江西省上饶市2024-2025学年高二年级上册十月月考 数学试卷（含答案）

江西省上饶市2024-2025学年高二上学期十月考试数学卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知直线/经过点（2'一8）3°）,则直线/的倾斜角为（）

C.母D.V2+1

itit2n3K

A.43c.3D.4

B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

2.已知圆CG-3）2+3-4）2=9,直线/：mx+y-2m-3=0^则直线/被圆。截得的弦长的最小值为

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

（）9.已知点尸在圆C：（A6）2+3-5>=16上，直线/：%+3、=12与％轴、y轴分别交于48两点，则（）

A.2eB.MC.2后D.屈A.直线/与圆相离

3.点可，工为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点尸，使得/片0月=90°,则椭圆C方程可以是（）B.点尸到直线’的距离小于7

C.当/尸45最大时，=3逐

D.以为直径的圆与圆°的公共弦所在直线的方程为6%+歹-25=°

「,X2+2—]

10.设平面直角坐标系中，椭圆.Qy"的左焦点为6,且与抛物线=4x有公共的焦点若p是

4.已知圆（”一2）2+「=1与双曲线/〃-1（。〉。，6〉。）的一条渐近线交于44两点，且|明=1,则该双曲抛物线C上的一点，下列说法正确的是（）

A.椭圆r和抛物线c存在交点

线的离心率为（）

B.若P（L2）,则直线£P与抛物线c相切

_2旧4万

A.2B.屈C.13D.13

C.若闺凡|=%，则点P坐标为（2，±1）

5.已知点尸在抛物线炉=一5>上，且"（。,-3）,则E的最小值为（）

D.若女郎=90。，则点P的横坐标为-2+石

11_35V35

11.下列说法正确的是（）

A.4B.2c.4D.2

6.已知直线/交抛物线C：%2=-18y于",N两点，且"N的中点为（3，一2）,则直线/的斜率为（）A.已知l=（°JJ），》=（°，°，T）,则a在,上的投影向量为I'2'2）

OG=-（OA+OB+OC}

A.-3B.6C.9D.3B.若G是四面体CUBC的底面A/BC的重心，则3、7

7.在空间直角坐标系的中，点4（1,-3,7）到°z%平面的距离为（）OG=-OA--OB+-OC.„„„

C.若555,则4尻&G四点共面

A.1B.3C.7D.可D.若向量/=加+5+后（只反②都是不共线的非零向量），则称/在基底伍为卦下的坐标为（'%”#）,

8.已知平行六面体/BCD-ZBGR的各棱长均为1,ZAAB=ZAAD=60°ZDAB=9Q°,则

,}若/在单位正交基底卡也3}下的坐标为。23）,则/在基底卡一布+员寸下的坐标为〔2'2'3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(2)已知点76°),若E上存在一点P,使得司•万=T,求，的取值范围；

12.已知直线，1：蛆+歹一5=0,12：3%—歹一4=0,且直线4和4平行，则实数机的值是.(3)过“(工°)的直线交E于aB两点,过“G4'46)的直线交E于4,C两点，B,C位于x轴的同侧,

片+《=1立证明：NBOC为定值.

13.已知椭圆Yb2(a>b>0)的长轴长为4,离心率为2.若A,8分别是椭圆的上、下顶点,

两.丽=一_L

片，玛分别为椭圆的上、下焦点，尸为椭圆上任意一点，且2,贝代助月的面积为____.18.(15分)如图，平行六面体/ECD-44G2中，底面《BCD是边长为1的正方形，/4=2,设

14.如图所示，在正方体百GR中，棱长为2/('=1，2,…12)分别为各棱的中点，贝九

AB=5,AD=B,AAX=c

(1)试用°石忑表示向量/。田"；

(2)若=2A1AB=120°,求点A到直线的距离.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

15.(15分)已知圆心为。的圆经过点"(L4),'(3,6),且圆心。在直线--4尸°上.

19.(17分)如图，在正四棱锥尸中，底面488是边长为正的正方形，/C与的交于点°,

⑴求圆C的方程：

⑵已知直线/过点°」)且直线/截圆C所得的弦长为2,求直线/的方程.尸°=2,M是尸C边上靠近尸的三等分点.

⑶已知点”(I—),N(3,-4),且尸为圆c上一动点，求户「的最小值.

C:"一七=l(a>0,b>0)

16.(13分)已知双曲线ab的实轴长为2,离心率为2,右焦点为尸，尸为。上的一

个动点，

⑴若点尸在双曲线C右支上，在不轴的负半轴上是否存在定点用.使得NPFM=2NPMF?若存在，求出点

(1)设="AD=bfAP=cf用。，bf云表示向量BAf；

M的坐标；若不存在，请说明理由.

(2)在如图的空间直角坐标系中，求向量两的坐标.

(2)过P作圆。+y=5的两条切线4、4,若切线4、4分别与c相交于另外的两点E、G,证明：

E、oG三点共线.

17.(17分)已知抛物线£：必=2"(?>°)的焦点尸到准线的距离为2,。为坐标原点.

(I)求E的方程

高二数学参考答案^d=\PC\=>/2

此时，直线/被圆C截得的弦长最小，最

1.B

【分析】由直线过的两点的坐标，可得直

故选：A.

线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小.

3.A

【详解】直线/经过点©‘一6）。"），所

【分析】设椭圆上顶点为5,由题满足

/片3£290。即忸耳「+忸玛闺闻2,可

以直线的斜率为3-2,

得/N262,结合选项可得出答案.

设直线的倾斜角为%°兀），

兀【详解】设椭圆方程为

/Ta=—

即tana=13,所以3.

故选：B.

2.A

【分析】由题意可证直线/恒过的定点

尸（）3）在圆内，当CP，，时直线/被圆C

截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可

求解.设椭圆上顶点为5,椭圆0上存在点尸,

【详解】直线/：使得4%=9。。，

mx+y-2m-3=m（x-2）+y—3=0

则需/月照290。，由余弦定理可得

fx—2=0（x=2

令L-3=0,解得b=3,所以直线/恒忸胤R%「-伊可

cosZFlBF2=<0

2|明|x此|

过定点P（2，»

，忸£「+忸闻1闺闯；

圆C：。一3）2+。-4）2=9的圆心为

gpa2+a2<4c2,Vc1=a1-b2

C（3,4）,半径为厂=3,2a2V4a2-此

则

且因「二（2-3丫+（3-4）匕2<9,即尸在

同理可得椭圆焦点在V轴上时，也应有

圆内，

a1>2b2,

当时，圆心c到直线/的距离最大

所以选项A满足.

故选：A.

|P^|2=x2+（y+3）2=^2+y+9=^y+1j+y

4.D

【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距

离，再结合点到直线的距离公式求出__j_2

又因为y4°,所以当'一5时，忸/「有

dAc的关系，即可得解.35

最小值工.

【详解】圆。一2）2+丁=1的圆心为（2,0）,

V35

所以“训的最小值为三.

半径r=l,

22

——=1（。>0,6>0）故选：D

双曲线矿人的渐近线方

=+纥6.D

程为'一一L,即乐士即=o,

【分析】设出直线/的斜率为后，点

因为阿=L

两点的坐标，代入抛物线方程

以一%.X[+%

所以圆心（2，°）到双曲线的渐近线的距离

/=T8y,作差，可得x「X218,

又MN的中点为（3厂2）,即求出发.

【详解】易知直线/的斜率存在，设直线

b—^-cb1=c2-a2=-c2

所以4,即16,所以

c_4A/13产=-18加

~a~13,则两式相减得

匹

4x；-考=T8%,整理得

即该双曲线的离心率为13.

乂%.=X]+X、

故选：D.

xx-x218

5.D因为MN的中点为（3,一2）,则

【分析】设点P的坐标为（*/）,则

再+工？=2x3=6

四=/+&+3）2,求其最小值即可.

后=91-=」

所以西一々183,即直线/的斜

【详解】设点P的坐标为（灰））,则

x2=-5y率为3.

故选：D.

且

7.B

【分析】点"（L一3,7）到。zx平面的距离即径为4,圆心C（66）到直线，：x+3y=12的

为y轴坐标的绝对值.

距离

【详解】在空间直角坐标系。肛z中，点|6+3x5-12|9

d=J-----_L=---<4

E历,所以直线/与

/（I,-3,7）到Ozx平面的距离”=3=3.

圆相交，故A错误；

故选：B

对于B,因为圆心C到直线/的距离

8.B

为空间向量的Vio,

【分析】选择所以点尸到直线/的最大距离为

基底，表示出借助空间向量的数量

'G,9r”3V10

4+d=4+—i=<7=4+.——

Jo60,故B正确；

积求力G的模.

胸，皿必｝为空间向量的基

【详解】取

对于C,"（12，°）,当尸月与圆c相切时

底,因为阿H丽=画=1,

/P48最大，户由为过A点的切线长，

ZDAB=90°,N44B=ZA,AD=60°

1PH=yl\ACf-l6=J（6-12）2+（5-0）2-16=

万怒=而与=；

所以方•石=0

,故C正确；

因为】

AC=AB+AD+AAX对于D,以8C为直径的圆的方程为

x（x-6）+（y-4）（、-5）=0

2222

=Z§+Z5+L44+2Z§-15+2A§-Z^+2ZD-|p-6x+/-9j+20=0>圆。的方程与

=1+1+1+0+14-1=5,

此方程相减得6X+N-25=0,故D正确.

所/….

故选：BCD.

故选：B

9.BCD

【分析】利用圆心到直线的距离确定圆上

的点到直线距离的最大值和最小值可判断

AB；求出切线长可判断C；由两圆方程相

减得公共弦所在直线方程判断D.

10.ABD

【详解】对于因为，）圆的半

A,C05,C【分析】画出图形，得到交点个数；直曲

联立求解得到直线片尸与抛物线C位置关

系；运用抛物线定义转化求出马即可；根

据垂直，运用勾股定理，结合定义求解

X，即可.

【详解】对于A,由函数图象可知，椭圆

【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的

与抛物线必存在交点，A正确；

关键在于利用勾股定理与抛物线上点的坐

对于B,由尸(1""(TO),则直线

标关系得到马的方程，整理即可得解.

片尸的方程为1》+1,

11.BCD

k2=4x,

【分析】根据投影向量的定义结合空间向

与抛物线方程联立x+1,消去y得

量的坐标运算求解即可判断A,根据空间

(x-1)2=0

；向量基本定理可判断B,根据四点共面的

则直线片0与抛物线C相切，B正确；结论可判断C,根据空间向量基本定理分

析可判断D.

对于C,由抛物线定义可知，

【详解】对于A：由于

|尸数="+1=阳用=2,

a=(o,i,i)石=(o,o,-1),

则马=1,于是点？坐标为0'±2),故C错

则4在行的投影向量为

误；

~-x(0,0,-1)=(0,0,1)

对于D,尸是抛物线。上的一点，设MN1x15x

尸(物,处),则有34=4%,耳(-l,O),g(1,0)

误；

对于B：由于点G为。48c的底面

若空尸耳=90。，有阿「+因「平可△/8C的重心，

设点。为8c的中点，故就=2&,

因止匕(Xp+i)~+y；+(xp-i)~+j)=22,

即年+4冲-1=0,解得X户=-2+石，D整理得OG—OA—2OD—2OG,故

3OG^2OG+OA^OB+OC+OA,

正确.

OG=-COA+OB+OC^

故选：ABD.故3、，,故B正确；

OG^IOA^OB+1OC

对于C：对于555,

214,出点尸的坐标，最后计算面积即可.

由于555,

-2a=4

故48,C,G四点共面，故c正确；

cV3

<—=--

a2

对于D：万在单位正交基底W。｝下的坐

222

【详解】因为〔a=b+c，

标为(1,2,3),即万=万+23+3,=(1,2,3),

所以Q=2/=1,。=百，

所以亦在基底下满足，f+/=1

__所多椭圆方程为4,

(1,2,3^=x(a-by^-y(a+by+-zc=(x+y^a+(y-zc=Qc+y,y-x,z^

''1'——设尸用，为),椭窗的上、下顶点

4(0,2),8(0,-2)

整理得x+了=lj-x=2,z=3,解得

所以

13.

x=——,y=—,z=3

22,P4=(-x0,2-y0),PB=(-x0,-2-%),且

则万在基底号下的坐标为2

所以

(22人故D正确；

西丽号+心4=号4-辐-4=1,

故选：BCD.

12.-3

所以6

【分析】根据条件，利用斜率相等，即可即得

求出结果.=3月用x|xo|=；x2cx恪=6、哙=?

【详解】因为乙乙UU乙

I1:mx+-5=0,/2:3x-y-4=0且直线V2

故答案为：2.

4和4平行，

14.5

所以一加=3,即m=-3,此时

【分析】建立空间直角坐标系，然后得到

I--3x+y-5=0,l2-3x-y-4=0满足题

各点坐标,算出就和“4C=12…』2)的

思，

坐标，利用数量积即可得到答案

故答案为：-3.

V2【详解】解：以。为坐标原点，分别以

13.2O4OC,。2所在的直线为x轴，y轴，

【分析】先根据长轴及离心率列式求出

2轴，

。，仇c得出椭圆方程，再设点应用数量积得

建立如图所示的空间直角坐标系,1<^1^=(-2,2,0)-(-1,2,0)=(-2)X(-1)+2X2+0X0=6

AC-AP,=(-2,2,0)-(-2,l,0)=(-2)x(-2)+2xl+0x0=6

而亚=(-2,2,0)(0,0,l)=(-2)x0+2x0+0xl=0

48cz）_4B|CQi中，棱长为=(-2,2,0)(0,2,l)=(-2)x0+2x2+0xl=4

2/（，=1,2,…,12）分别为各棱的中点，

.•■^（2,0,0）C（0,2,0）《（1,0,0）鸟（2,1,0）AC"=(-2,2,0)-(-2,2,1)=(-2)x(-2)+2x2+0x1=8

A(1,2,0)与(0,1,0)月(2,0,1)e(2,2,1)

，，，

/C/尸8=(-2,2,0)•(-2,0,1)=(-2)x(-2)+2X0+0X1=4

々(0,2,1)4(0,0,1)G(1,0,2)0(2,1,2)

，，，，

耳(1,2,2)0(0,1,2)

3K>A^=(-2,2,0)-(-1,0,2)=(-2)X(-1)+2X0+0X2=2

贝I」就=(-2,2,0),福=(一1,0,0),

正=(0,1,0)亚=(-1,2,0)

=(-2,2,O)-(O,l,2)=(-2)xO+2xl+Ox2=2

亚=(-2,1,0)亚=(0,0,1)

亚=(0,2,1)亚=(-2,2,1)灰^离=(-2,2,0)(-1,2,2)=(-2)x(-l)+2x2+0x2=6

/,J

APs=(-2,0,1)态=(-1,0,2)

ACAP=(-2,2,0)-(-2,l,2)=(-2)x(-2)+2xl+0x2=6

函;=(0,1,2),离=(-1,2,2),l2

猫=(-2,1,2),

故/。/片0=1,2「..,12）的值为0,2468共

故

5种不同的值.

/C•期=(_2,2,O)(TO,O)=(_2)X(_1)+2X0+OX0=2

故答案为：5

_15.(1)(1)2+(1)2=1。

/。/鸟=(-2,2,0)(0,l,0)=(-2)x0+2xl+0x0=2

⑵x=1或5x+12y-17=0

(3)24

【分析】（1）先求4B的垂直平分线方程为长公式得如一屋=2川一屋=2,故

联立直线方程求得）

N=r+7,,0GJ,d=3

利用两点距求出半径，即可求解圆的标准若直线/的斜率不存在，贝IJ久=1,此时圆

方程；心C（4,3）到直线/的距离为3,符合题意.

（2）设圆心C到直线/的距离为力由几

若直线/的斜率存在，则设直线/的方程为

何法求弦长公式可得d=3,易知直线/的

y—1—kx—kgpkx-y—+1—0

斜率不存在时符合题意，若斜率存在，设

|4左一3—左+1|R

d=J-=_L=3左—一5

直线方程，利用点线距建立方程，解之即所以炉石，解得一12,

可求解.-517c

——x—y-l=0

则直线/的方程为12-12.

（3）根据两点间距离公式再结合三角换元

故直线/的方程为％=1或5x+12〉T7=0.

把原式化简为

/侬0+3，+3^皿+5，+即侬。+1，+图阳/朋代标准方程

,应用三角恒等变换化简结合正弦函数的（龙-4）2+（了-3）2=10上,

值域得出最小值即可.x=Vl0cos^+4

<__

设j/=x/l0sin^+3

L7r--6--------4----1|

【详解】（I）"一37一，4B的中点为

又因为点血1,一2),N(3，f,

（2,5）

所以

28的垂直平分线方程为了一5=TX（X_2）,

1PA/f+|PN『=/cos<9+3j+(7H)sin6>+5j+(710COS<9+1J+

即y=-x+7,

\y=-x+lJx=4

=20cos/+20sin冶+9+25+1+49+8而cosQ+24V10sin6»

将13x-4y=。联立可得卜=3,即圆c的圆

心坐标为CG，3）,

=20+84+8JTUcos6»+24JTUsin0

圆C的半径为=104+80sin(0+°),tanp=；

\BC\=^（3-4）2+（6-3）2=屈

当sin（6+0）=T时，|尸W+冲『取最小

所以圆°的标准方程为

值为24.

（x-4）2+（7-3）2=10

16.(1)

（2）设圆心C到直线/的距离为力由弦存在，"㈠⑼

（2）-（4+2。=2=/_]

"=一（"+3）,所以在x轴负半

证明见解析.

【分析】（1）先求出双曲线的方程，将角轴上存在点M（T°）使得=2/即；

度关系转化为直线的斜率关系，从而列出

不等式，斜率不存在的情况单独讨论，即

②当直线尸尸的斜率不存在时，即

可求出M点的坐标.

X。=2时，

（2）先根据P点的位置判断能否作出切线,

NPFM=90°,若ZPFM=2ZPMF,则

再将切线分为斜率存在和不存在两种情况

讨论，表达出两条切线的方程，斜率存在ZPMF=45°,此时2点的坐标为（2,3）,

时，再根据切线与圆的位置关系，找出两所以户刊=3,则怛闾=|跳1=3,又

条切线的斜率的关系，再把切线方程代入

\OF\=2,所以1°闾=1,此时"T,

双曲线，表达出点E、G的坐标并找出坐

综上，满足条件的M点存在，其坐标为

标关系，从而证出及。、G三点共线.

（T0）

【详解】（1）根据题意，有

X---=1

所以双曲线的方程为3.

设/G，%）也（/,o）,且/〈0,

①当直线P尸的斜率存在时，即飞*2时,

（2）设p（%o，y。）,由题意得，双曲线和圆

因为NPFM=2NPMF,所以

相交，所以联立两曲线方程，得

k=tanN产儿4=4-

x「t

一3

2tanz[^M;Z_^iy

k=tan(7t-ZPFM)=-tan(2-ZPMF)==12亚

»PFtan2Z

_V3

x2+y2=—DL

28'一一运

即

2”为两曲线四个交点的坐标,

[%、21尸("o)=尸

从而J。一〃,化简整理得,

①当时，即

—(4+2。10+4%=2x；+2tx0—t?—3

/=±.

5时，直线尸G的斜率不存在，直

线尸E的斜率为0,

联立>=勺（X一X。）+%,消去丁并整理得,

此

怎一3"_Q%左2_2kly°卜+将无：-2左/%+/；+3=0

时点£、G关于点O对称，故£、。、G三

点共线.

3即

②当2夜，且2或2收，且

(6_3)x1-2kl(RYXQ—%)x+(左］%0_%)+3=0

X丰一.

此时直线P£、PG的斜率存在且不为零,即

分别设为左次2,(4-3)f-2kl'怎+1b+1*0；+1)+3=。

设经过。（久0%）的直线方程为