集合与常用逻辑用语、不等式综合测试卷-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

第一章集合与常用逻辑用语、不等式综合测试卷

（新高考专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求.

1.（5分）（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知集合4=B=（x\x3=x},则4nB=（）

A.{-1}B.{-1,1}C.{0,1}D.{-1,0,1）

【解题思路】化简集合B,由集合的交集定义计算即可.

【解答过程】因为B={比|炉=0={-1,0,1）,

所以4cB={-1,0,1}.

故选：D.

2.（5分）（2024•贵州遵义•一模）已知命题p:V久>1,Inx>[-5■,则中为（）

A.Vx>1>Inx<——B.3%<1,Inx<——

,1111

C.3%<1,In%——D.3%>1,In%4§—

【解题思路】全称命题的否定为特称命题，否定形式为：将三改为V,再将结论否定.

【解答过程】由命题p:Vx>l,In尤>5-专可知，

-ip为三%>1,InxW（—表■,故D正确；ABC错误；

故选：D.

3.（5分）（2024・四川成都•三模）满足MU{a,瓦c,d}且MC{a,瓦c}={a}的集合M的个数为（)

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据交集的结果，以及子集的关系，确定集合M中的元素，即可求解集合M的个数.

【解答过程】由M八{3hc}={研可得：{a}旦M,aeM,£M.又因为M[{a,hc,d},

所以M={a}或M={a,d}.

故选：B.

4.（5分）（2024・贵州・模拟预测）设%eR,则T%—21V1”是“1<x<2"的（）

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

【解题思路】由题意解绝对值不等式，再结合必要不充分条件的定义即可得解.

【解答过程】|x-2|<l的解集为口|1<%<3},所以-2|<1”是“1<%<2"的必要不充分条件.

故选：D.

5.（5分）（2024•北京丰台•二模）若a,b£R,且a>b,则（）

A.-n—V—n—B.o7b>ccb^

a2+lb2+l

C.a2>ab>b2D.a>>b

2

【解题思路】举反例即可求解ABC,根据不等式的性质即可求解D.

【解答过程】由于a>b,取a=1,b=—1,成；[==右/匕=ab?=1,无法得到蔡匕V京匕，。2b>ab?,

故AB错误，

22

取a=0,b=—2,则於=ofab=0,b=4,无法得到次>ab>b,C错误，

由于a>b,贝1J2a>b+a>2b,所以a>>b,

故选：D.

6.（5分）（2024•浙江•模拟预测）若不等式依2+（々一6）%+2>0的解为全体实数，则实数々的取值范围

是（）

A.2WkW18B.-18<k<-2

C.2</c<18D.0</c<2

【解题思路】分类讨论k=0与kK0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.

【解答过程】当k=0时，不等式质2+/-6）刀+2>0可化为-6乂+2>0,显然不合题意；

当kK0时，因为k/+（fc-6）%+2>0的解为全体实数，

所以｛△=（k-6）2-4kx2<0'解得2<k<18；

综上：2<k<18.

故选：C.

7.（5分）（2024•广东•一模）已知a,b,ceR且a70,则“a/+b久+c>0的解集为｛幻x71｝”是“a+。+c=0”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】

根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.

【解答过程】由题意，二次不等式a/+。久+c>0的解集为｛划久H1｝,

（a>0

则等价于J-^=1,即a=c>0,b=—2a,即a+b+c=0,

（△=房-4ac-0

当a+6+c=0时，不能推出a=c>0,6=—2a,

所以“a/+bx+c>0的解集为｛x|x丰1产是“a+b+c=0”的充分不必要条件,

故选：A.

8.（5分）（2024・陕西西安・模拟预测）下列说法错误的是（）

A.若正实数a,6满足a+b=1,贝壮+涪最小值4

ab

B.若正实数a,b满足a+2b=1,则2。+4b22a

C.y=&F+总的最小值为殍

D.若a>b>1,贝！Jab+1<a+b

【解题思路】对于A,利用｝+（=（a+6）G+§即可证明｝+^24,再给出取等的情况即可得到A正确；

对于B,利用2a+22%22,2a•22b即可证明即+#22班,得到B正确；对于C,利用换元法与对勾函数

单调性判断；对于D,验证当a=3,6=2时不等式不成立，得到D错误.

【解答过程】对于A,若正实数a,b满足a+b=1,贝壮+4=9+30+9=2+2+:22+2口=2+

ab\abJabyab

2=4,而当a=时，有a+b=l,-+1=4,从而工+：的最小值是4,故A正确；

2abab

对于B,若正实数a,b满足a+2b=1,则2a+♦=2。+22b2272a•22b=2-2。+2b=2vL故B正确；

对于C,设石中=te[g,+8）,则丫="：«2圾，由对勾函数单调性得最小值是百+昼=苧

故c正确;

对于D,当a=3,b=2时，有a>b>l,但ab+1=3,2+1=7>5=3+2=a+b,故D错误.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（5分）（2024•海南省直辖县级单位•模拟预测）已知集合力={x|xW3},集合B={x|xWm+1},能

使力n8=4成立的充分不必要条件有（）

A.m>0B.m>1C.m>3D.m>4

【解题思路】由4cB=4成立的充要条件求出对应的参数m的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解.

【解答过程】力CB=4当且仅当4是B的子集，当且仅当6+123,即巾22,

对比选项可知使得m>2成立的充分不必要条件有m>3,m>4.

故选：CD.

10.（5分）（2024・全国・模拟预测）已知。>8〉0,。>0,则下列式子正确的是（）

A.c-b>c-aB.C.启褊当D.B（而

【解题思路】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的

正误.

【解答过程】由a>b>0,c>0,得一aV—b<0,所以c——b,A正确.

因为Q>b>0,c>0,所以ac>bc>0,所以丁五>，无>0,所以3>】=>0,B正确.

7bey/ac

因为Q>b>0,所以a+2A/2ab<a+（a+2b）=2（a+b）,当且仅当a=2b时取等号，

所以T亍23%=；,C正确.

a+2N2ab2（a+b）2

因期_£±£=W+c）-b（a+c）=>o所以9>"£,D错误.

bb+c匕（He）贴+c）bb+c

故选：ABC.

11.（5分）（2024•全国•模拟预测）非空集合4具有如下性质：①若"GA,贝号eA；②若”6A,则1+y"

下列判断中，正确的有（）

A.-1CAB.—2022eA

2023

C.若%,ye4贝！J%yE4D.若％,ye4则％—yEZ

【解题思路】

根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.

【解答过程】

对于A,假设一1e4则令％=y=—1,则

y

令x=-1,y=l,则x+y=0e4

令x=l,y=O,不存在：，即y^O,矛盾，

.,.-1gA,故A对；

对于B,由题，164则1+1=2€42+1=3…,202264202364,

•••||||C4,故B对；

对于C,VIEA,xEA,.---EA,

X

,•*yGA,—6A,•'<3-=xy€4故C对；

X

对于D,VIGX,2c4若％=l,y=2,则％—y=-lW4故D错误.

故选：ABC.

12.(5分)(2024•广东深圳•模拟预测)下列说法正确的是()

A.不等式4/—5%+1>0的解集是｛%|x>:或x<1j

B.不等式2x2-%-6<0的解集是｛%|x4一|或％>2j

C.若不等式a第2+8a%+21V0恒成立，则Q的取值范围是0

D.若关于x的不等式2/+p%-3Vo的解集是(q,1),则p+q的值为一g

【解题思路】

对于AB,直接解一元二次不等式即可判断；对于C,对a分类讨论即可判断；对于D,由一元二次不等式

的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p,q,然后即可判断.

【解答过程】对于A,4x2一5%+1>0=(%—1)(4%—1)>0<=>x<］或久>1,故A错误；

对于B,2%2-%-6<0«(x-2)(2x+3)<0«-|<%<2,故B错误；

若不等式a第2+Sax+21<0恒成立，

当Q=0时，21V。是不可能成立的，

所以只能｛△=64：：：4a<0，而该不等式组无解，综上，故C正确;

对于D,由题意得q,1是一元二次方程2x2+px-3=0的两根，

从而1QX1=T,解得p=］,q=_j,

匕+p-3=02

而当p=1,q=-1时，一元二次不等式2/+乂一3<。0（尤—1）（2%+3）<0=-|<x<1满足题意，

所以p+q的值为一g,故D正确.

故选：CD.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）（2023•吉林•二模）命题叼久eR,a/+久+1<0”为假命题，则实数a的取值范围为.

【解题思路】

分析可知命题“VxeR,a/+x+120”为真命题，对实数a的取值进行分类讨论，在a=0时，直接验证即

可；当aKO时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数a的不等式组，综合可得出实数a的取值范围.

【解答过程】由题意可知，命题“Vx€R,ax2+x+l>0”为真命题.

当a=0时，由x+120可得％1,不合乎题意；

当aKO时，由题意可得{4=：］；1V0,解得a2.

因此，实数a的取值范围是a2；.

故答案为：a2

4

14.（5分）（2024•全国•模拟预测）已知集合时={-2,-1,0,1},N={x|a—3<x<l},若MCN中有2

个元素，则实数。的取值范围是—［L2）_.

【解题思路】根据交集的运算及集合中的元素的个数，列不等式求解即可.

【解答过程】因为M={-2,-1,0,1},N={x|a-3<%<1},若MCN中有2个元素，

所以MCN={—1,0},所以-2Wa-3<-1,解得lWa<2,

则实数a的取值范围是［1,2）.

故答案为：［1,2）.

15.（5分）（2024•全国•模拟预测）已知x>l,y>0,且久+j=2,则士+v的最小值是3+2鱼.

【解题思路】利用“1”的巧用及基本不等式即可求解.

【解答过程】由X+2=2,得％-1+白=1,

yy

因为％>1,y>0,

所以久-1>0,y>0,

所以E+y=（久T+；）岛+y）=3+（久-l）y+—N3+2j（x-l）y.&=3+2&,

当且仅当（x-l）y=；~三「，即乂=加，y=2+«时，等号成立，

（x-Dy

所以土+y的最小值是3+2V2.

故答案为：3+2鱼.

16.（5分）（2024・上海静安•二模）在下列关于实数a、b的四个不等式中，恒成立的是②③④.（请

填入全部正确的序号）

2

®a+b>2Vab；②（芋）>ab-,③|a|-网W|a-b|；@a2+b2>2b—1.

【解题思路】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证|a|-网<川即证2|a||b|>2ab可判断③.

【解答过程】对于①，取a=—1/=1,故①错误；

对于②，（手）2一时=立<"=立展效=（学）220,故②正确；

对于③，当|a|2|b|,要证同-网W|a—如即证（⑷一向尸W（|a-川产,

即+也『-21alib|<a2+b2—2ab,即证21alib|>lab,

而2|a||b|>2Gb恒成立,

当|a|V网时，|a|一网V0,|a-b|>0,所以|a|一网<|a—b|,故③正确.

对于④，a2+62—2fe+1=a2+（6—I）2>0,所以次+&2>2Z?—1,故④正确.

故答案为：②③④.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）（2023・山东•模拟预测）设全集［/={2,4,小一5研，P={a—2,2},Q^P={6},求a的值.

【解题思路】由补集的概念列式求解.

【解答过程】解：•・•全集1/={2,4,层一5研,P={a—2,2},QjP={6},

・fa2—5a=6

**ta-2=4'

••CL—6.

18.（12分）（2023•重庆酉阳，一模）命题p：任意久6R,/一2爪％-3m>0成立；命题q：存在

x2+4mx+1<0成立.

（1）若命题q为假命题，求实数优的取值范围；

（2）若命题p和q有且只有一个为真命题，求实数小的取值范围.

【解题思路】（1）由g真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；

（2）求得〃真的条件，由p和q有且只有一个为真命题，得到p真q假，或p假q真，然后分别求的加的取值

范围，再取并集即得.

【解答过程】（1）由［真：△=16巾2一4>0,得小<一|■或小>（，

所以4假：—<nt<-|；

(2)p真：△=4m2+12m<0推出一3<m<0,

由p和q有且只有一个为真命题,

P真q假，或P假q真,

—3<m<0(m<-3或m>0

<771<1或1m<_g或爪>g

[-1

・•・--<m<0或zn<—3或m

19.（12分）（2023•全国•模拟预测）（1）设a,b为正实数，求证：工2竽.

a+b4

（2）设a,b,c为正实数，求证：<+吴+旦2哈出.

a+bD+Cc+a2

【解题思路】（1）（2）根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证明.

【解答过程】（1）因为当一号=殍柴，a,b为正实数，

a+b44（a+b）

所以第2°，所以三2竽，当且仅当a=匕时，取等号•

4（a+匕）a+b4

（2）由（1）,得.

3c2—ac

同理,得小F小

4

所以4+A+二23a2—ab+3b2—bc+3c2—ac_3(a2+b2+c2)-ab-dc—ac>3(ab+bc+ac)—(ab+bc+ac)_ab+bc+ac

4442

当且仅当a=6=c时，取等号.

20.（12分X23-24高一下•湖南株洲•阶段练习）已知集合A={x|-3<2x+1<7},B=（x\x<-4或力>2）,

C={x|3a—2<x<a+1}.

⑴求4r（CRB）；

（2）若“p:xeCR（AUB）”是“q:xeC”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【解题思路】（1）先求出集合4再求出CRB,最后由交集的运算求出力C（CRB）；

(2)先求出2UB,再求出CRQ4UB),再由充分不必要条件构造关于a的方程组，解出即可.

【解答过程】(1)因为4={划-3<2x+l<7}={x[—2<x<3},又CRB={x|-4WxW2},

所以4n(CRB)={x|-2<%<2].

(2)4U8=(x\x<-4或x>-2},所以CR(4UB)={x|-4<x<-2},

因为“p:x€CR(4UB)”是“q:x6C”的充分不必要条件，

则CRQ4UB)=C,又C={x|3a-2<x<a+1},

所二匚以I、I{f3aa+—l2><—-24o2

21.(12分)(2024•全国•二模)已知实数a〉0,6>0,满足a+6=4百.

(1)求证：a2+b2>24；

(2)求3+D，+i)的最小值.

ab

【解题思路】(1)将a+b=4g两边平方后利用基本不等式证明；

(2)将('+1)，*)变形后将条件代入,然后利用基本不等式求最值.

ab

【解答过程】(1)由a+b=4g得48=(a4-Z?)2=a2+Z?2+2ab<a2+b2+a2+b2=2(a2+b2),

当且仅当。=b=2遮时等号成立，

所以次+b2>24；

(2)由已知a>0,b>0,贝ijab>0,

r-j[(a2+l)(b2+l)_a2b2+a2+b2+l_a2,b2+(a+b)2—2ab+l_a2b2+48-2ab+l

、abababab

=ab+^--2>2V49-2=12,

rb=竺

当且仅当a一嬴，即一个为2旧+遮，一个为2g-通时等号成立.

la+b=4V3

所以3+i）y+i）的最小值12

ab

22.（12分）（23-24高一上•江苏•阶段练习）设函数fO）=a/+（l—a）x+a—2.

（1）若关于久的不等式/（无）2-2有实数解，求实数a的取值范围；

（2）若不等式/（久）>-2对于实数aG[-1,1]时恒成立，求实数比的取值范围；

（3）解关于