立体几何必考经典解答题全归类（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点22立体几何必考经典解答题全归类【十大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1立体几何中的体积问题】...............................................................4

【题型2立体几何中的线段长度问题】..........................................................5

【题型3空间角问题】.........................................................................7

【题型4空间点、线、面的距离问题】..........................................................9

【题型5立体几何中的作图问题】..............................................................11

【题型6立体几何中的折叠问题】..............................................................14

【题型7立体几何中的轨迹问题】..............................................................16

【题型8立体几何中的探索性问题】............................................................17

【题型9立体几何建系繁琐问题(几何法)】...................................................20

【题型10新情景、新定义下的立体几何问题】..................................................21

►命题规律

1、立体几何必考经典解答题全归类

空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，属于高考

的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个

空间几何体为依托，分步设问，逐层加深；第一小问主要考察空间线面位置关系的证明，难度较易；第二、

三小问一般考察空间角、空间距离与几何体的体积等，难度中等偏难；空间向量作为求解空间角的有力工

具，通常在解答题中进行考查，解题时需要灵活建系.

►方法技巧总结

【知识点1空间几何体表面积与体积的常见求法】

1.求几何体体积的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.

2.求组合体的表面积与体积的一般方法

求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该

怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单

几何体的体积，再相加或相减.

【知识点2几何法与向量法求空间角】

1.几何法求异面直线所成的角

(1)求异面直线所成角一般步骤：

①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；

②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；

③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；

④取舍：因为异面直线所成角。的取值范围是(0,。],所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面

直线所成的角.

2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)注意两异面直线所成角的范围是(。，y],即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的

绝对值.

3.几何法求线面角

(1)垂线法求线面角(也称直接法)：

①先确定斜线与平面，找到线面的交点3为斜足；找线在面外的一点/,过点N向平面a做垂线，确定

垂足O-,

②连结斜足与垂足为斜线在面a上的投影；投影8。与斜线之间的夹角为线面角；

③把投影与斜线归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形.

(2)公式法求线面角(也称等体积法)：

用等体积法，求出斜线为在面外的一点尸到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.

公式为：sin6=},其中6是斜线与平面所成的角，〃是垂线段的长，/是斜线段的长.

4.向量法求直线与平面所成角的主要方法：

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补

角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余

角就是斜线和平面所成的角.

5.几何法求二面角

作二面角的平面角的方法：

作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,

再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

6.向量法求二面角的解题思路：

用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角

的大小.

【知识点3空间距离的求解策略】

1.向量法求点到直线距离的步骤：

(1)根据图形求出直线的单位方向向量；.

(2)在直线上任取一点M可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量加.

(3)垂线段长度.=y/MN2~(MN-v)2.

2.求点到平面的距离的常用方法

(1)直接法：过尸点作平面a的垂线，垂足为°,把放在某个三角形中，解三角形求出尸。的长度就

是点P到平面a的距离.

②转化法：若点尸所在的直线/平行于平面a,则转化为直线/上某一个点到平面a的距离来求.

③等体积法.

④向量法：设平面a的一个法向量为〃，/是a内任意点，则点P到a的距离为巧：

H

【知识点4立体几何中的轨迹问题的解题策略】

1.动点轨迹的判断方法

动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断

出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.

2.立体几何中的轨迹问题的常见解法

(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.

(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲

线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为/,求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去

参数化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.

(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动

点的轨迹，再进行求解.

(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进

行求解.

(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问

题，进行求解.

【知识点5立体几何中的探索性问题的求解策略】

1.与空间向量有关的探索性问题的求解策略：

在立体几何中，与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探

究线面角、二面角或点线面距离满足特定要求时的存在性问题.

解决这两类探索性问题的解题策略是：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设

出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.

►举一反三

【题型1立体几何中的体积问题】

【例1】(2024•陕西咸阳・模拟预测)已知三棱柱力BC—4B1C1，如图所示，P是上一动点，点。、D

分另|J是AC、PC的中点，AB1BC,AAt=AB=BC=2.

(1)求证：。。||平面P48；

(2)当44i1平面4BC,且&P=3PCi时，求三棱锥Bi-力PC的体积.

【变式1-1](2024•山东日照•二模)在三棱锥P—ABC中，BA1BC,P81平面A8C,点E在平面ABC内,

且满足平面P4E1平面PBE,AB=BC=BP=1.

⑴求证：AE1BE；

(2)当二面角E-PA-B的余弦值为三时，求三棱锥E-PCB的体积.

【变式1-2](2024•河南•模拟预测)如图，几何体4BCDEF中，底面力BCD为边长为2的菱形，平面CDEF1

平面2BCD,平面BCF_1_平面43。。，NDAB=1

(1)证明：CF_L平面4BCD；

(2)若。E=孚，平面4DE与平面BCF的夹角为g求四棱锥E-力BCD的体积.

26

【变式1-3](2024•黑龙江双鸭山•模拟预测)如图，四棱锥P-4BCD的底面力BCD是矩形，PD1平面

4BCD,PD=&AD=为PD的中点，Q为R1上一点，S.AM1DQ.

(1)证明：PC〃平面

(2)若二面角B-DQ-。为45°,求三棱锥Q-BCD的体积.

【题型2立体几何中的线段长度问题】

[例2](2024•江苏南京•二模)如图，AD//BC,一。148,点E、F在平面4BCD的同侧,CF//AE,AD=1,

AB=BC=2,平面4CFE_L平面力BCD,EA=EC=V3.

(1)求证：BF〃平面4DE；

(2)若直线EC与平面FBD所成角的正弦值为嘤，求线段CF的长.

【变式2-1](2024•重庆•模拟预测)如图，在四棱锥E-4BCD中，EC1平面ABCD,4B||DC,△4CD为等边

三角形，DC=24B=2,CB=CE,点F为棱BE上的动点.

B

(1)证明：DC_L平面BCE；

(2)当二面角F-AC-B的大小为45。时，求线段CF的长度.

【变式2-2］（2024・湖北•模拟预测）如图，AE_L平面4BCD,E,F在平面力BCD的同侧，AE//DF,AD//BC,

1

AD1AB,AD=AB=-BC=1.

2

(1)若£C四点在同一平面内，求线段EF的长；

(2)若DF=24E,平面BEF与平面BCF的夹角为30。，求线段4E的长.

【变式2-3](2024•湖南•模拟预测)如图1,在五边形力BCDP中，连接对角线4D,AD//BC,AD1DC,PA=

PD=2y/2,AD=2BC=2DC=4,将三角形PAD沿力。折起，连接PC,PB,得四棱锥P—ABC。(如图2),

且P8=2VIE为4D的中点，M为BC的中点，点N在线段PE上.

图1图2

(1)求证：平面PHD1平面A8CD；

(2)若平面4MN和平面P4B的夹角的余弦值为嘤，求线段EN的长.

【题型3空间角问题】

【例3】(2024•青海•二模)如图，在三棱柱力BC-&BiCi中，所有棱长均相等，C/CBCi=。，乙4期=60°,

CB1BB»

4

(1)证明；4。_L平面B/CiC.

(2)若二面角Ci-A1B1-B的正弦值.

【变式3-11(2024•福建龙岩•三模)如图，在四棱台2BCD-&/的。1中，底面四边形48co为菱形，N4BC=

60°,AB=2441=2A1Bl,AA1，平面ABCD.

(1)证明：BD1CC1；

(2)若〃是棱3c上的点，且满足整=：求二面角M—ADi-。的余弦值.

【变式3-2](2024•黑龙江大庆•三模)如图，在四棱锥P—A8CD中，AD//BC,NB4D=90。,AD=28C=

4,AB=2,PA=2A/XNPA。=45。，且。是4D的中点.

(1)求证：平面POC_L平面ABC；

(2)若二面角P-的大小为120。，求直线PB与平面PAD所成角的余弦值.

【变式3-3](2024•河南濮阳•模拟预测)如图所示，在等腰梯形4BCD中，AB//CD,AD=A8=BC=2,

CD=4,E为CD中点、,4E与BD相交于点O,将aADE^AE折起，使点D到达点P的位置(PC平面ABCE).

(1)求证：平面POB1平面尸8C；

(2)若28=逐，试判断线段依上是否存在一点0(不含端点)，使得直线PC与平面4EQ所成角的正弦值

为野，若存在，求0在线段PB上的位置；若不存在，说明理由.

【题型4空间点、线、面的距离问题】

【例4】(2024•天津和平•二模)如图，三棱台ABC-&BiCi中，△ABC为等边三角形，AB=2A1B1=4,

AAtABC,点、M,N,。分别为48,AC,2。的中点，AXBLACr.

⑴证明：CC1II平面4MN；

(2)求直线&D与平面&MN所成角的正弦值;

(3)求点D到平面&MN的距离.

【变式4-1](2024•广东•三模)如图，边长为4的两个正三角形力BC,BCD所在平面互相垂直，E,F分别

为BC,CD的中点，点G在棱4D上，AG=2GD,直线4B与平面EFG相交于点H.

(1)证明：BD//GH；

⑵求直线BD与平面EFG的距离.

【变式4-2】(2024•上海•三模)如图，在直三棱柱ABC—H/iCi中，44i=AB=2,AC=1,乙4cB=90。,

。是棱上的一点.

(1)若力。=DB,求异面直线Bi。与a的所成的角的大小;

(2)若CD1BD求点B到平面BiCD的距离.

【变式4-3](2024•海南•模拟预测)如图，在直四棱柱A8CD—公/的。1中，底面四边形2BCD为梯形，AD//

BC,AB=AD=2,BD=242,BC=4.

(1)证明：&…皿;

(2)若直线与平面Bi。/所成角的正弦值为彳，点M为线段BD上一点，求点M到平面8修内的距离.

【题型5立体几何中的作图问题】

【例5】(2024•贵州贵阳・模拟预测)如图，正三棱柱ABC-中，AB=4,设点D为公的

上的一点，过。，/作平面BCC1%的垂面a,

(1)画出平面a与正三棱柱力BC-A/iG表面的交线(保留作图痕迹，不需证明)；

(2)若&到平面a的距离为弓，求AC与平面a所成角的正弦值.

【变式5-1](2024•广东广州•模拟预测)在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD为直角梯

形，CD〃AB,/.ABC=90°,AB=2CD,三棱锥B-PCD的体积为手，平面24。与平面P8C的交线为I.

(1)求四棱锥P-A8CD的体积，并在答卷上画出交线1(注意保留作图痕迹)；

(2)若力B=2BC=4,PA=PD,且平面P力。_L平面4BCD,在/上是否存在点N,使平面PDC与平面DCN所成

角的余弦值为白？若存在，求PN的长度；若不存在，请说明理由.

【变式5-2](2023・广西・模拟预测)已知四棱锥P—4BCD中，底面4BCD为直角梯形，PA，平面ABC。，AD||

BC,ABLAD,PA-AD=4,BA=BC=2,M为PA中点，过C,D,M的平面截四棱锥P-4BCD所得

的截面为a.

(1)若a与棱PB交于点凡画出截面a,保留作图痕迹(不用说明理由)，求点尸的位置;

(2)求平面CDM与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

【变式5-3](2024•广西河池•模拟预测)已知四棱锥P-ABCD中，底面4BCD为直角梯形，PH1平面A8CD,

ADWBC,ABLAD,PA=AD=4,BA=BC=2,M为P力中点，过C,D,M的平面截四棱锥P-ABC。所

得的截面为a.

P

(1)若a与棱PB交于点F,画出截面a,保留作图痕迹(不用说明理由)，并证明北=3.

⑵求多面体力BCDMF的体积.

【题型6立体几何中的折叠问题】

【例6】(2024•四川南充•三模)已知如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=2®将△4BD沿BD折起，得

到三棱锥M—BCD,其中△MBD是折叠前的△A8D,过M作BD的垂线，垂足为77,MC=V10.

⑴求证：MH1CD；

(2)过”作MB的垂线，垂足为N,求点N到平面MCD的距离.

【变式6-1](2023•甘肃•一模)如图甲所示的正方形44Z'Mi中，力々=12,4B=A1B1=3,BC=B1C1=4,

对角线44；分别交BBi，CCi于点P,Q,将正方形沿BBi，折叠使得力必与4】；重合，构成如图乙所

示的三棱柱力BC-点M在棱力C上，且力M=y.

(1)证明:BMII平面4PQ；

(2)求三棱锥M-力PQ的体积.

【变式6-2](2024•全国•模拟预测)如图，在梯形4BC0中,AB||CD,ABAD=90°,CD=2AD=2,AB=3,E

为线段4B上靠近点力的三等分点，将△4DE沿着DE折叠，得到四棱锥力一BCDE,使平面4DE，平面BCDE,P

为线段CE上的点.

(1)求证：ADLAP；

(2)是否存在点P,使得直线力P与平面力BE所成角的正弦值为乎?若存在，求出线段EP的长；若不存在，请说

O

明理由.

【变式6-3](2024•安徽合肥•三模)如图一：等腰直角△A8C中且力C=2,分别沿三角形三边向

夕卜作等腰梯形力38242,3。。283，以43。3使得力42=BB2=CC2=1,ACAA3=ABAA2=p沿三边4B,BC,G4

折叠，使得力2&，巳83，。2c3，重合于Ci，如图二

图一图二

⑴求证：AAj,1B1C1.

(2)求直线CCi与平面A41B#所成角8的正弦值.

【题型7立体几何中的轨迹问题】

【例7】（2024•安徽芜湖•二模）在三棱锥P—A8C中，PB_L平面ABC,=BC=BP=2,点E在平面48c

内，且满足平面PAE1平面PBE,BA垂直于BC.

（1）当乙4BE6楂,,时，求点E的轨迹长度；

（2）当二面角E-PA-B的余弦值为争寸，求三棱锥E-PC8的体积.

【变式7-1］（2024•全国•模拟预测）如图，在直三棱柱A8C—aB1C1中，AB=AC=AAX=3,BC=3<2,E

是侧面A&CiC内的动点（包括边界），。为BCi的中点，BiEl&D.

（1）求证：点E的轨迹为线段4的；

⑵求平面ADE与平面4BC夹角的大小.

【变式7-2］（2024•全国•模拟预测）如图，四边形4BDC为圆台010的轴截面，4C=28D,圆台的母线与

底面所成的角为45。，母线长为虎，E是冠的中点.

（1）已知圆。2内存在点G,使得DE1平面8EG,作出点G的轨迹（写出解题过程）；

⑵点K是圆。2上的一点（不同于4C）,2CK=AC,求平面4BK与平面CDK所成角的正弦值.

【变式7-3］（2024・云南曲靖・模拟预测）如图，四面体力BCD的每条棱长都等于2,M,G,N分别是棱

AB,BC,CD的中点，。，E,F分别为面BCD,面ABC,面力CD的重心.

A

⑴求证：面OE尸〃面A8D；

（2）求平面OEF与平面力BN的夹角的余弦值；

（3）保持点E,F位置不变，在△BCD内（包括边界）拖动点。，使直线MN与平面OEF平行，求点。轨迹长度;

【题型8立体几何中的探索性问题】

【例8】（2024•内蒙古呼和浩特•二模）如图，已知48,平面BCE,CD\\AB,△BCE是等腰直角三角形，其

中NEBC=p且AB=BC=2CD=4.

A

(1)设线段BE中点为F,证明：CF||平面ADE；

(2)在线段AB上是否存在点M,使得点B到平面CEM的距离等于苧，如果存在，求MB的长.

【变式8-1](2024•贵州黔西•一模)如图所示为直四棱柱4BCD-&4的。1，48=AD=242,CB=CD=

4,4a=4,4BCD=60°,M,分别是线段BC,少的的中点.

(1)证明:8C1平面MM/；

(2)求直线8C与平面BD公所成角的正弦值，并判断线段8C上是否存在点P,使得PBi〃平面BD&,若存在,

求出2尸的值，若不存在，请说明理由.

【变式8-2](2024•黑龙江哈尔滨•一模)如图1,在平行四边形力BCD中，D=60°,DC=2AD=2,ADC

沿4c折起，使点。到达点尸位置，且PCJ_BC,连接PB得三棱锥P-ABC,如图2.

(1)证明：平面R48_L平面力BC；

(2)在线段PC上是否存在点M,使平面4MB与平面MBC的夹角的余弦值为，，若存在，求出鬻的值，若不存

在，请说明理由.

【变式8-3](2024•天津•一模)已知底面力BCD是正方形，PA1平面力BCD,PA//DQ,PA=AD=3DQ=3,

点E、F分别为线段PB、CQ的中点.

(1)求证：EF〃平面P4DQ；

(2)求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；

(3)线段PC上是否存在点M,使得直线力M与平面PCQ所成角的正弦值是手，若存在求出霁的值，若不存在,

说明理由.

【题型9立体几何建系繁琐问题（几何法）】

【例9】（2024・山东•二模）如图所示，直三棱柱ABC-&B1C1，各棱长均相等刀，E,F分别为棱AB,BC,

4G的中点.

（1）证明：平面&CD，平面44BB1；

（2）求直线EF与41%所成角的正弦值.

【变式9-1]（2024•陕西铜川•模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面2BCD是平行四边形,

^ABC=120°,AB=1,BC=4,PB=2百，PD1CD,点E是8c的中点，5.PE1ED.

P

AB

（1）求证：PEIAD；

⑵求点E到平面PAD的距离.

【变式9-2]（2024•全国•模拟预测）如图，在四棱锥P—4BCD中，AB||CD,且力B_L4P,CD1DP.

p

c

L

AB

（1）证明：平面PCD1平面PAD；

(2)若PH=PD=AB,PA1PD,求PB与平面4BCD所成角的大小.

【变式9-3]（2024•浙江•模拟预测）.如图，底面为B1C1%固定在底面a上的盛水容器口为正方形力BCD,

侧棱44i，BBi，CCi，相互平行.

⑴证明：底面四边形力iBiCiDi是平行四边形；

（2）若已知四条侧棱垂直于面A8CD,且力&=DDi=4,BB1=CCX==2.现往该容器中注水，求该容器

最大盛水体积U及此时侧面BBiQC与底面a所成角。的余弦值（水面平行于底面a）.

【题型10新情景、新定义下的立体几何问题】

【例10]（23-24高一下•四川成都・期末）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理;

如图1,由射线P4PB,PC构成的三面角P—ABC,^APC=a,乙BPC=0,4APB=y,二面角A—PC—B

的大小为仇则cosy=cosacos/3+sinasin^cosS.

(1)当a、时，证明以上三面角余弦定理；

(2)如图2,平行六面体4BCD一418也1。1中，平面441的。1平面ABC。，N&4C=60°,ABAC=45°,

①求的余弦值；

②在直线CCi上是否存在点P,使BP〃平面D&Ci?若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由.

【变式10-1](24-25高三上•浙江•开学考试)已知。是棱长为近的正四面体ABCD,设。的四个顶点到平面

a的距离所构成的集合为M,若M中元素的个数为k,则称a为Q的那介等距平面，M为。的那介等距集.

(1)若a为。的1阶等距平面且1阶等距集为｛研，求a的所有可能值以及相应的a的个数；

(2)已知0为。的4阶等距平面，且点2与点8,C,D分别位于0的两侧.若。的4阶等距集为｛6,2b,3b,4b｝,其中

点4到S的距离为6,求平面BCD与£夹角的余弦值.

【变式10-2](23-24高一下•福建三明•期末)阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M

在点P处的离散曲率为1一/(“IPQ2+42PQ3+43PQ4+-+“IPQK+“KPQI)，其中Q&=

271

1,2,…，k,kN3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2,平面Q2PQ3,…，平面Q—PQk

和平面Q/Qi为多面体M的所有以P为公共点的面.”已知在直四棱柱4BCD-&%的。1中，底面力BCD为菱

形SA=4B.(角的运算均采用弧度制)

(1)若力C=BD,求四棱柱4BCD-&B1C1D1在顶点力处的离散曲率；

(2)若四棱柱力BCD-4/心。1在顶点4处的离散曲率为g,求8C1与平面2CC1的夹角的正弦值；

(3)截取四面体4-4BD,若该四面体在点4处的离散曲率为5,AC1与平面&BD交于点G,证明：第=*

【变式10-3](23-24高一下•湖南长沙•期末)空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯

曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2TT与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面

体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为全故其各个顶点的曲率均

为2n—3X^=TL如图，在直三棱柱2BC—4/1的中，点2的曲率为尊N,M分别为AB,的中点，且2B=

AC.

(1)证明：CN1平面4BB14；

(2)若441=五AB,求二面角%-AM-的的余弦值；

(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面

体的顶点数为D,棱数为3面数为M,则有：D-L+M=2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率(多

面体有顶点的曲率之和)是常数.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•内蒙古包头•三模）如图，已知正方形A8CD为圆柱的轴截面，4B=BC=2,E,尸为上底面圆

周上的两个动点，且即过上底面的圆心G,若AB1EF,则三棱锥A—BEF的体积为（）

2.（2024・全国•模拟预测）已知正方体力BCD—的棱长为4,点Me平面力道皿，且翳=点则

点M的轨迹的长度为（）

cV34TTD•等

A.V34TTB.717TTcF

3.（2024•山东济南・三模）如图所示，正方体ABC。-力把1的。1的棱长为1,点E,F,G分别为BC,CCi，BBi

A.直线与直线力F垂直B.直线4G与平面4EF平行

C.三棱锥尸—4BE的体积为:D.直线3C与平面力EF所成的角为45°

O

4.（2024•全国•模拟预测）已知△4BC中，AC=1,AB=2,BC=V3,在线段48上取一点M,连接CM,如

图①所示.将aacM沿直线CM折起，使得点a到达T的位置，此时△BCM内部存在一点N,使得aNi平面

BCM,NC=y,如图②所示，则A,M的值可能为（）

A23

B.D.1

A・i53

5.（2024・湖北•模拟预测）如图所示的多面体是由底面为4BCD的长方体被截面AECiF所截得到的，其中AB=

4,BC=2,CC\=3,BE=1,则点C到平面4EQF的距离为（）

6.（2024・广西南宁•一模）在边长为4的菱形A8CD中，^ABC=120°.将菱形沿对角线力C折叠成大小为30。

的二面角B'-4C—D.若点E为B'C的中点，F为三棱锥夕一力CD表面上的动点，且总满足力C1EF,则点F

轨迹的长度为（）

A.B.C.4+V6-V2D.4+V6+V2

7.（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知四棱锥P—4BCD的底面为正方形，PDL^ABCD,PDAD,点E是

线段P8上的动点，则直线DE与平面PBC所成角的最大值为（）

8.（2024•青海•模拟预测）如图，在正方体A8CD-中，E,F,M,N,G,H分别为棱4B,BC,

AD,CD,4B1，的中点，P为的中点，连接EH,FG.对于空间任意两点/,J,若线段〃上不存在

也在线段EH,FG上的点，贝！I称/,/两点“可视”，则与点当“可视”的点为（）

C.MD.N

二、多选题

9.（2024•湖北襄阳•模拟预测）如图，已知正方体A8CD—4tBic1%的棱长为2,E,F,G分别为AB,

A.三棱锥的-EFG的体积为,B.力Q平面EFG

C.8的|］平面EFGD.二面角G—EF—C的余弦值为F

O

10.（2024・广东佛山・模拟预测）如图,在三棱锥P-4BC中，平面PAC_L平面力BC,且△P4C和△ABC均是

边长为2的等边三角形，D,E,F分别为的中点，G为PB上的动点（不含端点），平面EFG交直线P4

A.当G运动时，总有HG〃4B

B.当G运动时，点G到直线力C距离的最小值为当

C.存在点G,使得CD1平面EFG

D.当PG>GB时，直线PC,GF,HE交于同一点

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