利用导数证明不等式【十大题型】解析版-2025年新高考数学一轮复习

利用导数证明不等式专练【十大题型】

►题型归纳

【题型1直接法证明不等式】...................................................................2

【题型2移项构造函数证明不等式】............................................................5

【题型3分拆函数法证明不等式】..............................................................9

【题型4分析法证明不等式】..................................................................14

【题型5放缩法证明不等式】..................................................................19

【题型6指对同构1................................................................................................................26

【题型7隐零点法】..........................................................................31

【题型8双变量不等式的证明】...............................................................36

【题型9函数与数列不等式综合证明问题】.....................................................41

【题型10导数新定义的不等式证明问题】......................................................46

►命题规律

1、利用导数证明不等式

导数中的不等式证明是高考的常考题型，是高考的热点问题，常与函数的性质、函数的零点与极值、

数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目,

灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果.

►方法技巧总结

【知识点1导数中的不等式证明的解题策略】

1.导数中的不等式证明的解题策略

(1)一般地，要证/(x)>g(x)在区间(a,6)上成立，需构造辅助函数网x)=/(x)—g(x),通过分析网x)在端点

处的函数值来证明不等式.若尸(a)=0,只需证明尸(x)在(a,6)上单调递增即可；若F(b)=0,只需证明F(x)

在(a,6)上单调递减即可.

(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题.

2.移项构造函数证明不等式

待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用

导教研究其单调性等相关函数性质证明不等式.

3.分拆函数法证明不等式

(1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以

传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(X)min书(Mmax恒成立，从而於)W

g⑴恒成立.

(2)等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，e”与hu要分离，常构造X”与Iwc,X"与e、

的积、商形式.便于求导后找到极值点.

4.放缩后构造函数证明不等式

某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式

e，三x+1,1——1等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利

用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明.

【知识点2指对同构】

1.指对同构证明不等式

在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单

调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的

速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.

(1)五个常见变形：

xex=ex+inx,—=ex~lnx,^~=einx^x,x+ln.r=ln(xex),^—Inx=In-.

xex

►举一反三

【题型1直接法证明不等式】

【例1】(2024•江苏连云港•模拟预测)已知函数/(幻=ex-|x2-x.

(1)求函数/(久)在久=1处的切线方程.

(2)证明：VxG［0,+°°)/(x)>sinx.

【解题思路】(1)求导可得尸(1)=e—2,又f(l)=e—|,可求切线方程；

(2)求导得尸(尢)=e*—%—1,令h(%)=e%—%—1,再求导，进而判断h(%)=e%—%—1在［0,+8)上单调

递增，可得=ex—|x2—%在［0,+8)上单调递增，f(x)>f(0)=1,可得结论.

【解答过程】(1)由/(%)=e久一—久，可得/(%)=e^—%—1,

r(l)=el—1—1=e—2,又/(l)=e1-1xl2-l=e-|,

Q1

所以函数/(x)在久=1处的切线方程为y-e+f=(e-2)(%-1),即(e-2)x-y+1=0.

(2)由/(X)=ex-|x2-%,可得尸(x)=e%-x-1,

令h(x)=ex—x—1,可得/f(%)=ex—1,

当％G[0,+8)时，/iz(x)=ex—1>0,所以h(%)=ex—%—1在[0,+8)上单调递增,

又九(第)>h(0)=e°—0—1=0,即r(x)=ex—x—1>0,

所以/(%)=ex—1x2—%在[0,+8)上单调递增，

所以/'Or)>/(0)=e°-|x02-0=1,当万=0时，/(0)=1>sinO=0,

当%>0时，f(x)>1>sinx,

综上所述：VxG[0,+8)/(%)>sin%.

【变式1-1](2024•河北保定•三模)已知函数/(%)=/一。％+in%,%=1为/(%)的极值点.

(1)求。；

(2)证明:/(%)<2x2—4x.

【解题思路】(1)求导r(x)=2x—a+±由/(1)=0求解；

(2)转化为证%2—%—In%N0,^g(x)=x2—x—Inx,由g(%)mm之。证明.

【解答过程】⑴解：r(x)=2x-a+3

依题意，/'(I)=2x1—a+l=0,解得a=3,

经检验符合题意，所以a=3；

(2)由(1)可知，/(%)=x2—3%+Inx,

要证/(%)=x2—3x+Inx<2x2—4x,即证/—%—In%>0,

设g(%)=x2—x—Inx,则g'(%)=2%—1—1

所以当%w(0,1)时,g'(%)vo,g(%)单调递减,

当％c(L+8)时，>0,g(%)单调递增，

当％=1.时,g(%)取得极小值,也是最小值，

因为9(1)=0,g(x)>g(l)=0,

所以/(工)工2必—4%.

【变式1-2](23-24高三下•云南昆明•阶段练习)已知函数f(%)=%a—In%,a>0.

⑴求/(%)的最小值0(a)；

⑵证明：g^a)<a+^—1.

【解题思路】(1)对函数求导，判断导函数的零点情况，利用隐零点(设而不求)分析函数单调性并求出

最值，

(2)对g(a)函数求导，分析其单调性及最值，使得g(a)max<(«+--1).

amin

【解答过程】(1)f(久)的定义域为(0,+8),广(久)=a%aT—§=号，

1

令a就-1=0解得沏=G)",又因为当a>0时，丫=〃。一1为增函数，

故当x6(0,&)时,f'(x)<0,则/(x)在(0,久0)上单调递减;

当Xe(%0,+8)时，r(x)>0,则f(x)在(尤0,+8)上单调递增；

故/(x)min=/(%0)=XO-ln%0='—｝吗=故。⑷=

_x/、1+lna-八r-.,!,,、-Ina

(z2)g(a)=—,a>0,则g(a)=

故当ae(0,1)时，g'(a)>0,则g⑷在(0,1)单调递增;

当a6(1,+8)时，g'(a)<0,则g(a)在(1,+8)单调递减；

故g(a)max=g(l)=1.

又因为a+工？2IaX-=2,所以a+工一121(当且仅当a=1时，取"="),

a7aa

所以g(a)工

【变式1-3](2024•江苏徐州•模拟预测)已知函数/Q)=2/+x—ln(x+zn),mER.

(1)当爪=o时，求曲线y=/(%)在点(1)(1))处的切线方程；

(2)当爪<1时，证明：/(x)>0.

【解题思路】(1)利用导数的公式及运算法则求出在x=l时的导数，即得切线斜率，点斜式写出切线方程

即可.

(2)要证明的不等式含参时，且规定了参数的范围时，可以考虑先使用满参放缩，将含参的不等式转化为

不含参的不等式来证明.

【解答过程】(1)当m=0时，/(%)=2x2+x—Inx,r(x)=4x+l—

则尸(1)=4,又因为/(I)=3,

所以曲线y=/(%)在点(1/(1))处的切线方程为y—3=4(%—1),即4久-y-1=0.

(2)当znWl时，有ln(x+?n)Wln(x+1),所以一ln(x+m)2—ln(x+1),

因为/(%)=2%2+%-ln(x+m),

所以/(%)N2x2+%—ln(%+1).

令9(%)=2/+%—In(%+1)(%>—1),

则g'(x)=4x+l一击4/+5)x(4x+5)

x+1x+1

当一l<x<0时,g'(x)<0,g(x)在(—1,0)上单调递减；

当%>0时，g\x)>0,g(x)在(0,+oo)上单调递增.

所以g(x)>g(0)=0.

故/(x)>g(x)>0.

【题型2移项构造函数证明不等式】

【例2】(2024•广西•模拟预测)设函数/(%)=lnx+ax+6,曲线y=/Q)在点(1/(1))处的切线方程为

y=6x—3.

(1)求a力的值；

2

(2)证明:/(x)>-——1.

【解题思路】(1)由题意可得即可得解；

(2)构造函数g(x)=lnx+5x—1+专，利用导数求出函数g(x)的最小值，即可得证.

【解答过程】(1)函数f(x)的定义域为(0,+oo)，r(x)=§+a,

将x=1代入y=6x-3,解得y=3,即/(l)=3,

由切线方程y=6x-3,可知切线斜率/(1)=6,

故a+b=3,1+a=6,

解得a=5力=—2；

(2)由(1)知f(%)=In%+5%—2,

99

要证/(%)>———1,即证In%+5x—1+—>0.

2

设9(%)=Inx+5%-1+—,

则g，Q)=25：+厂2=所*2),

1?

令夕(%)=0,解得X=g,或乂=一二(舍去)，

当％e(o,g时,g'(x)<o,g(x)单调递减；

当％e（，+8）时，夕（汽）＞O,g（x）单调递增;

所以g(%)min=5(1)=2-ln5>0,

所以g(尤)>o,即/(X)>—卷7一1.

【变式2-1](2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/⑺=卷，g(x)-Inx.

⑴求;'(%)的极值;

(2)证明：xg⑸+2>exf(x)--.

【解题思路】(1)先求出/(%)的单调性，再根据单调性求得极值；

(2)构造h(x)=xg(x)+2—exf(x)+|=^\nx+2—x+|(x>0),求出其单调性进而求得最小值为假如),

证明仅孙)>0即可.

【解答过程】⑴••"(>)=\"0)=营，

当x<1时，f3>0,当X>1时，r(x)<0,

所以f(x)在(—8,1)单调递增，在(L+8)单调递减，

所以当X=1时，f(x)取得极大值：，无极小值.

(2)解：令h(久)=xg[x}+2—exf(x)+|=xlnx+2—x+|(x>0),

则〃(x)=Inx—^(%>0),

2

令r(%)=In%--(%>0),

则/(%)=|+^>0在久>0上恒成立，

所以丁(%)在(0,+8)上单调递增，

222

又丁(1)=Ini——=­2<0,r(e)=Ine——=1—0,

所以存在&€(l,e),使得r(%o)=O,

2

即In%。=系(%0£(i,e)),

所以久€(O,%o)时，r(x)<0,hf(x)<0,h(%)单调递减，

%€(&,+8)时,r(x)>0,h\x)>0,做%)单调递增,

2224

何久)min=以M)=^olnxo+2-x0+—=x0-^2+2-x0+—=2-x0+—(%0e(l,e)),

4

令m(x)=2-x+-(%e(l,e)),

则=-l-^<。在(l,e)上恒成立，

所以m(x)在(l,e)上单调递减，

~4

所以血(％)>m(e)=2—e+->0,

4

所以ZlQOmin=仅%0)=2—％o+高>0,

2

所以xg(x)+2>exf(x)-

【变式2-2](2024•陕西榆林•三模)已知函数/(久)=minx+尤2—乂/⑺的导函数为rQ).

⑴讨论/(久)的单调性；

2e*1

(2)当巾=1时，证明：f'(x+1)<+—+x-1.

【解题思路】(1)求导，根据判别式分类讨论，即可根据导数的正负确定函数单调性，

(2)将所证不等式等价变形后构造s(t)=詈，利用导数求解函数的单调性，即可求证.

【解答过程】(1)((%)=?+2x—1=空一(x>0),

当△=1一8mW0,即zn>5时，此时，「(X)>0,故/(X)在(0,+8)上单调递增.

当A=l—8m>0,即巾<:时，令『(万)=0,

则X1=上正亟,％2=1±正亟,

①当0<m<拊，久2>久1>o/(x)在(0,上苧蚂咛恒，+8)上单调递增，在(上咛近,1±苧范)上单

调递减.

②当mW0时，Xi<0<x2,f(x)在(0,生苧五)上单调递减，在(1+平丽,+8)上单调递增.

(2)证明：当m=l时，(0+1)=言+2%+1,

证原不等式等价于证(第+2)Vx+1<2ex,令原+1=t,

则方>0,且％=1,故只需证+1)42e/-i,即证花^<2,

人，、t3+tmi，/、t2+l-2t4

令s(t)=1Z?贝^("=>7-'

令0(0=产+1—214,则0，«)=2t—8t3=2t(l—4严)=2t(l+2t)(l-2t),

由于t>0,令。(t)>0,则0<t<，

,(t)在(0,9上单调递增，在G，+8)上单调递减.又9(0)=1,0(1)=o,

•••当te(0,1)时，s(t)>0,即s，(t)>o,当te(i,+8)时，R(t)<o,即s，(t)<0,

•1.S(t)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

t3+t

•1•S(t)max=S(l)=2,A百<2,

2e"i

所以，当zn=l时，f'{x+1)<+7TT+x-1,

【变式2-3](2024,上海松江•二模)已知函数y=%•In%+a(。为常数)，记y=/(%)=%•g(%).

(1)若函数y=g(%)在％=1处的切线过原点，求实数a的值；

(2)对于正实数3求证:/(%)+f(t—x)>f(t)—tin2+a；

(3)当Q=1时,求证：5(x)+cosx<p

【解题思路】(1)根据题意，得到g(W=ln%+*%>0,求得夕(%)=妥，结合导数的几何意义，求得切

线方程，将原点代入切线方程，即可求解；

xt

(2)设函数h(x)=f(x)>0,求得〃(x)=In二p求得函数h(x)的单调性和最小值为〃万)，得到

h(x)>h(1),即可得证；

1pX...1pX1

(3)根据题意，得到ln%+1<三一cos%,结合cos%E[―1,1],把转化为+1,设k(%)=ln%+、

-f+1,X>0,利用导数求得k(x)的单调性和最大值k(l)=2-e,即可得证.

【解答过程】(1)解：由题意，函数y=%」n%+a,且y=/(%)=%.g(%),

可得g(x)=号=Inx+%>0,则欧x)=§=签,

所以g，(l)=1-a,又因为g(l)=lnl+a=a,

所以g(x)在久=1处的切线方程为y=(1—a)(x—1)+a,

又因为函数y=g(x)在X=1处的切线过原点，可得0=(1-a)-(0-1)+a,

解得a=

（2）解：设函数九（*）=y（x）+y（t—x）,t>o,

可得力（久）=xlnx+（t—x）ln（t—%）+2a,其中0<x<t,

x

则九'（尤）=Inx+1—ln（t—x）—1=In—,

令"。)>0,可得六>1,即当>0,即告<0,解得!<x<t,

'/L"L—XX-LZ

Xt

令九'(汽)V0,可得0<二<1,解得Ov%<5，

所以g)在(/)上单调递增，在(0/上单调递减,

可得九(%)的最小值为九6),所以叔%)2/16),

又由九⑥=/(1)4-f(t—1)=tln|+2a=/(t)-tln2+a,

所以f(%)+/(t-%)>/(t)—tln2+a.

(3)解：当a=l时，即证ln%+^V^—cos%,

XX

由于cosxe[—1,1],所以£—COS%2?-L,只需证9

令k(x)=In%+：—亍+1,%>0,只需证明k(%)<0,

1一吟。-

又由〃(%)=-(11)

x2x2X2

因为％>0,可得1—e久<0,令上(%)>0,解得0<%<1；令2(X1<0,解得％>1,

所以做久)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以k(x)在尤=1处取得极大值，也时最大值，所以k(Wmax=k(l)=2—e<0,

即k(x)<0,即a=1时，不等式g(x)+cosx<亍恒成立.

【题型3分拆函数法证明不等式】

【例3】(23-24高三上•广东•阶段练习)己知函数/(x)=axe，(a片0).

⑴讨论f(x)的单调性;

(2)当a2白时，证明:^-(x+l)lnx>0.

【解题思路】(1)求导，分为a>0,a<0两种情况讨论广(%)的正负，得出f(x)的单调性；

(2)对要证的不等式进行等价变形得短2>3，构造函数g(x)=羡2,以幻=号，通过导数研究两个

I人_LJ%［儿丁-1-JX

函数的最值，证得结论.

【解答过程】(1)由题意可得((%)=a(x+l)ex.

则a>0时，由尸(工)>0,得x>—1,由r(x)<0,得x<—1,

则f(%)在(一8,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增；

当a<0时，由尸(尤)<0,得万>—1,由((£)>0,得X<—1,

则f(久)在(一8,-1)上单调递增，在(一1,+8)上单调递减.

(2)因为％>0,所以茎>0.

因为所以署'—(久+1即久2(x+l)lnx.

要证借—(x+l)lnx>0,即证有子―(x+l)lnx>0,即证篇竽

A-T-_L人十_LI人-1-xj4

设g(%)=费3，则g'O)=*V

当(0,1)时,g'(x)<0,当xe(i,+8)时，g'(x)>0,

则9(式)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

故gO)min=9(1)=7

设仅工)=竽，则"(%)=号竺

当xe(0,e)时，h:(x)>0,当Xe(e,+8)时，h:(x)<0,

则h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.

故h(%)max=%(e)=p

因为9(X)min=h(Wmax，且两个最值的取等条件不同，

所以等，

即当a2(时，^g-(x+l)lnx>0.

【变式3-1](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=a%—ln%,aER.

(1)若函数F(%)=/(%)—必有两个极值点，求a的取值范围；

(2)若曲线y=/(x)在点处的切线与y轴垂直，求证：/(x)<ex+^.

【解题思路】(1)根据条件知，F'(x)有两个正的变号零点，即方程—2/+ax—1=0有两个不相等的正实

根，有A>0及韦达定理得到不等式，解出后验证即可；

(2)根据条件rg)=0,可求得a=e,不等式转化为ex—e，<In%+白，利用导数考察不等式左右两边函

数的最值即可证明.

【解答过程】(1)由题，F(x)=ax—\nx—x2,

函数的定义域为(0,+oo),

F(x)=a-^-2x=-2亡奴—&>0),

因为F(x)有两个极值点，

所以方程一2/+ax-l=0有两个不相等的正实根，

设为乂1，%2，且得％1+乂2=5>0，

且A=a2—8>0,得a>2«.

当0<x</时,尸口)<0,尸Q)单调递减;

当小<无<冷时，F'(x)>0/(%)单调递增；

当x>“2时，F'(x)<O,F(X)单调递减.

所以尸(X)在久=X1处有极小值，在X=X2处有极大值，

因此a的取值范围是(2鱼,+oo).

(2)因为f(x)=ax—Inx,则尸(%)=>0),

由题意知/'G)=e(2—1)=0,得a=e,

故/'(%)=ex—In%,所以/(%)<e"+2，

即e无一lnx<eX+2，

x

即ex—e<In久+—ex.

令9(%)=ex—ex(x>0),则g'(x)=e—ex,

当久>1时,g'(x)<0应(%)单调递减，

当0<%<1时，g<%)>0应(%)单调递增,

所以g(%)max=g(l)=e-e=0.

令九(%)=Inx+2，则"(%)=震>

当久>(时,〃(久)>0,h(%)单调递增，

当0<%V|■时，"(、)<0,九(%)单调递减，

所以/l(x)min==ln^+1=0.

显然9(%)与假%)不同时为0,

xx

所以e%—e<In%+—ex,故'/(、%)J<e+—ex.

【变式3-2](2024•广西柳州•三模)已知函数/(%)=

(1)求函数f(x)在点(1)(久))处的切线方程；

(2)求函数/(久)的单调区间；

(3)若尸(%)为/(%)的导函数,设g(x)=(/+%)尸Q).证明：对任意x>0,g(x)<l+e-2.

【解题思路】(1)求导，可得切点处的导数值，即可求解直线方程，

(2)求导，判断导函数的正负即可求解函数单调性，

(3)构造函数/(x)=1—x—xlnx和G(x)=e，一(%+1),利用导数求解函数的单调性，进而可求解最值,

即可求证.

【解答过程】(1)r(x)==上*,

、'(ex)2ex

/3=0/⑴=3

函数/(x)在点(1/(1))处的切线方程为：y=|.

(2)函数f(x)的定义域为(0,+8),

令3)=^-l-lnx,/i,(x)=一,一§=一竽

当%>0时，"(X)<0,故九⑴在(0,+8)单调递减，

/i(l)=0,

・•・当0V%V1时，h(x)>0/(%)>0/(%)单调递增,

当%>1时,h(x)<0/(%)<0/(%)单调递减，

・・・/(%)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+co).

(3)g(x)=(/+x)f(x)=(x2+旷：y=2T=攀(1-X-xlnx),

令F(%)=1—%—%ln%尸(%)=—2—Inx,

当0<%<e-2时，尸(%)>0/(%)单调递增;当％Ae-2时，尸(%)V0,尸(%)单调递减,

・•・F(x)<F(e-2)=1+e-2,

令G(%)=ex—(x+=ex—1,

当%>0时,C(%)>0,G(%)单调递增,故GQ)>G(0)=0,

•••9(%)=^-(1—%—xlnx)<1+e-2.

【变式3・3】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=”2久+Q—2)e%—2a%.

(1)若曲线y=f(x)在(0,a—I)处的切线方程为4ax+2y+1=0,求a的值及/(久)的单调区间.

(2)若/'(X)的极大值为f(ln2),求a的取值范围.

ro

(3)当a=0时，求证：/(%)+59一万>产2+x]n：r.

【解题思路】(1)求导，根据点斜式求解切线方程，即可与4依+2丫+1=0对比可得。=1,即可利用导

数的正负确定函数单调性，

(2)求导得广(乃=(a+a)(e，—2),即可对a分类讨论求解导数的正负求解单调性，

(3)将不等式变形为只需要证明表2才+2ex—2x2—|>xlnx—ex—|x2,构造函数h(x)=1e2x+2ex—2x2—

I，利用导数求证h(x)>0,构造函数3=等和00)=\+3,利用导数分别证明9(%)>t(x)，即可求证

-1

0>x\nx—ex--x2,进而可求解.

【解答过程】⑴由题意，得广(久)=e2%+(q—2)e%—2a,所以/，(())=—a—1.

因为曲线y=/(%)在(0,a―?)处的切线方程为y—(a—=(—CL—1)%,

又4ax+2y+1—0,所以-2a=—a—1,所以a1.

所以(0)=e2x-ex-2=(ex-2)(ex+1).

令『(%)<0,得x<ln2；令尸(无)>0,得x>ln2.

所以函数f(x)的单调递减区间是(一8,In2),单调递增区间是(ln2,+oo).

(2)由题意得/(%)=e2x+(a—2)ex-2a=(ex+a)(ex—2).

当a20时，令r(x)>。，得％>ln2；令尸Q)<0,得x<ln2.

所以f(x)在(—8,ln2)上单调递减，在(ln2,+8)上单调递增，此时f(x)只有极小值，不符合题意.

当a<0时，令/(x)=0,得Xi=ln2,x2=ln(—a).

因为/'(x)的极大值为/(In2)，所以ln2<ln(-a),解得a<-2.

综上，a的取值范围为(一8,—2).

(3)当a=0时，/(%)=|e2^-2ex.

要证/(%)+5ex—|>|x2+xlnx,即证+2ex—|x2—|>xlnx—ex,

只Wffi|-e2x+2ex—2x2—|>xlnx—ex—^x2.

先证：1e2x+2ex—2x2—|>0,%>0.

=|e2x+2ex-2x2—%>0,贝""(%)=e2”+2e”—4%.

设m(%)=e2x+2ex—4%,%>0,则方(汽)=2e2x+2ex—4=2(ex—l)(ex+2)>0.

所以函数m(%)在(0,+8)上单调递增，则m(%)>m(0)=3>0,即勿(%)>0,

1r

所以函数h(%)在(0,+8)上单调递增，则九(%)>h(0)=0,所以”2久+2廿一2"—万>o.

1cIT1Va%1

x2

再证：xlnx—e--2xx<0,xzx>20,即证一<—+

设t(x)=等，则«久)=空.

当xe(o,e)时,r(x)>0,t(x)单调递增:

当xe(e,+8)时，r(x)<0,t(x)单调递减.所以®)<t(e)=

设0(%)=^+px>0,则”(久)=(x~3)e-

当xe(0,2)时，。(%)<0,0(x)单调递减；当xe(2,+8)时，<p'[x)>0,0(%)单调递增.

所以0(%)2尹(2)=(+：.所以号■<9+岸*+2，即等,

综上，|e2z+2ex—2x2—|>xlnx—ex—得证.

故/'(x)+5ex—|>|x2+xlnx.

【题型4分析法证明不等式】

【例4】(2024•吉林•模拟预测)已知函数/(%)=(/—q%—a)e%.

(1)当。=0时，求函数/(%)的极值；

(2)求证：当0<aV1,%>0时，f(x)>六\

【解题思路】(1)对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值；

(2)对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，求出/(%)min=—四。，然后将问题转化为证一ae。

>匕，证法一：转化为证(1一a)e。<1,构造函数g(a)=(1—©e。,。<aV1,利用导数求其最大值小于

1即可，证法二：转化为证e。+三<0,构造函数八(a)=e°+三,0<a<1,利用导数求其最大值小于0

即可.

【解答过程】(1)当a=0时，/(%)=x2ex(xER)

f'(x)=(%2+2x)ex=x(x+2)ex

令/(%)=0得％=0或%=—2,当%变化时，/(%)与/(%)变化如下表：

X(-8,-2)-2(-2,0)0(0,+00)

+0—0+

4

单调递增单调递减0单调递增

e2

故当X=—2时，f(x)取得极大值不当久=0时，/⑶取得极小值0

(2)/'(%)=[x2+(2—a)x—2a\ex=(%+2)(%—d)ex,x>0

v%>0%+2>0

令/'(%)=0,则％=0当%变化时，/。)与/(%)变化如下表:

X(0,a)a(a,+8)

f(x)—0+

/(X)单调递减—aea单调递增

故/(%)min=f(a)=~aea.

要证当0VQV1,%>0时，/(%)>念\

证法一：只需证当0<。<1时，一即(1—a)e。<1(*)

aa

令9(。)=(1-a)e,0<a<l,则夕(a)=-ae<0f・•.g(a)在(0,1)上单调递减

故g(a)<g(o)=L即(*)式成立，原不等式成立.

证法二：只需证当0<”1时，-aea>三即ea+三<0(*)

令h(a)=e。+三,0<a<1,则"(a)=e。一

令m(a)=(a—l)2ea—1,0<a<1,则nT(a)=(a2—l)ea<0

•••m(a)在(0,1)上单调递减.

•••小⑷<m(0)=0,/i'(a)<0

•1.h(a)在(0,1)上单调递减，h(a)<h(0)=0

即(*)式成立，原不等式成立.

【变式4-1](2024•西藏•模拟预测)已知函数/1(%)=久皿％+1)+ax(aeR).

(1)若久久)在定义域内是单调函数，求a的取值范围；

(2)若f(x)有两个极值点X1，x2,求证：%1+%2>0.

【解题思路】(1)分/(%)在定义域内是单调递增函数和单调递减函数求解；

1

(2)由/(x)有两个极值点X1，%2>得到a>o,且％1，*2是g(x)=ln(x+1)-苗一2x+1+a=0的两个根，

由(1)知g(x)在(—1,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，不妨设—1<小<0<尤2，将证%1+%2>。，

转化为证0<9(—打)即可.

【解答过程】(1)解：函数/'(%)的定义域是(一1,+8),/(%)=ln(x+l)-击一2x+l+a.

①若/(W在定义域内是单调递增函数，

则(Q)=ln(x+1)一5一2久+1+a2。在(一1,+8)上恒成立.

注意到ln(%+1)<%,当且仅当％=。时取等号，

1

所以广(%)=ln(x+1)—^-—2%+l+a<x—2x+l+a=—x+1+a,

若1+aN—1,即当QN—2时，取%o>1+a,则/'(%o)V—%O+1+Q<O；

若l+a<-1,即当aV—2时，取>—1,则/'('0)V—%o+l+a<O,

所以广。)=叭％+1)一击-2%+1+a>0在(一1,+8)上不可能恒成立，舍去.

②若/(%)在定义域内是单调递减函数，则/。)=ln(%+1)一目-2%+1+a<0在(一1,+8)上恒成立.

令9(%)=1n(%+1)一・―2%+1+a,

mi,/、11——2x2—3%—x(2x+3)

则g(%)=+证》-2=市声=>_i),

所以当一1<%<0时，g'(x)>o,g(x)在(一1,0)上单调递增；

当久>0时，g'(x)<o,g(x)在(0,+8)上单调递减,

所以g(x)max=g(0)=a，所以由尸(x)w0恒成立，得a40,

即当f(x)在(一1,+8)上单调递减的，a的取值范围是(一8,0].

综上，当/(%)在定义域内是单调函数时，a的取值范围是(一8,0].

(2)由(1)知f(x)在定义域内是单调函数时，必有aWO,

所以/'(x)有两个极值点”1，尤2，必须a>。，

X1,久2是g(x)=ln(x+1)---2x+1+a=。的两个根，

所以g(xi)=g(%2)=。，a=—ln(x+1)+~+2x—1.

由(1)知g(x)在(一1,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减.

不妨设一1<打<0<冷.

要证X1+%2>0，即证％2>—%1.

因为一X1>O,X2>0,所以亦即证g(%2)<9(—%1)，所以要证o<—

1

注意到g(—=ln(—巧+1)-+20+1+a,

=ln(-%1+1)-_：+i+2巧+1+1)+^Y+2%I-1,

=1中+=+二+4小，

令G(%)=ln宗+击+±+4x,xe(_l,0),则昌5?>1,

211—4

所以GZ(X)=(x+l)(x-l)-(x+l)2-(x-l)2+4=(x+l)2(x-l)2+4<°，

所以G(x)=lng+W+SY+4X在(—1,0)上单调递减，

所以G(x)>G(0)=0,所以/+x2>0.

【变式4-2](2024•河北•模拟预测)已知函数/(*)=aln久一乂

⑴讨论/(久)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(%)<-1,

【解题思路】(1)先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对a进行a<0和a>0的分类讨论导数正负

即可得单调性.

(2)证/(%)W-1=f(x)maxW(£)-1>故问题转化成证alna-aW(2)-l(a>0)=1的)-(1)

+1<0,接着构造函数g(x)=lnx-x+1(%>0)研究其单调性和最值即可得证.

【解答过程】(1)由题函数定义域为(0,+8),r(x)=?—1=?，

故当a<0时，/(幻<。恒成立，所以函数f(x)在(0,+8)上单调递减；

当a>0时，/(%)在(0,+8)上单调递减，令尸(x)=0=x=a,

则xe(0,a)时，f(x)>0；xe(a,+8)时，f(%)<0,

所以函数f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+8)上单调递减，

综上，当aWO时，函数/(x)在(0,+8)上单调递减；当a>0时，函数/(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+8)

上单调递减.

(2)由(1)当a>0时，函数/(久)在(0,a)上单调递增，在(a,+8)上单调递减，

故/(*)</(a)=alna—a在(0,+8)上恒成立，

故证/(久)<-l(a>0)=证alna—aWg)—l(a>0),

即=ln(9<(1)-l(ct>O)Qln(?)-(?)+1<0,

令g(x)=\nx—x+l(x>0),则J(x)==与(久>0),

故当％e(0,1)时,g'O)>0；xe(L+8)时，g©)<0,

所以g(x)在(o,i)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以g(x)<5(1)=0在(0,+8)上恒成立，故1no-似+1<0,

所以当a>0时，/(%)<©a-l.

【变式4-3](2024•宁夏吴忠・模拟预测)已知函数/'(X)=ae^-x—|(aeR).

(1)讨论f(%)的单调性;

(2)证明：当@>0时，/(%)>21na—a2.

【解题思路】(1)求导后，结合导数正负与单调性的关系，分QW0及。>0讨论即可得；

(2)原问题可转化为证明当a>0时，a2—|-lna>0,构造函数g(a)=小一^一]口。(。>0)后，利用导数

可得该函数的单调性，即可得其最小值，即可得证.

【解答过程】(1)由题意知((%)=。a一1,

当aWO时，/(%)<0,所以/(汽)在(-8,+8)上单调递减；

当Q>0时，令((%)<0,解得％<—Ina,

令广(第)>0,解得%>-Ina,

所以/(汽)在(一8,一Ina)上单调递减，在(一Ina,+8)上单调递增

Q-I

(2)由(1)得f(%)min=/(—Ina)=ae—ma+]na—万=Ina一万，

要证f(%)>21na—a2,即证Ina—g>21na—a2,即证M—1—Ina>0,

令g(a)=a2—|—lna(a>0),贝！Jg<a)=2a—：=2a^~~,

令g'(a)V0，解得。VaV乎，令g'(a)>0，解得Q>

所以9(a)在(0,乎)上单调递减，在(孝,+8)上单调递增，

所以g(a)min=g(乎)=(5)In苧=lnV2>0,

则g(a)>0恒成立，

所以当Q>0时，/(%)>21na—a2.

【题型5放缩法证明不等式】

【例5】(2024•山东•模拟预测)已知函数/⑶=即，(速—喈X+2/*n+3),其中山40.

(1)求曲线y=/(尤)在点(2/(2))处切线的倾斜角；

(2)若函数f(%)的极小值小于0,求实数m的取值范围；

(3)证明：2ex—2(%+l)lnx—%>0.

【解题思路】(1)利用函数乘法求导法则来求函数f(%)的导函数并因式分解得广(%)=e3(%—2)

(mx—m—1),即可求出k=r(2)=0,从而可求得切线的倾斜角为0；

(2)对参数m分四种情形mV0,0<m<1,m=1,血>1进行讨论单调性，从而得到极小值小于0,来

求出实数6的取值范围；

(3)要证明不等式2d—2(x+l)lnx—%>0,利用放缩思想对e，>必和1>手进行代换，结合分析法证

明，把原不等式最后转化为新的不等式％-Inx-1>0,再构造函数进行求最值证明.

mx

[解答过程】(1)由/'(久)=me(x2—誓x+2*音+3)+e^(2x-喋)=e^(x-2)(mx-m-l),

所以k=,(2)=e2m(2m-m-1)(2-2)=0,

设曲线y=f(x)在点(2/(2))处切线的倾斜角为a,贝=tana=0,

又因为ae[0,?r),所以a=0,

所以曲线y=/(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为0.

(2)由(1)知((%)=eg(x—2)(mx—m—1)=0,且m70,解得：乂=2或工=1+[,

当爪<0时，xe(—8,i+\),f(x)<0,xe(i+\,2),f'(x)>0,xe(2,+8),f(%)<0,

所以f(x)在(—8,1+')上单调递减，在(l+\2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

所以小⑶极小值=/(1+0=即+中1+J—誓(1+^)+^^\=酬+】黑<°，解得巾<T，

所以m<-1；

当0<小<1时，x£(-oo,2),f(%)>0,%e(2,l+\),f'[x)<0,xe(l+i,4-oo),/'(x)>0,

所以f(x)在(—8,2)上单调递增，在(2,1+3)上单调递减，在(1+，+8)上单调递增，

所以/⑶极小值=f(i+9=+J-誓a+9+笔产卜酬+】黑>°，

即此时极小值不可能小于0,所以当0VmV1时不符合题意；

当?n=1时，/(%)=ex(x—2)2>。恒成立，

所以f(x)在(-8,+8)上单调递增，即函数f(x)无极值，不满足题意，

所以当加=1时不符合题意；

当m>l时，-00,14-1),f'(x)>0,xe(l+\,2),f'(x)<0,xe(2,+00),f(%)>0,

所以f(x)在(一81+9上单调递增，在(1+)2)上单调