解三角形（解析版）-2025年天津高考数学一轮复习

第19讲解三角形

（11类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的正弦公式正弦定理解三角

2024年天津卷，第16题,14分

形余弦定理解三角形

用和、差角的正弦公式化简、求值正弦定理解三角形余弦定理解三角

2023年天津卷，第16题,14分

形

用和、差角的正弦公式化简、求值二倍角的余弦公式正弦定理解三角

2022年天津卷，第16题,14分

形乡余弦定理解三角形

用和、差角的正弦公式化简、求值正弦定理边角互化的应用余弦定理

2021年天津卷，第16题,14分

解三角形

2020年天津卷，第16题,14分正弦定理解三角形余弦定理解三角形

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为14分

【备考策略】1.理解、掌握正余弦定理，能够运用正余弦定理解三角形

2.能掌握正余弦定理与三角形的面积周长问题

3.具备数形结合的思想意识，会灵活运用三角形的知识点解决中线，高线，角平分线问题

4.会解三角形的最值与取值范围问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出三角形，解决三角形中的周长与面积，同时解

三角形会与两角和差二倍角进行结合，求解凑求值问题。

「立•考点梳理，

知识讲解

知识点一.正弦定理、余弦定理

1.定理内容：

在△板中，若角4B,C所对的边分别是a,b,c,7?为外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a=t)+/—26ccos4

abc

内容-----=-----=-----=9Rlj=c+#一2cacos6；

sinAsinBsinC

。2=才+4—2a6cos。

a=27feinZ,b=2Rsix\B,c=27?sinC；

b-vc-a

abcC0SA

sin4=砺sin夕=砺sin。=而-2bc；

2I22

c+a—b7

变形a\b\c=sinA:sinB\sinC；cosB—八；

Zac

asinB=bsinA,

2Ij22

a-vb-c

cosC—门7

6sinC=csinB,Zab

asinC=csix\A

1.两角一边求角1.三边求角

使用条件

2.两边对应角2.两边一角求边

2.在△/比中，已知a,6和/时，解的情况

力为锐角4为钝角或直角

Ccc

*

图形晨

AzLB八A

关系式a=bsinAbsinA〈水ba^ba>b

解的个数一解两解一解一解

知识点二.三角形常用面积公式

⑴•力aSa表示边a上的高)；

..111

(2)S=-a,bsir\C=-acsix\B=-bcsixiA；

(3)S=/r(a+6+c)(r为三角形内切圆半径).

知识点三.测量中的有关几个术语

术语名称术语意义图形表示

在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水

仰角与俯角平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方

I信、髓目标

的叫做俯角

视线

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线

北t

如。东

方位角之间的夹角叫做方位角.方位角0的范围是十；

0°W叱360°

例：(1)北偏东a：

北匕t枣

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常

方向角

表达为北(南)偏东(西)a(2)南偏西a：

北I东

坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度；坡面的垂

坡角与坡比

直高度与水平长度之比叫坡比

/

知识点四.常用结论

1.三角形内角和定理：在中，/+8+。="；变形：

2.三角形中的三角函数关系

/、/,/、4+3C/、A+BC

(1)sinU+T?)=sinC.(2)cos{A+B)=~cosC.(3)sin---=cos⑷cos~-—=sin

3.三角形中的射影定理

在5c中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosJ+acosB.

4.三角形中的大角对大边

在中，y4>^=^a>Z?<=>sin4>sinB.

考点一、正弦定理解三角形

典例啊

1.(2024•北京东城•二模)在AABC中，A=C=—,b=V2,贝!Ja=()

412

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】D

【分析】由题意可得：B=j结合正弦定理运算求解.

6

【详解】由题意可得：n-A-C=^,

6

二一2

由正弦定理昌=号可得a=第1一4.

sm4sinBsmB2

故选：D.

2.（2024•江苏南通•模拟预测）在△ABC中，己知乙8=30°,c=2,则“b=是“乙C=45。”成立

的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】根据正弦定理以及“大边对大角”即可判断出结果.

【详解】由正弦定理得号=三，即W=-J,

smBsinC-2sinC

sinC=亨，又因为c>b,

•••C=45°或C=135°；

则"b=V2"是"乙C=45。”成立的必要不充分条件.

故选：B.

1.（2024•河北沧州•一模）在△ABC中，AC=1,tanB=tanC=g，贝!I（）

A.A=-B.cos2B=—C.BC=—D.△ABC的面积为近

3224

【答案】D

【分析】通过条件可得B,C,进而可得4cos2B,利用正弦定理求BC,利用面积公式求面积.

【详解】因为tanB=tanC=。且在△48C中，

可得B=C=―,则4=n—B—C=―,A错误；

63

C0S2B=COSy=I，B错误；

在

由正弦定理生=W，则/五=遮，C错误；

s\nAsmBsmB-

2

S^ABC=工xBCxACxsinC=-xV3x1xi=—.

2224

故选：D.

2.（2024•江西赣州•一模）在△ABC中，45=夕,/C=2,C=120°,贝！JsinA=（）

V7VH5V73VH

AA.—D.rL.nU.---------

14141414

【答案】B

【分析】由已知利用余弦定理可求BC的值，根据正弦定理可求sinA的值.

【详解】"：AB=V7,AC=2,C=120",

由余弦定理AB?=BC2+AC2-2BC■力CcosC可得：BC2+2BC-3=0,

解得：BC=1,或一3（舍去），

二由正弦定理可得：sin4=Q^=叵.

AB14

故选:B

3.（2024•广东江门•一模）在AABC中，B=30°,b=2,c=2&,则角A的大小为（）

A.45°B.135°或45°C.15°D.105°或15°

【答案】D

【分析】利用正弦定理求得角C,根据三角形内角和，即可求得答案.

【详解】由题意知△力8c中，8=30。,6=2,c=2V2,

故b_c艮|3sinC—csinB_2V2xsin30°_V2

由于c>b,故C>B=30。，则C=45°或135°,

故A的大小为180°-30°-45°=105°或180°-30°-135°=15°,

故选：D

4.（2024•浙江金华•三模）在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c.若a=夕，b=2,A=60°,则

c为（）

A.1B.2C.3D.1或3

【答案】C

【分析】根据余弦定理直接求解即可.

【详解】由余弦定理得cosa=叱F，

2bc

即立巴包=工，即c2-2c-3=0,解得c=3或c=—1（舍）.

2x2c2

故选：C.

5.（2024•云南昆明•三模）已知△ABC中，AB=3,BC=4,AC=V5,贝ABC的面积等于（)

A.3B.VilC.5D.2V5

【答案】B

【分析】由余弦定理及同角三角函数的平方关系得出sinB,再根据三角形面积公式计算即可.

【详解】由余弦定理得，cosB=而;;[:心=了『二｝因为B为三角形内角，

2.AB'BC2X3X46

贝UsinB=V1-cos2^=—,

6

所以SMBC=|4B-BC-sinB=jx3x4x^p=Vil,

故选：B.

考点二、正余弦定理的边角互化

典例引领

1.（2024•江西九江•三模）在AABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知2c-a=26cosA,则8=

（）

A.-B.-C.土D.巴

6336

【答案】B

【分析】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决.

【详解】因为2c—a=2bcos4

由正弦定理，2sinC-sinA=2sinBcos4

因为Z+B+C=IT,・••2sin（Z+B）-2sinBcos/=sin/,

展开化简2sia4cosB=sinA.vsinA>0,・,.cosB=

又B€（0,兀），・・・8=事

故选:B.

2.（2024•陕西安康•模拟预测）在△ABC中，三个内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos（B+看）=

bsinA,若£1=b，c=2,贝防=（）

A.1B.2C.2V3D.4

【答案】A

【分析】利用正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得B=£,结合余弦定理计算即可求解.

【详解】acos（B+看）=bsinA,

由正弦定理得sirL4cos（B+看）=sinBsinA,

又AE（0,7i）,sinA>0,所以cos（B+看）=sinB,

即@cosB--sinB=sinB,

22

得cosB=V^sinB,即tanB=f,

又0<8<兀，所以8=上，而。=遮《=2,

6

由余弦定理得b=Va2+c2—2accosB=13+4—4百x/=1.

故选：A

♦♦即时检测

1.（2024•吉林•模拟预测）在A2BC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,“acosB=bcosA"是UA=

B”（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据正弦定理和正切函数的性质以及充要条件的判定即可得到答案.

【详解】当acosB=bcosA,根据正弦定理得sinAcosB=sinBcosA,显然A,B丰三,

则tan4=tan8,因为A,B为三角形内角，贝必=B,则充分性成立；

当4=B,因为A,B为三角形内角，则不会存在4=8=^|•的情况，则A,B地,

则tan4=tanB,则sinAcosB=sinBcosA,根据正弦定理则acosB=bcosA,故必要性成立；

则“acosF=bcosA''是"A=B”的充分必要条件.

故选：C.

2.（2024•湖北武汉•模拟预测）已知△48C的三个角4,B,C的对边分别是a,b,c,若3a=2b,B=2A,

则cosB=（）

711

B.—C.--D.-

1688

【答案】D

【分析】利用正弦定理将边化为角，利用题设将8换为4从而求出cos/,再利用二倍角公式求出cosb

【详解】因为3a=2b,所以3sinZ=2sinB=2sin2Z=4sin/cos/,

因为Z£（0,兀），所以sin/>0,

所以3=4cos4即cos/=-，

4

所以cosB=cos2X=2COS2T4—1=2x（习—1=，.

故选:D.

3.（2024•安徽•模拟预测）在锐角△28C中，角的对边分别为a,b,c,若sirM=今0=3,正径=3,

则.=（）

smB+sinc

A也B25p2^745

2333

【答案】B

【分析】由已知条件结合向量数量积的定义、余弦定理求出a,由正弦定理可得.广：目,化简即可

sinB+sinCsinA

得到答案.

【详解】因为△ABC为锐角三角形，sin4=1所以4=60。，由福•就=cbcosA=3,则b=2,

由余弦定理可得：a2=62+c2—2bccosA=7,即Q=夕，

由正弦定理可得:b+c_a_-/7_2y[21

sinB+sinCsin/sin60°3'

故选：B.

4.（2024•辽宁•二模）在△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且=4csinB+a,贝！JtanA

sin4

的值为（）

A.-2B.-3C.3D.2

【答案】A

【分析】正弦定理角化边并结合余弦定理得塔W=sin（B+；）,由基本不等式及三角函数最值得

4V2ac\4/

sin（8+3）=1,求出B,再由正弦定理即可求解.

【详解】因为6cs】nC+2bs】nB=如$m3+a,

sin4

22

由正弦定理得6c+2》=4csinB+a,即6c2+2b=4acsin8+a,

a

由余弦定理得6c2+2（a2+c2—2accosB）=4acsinB+a2,

化简得8c2+小=4ac（sinB+cosB）,即^^=sin+；）,

因为耳篝=5也仅+9"嚅星=1,当且仅当a=2/c时等号成立，

4V2ac\4/4V2ac

又sin（B+1）<If故sin（B+—=1,因为86（0,兀）,故8+—=—,则B=­,

由。=2A/2C,则sinZ=2asinC=2/sin（j+4）,

整理得sin4=2sin4+2cos4,故tan/=—2

故选:A.

5.（23-24高三下•浙江•阶段练习）在△ZBC中，a,b,c分别为内角C的对边，满足ab+sin/sinB=

2bsinXsinC,则小+炉的值为.

【答案】1

【分析】根据正弦定理与一元二次方程根的判别式可得C=90。，进而可得答案.

【详解】已矢口。力+sin/sinB=2bsin/sinC,

则由正弦定理得：4R2sin4sinB+sinAsinB=4Rsin/sinBsinC,（R为△48c外接圆半径），

■:sinAsinB>0,・•.4/?24-1=4RsinC,

・••4R2—4/?sinC+1=0,v/?>0,

.・.△=16sin2C-4x4xl>0,即sinC>1,

vsinC<1,・•・sinC=1,C=90°,

・•・A=0,，2R=1,c=2RsinC=1,

・•・a2+b2=1.

故答案为：1.

考点三、三角形的形状

典例引领

1.（22-23高三上•河南•阶段练习）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是告,则该

14105

三角形（）

A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在

【答案】C

【分析】根据三角形面积公式，得到a,b,c的关系，赋值得到a,瓦c的值，再根据余弦定理判断三角形的形状.

【详解】设AABC的内角4B,C的对边分别是a,b,c,且a,瓦c边上的高分别为工与；，贝咕联三=坊二=

令a=14,则6=10,c=5,所以cosA=粤手<0,所以4为钝角，又b+c>a,所以该三角

形是钝角三角形.

故选：C

2.（2024高三•全国•专题练习）在ATlBC中，若acosA=bcosB,则AABC的形状一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】利用余弦定理可得边的关系，故可得正确的选项.

【详解】因为acosA=bcosB,故ax「+c=bx&4,

2bc2ac

整理得到（。2-b2）c2-（a2-b2）（a2+炉）=o,

故（a?—fo2）（c2—a2—b2~）=0,故a?=或°2=a2+b2,

即a=b或c2=a2+b2,故小ABC的形状为等腰或直角三角形，

故选：D.

即时便测

1.（2024•陕西安康•模拟预测）记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等差数列，

以AC为直径的圆的面积为2",若S"BC=2百，则AABC的形状为（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.非等腰三角形D.等边三角形

【答案】D

【分析】根据题意可得b=2加a+c=4叵利用余弦定理整理得…舟，结合面积关系可得B弋

进而可得a=c=2&,即可得结果.

【详解】因为以AC为直径的圆的面积为2JI,可知b=AC=2V2,

又因为a,b,c成等差数列，贝!j2b=a+c=4近,

由余弦定理可得COSB=3七="2-2"*,

即COSB=32-2a”8,整理得公=

2ac1+cosB

且S-BC=IacsinB=1x二篇xsinB=2^3,整理得V^sinB=1+cosB,

.V3

sinDB=—

2成［sinB=0

联立方程，解得取IcosB=-1

cosB「=-1

2

.V3

sinDB=—n

且BG(0,Ji),可得■”即3

cosB=-

2

可得匕二竹，解得a=c=2也

所以△ABC的形状为等边三角形.

故选：D.

2.（2024•陕西安康•模拟预测）记ATIBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列，

以边力C为直径的圆的面积为4n,若△ABC的面积不小于4b，贝必4BC的形状为（）

A.等腰非等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

【答案】D

【分析】根据题意可得反=ac,b=4,由S”BC>4®得sinB>手即60。<B<120°,又由余弦定理结

合基本不等式得0。<BW60。，所以B=60。，此时a=c,得解.

【详解】根据题意可得，b2=ac,6=4,

=

^^ABC|acsinB=8sinB,5LSKABC>4V3,则sinB2日，

又0。<B<180°,所以60。<B<120°,

由余弦定理得，cosB=I±2四土竺=工，

2ac2ac2

所以（）o<BW60。，当且仅当a=c时等号成立，所以B=60。，此时a=c,

所以力=B=C,即△ABC为等边三角形.

故选：D.

3.（2024•河南新乡•二模）在AABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且a=7,b=3,c=5,

则（）

A.△ABC为锐角三角形B.△ABC为直角三角形

C.△ABC为钝角三角形D.△ABC的形状无法确定

【答案】C

【分析】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.

_32+52-72_9+25-49

【详解】由于cos/=，川-。<0,

2bc3030

故4为钝角，进而三角形为钝角三角形

故选：C

4.（2022高三•全国•专题练习）在△ABC中，内角4B,C所对的边分别是a,hc,sin|=gasinB=csinA,

则该三角形的形状是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】根据特殊角的三角函数值求出B,再利用正弦定理边化角化简asinB=csinA,可得8=C,即可

判断出答案.

【详解】在AABC中，sin^=|,由于B€（0,兀），,•・：€（0,：）,

又asinB=csin/,故sin/sinB=sinCsinZ,而/G（0,兀），・•・sinAH0,

则sinB=sinC,而民CE（0,兀），则B=C,8+。=兀（舍），

故C=BZ=g,即△ZBC为等边三角形，

故选：C

5.（20-21高三上•河北•阶段练习）在△ABC中，角4B,C对边为a,b,c,且2c•cos?：=6+c,则AaBC的

形状为（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】先根据二倍角公式化简cos??,根据余弦定理化简得到c2=a2+炉即可得到答案.

【详解】因为2c•cos?]=b+C,

所以2c,1+；°'"—b+c,即c+ccosh=b+c,

所以ccos/=b,

在△力BC中，由余弦定理：cos7l=b2+c1-a\

2bc

代入得，c-b+C~a=b,即/+02—@2=2力2,

2bc

所以《2=Q2+

所以直角三角形.

故选：B

考点四、三角形的周长

典例引领

1.（2024•北京•三模）在四棱锥P—4BCD中，底面4BCD为正方形，AB=4,PC=PD=3,Z.PCA=45°,

则APBC的周长为（）

A.10B.11C.7+V17D.12

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合棱锥的结构特征，利用全等三角形性质及余弦定理求出PB即得.

【详解】在四棱锥P—4BC0中，连接交于。，连P。，则。为4C,8。的中点，如图，

B

正方形4BCD中，AB=4,AC=BD=4A/2,

在APOC与△POD中，OC=OD,OP=OP,PC=PD,则AP。gAPOD,

于是NPDB=Z.PCA=45°,

由余弦定理得PB=VB£»2+PD2-2BD-PDcos^PDB=132+9-2X4&x3X'=V17,

所以△P8C的周长为7+V17.

故选：C

2.(2024•四川绵阳•一模)AABC中，角4、B、C的对边分别为a、b、c,若sinCsinQl—B)=

nr

sinBsin(C—A),a=5,cosA=—,则△ABC的周长为.

【答案】14

【分析】先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简得出：2a2=炉+。2；再结

合a=5,cos/=II和余弦定理得出b+c的值即可求解.

【详解】因为sinCs因为—B)=sinBsin(C—4),

所以sinCsinAcosB—sinCcosAsinB=sinBsinCcosA—sinBcosCsin/,

即sinCsin/cosB+sinBcosCsinZ=2sinBsinCcos4,

由正弦定理可得：accosB+abcosC=2hccosX,

由余弦定理可得：%士十四三=。2+、2一层,整理得：2a2=炉+。2.

因为Q=5,cosA=

22

b+c=50整理得:代士，；50

所以b2+c2-a225，

cos?l=i2bc=31

2bc31

则b+c=7b2+c2+zbc=150+31=9,

所以Q+b+c=14,

故答案为：14.

即时性测

1.(23-24高三下•四川巴中•阶段练习)△中，A、B、C的对边分别为a、b、c,且bcosC=2acosB—ccosB,

a=l,b=V3,则△ABC的周长为

【答案】3+V3

【分析】

由题意，根据正弦定理和三角恒等变换求得3=?,结合余弦定理计算求出c即可求解.

【详解】由题意知，bcosC=2acosB—ccosB,

由正弦定理，得sinBcosC=2sinZcosB-sinCcosB,

sinBcosC+sinCcosB=sin(8+C)=2sirh4cos8,

即sinZ=2sirh4cos又sinZ>0,

所以1=2cosB,得cosB=5又0<8<n,

所以B=：；

由余弦定理，得cosB=—+/-♦,即卜比匕，

2ac22c

由c>0,解得c=2,

所以△4BC的周长为a+&+c=3+V3.

故答案为：3+V3

2.(2024•天津北辰•三模)己知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足acosC+ccosA='一.

2cosB

(1)求角B的大小；

(2)若cos力=g,求sin(24+B)的值；

(3)若△ABC的面积为竽，6=3,求△ABC的周长.

【答案】(1)彳

⑵在一省

36

(3)8

【分析】(1)根据正弦定理即可求解；

(2)利用同角三角函数关系式，得到sin4=半，之后应用余弦倍角公式和正弦和角公式求得结果；

(3)利用三角形面积公式得到QC=y,结合余弦定理求得a+c=5,进而得到三角形的周长.

【详解】(1)因为acosC+ccosA=-'，

2cosB

所以sirh4cosc+sinCcos/=smg,

2cosB

所以sin(Z+C)=，所以sinB=

2cosB2cosB

因为86(0,兀)，所以COSB=],8=]；

(2)由已知得，sin/=V1—cos2i4=

所以sin2/=2sirh4cos4=手，

cos27l=2cos24

3

所以sin(24+B)=sin224cos8+cos2/sinB=j-/；

(3)因为S=^acsinB=^ac•虫=延，

2223

所以ac=y,由余弦定理得匕2=a2+c2—2accost=(a+c)2—2ac—2accosB,

所以9=(a+c)2—3x所以a+c=5,

所以△48c的周长为a+力+c=8.

3.(2024,陕西商洛•模拟预测)在①2sinB=V^sin/；②bcosC+ccosB=4cos8这两个条件中任选一个，

补充在下面的问题中并解答.

设的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且sinZ-sinC=sin(Z—8),b=^3.

⑴求B；

(2)若,求△ABC的周长.

注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)8=?

(2)3+73

【分析】(1)根据sinC=sinQ4+B),化简求得cosB,即可求解角B的值；

(2)若选①，根据(1)的结果求其它角，再求边长，即可求解；若选②，根据余弦定理化简求a,再根据

余弦定理求c,即可求解三角形的周长.

【详解J(1)sinC=sin(兀—A—=sinQ4+B),

所以sin/—sinC=sin(力一B)osinZ-sinQ4+8)=sin(X—B),

sinZ—sinAcosB—cosXsinB=sinZcosB—cosTlsinB,

贝！JsinZ=2sirh4cosB,因sin/>0,

所以cosB=5,BE(0,兀)，则B=—；

(2)若选①，2sin8=V3sin?l,贝!)2=百sin/,贝!Jsin/=1,

则4=；，C=T-1—,且B,b=V3,

63

则c=b-tanC=V3x=1,a=2,

所以△48c的周长为2+1+V3=3+V3；

若选②bcosC4-ccosB=4cos8,

.rja2+b2-c2a2+c2-b2.

贝mIjbx------------Fcx-----------=4cos8n，

2ab2ac

整理为a=4cos8=2,又b=V3,

根据余弦定理炉=a2+c2—2accosB,即c?—2c+1=0,得c=1,

所以△48c的周长为2+1+V3=3+V3.

4.(2024•江苏南通•三模)在△ABC中，角C的对边分别为a,b,c,(2b—c)cosA=acosC.

⑴求4

⑵若AABC的面积为W,BC边上的高为1,求△力BC的周长.

【答案】(1)|

(2)2V6+2V3

【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换得cos2=|,则得到4的大小；

(2)利用三角形面积公式得be=4,再结合余弦定理得b+c的值，则得到其周长.

【详解】(1)因为(26-c)cosA=acosC,

由正弦定理，得(2sinB-sinC)cos4=sinXcosC,

即2sinBcos力=sinXcosC+sinCcosX,即2sinBcos4=sinB.

因为在△ABC中，sinBKO,

所以cosA=|.

又因为0<A<兀，所以4=y.

(2)因为△ABC的面积为百，

所以［ax1=V3,得a=2V3.

由工bcsin4=8，BP-heX—=V3,

222

所以be=4.由余弦定理，得a?=A?+02-2bccos4§P12=b2+c2—be,

化简得(b+c)2=3bc+12,所以(b+c)2=24,即b+c=2^,

所以△ABC的周长为a+b+c=246+2<3.

考点五、三角形的面积

典例啊

1.(2024•陕西西安•模拟预测)在AaBC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=在，V6cosB=

(3c-b)cosi4,则△ABC面积的最大值为.

【答案】誓/|夜

【分析】由已知条件，运用正弦定理把边化角，求得cos4=%再利用余弦定理和基本不等式求解AABC面

积的最大值.

【详解】因为a=V6,V^cosB=(3c—b)cosA,所以V^cosB=acosB=(3c—b)cosA,

由正弦定理可得sin/cosB=3sinCcosZ-sinBcosZ,BPsin(X+B)=3sinCcos4

sinC=3sinCcos4因为C6(0,冗),所以sinCW0,故cos4=

由余弦定理M=b2+c2-2bccosA得(迎)'=b2+c2—~bc,

所以6=b2+c2—|儿>2bc—|hc,即be<当且仅当b=c=誓时取等号，

由cos/=%46(0,兀)，得sin/=雪，

所以S、IBC=-besmA=-x~^~bc<—x-=

故答案为：誓.

2.(2024•山西•模拟预测)在△ABC中，C=三，且G?•荏=4旧，则△4BC的面积是

6

【答案】2

【分析】由C=£，刀•而=4次得到C4-C8=8,再利用三角形面积公式求解.

O

【详解】解：由正•而=C4-CB•cosC=4V3^CA-CB=8,

故SAABC=[sinCXCAXCB=2.

故答案为：2

即时便测

1.(2024•安徽•三模)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且满足a=百,(a+c)(sin4+

sinC)=bsinB+3csin/l,—=上咨，则△4BC的面积是

smBcosB-------

【答案】注3

44

【分析】先化角为边结合余弦定理得出8,利用随f=匕喑可得4=B,利用面积公式可得答案.

smBcosB

【详解】因为(a+c)(sin4+sinC)=bsinB+3csin4

由正弦定理可得(a+c)2=b2+3ca,整理得a?+c2—h2=etc,cosB=叱=

因为Be(0,兀)，所以B=g；

由丝£_1fse得sinCcosB+sinBcosC=sinB,即sin(8+C)=sinB,

smBcosB

因为sin(B+C)=sin(n-A)=sinZ,

所以sin4=sinB,即/=8=：,所以三角形是正三角形，

因为a=V3,所以△的面积是S=fX3=尊.

44

故答案为：乎

4

2.（2024•山东•二模）在△ABC中，内角4民。的对边分别为a,b,c,V2（a2+&2—c2）=absinC,且c=1,

则△ABC面积的最大值为.

【答案】当

4

【分析】先由已知条件结合余弦定理和sin2c+cos2c=1,C€（0,兀）求出sinC,cosC,再由余弦定理结合基

本不等式求出油最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值.

【详解】因为近（M+b2—c2）=absinC,

所以由余弦定理2abeosC=a2+b2—c2,得2V^abcosC=absinC,

所以sinC=2V2cosC,又sin2c+cos2c=1,CE（0,兀），

贝UsinC=手,cosC=

所以由余弦定理以及基本不等式得：

1=a2+b2—2abcosC=a2+b2——>2ab——=—,

333

即防，，当且仅当a=b=当时等号成立，

所以=[absinC="ab4乎,即44BC面积的最大值为圣

2344

故答案为：乎.

4

3.（2024高三•全国•专题练习）在△ABC中，zX=60°,c=|a.

⑴求sinC的值；

（2）若a=7,求△ABC的面积.

【答案】⑴警

14

（2）6V3

【分析】（1）根据正弦定理号=三求sinC的值；

sinAsinC

（2）求出c,再利用余弦定理求出b,然后利用三角形面积公式可求得答案.

【详解】（1）在△4BC中，因为乙4=60。"='a,

由正弦定理=上得sinC=咏=取吏=递.

sm4sinCa7214

（2）因为a=7,所以c=,x7=3,

由余弦定理小=b2+c2—2bccos/得72=h2+32—2bx3x

解得力=8或八一5（舍），

所以△ABC的面积S=|/?csin4=|x8x3Xy=6V3.

4.(2024•北京丰台•二模)已知△ABC满足遮sinZ+cosA=2.

⑴求力；

(2)若AABC满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求AABC的面积.

条件①：a-b=2；条件②：cosB=—；条件③：c=8.

14

【答案】(1)?

(2)见解析.

【分析】⑴根据辅助角公式可得sin(A+3=l,即可求解力=1

(2)选择①②，根据正弦定理可得b=》>a与a-b=2矛盾，即可求解，选择②③，根据cosB

故B>?,a<b,这与a-b=2矛盾，再由三角恒等变换及正弦定理、三角形面积公式即可求解，选择①③，

根据余弦定理可得b=