2025版高考数学一轮总复习专题检测11.4抽样方法与总体分布的估计

.4抽样方法与总体分布的估计一、选择题1.(2024届广西调研,3)为了解学生数学实力水平,某市A、B、C、D四所初中分别有200,180,100,120名初三学生参与此次数学调研考试,现制订以下两种卷面分析方案:方案①:C校参与调研考试的学生中有30名数学培优生,从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析;方案②:从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析.完成这两种方案宜采纳的抽样方法依次是()A.分层抽样法、系统抽样法B.分层抽样法、简洁随机抽样法C.系统抽样法、分层抽样法D.简洁随机抽样法、分层抽样法答案D①中总体容量较小,抽取样本容量也小,可实行简洁随机抽样法;②中总体容量大,从四所不同学校抽取,适合用分层抽样法.故选D.2.(2024届河北9月开学摸底,3)2024年7月,中国青年报社社会调查中心通过问卷网,对2047名14~35岁青少年进行的专项调查显示,对于神舟十二号航天员乘组出征太空,98.9%的受访青少年都表示了关注,针对两个问题“关于此次神舟十二号飞行乘组出征太空,你有什么感受(问题1)”和“青少年最关注哪些方面(问题2)”,问卷网统计了这2047名青少年回答的状况,得到如图所示的两个统计图,据此可得到的正确结论为()问题1问题2A.对于神舟十二号太空之旅,只有极少的受访青少年关注航天员是怎样选的B.对于神舟十二号飞行乘组出征太空,超过七成的受访青少年认为开启空间站新时代,“中国速度”令人瞩目C.对于神舟十二号太空之旅,青少年关注最多的是航天员在太空的工作和生活D.对于神舟十二号飞行乘组出征太空,超过八成的受访青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步答案C由题意可知,对于神舟十二号太空之旅,有46.6%的受访青少年关注航天员是怎样选的,即有将近一半的青少年关注此问题,所以A中结论错误.因为64.6%<0.7,75.3%<0.8,所以B,D中结论均错误.对于神舟十二号太空之旅,有74.4%的受访青少年关注航天员在太空的工作和生活,所以C中结论正确.3.(2024届通州期中,4)某单位有男职工56人,女职工42人,按性别分层,用分层随机抽样的方法从全体职工中抽出一个样本,假如样本按比例安排,抽取的男职工人数为16,则抽取的女职工人数为()A.12B.20C.24D.28答案A设抽取的女职工人数为n,因为n42=1656,所以n=12,因此抽取的女职工人数为12.故选4.(2024届北京一六六中学10月月考,2)演讲竞赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成果时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差答案A依据中位数特征知去掉最高分和最低分后,中位数肯定不会改变.故选A.5.(2024届房山开学考试,3)某中学高一、高二和高三各年级人数见下表.采纳分层随机抽样的方法调查学生的视力状况,在抽取的样本中,高二年级有20人,那么该样本中高三年级的人数为()年级人数高一550高二500高三m合计1500A.16B.18C.22D.40答案Bm=1500-500-550=450,设该样本中高三年级的人数为n,则有20500=n450,解得n=18,故选6.(2024届河南三市联考,6)从某中学2024名学生中选取50名学生参与数学竞赛,若采纳以下方法选取:先用简洁随机抽样方法从2024名学生中剔除21名,再从余下的2000名学生中随机抽取50名.则其中学生丙被选取和被剔除的概率分别是()A.140,212021B.50C.140,212000D.21答案B由系统抽样的定义知,从N个个体中随机抽取M个个体,每个个体被抽到的概率都等于MN.故丙被选取的概率P=502021.同样剔除21人,每个个体被剔除的概率也相同,均为212021.7.(2024届广西北海模拟,3)我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作,书中共列算题81问,分为9类.全书采纳问题集的形式,并不按数学方法来分类.题文也不只谈数学,还涉及自然现象和社会生活,该书成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献.《数书九章》中有“米谷粒分”一题,现有类似的题:粮仓开仓收粮,粮农送来米1500石,为验得米夹谷,抽样取米一把,数得304粒中夹谷30粒,则这批米内夹谷约为()A.148石B.149石C.150石D.151石答案A由题意可知这批米内夹谷约为1500×30304≈148(石).故选A8.(2024届江西顶级名校调研,10)如图所示是一样本的频率分布直方图,则由图中的数据可以估计众数与中位数分别是()A.12.5,12.5B.12.5,13C.13,12.5D.13,13答案B频率分布直方图中,众数是最高矩形的底边中点的横坐标,由题图知中间的一个矩形最高,区间[10,15)的中点是12.5,故众数是12.5.频率分布直方图中,中位数是把直方图分成面积相等两部分的平行于y轴的直线与x轴交点的横坐标.设中位数为x,由5×0.04+(x-10)·0.1=0.5得x=13,∴中位数是13.故选B.9.(2024届广东茂名五校联考,7)某市居民月均用水量的频率分布直方图如图所示:其众数,中位数,平均数的估计值分别为x0,x中,x,则下列结论正确的是()A.x>x中>x0B.x中>x>x0C.x>x0>x中D.x中>x0>x答案A由频率分布直方图可知,x中>x0,又因为频率分布直方图是右边拖尾型的,所以x>x中,故选A.10.(2024届北京十五中10月月考,10)A,B,C,D四名工人一天中生产零件的状况如图所示,每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的Ⅰ型、Ⅱ型零件数,则下列说法错误的是()A.四个工人中,D的日生产零件总数最大B.A,B日生产零件总数之和小于C,D日生产零件总数之和C.A,B日生产Ⅰ型零件总数之和小于Ⅱ型零件总数之和D.A,B,C,D日生产Ⅰ型零件总数之和小于Ⅱ型零件总数之和答案D借助尺规可知点D的横、纵坐标之和最大,即D的日生产零件总数最大,所以A中说法正确;点A,B的横、纵坐标之和小于点C,D的横、纵坐标之和,即A,B日生产零件总数之和小于C,D日生产零件总数之和,所以B中说法正确;点A,B的横坐标之和小于纵坐标之和,即A,B日生产Ⅰ型零件总数之和小于Ⅱ型零件总数之和,所以C中说法正确;点A,B,C,D的横坐标之和大于纵坐标之和,即A,B,C,D日生产Ⅰ型零件总数之和大于Ⅱ型零件总数之和,所以D中说法错误.故选D.三、解答题11.(2024届云南顶级名校适应性考试,20)我国是世界上严峻缺水的国家,某市为了制订合理的节水方案,对居民用水状况进行了调查.通过抽样调查,获得了某年该市100位居民的月均用水量(单位:吨).将数据依据[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值;假设该市有10万居民,估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数;(2)估计该市居民月均用水量的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)解析(1)由频率分布直方图可知,2×0.5×a=1-(2×0.08+0.16+0.42+0.50+0.12+0.04)×0.5,解得a=0.30.该市100位居民月均用水量不低于2.5吨的频率为0.15+0.06+0.04+0.02=0.27,由以上样本的频率分布,可以估计10万居民月均用水量不低于2.5吨的人数为100000×0.27=27000.(2)设月均用水量的平均数为x吨,则x=0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.21+2.25×0.25+2.75×0.15+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.03,故该市居民月均用水量的平均数约为2.03吨.12.(2024届山西模拟,19)书籍是精神世界的入口,阅读让精神世界闪光,阅读渐渐成为很多人的一种生活习惯,每年4月23日为世界读书日.某探讨机构为了解某地年轻人的阅读状况,通过随机抽样调查了100位年轻人,对这些人每天的阅读时间(单位:分钟)进行统计,得到样本的频率分布直方图,如图所示.(1)求a;(2)依据频率分布直方图,估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x(单位:分钟);(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式,探讨机构采纳分层抽样的方法从每天阅读时间位于[50,60),[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人,再从中任选2人进行调查,求其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率.解析(1)依据频率分布直方图得(0.005+0.01+2a+0.045)×10=1,∴a=0.02.(2)x=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74.(3)由于[50,60),[60,70)和[80,90)的频率之比为1∶2∶2,故抽取的5人中,每天阅读时间位于[50,60),[60,70)和[80,90)的分别有1人,2人,2人,记每天阅读时间在[50,60)的1人为a,在[60,70)的2人为b,c,在[80,90)的2人为A,B.故随机抽取2人,结果有(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B),共10种,其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的包含7种结果,故所求概率P=71013.(2024届河南安阳模拟,20)“2024年全国城市节约用水宣扬周”已于5月9日至15日实行.成都市围绕“贯彻新发展理念,建设节水型城市”这一主题,开展了形式多样、内容丰富的活动,进一步增加全民爱护水资源、防治水污染、节约用水的意识.为了解活动开展成效,某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水状况,随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分,将得到的分数分成6组:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值,并估计这300名业主评分的中位数;(2)若先用分层抽样的方法从评分在[90,95)和[95,100]的业主中抽取5人,再从抽出的这5位业主中随意选取2人作进一步访谈,求这2人中至少有1人的评分在[95,100]的概率.解析(1)∵第三组的频率为1-(0.020+0.025+0.030+0.035+0.050)×5=0.200,∴a=0.∵前三组的频率之和为0.025×5+0.035×5+0.200=0.500,∴这300名业主评分的中位数为85.(2)由频率分布直方图知评分在[90,95)的人数与评分在[95,100]的人数之比为3∶2.∴采纳分层抽样法从评分在[90,95)和[95,100]的业主中抽取5人,评分在[90,95)的有3人,评分在[95,100]的有2人.不妨设评分在[90,95)的3人分别为A1,A2,A3;评分在[95,100]的2人分别为B1,B2.则从5人中任选2人的全部可能状况有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10种,其中选取的2人中至少有1人的评分在[95,100]的状况有:{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共7种.故这2人中至少有1人的评分在[95,100]的概率P=71014.(2024届陕西顶级名校月考,20)某城市100户居民的月平均用电量(单位:千瓦时)按[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量在[240,260),[260,280),[280,300]的三组用户中,用分层抽样的方法抽取6户居民,并从抽取的6户中任选2户参与一个访谈节目,求参与节目的2户来自不同组的概率.解析(1)由(0.0020+0.0095+0.0110+0.0125+x+0.0050+0.0025)×20=1得x=0.0075,所以直方图中x的值是0.0075.(2)月平均用电量的众数是220+2402=230千瓦时因为(0.0020+0.0095+0.0110)×20=0.45<0.5,且(0.0020+0.0095+0.0110+0.0125)×20=0.7>0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,由(0.0020+0.0095+0.0110)×20+0.0125×(a-220)=0.5,解得a=224,故月平均用电量的中位数是224千瓦时.(3)月平均用电量在[240,260)的用户有0.0075×20×100=15(户),月平均用电量在[260,280)的用户有0.0050×20×100=10(户),月平均用电量在[280,300]的用户有0.0025×20×100=5(户).由已知得在月平均用电量在[240,260),[260,280),[280,300]的用户中分别抽取3户、2户和1户.设参与节目的2户来自不同组为事务A,将月平均用电量在[240,260)的用户记为a1,a2,a3,在[260,280)的用户记为b1,b2,在[280,300]的用户记为c,从6户中随机抽取2户,有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c),(a3,b1),(a3,b2),(a3,c),(b1,b2),(b1,c),(b2,c),共15种结果,其中满意条件的有(a1,b1),(a1,b2),(a1,c),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c),(a3,b1),(a3,b2),(a3,c),(b1,c),(b2,c),共11种.故P(A)=111515.(2024届昆明模拟,18)某种治疗新型冠状病毒肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,为了提高产品质量,我国医疗科研专家攻坚克难,新研发出A、B两种新配方,在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本,测量这些产品的质量指标值,规定指标值小于85时为废品,指标值在[85,115)为一等品,大于115为特等品.现把测量数据整理如下,其中B配方废品有6件.A配方的频数分布表质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)频数8a36248(1)求a,b的值;(2)试确定A配方和B配方哪一种好.(说明:在统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)解析(1)设A,B配方的样本容量均为n,由已知得6n=0.006×10,解得∴a=100-(8+36+24+8)=24.由(0.006+b+0.038+0.022+0.008)×10=1,解得b=0.026,因此a,b的值分别为24,0.026.(2)由(1)及A配方的频数分布表得,A配方质量指标值的样本平均数为xA=1质量指标值的样本方差为sA2=1100×[(-20)2×8+(-10)2×24+02×36+102由B配方的频率分布直方图得,B配方质量指标值的样本平均数为xB质量指标值的样本方差为sB2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+02×0.38+102×0.22+20综上,xA=xB,sA2>sB2,即两种配方质量指标值的样本平均数相等,但A16.(2024届河北玉田一中开学考试)某校高三年级实行了高校强基安排模拟考试(满分100分),将不低于50分的考生的成果分为5组,即[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并绘制频率分布直方图如图所示,其中在[90,100]内的人数为3.(1)求a的值,并估计不低于50分考生的平均成果;(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)(2)现把[50,60)和[90,100]内的全部学生的考号贴在质地、形态和大小均相同的小球上,并放在盒子内,现从盒中随机抽取2个小球,若取出的两个成果差不小于30,则称这两人为“黄金搭档组”.现随机抽取4次,每次取出2个小球,登记考号后再放回盒内,记取出“黄金搭档组”的次数为X,求X的分布列和数学期望E(X).解析(1)由题意,得(0.005+0.01+0.015+a+0.045)×10=1,解得a=0.025.估计不低于50分考生的平均成果为55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分).(2)在[90,100]上的频率为0.005×10=0.05,由条件得总人数为30所以在[50,60)内的人数为60×0.1=6.每次随机抽取,取出“黄金搭档组”的概率为C61C因此,X~B4,P(X=0)=C40120×1-124=116,P(X=1)=C41×121×1-123=14X的分布列为X01234P11311E(X)=4×1217.(2024届北京一六一中学开学考试,18)已知表1和表2是某年部分日期天安门广场升旗时刻表.表1:某年部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻日期升旗时