幂函数与二次函数（原卷版）-2025年高考数学一轮复习

第04讲幕函数与二次函数

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................3

第三部分：高频考点一遍过...........................................3

高频考点一：塞函数的定义........................................3

角度1：求暴函数的值..........................................3

角度2：求塞函数的解析式......................................3

角度3：由暴函数求参数........................................3

高频考点二：塞函数的值域........................................4

高频考点三：幕函数图象..........................................5

角度1：判断幕函数图象........................................5

角度2：募函数图象过定点问题..................................6

高频考点四：塞函数单调性........................................7

角度1：判断嘉函数的单调性....................................7

角度2：由塞函数单调性求参数..................................8

角度3：由幕函数单调性解不等式................................8

高频考点五：塞函数的奇偶性......................................9

高频考点六：二次函数............................................10

角度1：二次函数值域问题.....................................10

角度2：求二次函数解析式.....................................10

角度3：由二次函数单调性（区间）求参数.......................10

角度4：根据二次函数最值(值域)求参数.......................11

角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题.....................11

第四部分：新定义题(解答题).......................................13

第一部分：基础知识

1、塞函数

(1)幕函数定义

一般地，形如/(%)=产的函数称为累函数，其中X是自变量，a是常数.

(2)五种常见暴函数

232-1

函数y二xy=xJ=xy=户y=%

干*上击

图象

定义域RRR{%|x>0}{x|xw0}

值域R{yly>0)R3”。}

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

性在(-oo,0］上

在(—8,0)和

质在R上单单调递减；在在R上单调在［0,+8)上单

单调性(0,+00)上单

调递增(0,+8)上单递增调递增

调递减

调递增

公共点(1,1)

(3)嘉函数性质(高频考点)

基函数/(无)=丁,在xe(0,+oo)

①当1>0时，/(幻=/在(0,+00)单调递增；

②当a<0时，/。)=产在(0,+8)单调递减；

2、二次函数

形如/(x)=cue+bx+c(aw0)的函数叫做二次函数.

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•天津・统考高考真题）设”=1.0产5,6=1.01。.6,C=0.6。5,则。，ac的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：塞函数的定义

角度1:求早函数的值

典型例题

例题L（2024下•河南•高一信阳高中校联考开学考试）已知〃x）=（左2+2左+2）产”+机-3是募函数，则

f（m）=（）

21

A.3B.-C.6D.—

33

例题2.（2024上•河北承德•高一统考期末）已知事函数“X）的图象过点（a,8）,则孤/.

角度2：求塞函数的解析式

典型例题

例题L（2024上•安徽芜湖•高一统考期末）若基函数/（x）=a/（aSeR）的图象经过点（3,6）,则

〃x）=-

C2\

例题2.（2024上•河北保定•高一统考期末）已知幕函数/（X）的图象过点（2,8）,则/.

角度3：由塞函数求参数

典型例题

例题1.（2024上•山东威海•高一统考期末）已知幕函数/（x）=（r一2%-14）/在（0,+动上单调递增，则％=

A.-3B.3C.-5D.5

例题2.（2024上•安徽阜阳•高一阜阳市第三中学校考期末）已知幕函数y=（疗的图象不

经过第二象限，则加=（）

A.2B.一2或1C.一1或2D.-1

练透核心考点

1.（2024上•河南商丘•高一校考期末）若〃无）=（小一3）廿是定义域为R的幕函数，则〃/=.

2.（2024上•安徽淮南•高一深圳市高级中学校联考期末）若幕函数〃x）=（*-2祖-2W在区间（0,+8）

上单调递减，则机=.

3.（2024下•湖北•高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知募函数〃%）=（>+机-5卜〃'包在

（0,+8）上单调递减，贝1］加=.

4.（2024上•安徽亳州•高一亳州二中校考期末）己知累函数”力的图象过点尸（2,夜），则“4）等

于.

高频考点二：幕函数的值域

典型例题

例题1.（2024•全国•高一假期作业）下列函数中，值域为（0,+功的是（）

A./（%）=>/%B./（x）=x+—（x>0）

c.f（-^）=,^―j-D./（x）=l--^（x>l）

例题2.（2024・全国•高一假期作业）已知事函数〃%）=di，/eZ）在区间（0,+"）上是减函数.

（1）求函数的解析式；

⑵讨论函数〃尤）的奇偶性和单调性；

⑶求函数的值域.

练透核心考点

1.（2024•全国•高三专题练习）下列函数中，定义域和值域不相同的是（）

2（x-2,x<0

AV=—X.Q、，—一r、，一_n、，一J

2

x3,-l<x<0

2.（2024下•河北承德•高二承德县第一中学校联考开学考试）函数>=的值域为

2

,0<x<l

高频考点三：塞函数图象

角度1:判断幕函数图象

典型例题

例题L（2024•江苏,高一假期作业）函数=与g（x）=：（加+1）+尤在同一平面直角坐标系中的图

象不可能为（）

例题2.（2024•全国•高三专题练习）给定一组函数解析式：

（Dy=/；（Z）y=/；（5）y=x]；（5）y=%§；（§）y=#；（§）y=]§；（Z）y=•

如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是（）

A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

角度2：塞函数图象过定点问题

典型例题

例题1.（2024上•上海•高一上海市吴淞中学校考期末）下列命题中正确的是（）

A.当相=0时，函数y=的图象是一条直线

B.幕函数的图象都经过（0,0）,（1,1）两点

C.幕函数y=x"图象不可能在第四象限内

D.若幕函数>=/为奇函数，则y=»"是定义域内的严格增函数

例题2.（2024•全国•高一专题练习）已知函数〉=J，（Vc<0）的图象恒过定点A,若点A在一次函数

y=的图象上，其中相，〃>0,则'的最小值为（）

mn

A.1B.72C.2D.4

练透核心考点

1（2024•全国•高三专题练习）已知幕函数尸产（P，"Z且P，“互质）的图象关于y轴对称，如图所示,

则（）

A.p,q均为奇数,且

q

B.4为偶数，p为奇数，且/＜。

C.q为奇数，p为偶数,且/＞。

D.q为奇数,p为偶数,且/＜。

2.（多选）（2024上•重庆北倍•高一统考期末）函数〃力=加-2*+1与g（x）=x"在同一直角坐标系中的

3.（多选）（2024•全国•高一专题练习）已知幕函数=f的图象经过函数g（无）=/2一;（。＞0且"I）

的图象所过的定点，则基函数/'（X）具有的特性是（）

A.在定义域内单调递减B.图象过点（1,1）

C.是奇函数D.定义域是R

高频考点四：幕函数单调性

角度1：判断事函数的单调性

典型例题

例题L（2023上•北京海淀•高一统考期末）下列函数中，既是奇函数，又在（0,+S）上单调递减的是（）

A.f（x）=yjxB.f（x）=-x\x\

C.f（x）=尤2+]D./（x）=尤'

例题2.（2023上•湖南常德•高一湖南省桃源县第一中学校考期中）函数/（力=（_/+2了+3）-5的单调递减

区间为（）

A.[-1,1]B.（一刃』C.（-1,1]D.（1,3）

角度2：由塞函数单调性求参数

典型例题

例题L（2023上•江苏镇江•高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若丫=（〃22-2〃2-2卜/+，"是基函数，

且在（0,+8）上单调递增，则加的值为（）

A.一1或3B.1或一3C.-1D.3

例题2.（2023上•广东佛山•高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）已知基函数y=（加-3）/*"-3单调

递减，则实数m=.

角度3：由塞函数单调性解不等式

典型例题

例题L（2023上•高一课时练习）已知幕函数y=x〃（peN+）的图象关于y轴对称，且在（0,+⑹上单调递

减，求满足（°+炉<（3—2a户的”的取值范围.

例题2.（2023上•广西钦州•高一校考期中）已知>=（机2+2"2一2）7箝+2〃-3是属函数.

⑴求加、"的值;

（2）若/（2a+1）</（3-4a）,求实数。的取值范围.

练透核心考点

1.（多选）（2024•全国•模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（）

A./（x）=-3x5B.〃x）=2*

C.=：D-/（x）=-2x5

2.（2023上•河北沧州•高一统考期中）若暴函数〃尤）=（苏-9根+19）尤"I在（0,+力上单调递增，则实数

m二

3.（2023•全国•高三专题练习）已知幕函数〃x）=（2疗+租-2卜”用在（0,+e）上是增函数

⑴求〃元）的解析式；

⑵若/（G）</（g）,求实数。的取值范围.

4.（2023上•湖南长沙•高一长沙一中校考期中）己知事函数〃到=（2病一〃-2卜"I在定义域内单调递增.

⑴求了（力的解析式;

⑵求关于x的不等式〃尤+1）</（X2-2X+3）的解集.

高频考点五：塞函数的奇偶性

典型例题

例题L（2024•全国•高一假期作业）"基函数〃x）=（M+m-1b'"在（0,+句上为增函数"是"函数

8（%）=2£-加2工为奇函数”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

例题2.（2024上•上海虹口•高一统考期末）设ae1-2,-g,|,31,若幕函数y=的图像关于，轴对称，

且在区间（0,y）上是严格增函数，则实数.

练透核心考点

1.（多选）（2024上•广东深圳•高一统考期末）已知函数〃x）=（2根-加2）尤3，”为幕函数，则下列结论正确

的为（）

A.m=lB./（x）为偶函数

C.为单调递增函数D.的值域为［。,+8）

2.(2024上•福建南平•高一统考期末)已知幕函数/(%)=(m2-3rn+l)xm-2.若/(x)是奇函数,则m的值为.

高频考点六：二次函数

角度1：二次函数值域问题

典型例题

例题L(2024上•江西•高一校联考期末)已知函数/(x)=d-2x+3,贝打⑴在区间[0,4]的值域为()

A.[3,6]B.[2,6]

C.[2,11]D.[3,11]

例题2.(2024上•河南新乡•高一统考期末)已知函数满足log3〃x)=，nx,且“力的图象经过点。,3).

(1)求〃力的解析式；

(2)求函数g(X)=[/(切2-4/㈤+5在(-0),1]上的值域.

角度2:求二次函数解析式

典型例题

例题1.(2024•全国•高三专题练习)已知二次函数y=ox?+bx+c的图象过点(0,0),(5,0),且最小值为一亍.

(1)求函数的解析式；

例题2.(2024上•青海西宁•高一统考期末)设〃耳=如2+"+6,已知函数过点(1,3),且函数的对称轴

为x=2.

(1)求函数的表达式；

⑵若龙e[-1,3],函数的最大值为〃，最小值为N,求M+N的值.

角度3：由二次函数单调性(区间)求参数

典型例题

例题L（2024下•云南红河•高一蒙自一中校考开学考试）已知二次函数丁=/-2办+1在区间（2,3）内是单

调函数，则实数。的取值范围是（）

A.（-co,2]u[3,+co）B.[2,3]

C.（-OO,-3]U[-2,-HK）D.[-3,-2]

例题2.（2024上•四川宜宾•高一统考期末）已知事函数〃》）=（苏-3m+3）廿M为偶函数，若函数

y=/（x）-2（a-l）尤在区间（-1,1）上为单调函数，则实数a的取值范围为（）

A.（―oo,0]B.[2,+oo）C.[0,2]D.（YO,0]U[2,+ao）

角度4：根据二次函数最值（值域）求参数

典型例题

例题1.（2024上•广东中山•高一统考期末）已知函数/（x）=--4x+5在[加,网上的值域是[L10],则"-m的

最大值是（）

A.3B.6C.4D.8

例题2.（2024上•江西九江•高一江西省庐山市第一中学校考期末）设二次函数/（x）=62-2x+c（aeR）的

值域是[0,+8）,则11的最小值是.

ca

角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题

典型例题

例题L（2023上•北京•高一北京市第十二中学校考期中）已知函数/（“二%2-枕-L