第二章 流体的运动课件

2流体的运动1第二章

流体的运动

1．目的要求掌握流体运动的基本规律,了解血液流动的基本知识

2．教学内容（6学时）:

理想流体,定常流动,连续性方程,柏努利方程及其应用,粘性流体的流动,层流和湍流,泊肃叶公式,牛顿流体与非牛顿流体,血液的流动。斯托克斯定律。2流体的运动2

流体静力学：研究静止流体规律的学科称为流体静力学。流动性（fluidity)：物质的各部分之间很容易发生相对运动的特性。流体（fluid）:

通常把具有流动性的物质称为流体。流体动力学：研究流体运动规律的学科称为流体动力学。气体和液体与固体不同，它们没有固定的形状，只要受到很小的力的作用，本身各部分之间就很容易发生相对运动。

例如，研究水在水管中的流动，煤气在管道中的输送，血液和淋巴液的循环以及动物呼吸系统中气体的运动等，均属于流体动力学的范畴。

因为人体中养分的输送、废物的排除、药物在人体中的吸收等，都要通过血液的循环来完成，所以掌握流体运动的规律是了解人体生理过程的基础。2流体的运动3方法实际流体（流动性、可压缩性、粘性）理想流体（理想模型）柏努利方程（理论）流动性

数学方法基本规律泊肃叶定律（理论）应用水流动应用（医学血液的流动、呼吸等）2流体的运动4一、理想流体(idealfluid)

§2-1

理想流体的运动2.理想流体

没有内摩擦,不可压缩的流体,称为理想流体3.函数表达式表达方式（1）拉格朗日(Lagrange)法：以无限小的质元（流粒）为研究对象。（2）欧拉(Euler)法：以流速的空间分布为研究对象。类似于静电场的研究方法。

v=f(x,y,z,t)=f(空间，时间)1.实际流体

水、油……可压缩，具有粘滞性。2流体的运动54.几何描述——流线(streamline)

(1)定义任意点的切线方向均与流粒在该点的速度方向一致的曲线。（2）性质：

（a）任一点在同一时刻流线不能相交（速度仅有一个）。（b）流线的疏密程度代表流速的大小。

（c）一般情况下，流线的形状随时间变化。2流体的运动6除具流线的性质(1)(2)外，还具有：二.定常流动(steadyflow)1.定义

流体流动时,流动空间各点的速度都不随时间变化,这种流动称为定常流动(或稳定流动).下式可以表示定常流动的特点:2.性质(1)流线的形状固定，为流粒的运动轨迹。(2)流管(tubeofflow):在稳定流动的流体中，由许多流线围成的管状区域称为流管。其形状固定，管内外流体不交换。2流体的运动7设想流体作稳定流动，在流管中任取两个与管壁垂直的截面S1和S2，如图。S1S2v1v2∆t∆t

若流体在两截面处的平均速度分别为v1和v2

，经过时间∆t

，有：一.连续性方程的推导(deduceofcontinuityequation)§2-2

连续性方程1.质量连续性方程质量流量：单位时间内流过管道任一截面的流体质量，单位为kg/s2流体的运动8S1S2v1v2∆t∆t2.体积连续性方程理想流体：体积流量：单位时间内流过管道任一截面的流体体积，单位为m3/s如果流体经过面积为S的横截面的体积流量为Q，则该截面处的平均流速为：2流体的运动9二.连续性方程的应用(application0fcontinuityequation)1.分支流管2.血管中的流速动脉:截面积小,流速大.毛细血管:总截面积最大,流速最小.静脉:截面积小,流速较大.v2S2S1v1S3v32流体的运动10一、柏努利方程(Bernoulli´sequation)

如右图，设有理想流体在重力场中作稳定流动。在一个截面不均匀的流管中，取其中的XY段作为研究对象。§2-3

理想流体的动力学方程h1h2F1F2v1∆tv2∆tXX'YY'Yh1h2F1F2v1∆tv2∆tXX'Y'设X处流管的截面积为S1，压强为p1，流速为v1,距离参考水平面的高度为h1；设Y处流管的截面积为S2，压强为p2，流速为v2,距离参考水平面的高度为h2。经过时间∆t后，流段的位置由XY移到了X'Y'

。下面分析在这段时间内力对这一流段所作的功，以及由此而引起的机械能的变化。2流体的运动11作用于这段流体上的力只有四周流体对它的压力。由于作用于流管侧壁的压力与管壁垂直，不作功。则∆t内外力作的总功为：h1h2F1F2v1∆tv2∆tXX'YY'Yh1h2F1F2v1∆tv2∆tXX'Y'是包围在XX'和YY'之间的流体体积。整个过程中，流段变化的仅是XX'部分被YY'部分所代替。二者的质量相等，则动能与重力势能的增量分别为根据功能原理，应有：2流体的运动12故：h1h2F1F2v1∆tv2∆tXX'YY'整理得：——柏努利方程由于X、Y这两个截面是在流管上任意选取的，所以对同一流管的任一截面来说：用V除各项得：——柏努利方程上式表明，理想流体稳定流动时，在同一流管中任一截面处，每单位体积的动能和重力势能以及该处的压强能三者可以互相转化，其总和保持不变。这是机械能守恒定律在理想流体定常流动中的应用。从压强的量纲来说，p是静压强，是动压强，是位压强。2流体的运动13所以选取A水平面为零势能面，则解：根据连续性方程可知例：如图所示，设在流管中的流量为0.12m3·s-1,A点的压强为，截面积为100cm2,B点的截面积为60cm2，假定水是理想流体，求A、B两点的流速和B点的压强。2mBAvBvA又根据柏努利方程，可得2流体的运动14二、柏努利方程的应用1.水平管中流体的压强与流速的关系在很多问题中，流体往往是在水平管中流动的。当流体在水平管中流动时，高度相等h1=h2，即，则柏努利方程可简化为：再联合理想流体的连续性方程式可得：当理想流体在粗细不同的水平管中作稳定流动时，截面积大处流速小静压强大，截面积小处流速大静压强小。空吸作用：当横截面小的地方的流速达到或超过某一值时，该处的静压强会小于外面流体的静压强，从而使该处表现出能吸入外面流体的作用，称这种作用为空吸作用。2流体的运动15如右图，是空吸作用的原理图。容器中的液体受大气压p0的作用，沿D管上升到C处，被水平管中的流体带走，这种作用叫做空吸作用。图中C处的管截面积小，流速大；而A、B处的管截面积大，流速较小。由柏努利方程可知，在A、B两处的静压强较大，而C处的静压强较小。ABCp0D请解释：为什么同一方向平行并进的两只船会彼此靠拢甚至导致两船相撞？2流体的运动16

航空中，在速度较快的一侧出现一个“负压”，这样使得物体两侧出现“压力差”，对飞机就是一种升力。V1V02流体的运动17比托管（Pitortube）比托管是测量流体流速的仪器。如图是比托管的原理图，A管的开口与B管的开口在同一水平面上，并且A管的开口与流线垂直，形成流速为零的滞止区，使A处的流速为零。而B管的开口与流线平行，故它对流体的流动无影响，即B点处的流速就是待测流体的流速，则利用柏努利方程得:AB∆hv在A点处动压全部转化为静压。2流体的运动18改进型的流速测量仪（1）液体流速测量仪，如图(a)。（2）气体流速测量仪，如图(b)。B∆hvA（a）∆hBAv（b）2流体的运动19分丘里流量计分丘里流量计是测量流体的体积流量的仪器。由连续性方程如图为分丘里流量计的原理图，测量时将它水平地连接到被测管路中。在其水平中线上取A、B两点，利用柏努利方程有:∆hAB解上述两式可得：由体积流量公式有：所以根据测得的液面高度差及已知的横截面面积SA和SB，由上式即可以求出流体的体积流量。2流体的运动202.压强与高度的关系（匀速管）假设理想流体在粗细均匀(即流速保持不变)或者流速的改变可不必考虑，而高度不同的管中流动,则柏努利方程为：上式表明，在流速不变的前提下，处于高处的液体压强较小，处于低处的液体压强较大。这种关系，可以用来解释体位对血压的影响。（如图P35）2流体的运动213.流速与高度的关系（匀压管）假设理想流体在管中作定常流动时,其各处的压强保持不变或可以不考虑压强的变化，则柏努利方程为：上式表明，当同一流管中各处的压强相等时，随着高度的逐渐降低，流速逐渐增加。水从高处自由下落就属于这种情况（自由落体）。2流体的运动224.小孔流速一开口大容器装满液体，在容器底部有一小孔。如图，计算液体从小孔中流出的速度。由柏努利方程有hvp0S0S解上二式有：2流体的运动23

病房输液管流速(如右图)虹吸管如右图所示，假设S1»S2,则v1

=0,设v2=v,所以S1S2vhhv2流体的运动24

例：一个顶部开口的大圆形容器，现有一横截面积为1cm2的小孔开在底部中心，当水从圆形容器顶部以100cm3/s的流量注入时，则容器中水面的最大高度为多少？(g取10m/s2)已知：S孔=1cm2

，Q=100cm3/s求：水面的最大高度h=?解：当从小孔流出的流体的流量等于从圆形容器顶部注入的流量时，容器的水面达到最大高度，即2流体的运动25

例：在一个大圆形容器里，盛有深度为H的水，在容器的一侧水面下h深处开一小孔，则水从小孔流出。问在容器同一侧何处再开一小孔，可使两孔射出的水流有相同的射程。解：根据小孔流速公式，当小孔开在水面下h时，则从小孔流出的流速：Hhh'假设另一孔开在水面下h'处，则同样，射程为：所以射程为：据题意有：2流体的运动26

例：如图，有一大容器，其截面积为S，水位高度为H，若容器底部开一截面积为a的小孔，则水从小孔中流出。求：（1）当水位降到h时需多长时间？（2）当水全部流完时，总共需多长时间？解：（1）如图建立坐标轴Oy，坐标原点位于开始时的水位。当水位降低了y时，根据小孔流速公式，从小孔流出的流体的流速为：设在dt时间内，水位降低了dy，则其体积减少量应为S·dy，根据流量守恒，此体积减少量应等于在dt时间内从小孔流出的体积，即：HhSaOyydy设水位降到h时所需用的时间为t1，则有：（2）当水全部流完时，即取h=0，则所需用的时间t2为：2流体的运动27一、层流、湍流1.层流(laminarflow)：当粘性流体的速度较小时，出现分层流动，各层流体互不混合保持自己的流动速度，称为层流，也叫片流。§2-4

粘性流体的流动规律2.湍流(turbulentfolw):当粘性流体的速度较大时，各流层互相混合，有时出现漩涡，显得杂乱无章，称为湍流。2流体的运动28二、牛顿粘滞定律（Newton´slawofviscousflow）1.粘滞现象如右图，设想在两块玻璃板之间放上一层甘油。Fvabcd在上面板上施加一恒定的力F使之移动，上板的移动速度增加到某一数值v以后就不再增加了，它将以速度v匀速前进。粘附在上面玻璃板里侧的一层液体也以速度v运动，粘附在下板上的一层液体则静止不动。液体的速度从上板到下板是逐渐减小的，因此，可以把这液体分成许多平行于玻璃板、速度不同的薄层a、b、c、d···等。a层液体不动，b层以不大的速度沿a层滑动，b层给a层一个向前的拉力，而a层给b层一个向后的阻力，这一对力与接触面平行，大小相等而方向相反，称为内摩擦力(internalfriction)或粘滞力(viscousforce)。2流体的运动292.速度梯度（velocitygradient）当流体在管道中作层流时，其速度分布如图。速度的逐层变化可以用速度梯度来表示。如图，若相距为∆x的两流层的速度差为∆v，则∆v/∆x表示这两层之间速度的平均变化率，当∆x->0时，则速度梯度表示为：Ox∆v∆xxx+∆x速度梯度：流体速度沿半径方向(x轴方向)的变化率,称为速度梯度。单位：s-1.速度梯度表示x处相邻流层间速度在x方向上的变化快慢程度。2流体的运动303.牛顿粘滞定律（Newton'slawofviscousflow）定律内容：当流体作层流时，相邻两层流体间的粘滞阻力(内摩擦力)F与速度梯度dv/dx成正比，与两层间的接触面积S成正比。式中,

是流体的粘滞系数。关于粘滞系数

(b)特性：(a)性质：反映流体粘度大小的物理量，决定于流体性质和温度。(c)单位：牛顿流体(Newtonianfluid)：遵循牛顿粘滞定律的流体称为牛顿流体。如水和血浆。非牛顿流体：不遵循牛顿粘滞定律的流体称为非牛顿流体。如血液。2流体的运动31三、层流与湍流的判别Re称为雷诺数，它是用来判断层流或湍流的经验公式。

设流体在粘滞系数为

，密度为ρ，圆管的半径为r，流体在该圆管中的平均流速为v，则：Re是一个无量纲的纯数。条件：直圆管.弯曲度↑,产生湍流的Re↓,急弯分支。层流是无声的，而湍流则伴随着有噪声，频率可达数百Hz，这在医学上具有实用价值。例如，动、静脉堵塞以及心脏瓣膜狭窄在血管中引起的杂音，都是湍流产生的。测量血压时，在听诊器中所听到的声音，也是血液通过被压扁的血管时，产生湍流所发生的。2流体的运动32四、粘性流体的流动规律1.粘性流体的柏努利方程粘滞流体流动时，由于存在内摩擦力，必然有一部分机械能转化为热能，因而以理想流体作稳定流动为前提导出的柏努利方程就不能直接应用了，必须加入一个修正项。（1）方程实质：能量守恒定律的具体表达式。对理想流体动力学方程的修正（逼近实际）。（2）物理意义：ω=Wf/V

表示单位体积的粘性流体在流管中从截面1流到截面2的过程中所为克服内摩擦力而损失的机械能。2流体的运动33（3）ω的确定：（a)一般情况下，需用实验方法(因为ω的大小一般与η、流动状态和管道形状等有关）。(b)特殊情况时（即粗细均匀S1=S2），可用公式计算：匀速管：匀速水平管：匀速匀压管：表明：即使是在水平管中，也必须有一定的压力差，才能使粘性流体克服内摩擦力作定常流动，则通过流体体积为V时，其机械能损失量为：表明：在外界压强相同的情况下，要使粘性流体沿管道作定常流动，必须有一定的高度差，以降低重力势能的方式来弥补因内摩擦力而所损失的机械能。2流体的运动342.泊肃叶定律（Poiseuillelaw）

法国医师泊肃叶为了明确心脏和血流间的关系，研究了牛顿流体（水）在刚性管中流动的规律，得出了著名的泊肃叶实验公式。公式指出，在粗细均匀的水平管中作层流的粘性流体，其流量Q和管道两端的压强差p1-p2

(p1>p2)之间有如下关系：式中：R—管子的半径；L—是管子的长度；η—是流体的粘滞系数。LRp1p22流体的运动35泊肃叶公式的推导（1）条件：等截面水平管中匀速层流的粘性液体。即h1=h2,v1=v2=v,所以，ω＝△p=p1-p2≠0(理想流体ω＝

p1

-p2＝0）（2）对象：半径为r，长度为L、与管共轴的等截面水平管中匀速层流的粘性流体。推导：LrRF1F2F3因为是匀速运动，所以有根据r=R,v=0的条件，可求得：2流体的运动36结果（1）速度分布

右图为粘性流体在管中流动时，各流层在一个纵剖面上的的速度分布速度LrRF1F2F32流体的运动37（2）流体的流量LrRdrp1p2F3为了求出管中流体的流量，考虑一个内径为r,厚度为dr的管状流层，因为这一流层的截面积为，所以它的流量为式中v是流体在半径r处的流速。由此可见，泊肃叶公式不仅有实验依据，而且可以从理论上加以推证。2流体的运动38注意几点1.流阻（flowresistance）Rf称为流阻，在医学上习惯称之为外周阻力，它的大小由流体的粘滞系数η和管道的几何形状决定。单位：Pa·s·m-3串联时：并联时：医学上常用这些公式对心血管系统的心输出量、血压降和外周阻力之间的数量关系进行近似地分析。2流体的运动392.表明：粘性流体在圆管中作定常流动时，单位体积的机械能损失与管子的长度成正比，即损失的机械能均匀地分布在流动的路程上，称为沿程能量损失。当流体通过横截面积突变处、弯管处或各种阀门处时，流体的能量都要发生额外的损失，这种损失发生在某些局部的地方，称为局部能量损失。所以，总的能量损失=沿程能量损失+局部能量损失2流体的运动40五、血液在循环系统中的流动1.血液循环系统整个血液循环系统可看作是由体循环、肺循环两部分组成。右图为简单的物理模型。心脏收缩时，血液使左心房和左心室之间的瓣膜关闭，冲开左心室与主动脉间的瓣膜进入主动脉，再经动脉、小动脉、微血管流入毛细血管。体循环肺循环右心房左心房右心室左心室心脏舒张时，血液使左心室与主动脉间的瓣膜关闭而不回流，此时另一端的血液则靠动、静脉间压强差的推动，使之由毛细血管逐渐汇流入小静脉、静脉、腔静脉，最后回流入右心房。如图，心房与静脉相联，心室则与动脉相联，在心房和心室及心室和动脉之间均有只允许血液单向通过的瓣膜；而左、右心房和左、右心室则完全不相通。体循环：血液由左心室出发经各种血管流回右心房的过程。也称大循环。肺循环：血液从右心室进入肺动脉，经肺毛细血管、肺静脉流回左心房的过程。也称小循环。2流体的运动412.外周阻力血液在血管中流动的流阻在医学上叫做外周阻力。体循环的总流阻，称为总外周阻力。在通常情况下，血液的循环流动从整体上看可视为层流。任一段血管两端的血压差∆p、流量Q与流阻R之间的关系仍遵从泊肃叶公式，即可用公式R=∆p/Q来计算外周阻力。这时∆p取平均动脉压，Q为每秒钟的心输出量。通常血管长度无变化，血液粘度的变化也不大，所以外周阻力的变化主要决定于血管内径的变化。血液虽然由心室断续搏出，但由于主动脉管壁具有弹性、血液流动具有惯性和外周阻力的存在，血液在血管中的流动基本上是连续的。3.血流速度在心脏收缩期内，血液大量射入原来已充满血液的主动脉内，由于外周阻力较大，血液不能及时流出，使得该处的弹性管壁被撑开而储蓄血液；当心脏收缩停止，进入舒张期时，主动脉和左心室之间的瓣膜关闭，射血虽已停止，但由于管壁弹力回缩，被扩大的主动脉恢复原状，推动所蓄血液继续向前流动，结果使前面的血管扩张，依次类推。2流体的运动42根据测量和计算可知，主动脉的截面积仅为3cm2

，而彼此并联的毛细血管的总截面积可达900cm2，腔静脉的截面积则为18cm2

。单位时间内由左心室射出的血量为90cm3·s-1（静息状态），根据连续性方程可计算出，主动脉中血流速度最大，可达30cm·s-1，毛细血管中流速最小，约为1mm·s-1（上述血液速度指血管截面上的平均速度），如右图所示。血管的这种周期性扩张和收缩的运动状态，沿着血管向前传播，称为脉搏波。脉搏波的传播速度约为8~10m·s-1。血流速度总截面积大动脉小动脉毛细管静脉4.血压血压是血管内血液对管壁的侧压强，医学上常用它高于大气压强的数值来表示，并以mmHg为单位。即它是计示压强，它等于血液的绝对压强p与大气压强p0之差。心血管系统的压强（血压）是随着心脏的收缩和舒张而变化的。2流体的运动435.心脏作功血液在两个循环中，沿途都要克服阻力消耗能量。要想血液循环不停的继续下去，血液必须不断地被补充能量，这部分能量是由心脏作功而来，故血液不停地循环是由心脏不断地作功来维持的。体循环是由左心作功来补充能量，而肺循环则由右心作功来补充能量，所以心脏作的功等于左心室和右心室作功之和。心脏作的功，可应用柏努利方程计算求得：所以，心脏作功为：单位体积血液离开心室时的能量为：单位体积血液进入心房时的能量为：由于h1和h2很接近，h1=h2=0，所以有：2流体的运动44例：