排列组合专项练习-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年度高三一轮复习35-排列组合专项练习

一、单选题

1.（2024高三・全国•专题练习）甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙

两人中间恰好有两人的站法有（）

A.36种B.72种C.144种D.288种

2.（2024高三・全国・专题练习）若一组数据5,7,6,3,9,4,8,10的第30百分位数是〃，则C；=（）

A.10B.15C.21D.28

3.（24-25高三上・江苏常州•期中）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：

甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名

同学的可能排名有（）

A.42种B.72种C.78种D.120种

4.（24-25高三上•河北•期中）如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡

片，每格只放一张卡片，贝『‘只有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有（）

A.16种B.32种C.64种D.96种

5.（24-25高三上•广西•期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在

内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去

一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（）

A.1440种B.240种C.216种D.120种

6.（2024・湖北.模拟预测）不等式芯+%+%<12,其中占,々,三是非负整数，则使不等式成

立的三元数组（%,9,毛）有多少组（）

A.560B.455C.91D.55

7.（2024.江西新余.模拟预测）小梁同学将5个完全相同的球放入3个不同的盒子中有“种

放法，小郅同学将5个完全不同的球放入3个相同的盒子中有加种放法.若每个盒子中至少有

一个球,则眼-制=（）.

A.4B.19C.125D.144

8.（24-25高三上•江苏南通•开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其

中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》

这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有

一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（）

A.12B.24C.28D.36

二、多选题

9.（2024.湖南•模拟预测）传承红色文化，宣扬爱国精神，东湖中学国旗队在高一年级招收

新成员，现有小明、小红、小华等6名同学新入方阵参加队列训练，则下列说法正确的是（）

A.6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种

数为120种

B.6名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为240种

C.6名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480种

D.6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有

540种不同的安排方法

10.（2024・辽宁锦州・模拟预测）现有分别标有2024,2021,2028,2023,2020,2022数字

的6张卡片，下列说法正确的是（）

A.卡片数字的第80百分位数为2024

B.从中随机抽取两张，共有30种不同的组合

C.从中随机抽取一张，抽到偶数的概率比奇数大

D.从中随机抽取一张，抽到质数是等可能事件

11.（2025・全国•模拟预测）将123,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为

%«=1,2,,7）,则下列说法正确的是（）

A.若q=7,al+a2+a3<a5+a6+a7,则这样的数列共有360个

B.若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有64个

C.若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有144个

D.若%%,%<%<%，a5>a6>a7,则这样的数列共有71个

三、填空题

12.（2023•河南周口•模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开.会

议期间,会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，

每个会议厅至少1人.每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同

安排方法共有种.（用数字作答）

13.（2024•陕西西安.模拟预测）产公司的甲部门有3男2女五名职工，乙部门有2男3女

五名职工.公司通知每个部门任选2名职工，且所选的4名职工必须是2男2女，公司再将

A,民C,。四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，则不同的分配方案种数为（用数字

作答）.

14.（2024・广东佛山•一模）现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一

个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不

是自己写的信的不同取法种数是（用数字作答）.

四、解答题

15.（2024高三.全国•专题练习）7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在

中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

16.（2024高三・全国・专题练习）（1）证明：（n+l）!-n!=n-n!；

（2）化简：2.2!+3-3!+4.4!++2023-2023!.

17.（2024高三・全国•专题练习）马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现

要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求满足条件的

关灯方法有多少种？

18.（25-26高三上•上海•单元测试）在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目.（写

出必要的数学式，结果用数字作答）

（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？

（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？

（3）从中选出2名男生和2名女生分四个不同角色表演朗诵，有多少种选派方法？

19.（2024•湖北荆州•模拟预测）如图所示数阵，第加（机之1）行共有根+1个数，第机行的第1

个数为C%,第2个数为C：,第〃（此3）个数为规定：C：=L

C：C：

0°02—00

C；cyc-c；

「2「0厂3z~i4z-i2

c；C；y-y-c6c7-c7

c2C314253

C：C；—c°~7—C~7~C8—ycc~9—~c9

C2—c°c3—C1C4—C2C5—c3C6—c4

或Jq~7~8〜9~9Jo~1051

(i)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；

(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；

(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列｛%｝,设数列｛"/的前〃项和为S”是否存

在正整数公使得对任意正整数小码，W4"T恒成立？如存在，请求出发的最大值，如不存

在，请说明理由.

参考答案:

1.C

【分析】由排列数的计算公式，结合分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果.

【详解】第一步从6个位置中选择2个位置，满足条件的选位可以是(1,4),(2,5),(3,6),

共有3种不同的方法；

第二步将甲、乙排到所选择的2个位置，共有A；种不同的方法；

第三步将丙、丁、戊、己排到剩余的4个位置，共有A：种不同的方法；

由分步计数原理可知，共有3、&*"=144种.

故选：C

2.A

【分析】根据条件，先求出第30百分位数，再利用组合数计算公式，即可求解.

【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列得3,4,5,6,7,8,9,10,因为8x30%=2.4,

所以这组数据的第30百分位数力=5,所以媛=言=10.

故选：A.

3.C

【分析】先计算A；,然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案.

【详解】不符合题意的情况是：甲是最高分或乙是最低分，

所以这5名同学的可能排名有人：-8-8+8=78种.

故选：C

4.D

【分析】根据题意按照分步计数原理对表格中的数据分步填写并保证符合题意即可得出结

果.

【详解】根据题意，分三步进行；

第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为7"，则中间的数字为三组数1,6或2,5或3,

4中的一组，共有3A；=6种排法；

第二步，排第一步中剩余的两组数，且这两数字之和不为7,共有A；A；=8种排法；

第三步，排剩下的两个数字，共有A；=2种排法.

由分步计数原理知，共有不同的排法种数为6x8x2=96.

故选：D.

5.C

【分析】根据分组分配计算所有的安排方法数，再计算甲、乙安排在同一个学校的方法总数,

相减得符合的方法数.

【详解】根据题意，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有

C；A：=10x24=240种不同安排方法，

若甲、乙安排在同一个学校，则有A：=24种不同安排方法，

甲、乙不安排在同一所学校的方法数有240-24=216种.

故选：C.

6.B

【分析】在工，Z，w都加上1，把问题转化成方程有正整数解的问题解决.

【详解】设X；=国+1,x2'=x2+l,x3'=x3+l,

则不等式为+%+无3<12有多少组非负整数解的问题，转化为：3Vx；+X2+无；<15的正整数

解的组数.

因为方程：玉'+马+三=3的解的组数为：C；；

x；+芯+石=4的解的组数为：C；；

x；+X2+无；=15的解的组数为：C；.

所以原不等式解的组数为：C；+C；+C：++C；=C；+C；+C；++C；=C：5=455.

故选：B

【点睛】结论点睛：方程占+々++Xm=〃(S〃eN+且正整数解的组数为

7.B

【分析】先利用隔板法求出“，再根据部分平均分组法计算出相，即可求解.

【详解】根据题意将5个完全相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个球,

利用隔板法共有C：=6种放法，所以M=6；

将5个完全不同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个球，

可以将5个球分成3组，有(1,1,3)和(1,2,2)两种分组方法，

按(1,1,3)分组时，有卑或=10种放法，按(1,2,2)分组时，有年殳=15种放法，

所以加=10+15=25,所以|Af-n\=|6-25|=19.

故选：B

8.D

【分析】分三种情况，两人所选影片均不同，两人所选影片中，《名侦探柯南》相同，不是

《名侦探柯南》相同，分别计算出相应的方案数，相加即可.

【详解】若两人所选影片均不同，此时小明先从除《名侦探柯南》中选择一部，

小华从剩余的3部中选择两部，此时共有C；C；=12种方案，

若两人所选影片中，《名侦探柯南》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有A；=12种方案，

若两人所选影片中，不是《名侦探柯南》相同，相同的影片为4部中1部，有C；种选择，

再给小华从剩余3部中选择一部，有C；种选择，故共有C；C；=12种方案，

综上，共有12+12+12=36种方案.

故选：D

9.ABC

可用倍缩法,6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则有率=120

种，故A正确；

B：小明、小红两人相邻共有2种排法，将两人插空到其余四人全排列中共有2A；=240种,

故B正确；

C：6人站成一排，小明、小红两人不相邻，先将除小明、小红外的4人进行全排列，有种

A：=24排法，再将小明、小红两人插空，有A；=2。种排法，则共有24x20=480种不同的

排法，故C正确；

D：6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有

A；=90种,故D错误;

故选：ABC

10.AC

【分析】求出第80百分位数判断A；利用组合计数判断B；求出概率判断C；确定质数个

数判断D.

【详解】对于A,由6x0.8=4.8,得数据2020,2021,2022,2023,2024,2028的第80

百分位数为2024,A正确；

对于B,从中随机抽取两张，共有屐=15种不同的组合，B错误；

对于c,从中随机抽取一张，抽到偶数的概率4是2，抽到奇数的概率是1:，C正确；

633

对于D,6张卡片上的数都是合数，抽到质数是不可能事件，D错误.

故选：AC

11.ACD

【分析】根据对称性可得9・A；•A；,即可判断A；对于B：对1的位置分类讨论即可得答

案；对于C：则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判断C；对于D,

分%=1、%=2、％=3三种情况讨论即可判断.

【详解】对于A：由于1+2+3+4+5+6=21为奇数，根据对称性可知这样的数列有

争AiA；=360个，故A正确;

对于B：从2,3,4,5,6,7中选出1个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，

得到先减后增的数列有C；个；

从2,3,4,5,6,7中选出2个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，

得到先减后增的数列有C；个；

从2,3,4,5,6,7中选出3个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，

得到先减后增的数列有C：个；

从2,3,4,5,6,7中选出4个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，

得到先减后增的数列有C：个；

从2,3,4,5,6,7中选出5个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，

得到先减后增的数列有《个；

故满足条件的总个数为:C"C+C：+-2个,故B错误.

对于C：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，

则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇"，则有A;A；=144个，故C正确;

对于D：若见=1,则先从其余6个数中任选2个数作为4，电且q＞出，有C；种方法,

剩余4个数中最大的为生,剩下的3个数任取2个作为4，%且%>%，有C；种方法,

则这样的数列有C：C；=45个,

若为=2,则先从除去1之外的5个数中任选2个数作为％，的且%有C；种方法,

剩余4个数中最大的为%,%=1，剩下的2个数任取1个作为&或为即可，有C；种方法,

则这样的数列有C；C；=20个,

若。3=3,则先从除去1、2之外的4个数中任选2个数作为且%>%，有C：种方法,

剩余4个数位置固定的一种排法，其中4=2,%=1，则这样的数列有C：=6个，

所以满足条件的这样的数列共有45+20+6=71个，故D正确；

故选：ACD.

12.114

【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是U,3和1,2,2,先求出5名工

作人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.

【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是U,3和1,2,2,

人数组合是1,1,3时，共有年CxA；=60种情况，

A；

C；C；C；

其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况为xA；=18种,

从而甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有60-18=42种;

共有里GxA；=90种情况,

人数组合是1,2,2时,

其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况为C；C；xA；=18种，

从而甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有90-18=72种，

所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有42+72=114种.

故答案为：114.

13.1104

【分析】利用分步计数原理，先求出从甲、乙两部门各选2名职工的选法和将Aa四

个不同新型项目随机分配给每人分管一项的分法，即可求出结果.

【详解】因为从甲、乙两部门各选2名职工，且所选的4名职工是2男2女，有

C；C；+C；C；C；C；+C衿=46种选法,

又将A,民C,。四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，有A：=24种分法，

所以不同的分配方案种数为（C；C；+C；C；C；C；+）A：=46x24=1104.

故答案为：1104.

14.134

【分析】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A、B、C,对A、B、C取到的个数分四种

情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.

【详解】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A、8、C,

若A、8、C都没有取到，则有A：=24种不同的取法；

若A、B、C取到一个，则有C；A；A；=72种不同的取法；

若A、B、C取到两个，则有C；（A；A：+C：）=36种不同的取法；

若A、8、C取到三个，则有C；=2种不同的取法；

综上可得一共有24+72+36+2=134种不同的取法.

故答案为：134

15.1440

【分析】先排2盆葵花，再排其他的花种，即可求解.

【详解】先种两种不同的葵花，在不受限制的四个花盒中，共有A：种排列，再种其它葵花

有A；种排列，由分步计数原理得A；A；=1440（种）.

故有1440种符合要求的种法.

16.（1）证明见解析；（2）1-加篙

【分析】（1）利用阶乘的运算可得答案；

（2）利用阶乘的运算可得答案.

【详解】（1）证明：左边=（〃+1）!-加=（〃+1-1）力!=加加=右边；

（2）原式=3!-2!+4!—3!++2024!-2023!=2024!-2.

17.10

【分析】此问题可转化为排队模型，即在6盏亮灯形成的5个空隙中，插入3盏不亮的灯就

即可得到答案.

【详解】把此问题当作一个排队模型，

在6盏亮灯形成的5个空隙中，插入3盏不亮的灯，有C；=10(种)关灯方法.

18.(1)1440

(2)3720

(3)432

【分析】(1)先全排，再插空即可；

(2)特殊位置优先考虑，结合排列即可解决；

(3)先选出人再排角色，结合分步乘法原理计算即可.

【详解】(1)根据题意，分2步进行分析：①将4名男生全排列，有P：=24种情况，排好

后有5个空位.

②在5个空位中任选3个，安排3名女生，有P；=60种情况，则三名女生不能相邻的排法

有1440种；

(2)根据题意，分2种情况讨论：①女生甲站在右端，其余6人全排列，有璨=720种情

况，

②女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩

余的位置，

有P：=120种站法，则此时有5x5x120=3000种站法，则一共有3720种站法；

(3)根据题意，首先将4名男生和3名女生中各选出2人，有C；C：=18种情况，

其次4人分四个不同角色，有P：=24种情况，共有18x24=432种选派方法.

19.(1)相等，证明见解析

(2)证明见解析

(3)存在，3

【分析】(1)根据题意，猜想得到c累匕-结合组合数的运算公式，即

可作出证明.

(2)第一行的所有数之和为2=C；-C；,第二行的所有数之和为1+2+3-1=5=C-C；,

当加23时，第帆行的所有数之和为即可得到结论.

(3)根据题意，存在正整数左，使得同,W4-1恒成立，结合排列数的计算公式，即可求解.

【详解】(1)第1行最后两数C；=C：=1,第2行的最后两数C；=C；-C；=2,

第双加>3)行的第m个数为，工-C*,第m+1个数为,

法加ll「加一1_「加一3_r^rn_

3目侧：。2根-2。2帆-2—。2加-1。2旭-1•

(2m-1)!(2m-1)!

因为C"C舞

m!(m-l)!(m-2)!(m+l)!

(2m-l)!.,1、12m(2m—1)!(2附！

----------\r_m(m+1)-m(m-1)J=

m!(m+l)!m!(m+l)!m!(m+l)!

(2m一2)!(2加一2)!

又因为cd—c*

(m-l)!(m-l)!(m-3)!(m+l)!

(2m-2)!,[、/c、i(4m-2)(2m-2)!2(2m-l)!(2m)!

----------—[(w+l)(7?i-2)]=