集合与常用逻辑用语、不等式、复数 章节总结（原卷版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第08讲：第一章集合与常用逻辑用语、不等式、复数

章节总结

第一部分：典型例题讲解

题型一：集合的表示

1.（2023上•辽宁•高一校联考期中）已知集合”=卜?-2,加2+4加,9},且-3是M中的一个

元素，则“2=（）

A.-3B.-1或3C.3D.一3或-1

2.（多选）（2024下浙江・高三校联考开学考试）己知集合4={*©同9+1=0},3={0},

则（）

A.A=0B.A=BC.AeBD.A^B

3.（2024上•全国•高一专题练习）已知集合A={a-2M2+4a,l。},且-3eA,则"=.

4.（2023下•辽宁阜新•高二校考期末）集合A=[xeN|feN1用列举法表示为.

5.（2023上•广东•高一校联考期中）已知集合则〃的子集个数

为.

题型二：集合的基本关系

1.（2024上•河南洛阳•高一统考期末）已知集合

1（Isin0\cos6）（、

M=\y\y=--L—1+,——-；\,N={a,b,\ga},右M=N,贝1]而=（）

2（sm，|cos^|JJ

A.-4B.-1C.1D.4

2

2.（2024上•安徽合肥・高三合肥一中校考期末）已知集合A={1,2,3},B=[x\a<x<a]9

若则实数。的取值范围是（）

A.（-oo,-V3]B.卜8,一退）

c.0.卜8,-6）U（G,+8）

3.（2024下•重庆•高三重庆一中校考开学考试）已知集合A=^||<lj,B={xlX2-2X>0],

则（）

A.AcBB.A^BC.A=BD.AB=R

4.（2024上•江苏无锡•高一江苏省天一中学校考期末）已知集合4={尤料42},8={a,0},

且BqA,则实数。的取值范围是（）

A.[-2,2]B.[-2,0）。（0,2]C.（-2,2）D.（-2,0）u（0,2）

5.（2024上•吉林延边•高一统考期末）已知全集"=1<,集合

⑴求图中阴影部分表示的集合C；

⑵若非空集合。={川4-。（尤<a},且。口4。3）,求实数。的取值范围.

题型三：集合的基本运算

1.（2024•陕西•校联考一模）已知函数/（x）=JF的定义域为A,函数

^（x）=log2I，4的值域为8,则AcB（）

A.（0,2）B.（0,2]C.（-oo,4]D.（-1,4]

2.（2024下•江西•高三校联考开学考试）设集合M={2,-2,-1},M={尤卜-4<1},若McN

的真子集的个数是1,则正实数。的取值范围为.

3.（2024上•河北石家庄•高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知集合

A=1x|2<x<6j,B=1x|3x—7>8—2x^.

⑴求AuB；

（2）若。={刈。—4<xWa+4},且AC=A,求a的取值范围.

4.（2024上•江西南昌•高一校联考期末）在①A3=3；②"x«A"是"xdB"的必要条

件；③814A=0这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.

间题：已知集合A={尤eR|（尤一l）（x+2）>0},B={xeR|y=>Jx+a,yeR}.

（1）当a=l时，求AcaB；

⑵若，求实数〃的取值范围.

5.（2023下•河南•高一校联考阶段练习）已知集合4={》|“4%4。+4},B={x|2'-3<4}.

（1）若。=2,求（Q3）cA；

（2）若（、A）u3=R,求实数〃的取值范围.

、.2a—x

6.（2024上・湖南衡阳・高一统考期末）已知集合4=卜（|炉-8%+15<0},函数>=30^^

定义域为集合B.

⑴若4e3,求实数。的取值范围.

（2）若Ac3=0,求实数。的取值范围.

题型四：充分条件与必要条件

L（2024上•全国•高三校联考竞赛）设a,6eR,集合4={°,片+1},3=也,62+”.贝/人二夕

是"。=）"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要

条件

2.（2022上•北京,高一校考阶段练习）"a>2"是"4>4"的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024上•天津•高三校联考期末）已知x,yeR,贝「x>0"是"凶+2|>。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024上•北京密云•高一统考期末）已知。，b,ceR,则"“>上的一个充分而不必要

条件是（）

A.a*2>b2B.2a>2b

C.sina>sinZ?D.ac2>be2

5.（2024上•江苏南京•高一统考期末）设全集U=R,已知集合

A={%|x2—5x+4<0|,B=1x|m<x<m+l1.

⑴若Ac3=0,求实数机的取值范围；

⑵若〃xeB〃是GeA〃的充分条件，求实数加的取值范围.

题型五：“的”字结构与“是”字结构对比

1.（2023•湖南岳阳•校联考模拟预测）〃％>3〃是〃3（%-1）22%+1〃的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024上•河北沧州•高一统考期末）已知xeR,则“x>l"是"log2（尤-D<1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

不等式工>1成立的一个充分不必要条件是（）

3.（2024上•福建南平,高一统考期末）

X

11

A.x<\B.x<—C.x>—D.0<x<—

332

4.（2024上•陕西咸阳•高一统考期末）“不等式加2+%+4%>0在R上恒成立"的一个必要

不充分条件是（）

11

A.m>—B.0<m<—C.m>—D.0<m<—

4488

5.（多选）（2024上•四川广安•高一统考期末）"Vx>0,x?-ov+1>0"为真命题的充分条

件可以是（）

A.a<0B.a<1C.a<3D.a<4

题型六：全称量词与存在量词

1.（2024下•广东•高三校联考开学考试）已知1,2],x2-2x+a<0;q：3xeR,

尤2-4元+a=0.若。为假命题，4为真命题，则。的取值范围为（）

A.[-3,4]B.（-3,4]

C.D.[4,+co）

2.（2024,广西南宁,南宁三中校联考一模）已知命题。与尤eR,lgr+尤23,则M为（）

A.Vx€R,lgx+x<3B.Hx£R,lgx+%<3

C.VxeR,lgx+x>3D.3xeR,lgx+x<3

3.（2024上•江苏徐州•高一统考期末）若命题〃*wR,炉+4%+/<0〃是假命题，贝快数才的

最小值为（）

A.1B.2C.4D.8

4.（2023上•云南昆明•高一官渡五中校考期中）命题〃：R,炉+人工+1«。是假命题，

则实数人的值可能是（）

9

A.—B.—2

4

1

C.—1D.—

2

5.（多选）（2024上•内蒙古呼伦贝尔•高一校考期末）命题"Vl〈xW3,尤2-aWO”是真命题

的一个充分不必要条件是（）

A.a>9B.a>ll

C.a>10D.a>12

题型七：一元二次不等式

1.（2023・湖南岳阳•校联考模拟预测）不等式/_1<3（%+1）的解集是（）

A.{x|x<4}B.{x|-4<x<l}

C.{x|-l<x<4}D.或%>4}

2.（2024上•河北沧州•高一统考期末）不等式—2。的解集为________.

2-x

3.（2015下•福建•高一校联考阶段练习）已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>勿

（1）求匕的值

⑵解不等式加-[am+b^x+bm<0.

4.(2023上•吉林白山•高一统考期末)解关于龙的不等式:

2x

(1)--<3；

1-x

(2)-(2。-l)x—220.

5.(2024上•四川南充•高一统考期末)已知函数=OU+1.

(1)若关于x的不等式+1W。的解集为[-1,2],求实数加，”的值;

(2)求关于x的不等式f(x)-x+m-l>0(/MeR)的解集.

题型八：一元二次不等式中的恒成立与有解问题

1.(2024上•重庆•高一重庆市青木关中学校校考期末)函数/(无)=J℃2一6+2的定义域

为R,则。的取值范围为()

A.[8,+co)B.(0,8]C.[0,8]D.{0}u[8,+oo)

2.(2024上•贵州毕节•高一统考期末)命题/去e[0,4],f_3x—。>0,若F是假命题,

则实数。的取值范围是.

3.(2024上•福建龙岩•高一福建省武平县第一中学校联考期末)已知二次函数

f{x)=x1-bx+c,对任意;reR都有/'(-2-x)=/(-2+x),且/(0)=6.

⑴求函数/(x)的解析式；

(2)若对于不等式〃矿(》)-6<0恒成立，求x的取值范围.

4.(2024上•江苏无锡•高一江苏省天一中学校考期末)已知函数/(x)=log2(2无)/og2：.

⑴当xe[1,4]时，求该函数的值域；

(2)若/("〈Mog?》对于用恒成立，求实数机的取值范围.

5.（2024上•安徽芜湖•高一统考期末）设函数/（力=依?+及+3,关于x的一元二次不等

式/（x）＞0的解集为（-3,1）.

⑴求不等式X2+很+万＞0的解集；

（2）若以且-1,引,/。）2混,求实数机的取值范围.

9一〃一尸

6.（2024上•安徽安庆・高一安庆一中校考期末）设定义域为R的奇函数/（尤）=；+）j,

（其中。为实数）.

（1）求。的值；

（2）是否存在实数上和xe[-L,3],使不等式/（丁一日）+/（2-x）＞0成立？若存在，求出实数

%的取值范围；若不存在，请说明理由.

题型九：基本不等式及其应用

1.（2023上•新疆•高一校考期末）若正实数无、，满足无+＞=2,则工的最小值为（）

孙

A.0B.1C.2D.3

31

2.（2024上•河北沧州•高一统考期末）已知正数x,y满足3%+2y=2,则丁+一的最小值

2xy

为（）

251325

A.6B.—C.—D.—

422

3.（2024上•广西•高一校联考期末）已知〃+/=H?+4,则a+b的最大值为（）

A.2B.4C.8D.2&

4.（多选）（2024上•河南驻马店•高一统考期末）已知正实数6,下列不等式一定成立的

是（）

1114

A.〃H----23B.—I—2----

a-1aba+b

r~r、2aba2+10,,«1小、r

C.y/ab>----D.r的取小值为4

a+b,/+6

19

5.（2023•陕西咸阳•咸阳市实验中学校考一模）已知。>0,b>0,且——+--=1,贝IJa+人

〃+1b+l

的最小值为.

6.（2022上•河南•高二校联考期末）已知ABC中，点。在线段（不含端点）上，且满

12

足CD=xC4+yCB（x,yeR）,则（+］的最小值为.

7.（2022上•河南•高三校联考专题练习）若正数机，〃满足〃z+w=6,则工（"+9］的最小

mVnJ

值为.

8.（2024下•湖北•高二应城市第一高级中学校联考开学考试）已知&=（〃工+LL-1）,6=。,〃,3）,

14

其中加>0,n>0,若a_Lb，则一+一的最小值为.

mn

题型十：复数的综合应用

一3-i

1.（2024下•陕西安康•高三统考开学考试）已知复数z=「，则5=（）

2+1

75.75.

A.1—iB.1+iC.----iD.—I—i

3333

2.（2023•湖南岳阳•校联考模拟预测）已知i为虚数单位，羽V为实数，若

（x+）i）+2=（3-4i）+2）d,贝!J%+y=（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2023・湖南岳阳•校联考模拟预测）已知i为虚数单位，则复数z=|i|+（l-i）2的虚部是（）

A.-iB.-1C.-2iD.-2

4.（2024下•江苏南通•高三统考开学考试）若zeC,且是纯虚数，则|z|=（）

Z+1

5

A.—B.1C.JiD.2

2

5.（2024下•浙江•高三校联考开学考试）已知复数2=。+历，其中a/eR且a+b=l,则

|z+l+i|的最小值是（）

A.72B.2C.—D.

22

6.（2024•陕西咸阳•统考模拟预测）已知i为复数单位，富=2+i（aeR）,则复数z=2+oi

1—1

在复平面上对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（2022•全国•模拟预测）已知复数z为纯虚数，且满足z«2-3i）=5+mi,则实数根的值

为（）

10101515

A.—B.——C.—D.——

3322

第二部分：新定义题

1.（2024上•上海•高一上海市建平中学校考期末）已知集合S是由某些正整数组成的集合，

且满足：若aeS,则当且仅当。="2+〃（其中正整数机、“eS且或。=。+4（其

中正整数P、qeS且现有如下两个命题：①5eS；②集合{x|尤=3",〃eN*}=S.则

下列判断正确的是（）

A.①对②对B.①对②错C.①错②对D.①错②错

2.（2023上•上海嘉定•高一上海市育才中学校考期中）已知集合P,。中都至少有两个元

素，并且满足下列条件：①集合尸，Q中的元素都为正数；②对于任意都

有£eP；③对于任意都有融eQ；则下列说法正确的是（）

b

A.若尸有2个元素，则。有3个元素

B.若尸有2个元素，则PUQ有4个元素

C.若尸有2个元素，则P。有1个元素

D.存在满足条件且有3个元素的集合产

3.（2015上•上海浦东新•高一上海市实验学校校考期中）若X是一个非空集合，M是一个

以X的某些子集为元素的集合，且满足：®X&M,0eM；②对于X的任意子集A,B,

当AeM且BeM时，有（Au8）eM；③对于X的任意子集A,B,当AeM且Be”时，

有（AcB）wM,则称/是集合X的一个集合类”.例如：M={0,{a},{a,6}}是集合

X={a,印得一个"M一集合类”.若X={a,6,c},则所有含物,c}的"M—集合类"的个数为（）

A.9B.10