为增函数，所以是增函数，则，由是奇函数可知，在上单调递增，由得，即，则，解得，所以不等式的解集为，故D正确.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各式中，值为1是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于A：，正确；对于B：，错误；对于C：，错误；对于D：，正确.故选：AD.10.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】对于A：当时，，A不一定成立；对于B：，当且仅当，即时等号成立，B一定成立；对于C：当时，，C不一定成立；对于D：当时，，当时，，即，D一定成立.故选：BD.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的图象关于点对称B.在上单调递减C.若，则D.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度【答案】BC【解析】对于A，，故A错误；对于B，当时，，且在内单调递减，可知上单调递减，故B正确；对于C，若，则，故C正确；对于D，把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，所得函数图象对应函数表达式为，故D错误.故选：BC.12.若函数为奇函数，则（）A.B.函数的值域为C.，且，有D.，“”是“”的充分不必要条件【答案】ACD【解析】对A：由为奇函数且定义域为，所以，即，得，故A正确；对B：由，因为，所以，故B错误；对C：由，对于，且，则，因为，所以，即，又因为，所以，所以函数在其定义域上为增函数，所以且，有，故C正确；对D：充分性：当，因为，由为增函数，所以，故充分性满足；必要性：由为增函数，当恒成立，因为，所以，解得或，故必要性不满足；综上可知“”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第1空2分，第2空3分，共20分．13.半径为2的圆中，的圆心角所对的弧的长度是__________．【答案】【解析】由已知的圆心角所对的弧的长度是.故答案为：.14.已知幂函数．若是奇函数，则的值为__________．【答案】3【解析】由题意，解得或，又是奇函数，当时，不满足题意；当时，满足题意.故答案为：3.15.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则__________．【答案】【解析】直角三角形中较小的内角为，则直角三角形的两条直角边分别为，所以小正方形的边长为，所以，即，即，所以，所以.故答案为：.16.已知函数，用表示中的较小者，记为，则函数的最大值为__________；若，则的取值范围为______________．【答案】1【解析】因为函数，用表示中的较小者，记为，所以，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最大值为，不等式，即，又明显为偶函数，在上单调递减，所以，解得，因为，恒成立，所以，即，所以的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为的终边过点，所以，，所以．（2）因为的终边过点，所以，所以.18.设函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．解：（1）当，，不等式即为，解得或，所以的解集为或．（2）因为，所以不等式可化为，依题意对，恒成立，所以当时，，不符合要求；当时，由一元二次函数性质，可知，即，解得，因此实数的取值范围是．19.已知函数．（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；（2）解关于x的不等式．解：（1）由，得函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以函数奇函数.（2）因为，所以不等式可化为，因为在是增函数，所以有，又，所以，解得，又，因此不等式的解集为．20.燕子每年都要进行秋去春来的南北大迁徙，已知某种燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度（米/秒）之间满足关系：．（1）当该燕子的耗氧量为1280时，它的飞行速度是多少？（2）若该燕子飞行时的耗氧量增加到原来的3倍，则它的飞行速度大约增加多少？（参考数据：）解：（1）依题意，有，即，又，所以，所以，解得，故该燕子的飞行速度是35（米/秒）．（2）设该燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，则该燕子的耗氧量为，飞行速度记为，依题意，有，所以，则，则，所以它的飞行速度大约增加8（米/秒）.21.已知函数是偶函数．（1）求实数的值；（2）若函数的最大值为1，求实数的值；（3）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．解：（1）因为是偶函数，所以，即对任意恒成立，所以，则，故，由于的任意性，所以.（2）由（1）得，所以的最大值为1，令，则的最大值为1，①当，即时，时，，所以；②当，即时，时，，得（舍去）；综上，实数．（3）因为，，函数有且只有一个零点，即方程有且只有一个实数根，由，得，则，即，因为恒