平面直角坐标系五大重难点知识讲义（解析版）

专题05平面直角坐标系五大重难点知识讲义

平

面

直

轴

角ABliy,AB=|yA-yB|

坐

ABII逸,AB=|xA-xB|

标

系

点A(x,y)关于崛对称点坐标为(x,-y)

点A(x,y)关于惭对称点坐标为(-x,y)

平移

直接法

割补法

【典例解析】

题型一、有序数对及其规律性探究

【例1】(2021•山东烟台市期末)如图是雷达探测到的6个目标，若目标C用(40,120°)

表示，目标D用(50,210°)表示，则(30,240°)表示的目标是()

A.目标AB.目标BC.目标FD.目标E

【答案】D.

【解析】解：：目标C用(40,120°)表示，目标D用(50,210°)表示，

.••第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数，

表示为(30,240°)的目标是：E.

故答案为：D.

【变式1-1](2020•哈尔滨月考)张明同学的座位位于第2列第5排，李丽同学的座位位于

第4排第3歹U,若张明的座位用有序数对表示为(2,5),则李丽的座位用的有序数对表示为

()

A.(4、3)B.3,4C.(3,4)D.(4,3)

【答案】C.

【例2】(2020•浙江宁波月考)如图，在正方形网格中，若点的坐标分别是

(1,1),(2,0),则C点的坐标为()

A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(4,-1)D.(1,-4)

【答案】C.

【解析】解：如图建立平面直角坐标系

.♦.点C的坐标为(4,-1).

故答案为：C.

【变式2-1](2020•广东河源月考)根据下列表述，能确定具体位置的是()

A.实验中学东B.南偏西30。

C.东经120。D.会议室第7排，第5座

【答案】D.

【解析】解：A.实验中学东，位置不明确，不能确定具体位置，

B.南偏西30。，只有方向，没有距离，不能确定具体位置，

C.东经120°,只有经度，没有纬度，不能确定具体位置，

D.会议室第7排，第5座，能确定具体位置.

故答案为：D.

【例3】（2021•河南三门峡期末）一组正整数1,2,3,4,5...,按下面的方法进行排列：

若正整数2的位置记为（1,2）,正整数10的位置记为（2,7）,则正整数2020的位置可记为

第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列

12345678第1行

161514131211109第2行

..............

A.（252,5）B.（253,5）C.（252,4）D.（253,4）

【答案】D.

【解析】解：由表格可得：每行8个数，奇数行从左到右依次增加，

V2020-8=252...4,

正整数2020的位置可记为（253,4）,

故答案为：D.

【变式3-1］如图，平面直角坐标系中，已知点/（1,1）,S（-1,1）,C（-1,-2）,D

（1,-2）,动点尸从点/出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形N8CD的边

做环绕运动另一动点0从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形C34D

的边做环绕运动，则第2019次相遇点的坐标是（）

y

BPT-A

fn

CD

A.(-1,-1)B.(1,-1)C.(-2,2)D.(1,2)

【答案】A.

(1,1),5(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2),

.'.AB=CD=1-(-1)=2,BC=AD=1-(-2)=3,AB+BC=5,

经过1秒钟时，尸与。在8(-1,1)处相遇，

第二次相遇在CD的中点(0,-2),

第三次相遇在N(1,1),

第四次相遇在(-1,-1)

第五次相遇在(1,-1),

第六次相遇在8点(-1,1)

每五次相遇点重合一次，2019+5=403……4,

即第2019次相遇点的坐标为(-1,-1).

故答案为：4

【例4-1](2021•四川省内江市月考)在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(x,y),

若规定以下两种变换：①f(x,y)=(y,x).如f(2,3)=(3,2)；②g(x,y)=

(-x,-y),如g(2,3)=(-2,-3).按照以上变换有：f(g(2,3))=f(-2,-3)

=(-3,-2),那么g(f(-6,7))等于()

A.(7,6)B.(7,-6)C.(-7,6)D.(-7,-6)

【答案】C.

【解析】解：Vf(-6,7)=(7,-6),

g(f(-6,7))=g(7,-6)=(-7,6).

故答案为：C.

【例4-2】(2021•重庆渝中区月考)如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向

运动，第一次从原点。运动到点Pi(l，1),第二次运动到点P2Q,0),第三次运动到P3(3,

-2),第四次运动到P，4,0),第五运动到Ps(5,2),第六次运动到P46,0),按这样

【答案】C.

【解析】解：点P的运动位置每6次循环一次，纵坐标依次以1,0,-2,0,2,0循环，

2019=6x336+3,故此时坐标为(2019,-2).

故答案为：C.

【变式4-1】如图，动点尸在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运

动到点(-M),第2次接着运动到点(-2,0),第3次接着运动到点(-3,2),…，按这样的

运动规律，经过第2021次运动后，动点尸的坐标是()

A.(2021,0)B.(-2021,0)C.(-2021,1)D.(-2021,2)

【答案】C.

【解析】解：第1次从原点运动到点(-1,1),

第2次接着运动到点(-2,0),

第3次接着运动到点(-3,2),

第4次运动到点(-4,0),

第5次接着运动到点(-5,1),

...横坐标为运动次数的相反数，纵坐标为1,0,2,0循环,

，经过第2021次运动后,动点P的纵坐标为：2021-4=505……1,

故纵坐标为四个数中第1个，即为1,

经过第2021次运动后，动点P的坐标是：(-2021,1),

故答案为：C.

【例5】在平面直角坐标系中，如果点P(xj)经过某种变换后得到点尸'(y-1,3-x),我

们把点P\y-1,3-x)叫做点P(x,y)的终结点.已知点P的终结点为《，点片的终结点

为鸟，点鸟的终结点为巴，点片的终结点为舄，这样依次得到片，P2,P3,舄，...，

Pn.若点尸的坐标为(1,0),则点巴。21的坐标为()

A.(1,0)B.(-1,2)C.(1,4)D.(3,2)

【答案】B.

【解析】解：由题意知，P(1,0),

Pi(-1,2)；P2(1,4)；P3(3,2)；P4(1,0),

四个一循环，

2021-4=505.......1,

点P2021的坐标为(-1,2),

故答案为：B.

题型二、求点的坐标或参数

【例6】(2021•北京海淀区月考)若X轴上的点尸到歹轴的距离为3,则点尸的坐标为

().

A.(3,0)B.(3,0)或(—3,0)C.(0,3)D.(0,3)或(0,—3)

【答案】B.

【解析】解：由题意知，点P纵坐标为0,横坐标为3或-3,

点P的坐标为(3,0)或(-3,0),

故答案为：B.

【变式6-1](2021•广东深圳市期末)在平面直角坐标系中，下列说法正确的是()

A.点P(3,2)到x轴的距离是3

B.若ab=0,则点P(a,b)表示原点

C.若A(2,-2)、B(2,2),则直线人3〃*轴

D.第三象限内点的坐标，横纵坐标同号

【答案】D.

【解析】解：

A.点P(3,2)到x轴的距离是2,选项错误.

B.若ab=O,则点P(a,b)表示原点或坐标轴上的点，选项错误.

C.若A(2,-2)、B(2,2),则直线AB〃y轴，选项错误.

D.第三象限内点的坐标，横纵坐标都是负号，选项正确.

故答案为：D.

【例7】(2020•广东广州市期末)若点N(2,a-3)在x轴上，则。=.

【答案】3.

【解析】解：：点/(2,。-3)在x轴上,

.,.。-3=0,

解得：a=3.

故答案为：3.

【变式7-1](2020•浙江杭州市期末)若点/(2a-l,1-4«)在〉轴上，则点/的坐标为

【答案】(0,-1).

【解析】解：：点/在y轴上，

二2a-1=0,

解得：a=—,

1

l-4a=l-4x—=-1,

2

.,.点/的坐标为(0,-1).

【例8】(2020•深圳期末)已知平面直角坐标系有一点P(x,x+2),无论x取何值，点P

不可能在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D.

【解析】解：由题意知，x+2>x,

第四象限内的点，横坐标为正，纵坐标为负，纵坐标不可能大于横坐标，

故答案为：D.

【变式8-1］（2021•西安市期末）在平面直角坐标系中，点尸（-3,加2+2）一定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B.

【解析】解：..,无论m为何值，m2+2>0

二点P一定在第二象限，

故答案为：B.

【例9】（2021•北京海淀区月考）若点M在第一、三象限的角平分线上，且点〃到了轴的

距离为2,则点回的坐标是（）.

A.（2,2）B.（-2,-2）C.（2,2）或（-2,-2）D.（2,—2）或（一2,2）

【答案】C.

【解析】解：点M在第一、三象限的角平分线上，其横纵坐标相同，

点M到x轴的距离为2,

点M的纵坐标为±2,

点M的坐标为（2,2）或（-2,-2）,

故答案为：C.

【变式9-1］（2019•珠海市期中）点玖3机+1,2机—5）到两坐标轴的距离相等，贝1］机=

4

【答案】-6或

【解析】解：•••点P到两坐标轴的距离相等，

/.|3m+l|=|2m-5|,

,,4

解得m=-6或m=—,

、4

故答案为：-6或

【例10】（2021•北京月考）点幺（加—1,m+2）在x轴上，则此点坐标为；点

8（3,。-1）在二、四象限的角分线上，则此点坐标为；点。在了轴下方，距离

x轴2个单位长度，距离V轴3个单位长度，则此点的坐标为.

【答案】（-3,0）；（3,-3）；（-3,-2）或（3,-2）.

【解析】解：•••点A在x轴上，

m+2=0

m=-2

即A(-3,0)

・・•点B在二、四象限的角分线上，

A3+a-l=0

.，•a=-2

即B(3,-3)

点C在X轴下方，距离X轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度,

如图，

y

o

故C(-3,-2)或(3,-2).

故答案为：(-3,0)；(3,-3)；(-3,-2)或(3,-2).

【变式10-1】(2021•山东烟台市•七年级期末)已知点尸(2机—6,m+2).

(1)若点尸在歹轴上，尸点的坐标为.

(2)若点尸的纵坐标比横坐标大6,则点尸在第象限.

(3)若点P在过点幺(2,3)且与x轴平行的直线上，则点尸的坐标为

(4)点P到X轴、歹轴的距离相等，则点尸的坐标为.

(1010、

【答案】(1)(0,5)；(2)二；(3)(-4,3)；(4)(10,10)或［一］，了.

【解析】解：(1):点P在y轴上，

2m-6=0，

解得m=3,

・・・P点的坐标为(0,5)；

故答案为(0,5)；

(2)根据题意得2m-6+6=m+2,

解得：m=2,

；.P点的坐标为(-2,4),

...点P在第二象限；

故答案为：二；

(3):点P在过A(2,3)点且与x轴平行的直线上,

.•.点P的纵坐标为3,

m+2=3,

二点P的坐标为(-4,3).

故答案为：(-4,3)；

(4):•点P到x轴、y轴的距离相等，

2m-6=m+2或2m-6+m+2=0,

-4

/.m=8或m=—，

3

二点p的坐标为(10,10)或

故答案为：(io/。)或(—~I-

题型三、动点与面积

【例11】(2020•北京期末)在平面直角坐标系xOy中，点A(-2,0),点B(0.3),点C

在坐标轴上，若三角形ABC的面积为6,则符合题意的点C有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D.

【解析】解：分两种情况：

①当C点在y轴上，设C(0,t),

:三角形ABC的面积为6,

•,•y-|t-3|-2=6,

解得：t=9或-3.

；.C点坐标为(0,-3),(0,9),

②当C点在x轴上，设C(m,0),

•.•三角形ABC的面积为6,

/.:,|m+2|,3=6,

解得：m=2或-6.

；.C点坐标为(2,0),(-6,0),

故答案为：D.

【变式11-1】2020•广东佛山市月考)在平面直角坐标系中，已知4(0,1),5(2,0),C(4,3).

(1)在给出的平面直角坐标系中画出A48C；

(2)已知尸为x轴上一点，若A4Ap的面积为2,求点尸的坐标.

【答案】(1)见解析；(2)(-2,0)或(6,0).

VOA=1,

/.PB=4,

：.P(-2,0)或(6,0).

【例12】(2020•石家庄市期中)如图，在平面直角坐标系中，已知/(0,a),B(b,0),

其中Q,b满足|〃-2|+(6-3)2=0.

(1)a=，b=

(2)如果在第二象限内有一点M(加，1),请用含冽的式子表示四边形450河的面积；

3

(3)在(2)条件下，当冽=-一时，在坐标轴的负半轴上求点N(的坐标)，使得△45N

2

的面积与四边形450河的面积相等.(直接写出答案)

【答案】(1)2,3；(2)3—m；(3)(—1.5,0),(0,—1).

【解析】解：⑴V|a-2|+(b-3)2=0,

，a-2=0,b—3=0,

解得：a=2,b=3,

故答案为：2,3；

(2),・,在第二象限内有一点M(m,1),

=

•,«SAAMO~xAOx(-m)=-m，

1

SAAOB=~XAOXOB=3,

・•・四边形ABOM的面积为：3-m；

3

(3),・,当m=——时，AABN的面积与四边形ABOM的面积相等,

2

当N在x轴的负半轴时，设N点坐标为：(n,0),

13

则一x2(3-n)=3—(——),

22

解得：n=T.5,

故N(-1.5,0),

当N在y轴的负半轴时，设N点坐标为：(0,n),

13

则一><3(2—n)=3—(----),

22

解得：n=T,

故N(0,-1),

综上所述：N点坐标为：(T.5,0),(0,-1).

【变式12-1】(2020北京市月考)如图，在平面直角坐标系中，已知点/(0,3),8(5,0),

。(5,4)三点.

(1)在平面直角坐标中画出求A48c的面积

(2)在x轴上是否存在一点四使得A5cM的面积等于ZUBC的面积？若存在，求出点M

坐标；若不存在，说明理由.

(3)如果在第二象限内有一点尸(a,1),用含。的式子表示四边形4gop的面积;

(4)且四边形480尸的面积是ZU8C的面积的三倍，是否存在点尸，若存在，求出满足

条件的尸点坐标；若不存在，请说明理由.

3

【答案】⑴见解析；10,⑵(0,0)或(10,0),(3),(4)存在；(-15,1).

【解析】解：(1)如图,

三角形ABC的面积为：-X4x5=10.

2

(2)在x轴上存在点M,使得三角形BCM的面积等于三角形ABC的面积,

设M(m,0)

则工x4x|m-5|=10,

解得：m=0或m=10

在x轴上存在点M使三角形BCM的面积等于三角形ABC的面积，此时点M坐标为(0,0)或

(10,0).

(3)如图,

•.•点P(a,1)在第二象限内，

•,.a<0,四边形ABOP的面积

=7.5H—X3X(-a)

2

=|(5-a)

3

则四边形AB