西藏林芝市第二高级中学2018-2019学年高二数学下学期第一阶段考试（期中）试题理

西藏林芝市第二高级中学20182019学年高二数学下学期第一阶段考试（期中）试题理考试时间：120分钟满分：150分第I卷（选择题)一、单选题(每小题5分，共60分)1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42.设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝()A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}C．{3，4} D．{3，4，5}3．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4B．－eq\f(4,5)C．4D.eq\f(4,5)4.设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2－eq\f(2,z)＝()A．1＋3iB．1－3iC．－1＋3iD．－1－3i5．已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝()A.3B.3C.6D.126．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=（）A.7B.2C.7D.27.已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3，1) B．(－1，3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)8．将3张不同的电影票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同的分法种数是()A．2160B．720C．240D．1209．把3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种数为()A．36B．72C．108D．14410．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinx B．－xsinxC．xcosx D．－xcosx11．eq\i\in(0,1,)exdx的值等于()A．eB．1－eC．e－1D.eq\f(1,2)(e－1)12．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点第II卷（非选择题)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝________．14．曲线y＝x2＋eq\f(1,x)在点(1，2)处的切线方程为__________．15．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________．16．函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝________处取得极小值．三、解答题(共70分)17.（12分）已知复数z＝，eq\x\to(z)是z的共轭复数，求|z|及z·eq\x\to(z)的值。18.（10分）如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，求该闭合图形的面积.19.（12分）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝eq\f(2,3)时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值．(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．21．（12分）要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；22.(12分)函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示：(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求c的取值范围．林芝市二高20182019学年第二学期高二期中数学（理）试卷答案考试时间：120分钟满分：150分第I卷（选择题)一、单选题(每小题5分，共60分)1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意可得：，中元素的个数为2，所以选B.【考点】集合运算2.设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝()A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}C．{3，4} D．{3，4，5}解析：选C.因为A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}．3．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4B．－eq\f(4,5)C．4D.eq\f(4,5)解析：选D.因为|4＋3i|＝eq\r(42＋32)＝5，所以z＝eq\f(5,3－4i)＝eq\f(5（3＋4i）,（3－4i）（3＋4i）)＝eq\f(3＋4i,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，所以z的虚部为eq\f(4,5).4.设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2－eq\f(2,z)＝()A．1＋3iB．1－3iC．－1＋3iD．－1－3i解析：选C.因为z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，eq\f(2,z)＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(2（1－i）,1－i2)＝eq\f(2（1－i）,2)＝1－i，则z2－eq\f(2,z)＝2i－(1－i)＝－1＋3i.故选C.5．已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝()A.3B.3C.6D.12解析：选B.因为a∥b，所以－1×6＝2λ，所以λ＝－36．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=（）A.7B.2C.7D.2【答案】选C【解析】由题得，因为，所以，解得【考点】平面向量的坐标运算，垂直向量7.已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3，1) B．(－1，3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)解析：选A.由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋3＞0，,m－1＜0，))解得－3＜m＜1，故选A8．将3张不同的电影票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同的分法种数是()A．2160 B．720C．240 D．120解析：选B.分步来完成此事．第1张电影票有10种分法；第2张电影票有9种分法；第3张电影票有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．9．把3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种数为()A．36 B．72C．108 D．144解析：选B.3本数学书的放法有Aeq\o\al(3,3)种，将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2Aeq\o\al(3,3)种，故同类书不相邻的放法有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝2×6×6＝72(种)，故选B.10．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinx B．－xsinxC．xcosx D．－xcosx解析：选B.y′＝x′cosx＋x(cosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.11．eq\i\in(0,1,)exdx的值等于()A．eB．1－eC．e－1D.eq\f(1,2)(e－1)解析：选C.eq\i\in(0,1,)exdx＝ex|eq\o\al(1,0)＝e1－e0＝e－1.12．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点解析：选C.设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1、x2、x3、x4.当x<x1时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.第II卷（非选择题)二、填空题(每小题5分，共20分)13．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝________．解析：由题意得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，即2(5－12i)－3p＋2pi＋q＝0，即(10－3p＋q)＋(－24＋2p)i＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10－3p＋q＝0，,－24＋2p＝0.))所以p＝12，q＝26，所以p＋q＝38.答案：3814．曲线y＝x2＋eq\f(1,x)在点(1，2)处的切线方程为__________．解析：因为y＝x2＋eq\f(1,x)，所以y′＝2x－eq\f(1,x2)，所以y′|x＝1＝2－1＝1，所以所求切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝015．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________．解析：因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0.答案：(0，＋∞)16．函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝________处取得极小值．解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.列表得x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以在x＝2处取得极小值．答案：2三、解答题(共70分)17.（12分）已知复数z＝，eq\x\to(z)是z的共轭复数，求z·eq\x\to(z)的值。解析：∵z＝＝eq\f(\r(3)＋i,－2－2\r(3)i)＝eq\f(2\r(3)－2i,－8)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,4)i，|z|=∴z·eq\x\to(z)＝|z|2＝eq\f(3,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(1,4).18.（10分）如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，求该闭合图形的面积.解析：.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x2＋2x＋1，,y＝1，))得x1＝0，x2＝2.所以S＝eq\i\in(0,2,)(－x2＋2x＋1－1)dx＝eq\i\in(0,2,)(－x2＋2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,3)＋x2))|eq\o\al(2,0)＝－eq\f(8,3)＋4＝eq\f(4,3).19.（12分）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝eq\f(2,3)时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值．(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝eq\f(2,3)时，y＝f(x)有极值，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，纵坐标为4，所以f(1)＝4.所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝eq\f(2,3).当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示：x－3(－3，－2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))1f′(x)＋＋0－0＋＋f(x)813eq\f(95,27)4所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为eq\f(95,27).20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)因为切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，所以切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，所以x0＝±1.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－14))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝－18，))即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.21．（12分）要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；【解】(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分类加法计数原理知总选法数为Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(5,5)＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人中任选5人有Ceq\o\al(5,12)种选法，其中全是男代表的选法有Ceq\o\al(5,7)种．所以“至少有1名女生入选”的选法有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,7)＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选，即只要再