幂函数（解析版）-2025年天津高考数学一轮复习

第09讲募函数

（6类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

充分条件的判定及性质必要条件的判定及性质比较指数塞的大小判断

2024年天津卷，第2题,5分

一般事函数的单调性

2023年天津卷，第3题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2022年天津卷，第6题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分

【备考策略】L理解、掌握幕函数的定义，能够灵活掌握幕函数的性质

2.能掌握幕函数的图像与综合性质

3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图解决单调性与比较大小的问题

4.会解灵活运用幕函数的奇偶性与单调性，解决综合性问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查范围比较灵活。

I「•考点梳理

考点一、鬲函数的解析式

1.基函数的概念考点二、基函数的定义域

2.幕函数的图像及性质.考点三、鬲函数求值

知识点.塞函数＜

3.靠值的大小比较考点四、幕函数的图像

4.靠函数性质的应用考点五、鬲函数过定点

考点六、鬲函数的单调性与奇偶性

知识讲解

知识点.幕函数

1.概念:形如y=；^(aeR)的函数称为幕函数，其中久是自变量，a是常数

2.幕函数的图像及性质.

y=%2151-1

y=y=%y=%2y=%

定义域RRR[0,+8){x\xeR且x。0}

值域R[0,+8)R[0,+8){y\ywR且yH0}

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

单调性增XG[0,+°°)时，增；增增xe(0,+8)时，减；

%e(-8,o]时，减.xe(-0°,0)时,增.

3.塞值的大小比较

(1)直接法:当幕指数相同时，可直接利用幕函数的单调性来比较.

(2)转化法:当幕指数不同时，可以先转化为相同塞指数，再运用单调性比较大小.

(3)中间值法:当底数不同且塞指数也不同而不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与两数分别

比较，从而达到比较大小的目的.

4.暴函数性质的应用

利用累函数的性质解不等式，实际上就是利用暴函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小

关系，解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用.

考点一、幕函数的解析式

典例引领

1.(2024•广东广州•模拟预测)若累函数/(%)=(根2一7n一在(0,+8)上单调递增，则实数7n的

值为()

A.2B.1C.-1D.—2

【答案】A

【分析】根据条件，利用幕函数的定义和性质，即可求出结果.

【详解】因为幕函数f(X)=(m2-m-在(0,+8)上是增函数,

所以匕

解得m=2.

故选：A.

2.(2023•四川成都•一模)已知塞函数/(x)=婢的图象过点p(3,9),则a=()

1

A.-B.1C.2D.3

2

【答案】c

【分析】根据题意可得3a=9,求解即可.

【详解】因为幕函数f(x)=的图象过点P(3,9),所以3a=9,解得a=2.

故选：C.

即0唧(

1.(23-24高三上•陕西咸阳•阶段练习)己知事函数/(X)=(2m2—爪)铲4在区间(0,+8)上单调递增，

则6=()

A.-2B.1C.--D.-1

2

【答案】B

【分析】根据幕函数的定义及性质分类讨论计算即可.

【详解】由题意有27n2一爪=1,解得m=i或爪=一1,

①当血=一]时，/(%)=%-1,在区间(0,+8)上单调递减，不合题意；

1

②当771=1时，/(X)=%2,在区间(0,+8)上单调递增，符合题意.

故选：B

2.(23-24高三上•青海西宁•阶段练习)若幕函数=X。的图象经过点(4彳)，则a?=.

【答案】-/0.25

4

【分析】先由题意解出a值，进而解出a?即可.

【详解】因为/(%)=%a的图象经过点(4,},则4a=5则22。=2-1,

所以a=—5所以仇2=].

故答案为：

4

3.(2024•山东日照•二模)已知幕函数的图象过点(2,4),则函数的解析式为()

X2

A.y=2B.y=xC.y=log2xD.y=sinx

【答案】B

【分析】先用待定系数法设出函数解析式，再代入点的坐标计算出参数，即可得到答案.

【详解】设幕函数的解析式为y=由于函数过点(2,4),故4=2%解得a=2,该哥函数的解析式为y=x2；

故选:B

考点二、幕函数的定义域

典例引领

1.（2022•上海•模拟预测）下列函数定义域为R的是（）

_111

A.y=x_2B.y=%-1C.y=xiD.y=%2

【答案】C

【详解】化分数指数基为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案.

1-1

【解答］、=%-5=专，定义域为{加＞0},

y=%-1=i,定义域为{汽|%。0},

1

y=X3=Vx,定义域为R,

y=X2=4x,定义域为{%|%N0}.

故选：C.

2.（23-24高三上•上海静安•期中）函数y=（3x—2）［的定义域为

【答案】（|,+8）

【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可.

【详解】由y=（3x-2）V,使得式子有意义，贝ij3x-2＞0,则定义域为（|,+s）.

故答案为：（|,+8）

即时检测

1.（23-24高三下•上海松江•阶段练习）若函数/（久）=x-m2+2m+3（rn6Z）的定义域为R,且/（x+1）=

/（-%-1）,则实数m的值为

【答案】1

【分析】利用函数的定义域求出山的取值集合，再利用偶函数的特性求解即得.

【详解】由函数/'（%）=X-m2+2m+3的定义域为R,得—+27n+3＞0,解得-1＜小＜3,

而771CZ,则me{0,1,2},由f（x+1）=y（-x-1）,得函数/（x）为偶函数，因此m=l,

所以实数加的值为1.

故答案为：1

2.（22-23高三下•上海浦东新•阶段练习）设爪eR,若幕函数y=久--2.+1定义域为R；且其图像关于y

轴成轴对称，则m的值可以为（）

A.1B.4C.7D.10

【答案】C

【分析】

根据幕函数的定义域和幕函数的奇偶性可以确定m的值.

【详解】

解：由题意知—2m+1>。=>小力1,

因为其图像关于y轴成轴对称，则巾=7.

故选：C.

考点三、幕函数求值

典例引领

1.(2024高三•全国•专题练习)若累函数y=/(x)的图象经过点(2,/)，贝叶(16)=()

A.鱼B,2C.4D.|

【答案】C

【分析】利用己知条件求得暴函数解析式，然后代入求解即可.

【详解】设基函数y=/(%)=%%因为f(x)的图象经过点(2,/)，所以2。=&，解得a=%

11

所以八£)=/，所以f(16)=165=4.

故选：C

2.(22-23高三上•福建宁德•阶段练习)已知函数y=loga(x-3)+2(a>0且a丰1)的图象恒过定点P,

点P在基函数y=/(x)的图象上，则/'(4)=()

A.-2B.2C.1D.-1

【答案】B

m

【分析】令第-3=1便可得到函数y=loga(x-3)4-2图象恒过点P(4,2),将点P(4,2)代入幕函数/(%)=x

中，解得y=/(%)的解析式，然后计算/(4)的值.

【详解】函数y=log/%-3)+2中，令工一3=1,解得％=4,此时y=log。!.+2=2,

所以函数y的图象恒过定点P(4,2),又点P在幕函数y=/(%)=%小的图象上，

所以47n=2,解得m=0.5,所以/(%)=X05,

/⑷=40-5=2.

故选：B.

即时便测

1.(2023•全国•模拟预测)已知函数/(久)=f°g21+1，：'1,若/①)=2,贝布的值为()

Ixz,x<1

A.2或一/B.2或或C.&或一&D.1或四

【答案】A

【分析】根据分段函数的解析式，讨论a的范围，明确方程，解出即可.

【详解】当aNl时，log2a+1=2,解得a=2,

当a<1时，a2=2,得a=—/,

所以a的值是2或-

故选：A.

2.(23-24高三上•四川眉山•期中)已知哥函数/0)=(爪2+小一1灰山的图象与坐标轴没有公共点，则

f(a)=一

【答案】|/0.5

【分析】利用幕函数的定义及性质计算即可.

【详解】由题意可知Hl?+巾—1=1=>巾=1或巾=一2,

又当TH=1时，/(%)=X与坐标轴有交点，不符合题意；

所以血=一2,此时/(x)=%-2今/(夜)=/三,=

(V2)2

故答案为：|

3.(22-23高三上•江苏盐城•阶段练习)若函数y=ax-2+3(a>0且a*1)的图象恒过定点Q,且点Q在

事函数/(久)=久771的图象上，则/(4)=_.

【答案】16

【分析】先求出函数所过定点坐标，再将其代入幕函数中，求出幕函数解析式，得到答案.

【详解】y=产2+3恒过点(2,4),故Q(2,4),

将其代入/(%)=#加中，2m=4,解得巾=2,

故f(x)=x2,所以f(4)=42=16.

故答案为：16

考点四、幕函数的图像

典例目阚

1.(2024•天津•模拟预测)下列图象中，不可能成为函数f(x)=炉+：的图象的是()

【答案】c

【分析】先得到函数/(%)为奇函数，图象关于原点对称，讨论参数3再利用导数讨论函数的单调性和讨论

函数值的正负得到答案.

【详解】由题意可知，x大0,又/(-X)=(r)3+5=一«+：)=一/⑴，

所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，

当t=0时f(%)=/,结合指函数的性质可知，D选项符合；

当t>0时，若x>0,f(x)=/+：>0,x<0,/(x)<0,A选项符合；

当t<0时，尸(%)=3/_(=三/>0,此时f(x)在(-8,0)和(0,+8)上单调递增，B选项符合；

结合选项可知，只有C.选项不可能.

故选：C.

2.(2024•四川南充•二模)已知函数/(%)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()

【答案】D

【分析】根据幕函数的性质一一判断即可.

1

【详解】对于A：函数y=%5=代的定义域为［0,+8),显然不符合题意，故A错误；

对于B：函数y=人=套的定义域为(0,+8),显然不符合题意，故B错误；

对于C：函数的定义域为R,又y=/为奇函数，又丫=/在(0,+8)上函数是下凸递增，故不符合题

意，故C错误；

111

对于D：函数y=短=证的定义域为R,又、=如为奇函数，且y=%，在(0,+8)上函数是上凸递增，故D正

确.

故选：D

即时检测

1.(2023•湖南岳阳•模拟预测)如图，已知幕函数y=x，y=/,y=产在(o,+8)上的图象分别是下降,

急速上升，缓慢上升，则()

A.c<b<aB.a<c<b

C.c<a<bD.a<b<c

【答案】B

【分析】由幕函数在(0,+8)内的单调性以及增长速度和指数哥的关系即可判断.

【详解】由题意结合图象可知a<0<c<1<b.

故选：B.

2.(2022•全国•模拟预测)设则“函数/(x)的图象经过点(—1,1)”是“函

数/(久)在(-8,0)上递减”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由幕函数的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】函数/(x)的图象经过点(—1,1),则/(*)=(—1尸=1,

因为a€{—1,|,1,2,3},所以a=2,所以f(%)=%2,

所以“X)在(-8,0)上递减，

而f(x)在(-8,0)上递减，函数f(x)的图象不一定经过点

如:/(%)=X-1.

所以“函数/(%)的图象经过点是“函数f(%)在(-8,0)上递减”的充分不必要条件.

故选：A.

m

3.(22-23高三上•上海浦东新•阶段练习)如图所示是函数丫=久而(m,n均为正整数且小,几互质)的图象，

则()

A.zn,71是奇数且竺<1

n

B.m是偶数,ri是奇数，且经<1

n

C.m是偶数，71是奇数，且”>1

n

D.TH,九是奇数，且依>1

n

【答案】B

【分析】由塞函数性质及0<x<1时两图象的位置关系可知:<1；由图象可知y=x费为偶函数,进而确定

01,71的特征.

m

【详解】由暴函数性质可知：y=;6r与y=x恒过点(1,1),即在第一象限的交点为(1,1),

m

当<X<时，>X,则一<；

01n1

mmm『m__

又y=%元图象关于y轴对称，，y-汽元为偶函数，，(-x)n=](-%)-=xn=抗，

又771,71互质，，仅为偶数，71为奇数.

故选：B.

考点五、幕函数过定点

典例引领

1.(21-22高三上•河南•阶段练习)已知p：/(%)是募函数，q：/0)图象过点(0,0),则p是q的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】f(x)=x-2是稀函数，但其图象不过点(o,o),故不充分；

当/(£)图象过点(0,0)时，如/(£)=2才—1不是幕函数，故不必要；

故选:D

2.(2022•四川乐山•一模)已知幕函数/(久)=X。和g(x)=”，其中a>£>0,则有下列说法：

①f(x)和g(x)图象都过点(1,1)；

②f(x)和g(x)图象都过点(一1,1)；

③在区间［1,+8)上，增长速度更快的是f(x)；

④在区间［1,+8)上，增长速度更快的是9(尤).

则其中正确命题的序号是()

A.①③B.②③C.①④D.②④

【答案】A

【分析】由塞函数的性质进行分析判断即可

【详解】幕函数的图象过定点(1,1),①正确，

在区间［1,+8)上，a越大y=/增长速度更快，③正确，

故选：A.

1.(22-23高三上•上海徐汇•期末)当aeR时，函数y=-2的图象恒过定点A,则点A的坐标为

【答案】(1,一1)

【分析】根据幕函数恒过定点(1,1)即可求解.

【详解】由于对任意的aeR,y=恒经过点(1,1),所以函数y=2的图象恒过定点4(1,一1),

故答案为：(1,—1)

2.(22-23高三上•陕西渭南•阶段练习)已知函数=2+姆(a为不等于0的常数)的图象恒过定点P,

则P点的坐标为.

【答案】(1,3)

【分析】由幕函数的性质知y=的图象恒过(1,1),即可求出函数f(x)=2+x。的图象恒过的定点.

【详解】因为y=姆的图象恒过Q,i),

所以“X)=2+产的图象恒过定点P(l,3).

故答案为：(1,3)

考点六、幕函数的单调性与奇偶性

典例引领

1.(2024•广西•二模)下列函数中，在(0,2)上单调递增的是()

A./(x)=V%—1B./(x)=%2—2%

11

C./(%)=-D./(%)=%4

【答案】D

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域及单调性，综合即可得答案.

【详解】对于A,/(%)=VF^i,其定义域为口，+8),不符合题意；

对于B,f(%)=x2-2x,在(0,1)上为减函数，不符合题意；

对于C,/(%)=在(0,2)上单调递减，不符合题意；

对于D,/(%)=』=置，在(0,2)上单调递增，符合题意；

故选：D.

2.(2024•北京朝阳•一模)已知aeR,贝「'0<a<1”是“函数人久)=(1一a)/在R上单调递增”的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】分a=1,a>l,a<1讨论函数/。)的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确定答案.

【详解】对于函数/'(X)=(1-a)x3

当a=1时，/(x)=0,为常数函数，

当a>1时，l—a<0,函数/■(久)=(1一a)/在R上单调递减，

当a<1时，1—a>0,函数/(x)=(1—a)/在R上单调递增，

所以"0<a<1”是“函数/(x)=(1-a)/在R上单调递增”的充分而不必要条件.

故选：A.

1.(2024•湖南常德•三模)己知奇函数y=/(*)是定义域为R的连续函数，且在区间(0,+8)上单调递增，

则下列说法正确的是()

A.函数y=/(%)+久2在R上单调递增

B.函数y=/(x)-/在(0,+8)上单调递增

C.函数y=//(%)在R上单调递增

D.函数y=%在(0,+8)上单调递增

【答案】C

【分析】根据已知设久支)=%,由二次函数的性质确定AB错误；由幕函数的性质判断C正确；由反比例函

数的形式确定D错误.

【详解】因为y=/(x)是奇函数，且在区间(0,+8)上单调递增，

所以y=/(')在(-8,o)上也为单调递增函数，

对于A：不妨令/(%)=%,y=/(%)+/=%+%2=(%+J—%

所以丫=以乃+/在(_8,一习单调递减，在(一，+8)单调递增，故A错误；

对于B：不妨令/(%)=%,y-/(x)—x2=x—x2=—[x—+%

所以y=/(%)一%2在(_8,乡单调递增，在G，+8)单调递减，故B错误；

对于C：y=x2/(x),其定义域为R,

又(一%)2/(-%)=-％2/(%),所以y=//(%)是奇函数，

取0V久1V则0<X1<%2J0Vf(Xl)<f(%2〈故*f(%i)<xff(X2)

所以为一、2=xl/(xl)一底f(%2)<0，则函数y=在(0,+8)为递增函数;

所以函数y=在(一8,0)也为递增函数，且当％=0时，y=//(久)=0,

所以y=久2/(乃在R上单调递增，故C正确；

对于D：不妨令/(%)=%,丫=詈=/=：,%。0,

由反比例函数的单调性可知y=詈在(-8,0)和(0,+8)上单调递减，故D错误；

故选：C.

2.(23-24高三上•安徽•阶段练习)已知幕函数f(x)=(m2-5m+S)%7"-?是R上的偶函数，且函数仪行=

f(x)-(2a-6)久在区间[1,3]上单调递增，则实数a的取值范围是()

A.(-co,4)B.(-co,4]

C.[6,+oo)D.(―oo,4]U[6,+oo)

【答案】B

【分析】根据哥函数的定义与奇偶性求出血的值，可得出函数/(%)的解析式，再利用二次函数的单调性可得

出关于实数a的不等式，即可解得实数a的取值范围.

【详解】因为幕函数f(x)=(m2-5m+5)久仅-2是R上的偶函数，

则m2_5m+5=1,解得m=1或TH=4,

当加=1时，/(%)=%-1,该函数是定义域为｛x|x70｝的奇函数，不合乎题意；

当爪=4时，/(%)=",该函数是定义域为R的偶函数，合乎题意.

所以，/(%)=x2,则g(x)=/一(2a-6)x,其对称轴方程为久=a-3,

因为g(x)在区间[1,3]上单调递增，则a—3WL解得aW4.

故选：B.

m

3.(2023-四川南充•模拟预测)已知塞函数/(%)=xn(m,n6Z),下列能成为“/(%)是R上的偶函数”的

充分条件的是()

A.TH=­3,71=1B.771=1,71=2

C.m=2,n=3D.m=l,n=3

【答案】c

【分析】根据幕函数的性质，结合充分条件的定义进行判断即可.

【详解】当爪=-3,?1=1时，/(x)=X-3=

因为函数/(X)=2的定义域(—8,0)U(0,+8),关于原点对称，且/(—%)=+=—妥=—〃>),

所以“X)=妥为奇函数，不合题意，故A错误；

当爪=1,«=2时，f[x)=xG=y,因为/(x)=«函数的定义域[0,+8),不关于原点对称，

所以“外=百为非奇非偶函数，不合题意，故B错误；

3___,

当？71=2,72=3时，/(%)=X2=\fx^,定义域为R,关于原点对称，且/(T)=\](~x)2==/(X)，

所以〃x)=/为偶函数，符合题意，故C正确；

当m-l,n-3时，/(x)=%3,定义域为R,关于原点对称，且/'(-x)=(-x)3==-/(%),

所以"%)=蓝为奇函数，不合题意，故D错误.

故选：C.

4.(23-24高三下•上海•阶段练习)已知集合2={幻(久+2)0-5)<0},B={-3,-2,-1,0,1,2,3),任

取kedCB,贝如=小为偶函数的概率为

【答案】|/0.4

【分析】首先解一元二次不等式求出集合4根据交集的定义求出an以再根据幕函数的性质得到符合题

意的鼠最后由古典概型的概率公式计算可得.

【详解】由(X+2)(%-5)<0,解得一2<x<5,

所以力={x\(x+2)(%—5)<0}={%|-2<%<5},

又B={-3,-2,-1,0,1,2,3},所以AnB={-1,0,1,2,3},

又k€4。8且丫=”为偶函数，所以ke{0,2}共2种取法，又集合anB中有5个元素，

所以幕函数y=/为偶函数的概率P=|.

故答案为：|

1%.好题冲关.

基础过关

1.(2024•重庆•模拟预测)已知函数/(%)=xa(x>0),a为实数，/(%)的导函数为/(%),在同一直角坐

标系中，/(%)与/(%)的大致图象不可能是()

【答案】c

【分析】先通过特值代入易得A项符合，对于B,C,D项，通过图象观察分析可得a>1,结合两函数图象

交点的位置舍去C项.

【详解】由/(X)=X。,可得f'(x)=axa~r

对于A,当a=—l时，在第一象限上“x)=xT递减，对应尸(x)=——=—专图象在第四象限且递增，故

A项符合；

对于B,C,D,在第一象限上/(x)与尸(x)的图象在(0,+8)上都单调递增，故a>0且a-1>0,则a>1.

又由/'(%)=f'(x)可得x=a>1,即/(x)=%。与尸(久)=ax。一I的图象交点横坐标应大于1,显然C项不符

合，B,D项均符合.

故选：C.

2.(2024高二下•湖南娄底•学业考试)函数y=/的大致图像是()

【答案】A

【分析】根据募函数的特点即可求解.

【详解】根据幕函数的特点知选项A的图象为函数y=/的大致图像.

故选：A.

3.(2024•四川成都•模拟预测)设命题eR,使/(%)=(m-是募函数，且在(0,+8)上

单调递减；命题q:Vxe(2,+8),2，>x2,则下列命题为真的是()

A.pA(-iq)B.(-ip)AqC.pAqD.(-<p)Vq

【答案】A

【分析】根据特称命题与全称命题判断命题p,q的真假，从而可得“或”、“且"、“非”命题的真假得结

论.

【详解】对于命题p,当巾=2时，函数〃%)=%一1，是幕函数，且在(0,+8)上单调递减，故命题p为真命

题；

对于命题q,当％=3时，23<32,不满足V%E(2,+8),2%>/,故命题q为假命题.

所以"pA"q)"为真命题，“"p)Aq"为假命题，为假命题，“(」p)Vq”为假命题.

故选：A.

4.(2024•陕西西安•二模)下列函数中，既是奇函数又在(-8,+8)上单调递减的是()

Q

A.y=-1B.y=x5

C.y=—x\x\D.y=3T

【答案】c

【分析】A项，定义域不合题意；B项，单调性不符合；C项，先利用定义判断函数的奇偶性，由函数在［0,+8)

上单调递减，再结合奇函数图象的对称性可得；D项，特殊取值可判断不是奇函数.

【详解】选项A,y=:的定义域为(―8,0)u(0,+8),不符合题意，故A错误；

选项B,设/(%)=%3,定义域为R,

因为/(一工)=(一%)3=-X3=一/(%),

所以/(%)=/为奇函数，且在定义域上为增函数，故B错误；

选项C,设/(%)=-％|%］,定义域为R,

由/(一%)=x\-x\=x\x\=-/(%),故/(%)为奇函数，

当％之0时,/(%)=-%2,且/(%)=-广在［0,+8)上单调递减，

又因为函数图象关于原点对称，所以在(-8,+8)上单调递减，故C正确；

选项D,设f(x)=3T,则f(i)=3,

由/(一1)#—/(I),知/Xx)不是奇函数，故D错误.

故选：C.

5.(2024高三•全国•专题练习)已知ae{-2,-1,1,2万}.若累函数/(x)=比戊为奇函数，且在(0,+oo)

上递减，则a=—.

【答案】-1

【分析】由塞函数/(X)=X。在(0,+8)上递减得a<0,又由塞函数/(%)=X。为奇函数，验证即可求解.

【详解】因为幕函数/'(X)=%。在(0,+8)上递减，所以a=-2,-l,-i

又幕函数/(x)=/为奇函数，所以a=-1.

故答案为：-1

6.(2024高三•全国•专题练习)已知函数f(x)=loga(x-1)+3的图象经过定点4,且基函数g(x)的图象

过点A,则。(1)=—.

【答案】|

【分析】根据对数函数性质确定4点坐标，根据幕函数定义设9(久)=小,由条件求a,再求结论.

【详解】因为x=2时，/⑵=3,

所以函数/(久)恒过定点力(2,3),

设幕函数gO)=%a,代入点4坐标可得2a=3,

所以a=log23,

所以=x10g23,

所以g传)=©°&3=(2-1)10g23=210g23=

故答案为：|-

7.(2022高三•全国•专题练习)已知基函数y=/(x)的图象过点(4,2),令%=/(n+1)+/(>),〃eN*,

记数列因的前n项和为Sn,贝区5=_.

【答案】5

【分析】由题意，根据幕函数的定义可得以无)=4，进而工=SE-低，结合裂项相消求和法计算即

an

可求解.

【详解】设幕函数/(%)=%。，过点(4,2),

则2=4。，解得a=5所以f(汽)==«,

所以a九=f(n+1)+f(n)=Vn+1+y/n,

则工=---=----叵J诉-----=VnTl-Vn,

所以数歹lj{£}的前n项和为

Sn=/+/+—F^-=(V2—Vl)+(V3—V2)+—F(yjn+1—Vn)=Vn+1—1,

故S35=435+1—1=5.

故答案为：5

B能力提升

1.(23-24高三上•广东深圳・期末)已知实数码九满足(血++血=(n-I)3+n=0,则'=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【分析】根据题意可得，(7H+1尸+Hl+1=1,且(几-I)3+71-1=-1,构造函数/(久)=X3+X,贝行(%)

为单调递增的奇函数，可得m+l=-5—l),从而求解.

【详解】(m+I)3+m=(n—I)3+n=0,

(m+l)3+m+1=1,且(ri—I)3+n—1=—1,

令函数/(%)=x3+x,因为其定义域为R,且/(—%)=(―%)3+(―%)=—(%3+%)=—/(%),且y=x3,y=x

在R上均单调递增，

则/(%)为单调递增的奇函数，

且/(TH+1)=l,f(n—1)=-1,

m+1=—(n—1),即zn=­n,

显然znW0,・,.—=—1.

m

故选：A.

2.(2022•全国•模拟预测)设函数/0)=［，五°:”fl,,若/(a)=/(a+l),则/0=()

(2(%—l),x>1

A.-B.-C.2D.6

42

【答案】D

【分析】由题意可得出f(x)在(0,1)和(1,+8)上为增函数，则0<a<l,由/3)=/5+1)可得出。=；,

4

即可得求出的值.

【详解】易得/(X)在(0,1)和(1,+8)上为增函数，

0<a<1,/(a)=-Ja,所以f(a+1)=2a,

由/(a)=/(a+1)得=2a,解得a=1或a=0(舍去)，

WQ)=/(4)=6,

故选：D.

3

3.(23-24高三上•安徽•期中)函数/(久)=今三在［-2,2］上的图象大致为()

2田+1

【答案】B

【分析】根据题意，由函数八%)的解析式先判断在［-2,2］上的奇偶性，再利用特殊点求出的值，用排除法可

得答案.

【详解】因为/(—%)==一薪=S所以函数/(x)在区间［—2,2］上为奇函数，排除A,C；

当％=2时，/(2)=^=|>0,排除D,故B项正确.

故选：B.

4.(2024•陕西安康•模拟预测〉已知命题p：函数/(x)=%-病+馆在区间(0,+8)上单调递增，命题q：m<a,

若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是.

【答案】［L+8)

【分析】根据题意可得命题p：0<m<1,由p是q的充分不必要条件，可得(0,1)是(-叫a)的真子集，即可

得到答案.

【详解】因为函数/(%)=%一病+血在区间(0,+8)上单调递增，所以一62+7n>o,解得：0<znVl,又因

为p是q的充分不必要条件，贝!1(0,1)是(-8,口)的真子集，即a的取值范围是［1,+8)

故答案为：［1,+8)

「(1—0VXV2,

5.(2024•上海青浦•二模)对于函数y=/Q),其中/(%)=j2,若关于x的方程/(x)=kx

(--x-2

有两个不同的根，则实数k的取值范围是.

【答案】(0,()

【分析】将方程有两个不同的根，转化为函数图象有两个不同的交点，观察图象可得答案.

【详解】将函数y=/向右平移I个单位得到y=(%-1)3,

作出函数y=/(%)的图象如下：

要关于％的方程/(%)=依有两个不同的根，

则函数y=/(%)和函数y=依有两个不同的交点，

当丫=k%过点(2,1)时，fc=

所以当函数y=/(%)和函数y=々%有两个不同的交点时，0vk</

6.(2024•北京延庆•一模)已知函数/(%)=%«()v仇<1)在区间(_i,0)上单调递减，贝l］a的一个取值

为.

【答案】|(不唯一)

【分析】根据累函数的单调性奇偶性即可得解.

【详解】因为/(久)=<a<1)在(0,+8)上单调递增，又/(%)在区间(一1,0)上单调递减，

所以/(%)可以为偶函数，不妨取a=|,

此时/(%)=%3=函数定义域为％GR,

2.__________2

且/(一X)-(一%”=J(r)2=/(X),故/(X)=3为偶函数，

满足在区间(-1,0)上单调递减.

故答案为：|(不唯一)

7.(23-24高三上•宁夏吴忠•阶段练习)设〃行:卜夕'，**；11，若/(6)=/(爪+1)，则

陪)

【答案】14

【分析】解方程求得小的值，进而求得/(《).

【详解】/(%)=[/。R的增区间为口,+8),