利用导数研究不等式能成立（有解）问题（原卷版）-2025年高考数学一轮复习精讲精练知识·题型·分层

第05讲利用导数研究不等式能成立(有解)问题

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................2

第三部分：高频考点一遍过............................................3

高频考点一：分离变量法...........................................3

高频考点二：分类讨论法...........................................4

高频考点三：等价转化法...........................................6

高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题.........................8

高频考点五：值域法解决双参等式问题..............................10

第四部分；新定义题.................................................12

第一部分：基础知识

1、分离参数法

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数,

另一端是变量表达式的不等式；

步骤：

①分类参数(注意分类参数时自变量X的取值范围是否影响不等式的方向)

②转化：3xeD,使得a>/(x)能成立oa〉/(x)mm；

使得a</(x)能成立oac/CxOmax.

③求最值.

2、分类讨论法

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以

考虑二次项系数与判别式的方法(a>0,A<0或a<0,A<0)求解.

3、等价转化法

当遇到了(x)2g(x)型的不等式有解(能成立)问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数

R(x)=f(x)—g(x)或者“右减左”的函数H(x)=g(x)—/(X),进而只需满足。(X)max20,或者

”(X)min<0,将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.

4、最值定位法解决双参不等式问题

⑴3%!eA,V%使得/(玉)"。2)成立O/(Xl)max2g(X2)max

(2)Vx；eA,川使得/(xjNg®)成立O/(X1)mm2g<>2)mm

(3)骂eA,川e5,使得/(%；)>g(x2)成立o>g(x2)mm

(4)V%1eA,Vx2e5,使得/(X])>g®)成立Of(x^m[n>g(x2)max

5、值域法解决双参等式问题

eDt,3X2eD2，使得/(xj=g(%)成立

(1)eDx,求出/(占)的值域，记为A={/(%)|玉e°}

求出()的值域，记为B=々

②3X2eAg0{g(%)Ie2}

③则A。3,求出参数取值范围.

第二部分：高考真题回顾

1.(2021•天津•高考真题)已知a>0,函数/1(£)=ot-xe".

(|)求曲线y=/(x)在点(。/(。))处的切线方程：

(II)证明了a)存在唯一的极值点

(III)若存在a,使得了(x)v“+》对任意xeR成立，求实数6的取值范围.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：分离变量法

典型例题

例题1.（2024・四川宜宾•二模）已知不等式axe，+x>l-lnjc有解，则实数。的取值范围为（）

A.B.。•14）卜*j

例题2.（23-24高二下•江西景德镇•阶段练习）已知函数/■（尤）=lnx+2依，若g（x）=〃x）-2/，不等式

g（尤）2-1在［1,+co）上存在实数解，则实数a的取值范围_____.

例题3.（2024・福建泉州•模拟预测）（1）已知xe-,1,求/（力=的最大值与最小值；

_乙_X

（2）若关于x的不等式存在唯一的整数解，求实数。的取值范围.

例题4.（23-24高三上•青海西宁•期末）已知函数/（x）=e*-x-l.

⑴证明：/（x）>0.

（2）若关于％的不等式ax+21nx+12%%*有解，求。的取值范围.

练透核心考点

1.（2024•吉林延边•一模）若对任意xe（e,心），存在实数4,使得关于彳的不等式ln（x-e）+Xx+120成

立，则实数力的最小值为.

2.(2024高三•全国•专题练习)已知函数〃x)=lnx-2依+1,若存在x>0,使得〃力20,则实数。的取

值范围_____.

3.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(x)=ox—e%aeR),g(x)=_,若±0e(0,+8),使不等式

/(尤)<g(x)-e"成立，求。的取值范围.

4.(2023高三・全国•专题练习)已知函数/⑺二兄叱原〉。).

(1)求函数Ax)的极值；

⑵若存在无e(0,+⑹，使得"MW：*'竺匚3成立,求实数式的最小值.

高频考点二：分类讨论法

典型例题

例题1.(23-24高二上•福建福州・期末)已知关于工的不等式2x/(x+l)e，>0解集中恰有3个不同的正整

数解，则实数上的取值范围为()

「311(41、<431「83\

人•［浜•B.［/，JC［七虫。.［豆，引

例题2.(2024高三・全国・专题练习)已知函数『(x)=eJx.

⑴求函数〃x)的极值；

(2)若对任意x>0,/(x)>1■办2+1有解，求a的取值范围.

2

例题3.(23-24高二下■重庆泰江•期中)已知函数"X)=-(aeR),g(x)=%-2mx+A-(meR).

⑴若函数〃x)在x=2处的切线方程为、=尤+6,求实数。与6的值；

⑵当”=1时，若对任意的西e[l,2],存在使得/a)2g(z),求实数〃?的取值范围.

例题4.(2024•四川泸州•二模)已知函数/(尤)=2/—也2+2(口>0).

(1)求曲线尸〃力在点(0,〃0))处的切线方程；

⑵若为e[T』，|/(x)性3,求实数a的取值范围.

练透核心考点

(1h

1.(23-24高二下・江苏泰州•期中)若Vx>0,不等式lnx+2+3N6(a>0)恒成立，则一的最大值为()

xa

234

A.eB.eC.eD.e

2.(2023高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=；f-alnx,g(x)=-"i(aeR),若在U,e]上存在一点看,使

得了(xo)<g(x。)成立，求。的取值范围.

3.(23-24•吉林长春•模拟预测)已知函数/("=产-依-1.

⑴当。=1时，求〃x)的单调区间与极值；

⑵若〃尤)4V在xe[0,y)上有解，求实数。的取值范围.

I-Z7

4.(23-24高三上•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习)已知函数4x)=alnx+w-x2-MaeR).

⑴若。=2,求函数f(x)的单调区间；

(2)若存在％21,使得了伉)＜二，求。的取值范围.

a-1

高频考点三：等价转化法

典型例题

例题1.(2024•浙江•模拟预测)已知函数〃x)=g+2/,g(x)=2m-]nx,若关于尤的不等式Vxg(x)

有解，则优的最小值是.

例题2.(2024•江苏•一模)已知函数/(耳=光----2x(x>0),函数g(x)=-尤?+3融一片-3。(。eR).

x

(I)若过点0(0,0)的直线/与曲线y=相切于点P,与曲线y=g(x)相切于点Q.

①求。的值；

②当尸,Q两点不重合时，求线段P。的长；

⑵若切>1,使得不等式八%)4g(%)成立，求。的最小值.

例题3.(23-24高二下•海南省直辖县级单位•期中)已知/(x)=2xlnx,g(x)=—Y+分一3.

⑴求函数〃x)的最小值；

⑵若存在xe(O,y),使/(x)Wg(x)成立，求实数a的取值范围；

练透核心考点

1.(23-24高二下•北京•期中)已知函数〃x)=xlnx,g(x)=-f+6-3.

(1)求〃x)的单调区间；

⑵若存在xeJ,e(e是常数，e=2.71828…)使不等式"(x)Ng(x)成立，求实数a的取值范围.

2.(2023•河北承德•模拟预测)已知函数/(元)=(xt-41nx.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若e'T+』N#(x),求实数。的取值范围.

X

3.(23-24高二下•山东聊城•阶段练习)已知函数/(x)=丘，伏eR,尤eR)

(1)若左>0,且对于任意xNO,/(x)>0恒成立，求实数左的取值范围；

⑵令g(x)=e，21nx,若至少存在一个实数与e[l,e],使/(/)<g(尤。)成立，求实数左的取值范围.

高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题

典型例题

例题1.(23-24高三上•福建莆田•期中)已知函数/(力=皿.

X

⑴当时，求函数的最小值；

(2)若g(x)=，Y+3x-a,且对“小卷，都居e[0,2],使得小)海仁)成立，求实数。的取值范围.

例题2.(2023高三・全国•专题练习)已知函数，(%)=------+«lnx,其中参数。＜0.

x

(1)求函数“X)的单调区间；

⑵设函数g(x)=2f1⑺-#(%)-3a(a＜0),存在实数占e[l,e]，使得不等式2ga)＜g(%2)成立，求

。的取值范围.

例题3.(2023高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=lnx-£ix+^---l(«eR).

(1)当。＜。＜；时，讨论的单调性；

(2)设g(x)=x?—2阮+4.当〃=:时，若对V%e(O,2),叫41,2],使〃占)*(三)，求实数6的取值范围.

练透核心考点

1.(23-24高二下•四川绵阳•期中)已知函数/(尤)=3/+/+6.

⑴若函数/(X)在区间(-2,+co)上单调递增，求实数。的取值范围；

⑵若函数g(无)=三，对内e-,1,3x2e-,2,使得八%)4g(%)成立，求实数。的取值范围.

e2\_2一

2.(2023高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=----+<Awc,其中参数a<0.设函数

g(x)=l^fXx)-xf{x)-3a(a<0),存在实数为,无2^口4],使得不等式2ga)<g(x?)成立，求a的取值范

围.

3.(23-24高二下•甘肃张掖•阶段练习)已知函数/(x)=2sinx-xcosx-x"'(x)为〃x)的导数.

⑴求曲线y=在点A(0J(0))处的切线方程；

(2)g(x)=d—2x+a(aeR),若对任意石«0,旬,均存在使得/&)>g(尤))，求实数。的取值

范围.

高频考点五：值域法解决双参等式问题

典型例题

例题1.(23-24高一下•河南•阶段练习)已知函数〃*=坨12-日+V/eR)和函数

g(x)=2sin2x+2^sinxcosx.

⑴当xe(l,m)时，满足不等式〃x)>0成立，求实数上的取值范围；

⑵若函数行)在[1,+8)上单调递增，且对于任意玉e[3,4],总存在尤2e0谭,使得85)=/(为)成立,

求实数上的取值范围.

例题2.(23-24高一上•辽宁辽阳•期末)已知函数f(x+2)=3x—2.

⑴求](尤)的解析式;

2「1一

(2)若函数g(x)=；+a,%e[0,2],3x2e-,2,f{xl)=g(x2),求4的取值范围.

例题3.(23-24高一上•河北石家庄•阶段练习)己知函数/(x)=/-(a+3)x+6(aeR)

⑴当a=2时,解不等式20；

(2)己知g(x)=m+7-3M,当。=1时，若对任意的再e[1,4],总存在%e[1,4],使"%)=g(%)成立,求

实数机的取值范围.

练透核心考点

1.(23-24高一上•江苏镇江•阶段练习)己知函数/(x)=log2X.

(1)求不等式/(x+2)>2/(x)的解集.

(2)记g(x)=4'+依,对％总叫e[2,32