2022年新教材高中数学第八章立体几何初步63平面与平面垂直（一）练习（含解析）

平面与平面垂直(一)【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A．相等 B．互补C．相等或互补 D．关系无法确定【解析】选D.如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定．2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β【解析】选C.因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β.因为m⊂α，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β.3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC【解析】选D.因为BC⊥AD，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD.因为AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.4．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α­l­β的平面角的大小是()A．60° B．120°C．60°或120° D．不确定【解析】选C.因为PE⊥α，PF⊥β，所以P，E，F三点确定的平面垂直于α和β.过点E作l的垂线，垂足为O，连接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F四点共面，则∠FOE为二面角的平面角，如图所示．此时，∠FOE＋∠EPF＝180°，所以二面角α－l－β的平面角为120°.当点P的位置如图所示时，此时∠FOE＝∠EPF，所以二面角α－l－β的平面角为60°.二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2021·北京高一检测)阅读下面题目及其证明过程，在横线处填写上正确结论．如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.证明：因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD.又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O，所以________．又因为BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.【解析】因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD.又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O，所以BD⊥平面PAC.又因为BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.答案：BD⊥平面PAC6．在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2eq\r(3)，则二面角P­AB­C的大小为________．【解析】取AB中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC就是二面角P­AB­C的平面角．在△PAB中，PM＝eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°.答案：60°三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.【证明】由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.【加固训练】如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1求证：平面AB1M⊥平面ABB1A【证明】连接A1B交AB1于O，连接MO，易得O为A1B，AB1的中点．因为CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC所以CC1⊥AC.又M为CC1中点，AC＝CC1＝6，所以AM＝eq\r(32＋62)＝3eq\r(5).同理可得B1M＝3eq\r(5)，所以MO⊥AB1.连接MB，同理可得A1M＝BM＝3eq\r(5)，所以MO⊥A1B.又AB1∩A1B＝O，AB1，A1B⊂平面ABB1A1所以MO⊥平面ABB1A1又MO⊂平面AB1M所以平面AB1M⊥平面ABB1A8．如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E­BD­C的大小．【解析】因为E为SC的中点，且SB＝BC，所以BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，所以SC⊥平面BDE，所以BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，所以BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，所以∠EDC为二面角E­BD­C的平面角．设SA＝AB＝1，在△ABC中，因为AB⊥BC，所以SB＝BC＝eq\r(2)，AC＝eq\r(3)，所以SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，所以∠EDC＝60°，即二面角E­BD­C为60°.【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在二面角α­l­β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α­l­β的平面角的大小为()A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°【解析】选D.如图因为AB⊥β，所以AB⊥l，因为BC⊥α，所以BC⊥l，所以l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α­l­β的平面角或补角，因为AB＝6，BC＝3所以∠BAC＝30°所以∠ADB＝60°，所以二面角大小为60°或120°.2．(多选题)在棱长都相等的四面体P­ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC【解析】选ABD.可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，所以DF⊥平面PAE，故B成立；又DF⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PAE，故D成立．二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点O，点P是侧棱SC上一动点，则图中一定与平面PBD垂直的平面是________．【解析】因为在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC.因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BD.因为SA∩AC＝A，所以BD⊥平面SAC.因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面SAC.答案：平面SAC4．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则折叠后A与C之间的距离为________．【解析】设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E，CE.则BD⊥CE，BD⊥A1E.于是∠A1EC为二面角A1­BD­C的平面角．故∠A1EC＝60°.因为A1E＝CE，所以△A1EC是等边三角形．所以A1E＝CE＝A1C＝eq\f(\r(3),2)a.答案：eq\f(\r(3),2)a三、解答题(每小题10分，共20分)5．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝4，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1，AA1(1)求三棱锥E­AFM的体积；(2)求证：平面B1D1E⊥平面C1MN.【解析】(1)因为AB⊥侧面BCC1B1，所以AB⊥平面EFM，又因为M，E分别为BB1，CC1的中点，所以四边形MBCE为正方形，所以△MEF的面积为S△MEF＝eq\f(1,2)ME·MB＝eq\f(1,2)×2×2＝2.所以三棱锥A­EFM的体积为V三棱锥A­EFM＝eq\f(1,3)S△MEF·AB＝eq\f(1,3)×2×2＝eq\f(4,3)，所以三棱锥E­AFM的体积为eq\f(4,3).(2)长方体ABCD­A1B1C1D1中，四边形BCC1B1因为E、M分别为棱CC1，BB1的中点，且BB1＝4，B1C1所以四边形MEC1B1是正方形，所以C1M⊥B1又N，M分别为棱AA1，BB1的中点，所以NM⊥平面BCC1B1，又B1E⊂平面BCC1B1，所以NM⊥B1E，又因为NM∩C1M＝M，NM，C1M⊂平面C所以B1E⊥平面C1MN，又B1E⊂平面B1D1E，所以平面B1D1E⊥平面C1MN.6．如图，在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.【证明】(1)如图所示，连接DG，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，所以AC＝2DF.因为G是AC的中点，所以DF∥GC，且DF＝GC，所以四边形CFDG是平行四边形，所以DM＝MC.因为BH＝HC