2025版高考数学一轮总复习11.2离散型随机变量及其分布列均值与方差习题

.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差基础篇固本夯基考点离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.(2024届安徽六安新安中学开学考试,5)若随机变量η的分布列如下表:η-101234P0.10.10.20.30.250.05则P(η≤1)=()A.0.5B.0.2C.0.4D.0.3答案C2.(2024太原模拟,6)某射手射击所得环数ξ的分布列如下表:ξ78910Px0.10.3y已知ξ的数学期望E(ξ)=8.9,则y的值为()A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2答案C3.(2024课标Ⅲ,3,5分)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且∑i=14A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2答案B4.(2024课标Ⅱ,13,5分)我国高铁发展快速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为.

答案0.985.(2024届西安中学月考,15)已知随机变量ξ的分布列如下表,D(ξ)表示ξ的方差,则D(2ξ+1)=.

ξ012Pa1-2a1答案26.(2024浙江,16,6分)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=,E(ξ)=.

答案137.(2024届河南大联考,15)某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目,假设小张甲科目合格的概率为34,乙、丙科目合格的概率相等,且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X,若P(X=3)=316,则E(X)=答案78.(2024届兰州西北师大附中期中,18)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17,现有甲,乙二人从袋中轮番(1)求袋中原有白球的个数;(2)求取球次数X的分布列和数学期望.解析(1)设袋中原有n个白球,由题意知Cn2C(2)由题意得,X的全部可能取值为1,2,3,4,5.P(X=1)=37,P(X=2)=4×37×6=27,P(X=3)=4×3×37×6×5=635,P(X=4)=4×3×2×37×6×5×4=X12345P32631所以E(X)=1×37+2×27+3×635+4×39.(2024河南百校联盟4月联考,19)某资源网推出精品资料营销,数学学科新教材必修第一册共计推出48个教案,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段教案的下载量进行统计:下载量[0,100](100,200](200,+∞)个数82416(1)现从48个教案中采纳分层抽样的方法选出6个,求选出的下载量超过200的个数;(2)为了更好地激励作者,现在在基本工资的基础上推出如下嘉奖措施,若下载量在区间[0,100]内,不予嘉奖,若下载量在区间(100,200]内,则每个教案嘉奖500元;若下载量超过200,则每个教案嘉奖1000元,现从(1)中选出的6个教案中随机取出2个教案进行嘉奖,求嘉奖金额X的分布列与数学期望.解析(1)依据分层抽样的特点,可知选出的下载量超过200的个数为6×1648(2)X的可能取值为500,1000,1500,2000.P(X=500)=C11C31C6P(X=1500)=C31C21C6则嘉奖金额X的分布列为af500100015002000P1121故嘉奖金额X的数学期望E(X)=500×15+1000×13+1500×25+2000×1综合篇知能转换考法求离散型随机变量的分布列、期望与方差的方法1.(2024河北衡水中学第一次联考,6)为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构实行合并检测法,即将多人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定全部样本都是阴性的,若为阳性,则还须要对本组的每个人再做检测.现对20名亲密接触者的拭子样本进行合并检测,每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的,每人检测结果呈阳性的概率为p,且检测次数的数学期望为20,则p的值为()A.1-1201C.1-1211答案A2.(2024浙江,15,6分)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n=,E(ξ)=答案1;83.(2024届长春重点中学月考一,19)移动支付在中国大规模推广五年之后,胜利在移动互联网用户中获得了极高的渗透率,这大约是中国自宽带和手机之后,普及率最高的一项产品,甚至,移动支付被视为新时代中国的四大独创之一.近日,某机构针对第三方移动支付市场在一家大型超市进行了顾客运用移动支付状况的调查.调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人,得到如下数据:类型各年龄段人数[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]运用移动支付45402515不运用移动支付0102045(1)现从这200人中随机依次抽取2人,已知第1次抽到的人运用移动支付的条件下,求第2次抽到的人不运用移动支付的概率;(2)在随机抽取的200人中对运用移动支付的人群采纳分层抽样的方式抽取25人做进一步问卷调查,再从这25人中随机选出3人颁发参与奖,设这3人中年龄在[40,50)之间的人数为X,求X的分布列及数学期望.解析(1)记事务A为“第1次抽到的人运用移动支付”,事务B为“第2次抽到的人不运用移动支付”,由题意得,运用移动支付的人数为45+40+25+15=125,不运用移动支付的人数为0+10+20+45=75,所以P(B|A)=n(AB)n((2)利用分层抽样在年龄段[40,50)中抽取的人数为25125所以P(X=0)=C203C253=57115,P(X=1)=C202C51X0123P571921故E(X)=0×57115+1×1946+2×223+3×14.(2024届长春质量监测一,19)水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是北京2024年冬奥会的部分竞赛场馆.现有8名高校生报名参与冬奥会志愿者竞赛场馆服务培训,其中1人在水立方培训,3人在国家体育馆培训,4人在五棵松体育馆培训.(1)若从中一次抽调2名高校生志愿者到国家速滑馆培训,求所抽调的2人来自不同场馆的概率;(2)若从中一次抽调3名高校生志愿者到首都体育馆培训,要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数.设从五棵松体育馆抽调的人数为ξ,求随机变量ξ的概率分布列及数学期望E(ξ).解析(1)设事务A为“抽调的2人来自不同场馆”.从8人中一次抽调2人有C82种状况,2人都来自国家体育馆有C32种状况,2人都来自五棵松体育馆有C42种(2)由题意得ξ的全部可能取值为1,2,3,且来自五棵松体育馆的人数至少是1人,则满足题设条件的状况共有C11C31C4P(ξ=1)=C11C31C4P(ξ=3)=C4340ξ的分布列如下:ξ123P331E(ξ)=1×310+2×35+3×1105.(2024太原一模,18)某地区为了实现产业的转型发展,利用当地旅游资源丰富多样的特点,确定大力发展旅游产业,一方面对现有旅游资源进行升级改造,另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门,对所推出的报团游和自助游项目进行了深化调查,下表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中,随机抽取的100位游客的满足度调查表.满足度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满足121184156一般2164412不满足116232(1)已知甲是此次调查时满足度为“满足”的报团游游客,由上表中的数据分析,甲最有可能是老年人、中年人和青年人这三种人群中的哪一类人群?(2)为了提高服务水平,该旅游部门要从上述样本里满足度为“不满足”的游客中,随机抽取3人征集整改建议,记X表示这3人中老年人的人数,求X的分布列和期望;(3)若你的挚友要到该地区旅游,依据上表中的数据,你会建议他选择哪种旅游项目?解析(1)由题表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为p1=1518=56,p2=3040=34,p3=2242=1121,因为p(2)由题意得X全部可能的取值为0,1,2,P(X=0)=C133C153=2235,P(X=1)=C13∴X的分布列为X012P22121∴E(X)=0×2235+1×1235+2×135(3)由题表可知,报团游的满足度为满足的频率为p4=12+18+1515+30+22=4567,自助游的满足度为满足的频率为p5=1+4+63+10+20=13,因为p6.(2024山西临汾考前适应性训练三,19)小王对周边的水产养殖产业进行了探讨.A、B两个投资项目的利润率分别为投资变量X和Y.依据市场分析,X和Y的分布列分别为:

X5%10%P0.80.2Y2%8%12%P0.20.50.3(1)若在A,B两个项目上各投资100万元,ξ和η分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(ξ),D(η);(2)若在A,B两个项目上共投资200万元,那么如何安排,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是多少?(注:D(aX+b)=a2D(X))解析(1)由题知,ξ,η的分布列分别为:ξ510P0.80.2η2812P0.20.50.3所以E(ξ)=5×0.8+10×0.2=6,D(ξ)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4.E(η)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D(η)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.(2)设在A,B两个项目上分别投资x万元,(200-x)万元,利润的方差和为f(x).则f(x)=Dx100ξ+D200-x100η=x1002D(ξ)+200-x1002D(η)=4×所以,在A,B两个项目分别投资150万元,50万元时,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是12.应用篇知行合一应用利用均值、方差进行决策1.(2024新高考Ⅰ,18,12分生活实践情境)某学校组织“一带一路”学问竞赛,有A,B两类问题.每位参与竞赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学竞赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学竞赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.解析(1)由题易知X的全部可能取值为0,20,100,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48,所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.假设小明先回答B类问题,其累计得分为Y,则Y的全部可能取值为0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,所以E(Y)>E(X),所以小明应选择先回答B类问题.2.(2024届湖南名校10月联考,20生活实践情境)某单位有员工50000人,一保险公司针对该单位推出一款意外险产品,每年每位职工只须要交少量保费,发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的全部岗位分为A、B、C三类工种,从事三类工种的人数分布比例如饼图所示,且这三类工种每年的赔付概率如下表所示:工种类别ABC赔付概率121

对于A、B、C三类工种,职工每人每年保费分别为a元、a元、b元,出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元,保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.(1)若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的15%,证明:153a+17b≥4200;(2)现有两个方案供单位选择.方案一:单位不与保险公司合作,职工不交保险,出意外后单位自行拿出与保险公司供应的等额赔偿金赔付给出意外的职工,单位开展这项工作的固定支出为每年35万元;方案二:单位与保险公司合作,a=25,b=60,单位负责职工保费的80%,职工个人负责20%,出险后赔偿金由保险公司赔付,单位无额外专项开支.依据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.解析(1)证明:设工种A,B,C对应职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量X,Y,Z(单位:元),则X,Y,Z的分布列分别为Xaa-100×104P1-11Yaa-100×104P1-22Zbb-50×104P1-11E(X)=a×1-1105+(a-100×104E(Y)=a×1-2105+(a-100×104E(Z)=b×1-1104+(b-50×104所以(a-10)×50000×60%+(a-20)×50000×30%+(b-50)×50000×10%-20×104≥(a×50000×60%+a×50000×30%+b×50000×10%)×15%,整理得153a+17b≥4200.(2)方案一:单位不与保险公司合作,则单位每年赔偿金支出的期望与固定开支共为50000×60%×100×104×1105+50000×30%×100×104×2105+50000×10%×50×104×110方案二:单位与保险公司合作,则单位支出金额为(50000×60%×25+50000×30%×25+50000×10%×60)×80%=1.14×106(元).因为1.2×106>1.14×106,所以建议该单位选择方案二.3.(2024届新疆克拉玛依模拟三,18生活实践情境)在一个系统中,每一个设备能正常工作的概率称为设备的牢靠度,而系统能正常工作的概率称为系统的牢靠度,为了增加系统的牢靠度,人们常常运用“备用冗余设备”(即正在运用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采纳的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.设三台设备的牢靠度均为r(0<r<1),它们之间相互不影响.(1)要使系统的牢靠度不低于0.992,求r的最小值;(2)当r=0.9时,求能正常工作的设备数X的分布列;(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的牢靠度是0.7,依据以往阅历可知,计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为削减对该产业园带来的经济损失,有以下两种决策方案.方案1:更换部分设备的硬件,使得每台设备的牢靠度维持在0.9,更新设备硬件总费用为8万元;方案2:对系统的设备进行维护,使得设备牢靠度维持在0.8,设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度推断决策部门该如何决策.解析(1)要使系统的牢靠度不低于0.992,则1-(1-r)3≥0.992,解得r≥0.8,故r的最小值为0.8.(2)由题意可知X~B(3,0.9),P(X=0)=C30×0.90×(1-0.9)P(X=1)=C31×0.91×(1-0.9)P(X=2)=C32×0.92×(1-0.9)P(X=3)=C33×0.93×(1-0.9)从而X的分布列为X0123P0.0010.0270.2430.729(3)设方案1、方案2的总损失分别为Y1元,Y2元.方案1:由(2)可知计算机网络断掉的概率为0.001,故E(Y1)=80000+0.001×500000=80500(元).方案2:由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.008,故E(Y2)=50000+0.008×500000=54000(元),因为80500>54000,所以从期望损失最小的角度推断决策部门应选择方案2.4.(2024成都双流中学10月月考,19生活实践情境)甲、乙两品牌安排入驻某商场,该商场批准两个品牌先进场试销5天.两品牌供应的返利方案如下:甲品牌无固定返利,卖出10件以内(含10件)的产品,每件产品返利5元,超出10件的部分每件返利7元;乙品牌每天固定返利20元,且每卖出一件产品再返利3元.经统计,两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下:甲乙667069201322(1)现从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,求这3天的销售量中至少有一天低于10的概率;(2)若将频率视作概率,回答以下问题:①记甲品牌的日返利额为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售,假如仅从日返利额的角度考虑,请利用所学的统计学学问为商场做出选择,并说明理由.解析(1)解法一:设事务A为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量中至少有一天低于10”,则P(A)=C21C解法二:设事务A为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量中至少有一天低于10”,则事务A为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量都不低于10”,则P(A)=1-P(A)=1-C33C53(2)①设甲品牌的日销售量为随机变量ξ,则甲品牌的日返利额X(单位:元)与ξ的关系为X=5ξ故X的分布列为a30355064P2111所以E(X)=30×25+35×15+50×15②解法一:设乙品牌的日销售量为随机变量η,乙品牌的日返利额Y(单位:元)与η的关系为Y=20+3η,且η的分布列为η691213P1121所以E(η)=6×15+9×15+12×25则E(Y)=E(3η+20)=3E(η)+20=3×10.4+20=51.2.因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额,所以假如仅从日返利额的角度考虑,商场应选择乙品牌长期销售.解法二:乙品牌的日返利额Y(单位:元)的取值集合为{38,47,56,59},分布列为af38475659P1121则E(Y)=38×15+47×15+56×25因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额,所以假如仅从日返利额的角度考虑,商场应选择乙品牌长期销售.创新篇守正稀奇创新概率与其他学问的综合1.(2024浙江,7,4分概率与函数单调性)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是ξ012P1-p1p则当p在(0,1)内增大时,()A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小答案D2.(2024重庆模拟,11概率与函数)2024年年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快,因这种病毒是以前从未在人体中发觉的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大,武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确解除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的亲密接触者“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为“与确诊患者的亲密接触者”,这种状况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p<1)且相互独立,该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p),当p=p0时,f(p)最大,则p0=()A.1-63B.63C.1答案A3.(2024届安徽安庆怀宁中学模拟一,18概率与独立性检验)为了调查90后上班族每个月的休假天数,探讨人员随机抽取了1000名90后上班族,调查所得数据统计如图所示.(1)求a的值以及这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)以频率估计概率,若从全部90后上班族中随机抽取4人,求至少2人每个月休假天数在6天以上(含6天)的概率;(3)为探讨90后上班族每个月休假天数与月薪的关系,从上述1000名被调查者中抽取300人,得到如下列联表,请将列联表补充完整,并依据列联表推断是否有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关.a月休假不超过6天月休假超过6天合计月薪超过500090月薪不超过5000140合计300附:K2=n(P(K2≥k)0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635解析(1)由频率分布直方图的性质,可得(0.02+0.08+0.15+a+0.03+0.03+0.01)×2=1,解得a=0.18,所以这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数为(0.02×1+0.08×3+0.15×5+0.18×7+0.03×9+0.03×11+0.01×13)×2=6.(2)由题可得随机抽取1人,每个月休假天数在6天以上(含6天)的概率为(0.18+0.03+0.03+0.01)×2=0.5=12,以频率估计概率,从全部90后上班族中随机抽取4人,至少2人每个月休假天数在6天以上(含6天)的概率为C42×122×1-122+C43×12(3)由题意知1000名被调查者中每个月休假天数不超过6天的有1000×(0.02+0.08+0.15)×2=500人,月休假天数超过6天(含6天)的有500人,按分层抽样可得300人中月休假天数