2025版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组7.2简单的线性规划

.2简洁的线性规划考点简洁的线性规划1.(2024天津理,2文,2,5分)设变量x,y满意约束条件x+y≤5,2xA.6B.19C.21D.45答案C本题主要考查线性目标函数最值的求解.由变量x,y满意的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示).作出基本直线l0:3x+5y=0,平移直线l0,当经过点A(2,3)时,z取最大值,zmax=3×2+5×3=21,故选C.2.(2024北京理,8,5分)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则()A.对随意实数a,(2,1)∈AB.对随意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤32时,(2,1)∉答案D本题主要考查不等式组的解法,元素与集合的关系.若(2,1)∈A,则有2-1≥1,2a+1>4,2-a≤2易错警示留意区分集合条件中的“或”与“且”.本题简洁把三个不等式的中间联结词认为是“或”而错选A.3.(2017课标Ⅲ文,5,5分)设x,y满意约束条件3x+2y-6≤0,A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]答案B由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A(0,3),B(2,0).由图可知,目标函数z=x-y在点A,B处分别取得最小值与最大值,zmin=0-3=-3,zmax=2-0=2,故z=x-y的取值范围是[-3,2].故选B.4.(2017课标Ⅰ文,7,5分)设x,y满意约束条件x+3y≤3,x-A.0B.1C.2D.3答案D本题考查简洁的线性规划问题.作出约束条件表示的可行域如图:平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y在A(3,0)处取得最大值,zmax=3,故选D.一题多解由约束条件求出三个交点的坐标(3,0),(1,0),32,12,分别代入目标函数z=x+y,5.(2016北京理,2,5分)若x,y满意2x-y≤0,x+A.0B.3C.4D.5答案C画出可行域,如图中阴影部分所示,令z=2x+y,则y=-2x+z,当直线y=-2x+z过点A(1,2)时,z最大,zmax=4.故选C.思路分析先画出可行域,再令z=2x+y并改写成斜截式,找到令z取最大值时的点,代入求值.评析本题考查简洁的线性规划,属简洁题.6.(2016天津理,2,5分)设变量x,y满意约束条件x-y+2≥0,2xA.-4B.6C.10D.17答案B由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分).当直线2x+5y-z=0过点A(3,0)时,zmin=2×3+5×0=6,故选B.评析本题考查了简洁的线性规划问题,正确画出可行域是求解的关键.7.(2016山东,4,5分)若变量x,y满意x+y≤2,2x-3yA.4B.9C.10D.12答案C作出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,x2+y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)到原点的距离最大,所以x2+y2的最大值是10,故选C.评析本题考查了数形结合的思想方法.利用x2+y2的几何意义是求解的关键.8.(2016浙江,4,5分)若平面区域x+y-3≥0,2x-A.355B.2C.32答案B作出可行域如图.由2x-由x+y斜率为1的平行直线l1,l2分别过A,B两点时它们之间的距离最小.过A(2,1)的直线l1:y=x-1,过B(1,2)的直线l2:y=x+1,此时两平行直线间的距离d=22=2.故选9.(2015重庆,10,5分)若不等式组x+y-2≤0,x+2y-2≥0,A.-3B.1C.43答案B如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m<2,即m>-1,所围成的区域为△ABC,S△ABC=S△ADC-S△BDC.点A的纵坐标为1+m,点B的纵坐标为23(1+m),C,D两点的横坐标分别为所以S△ABC=12(2+2m)(1+m)-12(2+2m)·=13(1+m)2=4解得m=-3(舍去)或m=1.故选B.10.(2015山东理,6,5分)已知x,y满意约束条件x-y≥0,x+y≤2A.3B.2C.-2D.-3答案B作出可行域如图.①当a<0时,明显z=ax+y的最大值不为4;②当a=0时,z=y在B(1,1)处取得最大值,为1,不符合题意;③当0<a<1时,z=ax+y在B(1,1)处取得最大值,zmax=a+1=4,故a=3,舍去;④当a=1时,z=x+y的最大值为2,不符合题意;⑤当a>1时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,zmax=2a=4,得a=2,符合题意.综上,a=2.11.(2015福建文,10,5分)变量x,y满意约束条件x+y≥0,x-2y+2≥0,A.-2B.-1C.1D.2答案C当m<0时,约束条件所表示的平面区域是开放的,目标函数z=2x-y无最大值,解除A,B,当m=2时,目标函数z=2x-y的最大值为0,于是解除D,故选C.12.(2014课标Ⅱ理,9,5分,0.798)设x,y满意约束条件x+y-7≤0,xA.10B.8C.3D.2答案B由约束条件得可行域如图阴影部分所示.由x+y-7=0,x-3y+1=0得A(5,2).当直线2x-y=z方法总结解决线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②依据目标函数的几何意义确定其取得最优解的点,并求出该点坐标;③求出目标函数的最大值或最小值.13.(2014课标Ⅱ文,9,5分,0.700)设x,y满意约束条件x+y-1≥0,xA.8B.7C.2D.1答案B约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z=x+2y,得y=-12x+z2,z2为直线y=-12x+z2在y轴上的截距,要使z最大,则需z2最大,所以当直线y=-12x+z2经过点B(3,2)14.(2014课标Ⅰ文,11,5分,0.236)设x,y满意约束条件x+y≥a,x-yA.-5B.3C.-5或3D.5或-3答案B二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中Aa-12,a+12.平移直线x+ay=0,因此a-12+a×a+12解得a=3或a=-5,但a=-5时,z取得最大值,故舍去,故选B.解后反思本题也可由解除法选出答案,当a=-5时,目标函数无最小值,当a=3时,可以推断出目标函数的最小值为7,所以选B.15.(2014北京理,6,5分)若x,y满意x+y-2≥0,kx-y+2≥0,A.2B.-2C.12D.-答案D由y-x由图推想直线kx-y+2=0必过A(4,0),得k=-12,阅历证符合题目条件.故选16.(2014课标Ⅰ理,9,5分)不等式组x+y≥1,p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是()A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3答案B不等式组x+y≥1,x-2y≤4表示的平面区域D如图阴影区域所示.设z=x+2y,作出基本直线l0:x+2y=0,经平移可知直线l:z=x+2y经过点A(2,-1)时z取得最小值0,无最大值.对于命题p1:由于z的最小值为0,所以∀(x,y)∈D,x+2y≥0恒成立,故x+2y≥-2恒成立,因此命题p1为真命题;由于∀(x,y)∈D,x+2y≥0,故∃(x,y)∈D,x+2y≥2,因此命题p2为真命题;由于z=x+2y的最小值为0,无最大值,故命题17.(2013课标Ⅱ文,3,5分,0.693)设x,y满意约束条件x-y+1≥0,x+A.-7B.-6C.-5D.-3答案B由约束条件得可行域(如图),当直线2x-3y-z=0过点A(3,4)时,zmin=2×3-3×4=-6.故选B.18.(2013课标Ⅱ理,9,5分,0.788)已知a>0,x,y满意约束条件x≥1,x+y≤3,yA.14B.12C.1答案B由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC及其内部),由x=1,当直线2x+y-z=0过点A时,z=2x+y取得最小值,所以1=2×1-2a,解得a=12,故选解题关键依据约束条件精确画出可行域,从而经过平移确定直线z=2x+y过可行域内的点A时z取得最小值是解题的关键.19.(2013湖北文,9,5分)某旅行社租用A、B两种型号的客车支配900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为()A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元答案C设旅行社租用A型客车x辆,B型客车y辆,租金为z元,则线性约束条件为x+y画出可行域:当目标函数z=1600x+2400y经过点A(5,12)时,zmin=1600×5+2400×12=36800.选C.20.(2012课标,5,5分)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是()A.(1-3,2)B.(0,2)C.(3-1,2)D.(0,1+3)答案A由题意知可行域为△ABC(不含边界).当直线-x+y-z=0过点C(1+3,2)时,zmin=1-3;当过点B(1,3)时,zmax=2.故选A.评析本题考查了简洁的线性规划,考查了数形结合的思想.正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键.21.(2016浙江,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域x-2≤0,x+y≥0,A.22B.4C.32D.6答案C由不等式组画出可行域,如图中的阴影部分所示.因为直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,所以可行域内的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2,-2),D(-1,1),所以|AB|=|CD|=(2+1)2+(-222.(2016江苏,12,5分)已知实数x,y满意x-2y+4≥0,2x+答案4解析画出不等式组x-2由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2+y2)max=22+32=13,(x2+y2)min=d2=252=45,其中d表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x2+y2解后反思对于线性规划问题,要正确作出可行域,并理解目标函数的几何意义,分清常规的“距离型”“斜率型”与“截距型”是解题的关键.23.(2024课标Ⅱ文,15,5分)若x,y满意约束条件x+y≥-1答案8解析作出约束条件表示的可行域,如图所示.由图可知直线z=x+2y过点A(2,3)时,z取得最大值,最大值为2+2×3=8.24.(2024课标Ⅱ文,13,5分)若变量x,y满意约束条件2x+3y-6≥0答案9解析本题考查简洁的线性规划问题;以二元一次不等式组作为约束条件考查学生数形结合思想及运算求解实力;考查数学运算的核心素养.作出可行域(如图阴影部分所示).易得A(3,0),B(1,2),C(0,2).将z=3x-y化为y=3x-z,由图知,当直线y=3x-z经过点A(3,0)时,截距-z取得最小值,从而z取得最大值.zmax=3×3=9.易错警示因为目标函数中y的系数为负值,所以简洁理解为在点C处取得最大值,导致错误.25.(2024课标Ⅲ文,15,5分)若变量x,y满意约束条件2x+y+3≥0,x-答案3解析本题考查简洁的线性规划.解法一:依据约束条件作出可行域,如图所示.z=x+13y可化为求z的最大值可转化为求直线y=-3x+3z纵截距的最大值,明显当直线y=-3x+3z过A(2,3)时,纵截距最大,故zmax=2+13解法二:画出可行域(如上图),由图知可行域为三角形区域,易求得顶点坐标分别为(2,3),(2,-7),(-2,1),将三点坐标代入,可知zmax=2+1326.(2024浙江,12,6分)若x,y满意约束条件x-y≥0,2x+y答案-2;8解析本小题考查简洁的线性规划.由约束条件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图.当直线y=-13x+z3过点C(4,-2)时,z=x+3y取得最小值-2,过点B(2,2)时,z=x+3y思路分析(1)作出可行域,并求出顶点坐标.(2)平移直线y=-13x,当在y轴上的截距最小时,z=x+3y取得最小值,当在y轴上的截距最大时,z=x+3y取得最大值27.(2016课标Ⅲ,13,5分)设x,y满意约束条件2x-y+1≥0,答案-10解析可行域如图所示(包括边界),直线2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过(-1,-1)时,z取最小值,zmin=-10.28.(2