空间点、直线、平面之间的位置关系（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第29讲空间点、直线、平面之间的位置关系

（4类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第6题,5分线面关系有关命题的判断

2024年天津卷，第17题,15分证明线面平行面面角的向量求法点到平面距离的向量求

2023年天津卷，第17题,15分证明线面平行广求点面距离求二面角

2022年天津卷，第17题,15分空间位置关系的向量证明线面角的向量求法，面面角的向量求法

2021年天津卷，第17题,15分空间位置关系的向量证明线面角的向量求法，面面角的向量求法

2020年天津卷，第17题,15分空间向量垂直的坐标表示线面角的向量求法面面角的向量求法

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握空间基本事实，能够判断点线面之间的关系。

2.能掌握空间异面直线所成的角

3.会解立体几何的截面问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给几何体，求解异面直线所成的角，判断线面关系

等。

•考点梳理•

「知识点一.四个公理｛考点一、基本事实的应用

知识点二.直线与直线的位置关系

5、nU—右在匚室yA•考点一、基本事实的应用

知1八点二•直线与干面的位置关系，考点四、立体几何截面问题

空间点、直线、平面之间的位置关系J

知识点四.平面与平面的位置关系：

知识点五.等角定理：

知识点六.异面直线所成的角考点三,异面直线的判断与异面直线所成角

知识讲解

知识点一.四个公理

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据

推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据

（2）此推论是判定若干平面重合的依据

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据

（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

知识点二.直线与直线的位置关系

位置关系相交（共面）平行（共面）异面

图形

符号a(^\b=Pa//ba(y\a=A,b(^a,A^b

公共点个数100

特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平两条异面直线不同在如

面何一个平面内

知识点三.直线与平面的位置关系：

有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.

位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）

图形

//

符号1ual[\a=P1//a

公共点个数无数个10

知识点四.平面与平面的位置关系:

有平行、相交两种情况.

位置关系平行相交（但不垂直）垂直

图形

\~a~

L/------------

LZJ

符号a//pa[\j3=la工B,

公共点个数0无数个公共点且都无数个公共点且都在

在唯一的一条直线上唯一的一条直线上

知识点五.等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

知识点六.异面直线所成的角

⑴定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点。分别作直线"〃a,b'//b,我们把直线"与〃所成的

角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

（2）范围：（0,.

考点一、基本事实的应用

典例后阚

1.(•四川・高考真题)如图，平面4BEF_L平面力BCD,四边形4BEF与4BCD都是直角梯形,

^BAD=AFAB=90°,BC〃-AD,BE”-AF,G,H分别为

=2=2

F4FD的中点.

(I)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(IDC,D,F,E四点是否共面？为什么？

(III)设AB=BE,证明：平面ADE_L平面CDE；

2.(2024・四川成都•二模)如图，在棱长为2的正四面体P—ABC中，M,N,E,尸分别是棱PB,4B,4C,PC的中

点.

⑴证明:M,N,E,F四点共面;

(2)求四棱锥P-MNEF的体积.

即时检测

1.(2024高三・全国・专题练习)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，对角线4C,BD交于点0,OA=4,

OB=3,OP=4,OPJL底面4BCD,E,F分别为侧棱PB,PD的中点，点M在CP上且加=2MP.求证：4,E,M,F

四点共面.

2.(2024高三.全国.专题练习)如图，在正方体力BCD-A/iCiDi中，E,F,G,"分别是棱4B,a的,如4,D/

的中点.求证：E,F,G,H四点共面.

3.(2024•江苏徐州•一模)如图,在正四棱柱力BCD-力iBiGA中，AB=2,34=4,E为久久的中点，经

过BE的截面与棱。4,占Bi分别交于点F,G,直线BG与EF不平行.

(1)证明：直线BG,EF,441共点；

(2)当屈=；西时，求二面角C-BF-A的余弦值.

4

4.(23-24高三下.重庆•阶段练习)如图，在直三棱柱中，AB=ACAAr=1,M为线段4当

上一点，平面8cM交棱&G于点N.

(1)求证：直线BM,CN,44i共点；

(2)若点M为4当中点，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为己知，求直线当。与平面BCM所成

角的正弦值.

条件①：三棱锥2—MBC体积为；；

条件②：三棱柱ABC-的外接球半径为争

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

考点二、空间位置关系的判断

典例引领

1.（23-24高三上•山东荷泽•阶段练习）在三棱锥D-ABC中，点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA±,

旦EFHGH,则下列说法中正确的是（）

A.直线EH与FG一定平行B.直线EH与FG一定相交

C.直线EH与FG可能异面D.直线EH与FG一定共面

2.（24-25高三上•江苏南京•阶段练习）设a,b,c是三条不同的直线，％。,丫是三个不同的平面，则下列命

题为真命题的是（）

A.若ale,blc,贝！Ja||bB.若all瓦alla,贝!Jb||a

C.若a||a,b||a,c1a,c1b,贝！Jc||aD.若/71a,y1a/ny=a,则a1a

即时检测

I________L__________

1.（2025・安徽•模拟预测）设a,b是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，若aua,bu0,al£,

则“a1''是“a1b”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024・四川•模拟预测）设匕/2为两条不同的直线，曲,a2为两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若人//%，Z2//a1；则%//12

B.若A%与的所成的角相等，则4//12

a

C.若a11a2,//«!，12H2>则=-L〈

D.右a】_La?,Z】_La】,I?_La2，则I】_LI2

3.（2024•山东淄博•二模）己知a,[3,7为三个不同的平面，a,b,1为三条不同的直线.

若anp=l,aCly=a,pny=b,1//y,

则下列说法正确的是（）

A.a与1相交B.b与1相交C.a〃bD.a与p相交

4.（2024.贵州遵义.二模）已知平面a,£,y满足a1_Ly,a1y,下列结论正确的是（）

A.若直线I1a,则〃/或〃/y

B.若直线〃/a,则/与0和y相交

C.若Zua,则110,且21y

D.若直线1过空间某个定点，则与a,成等角的直线，有且仅有4条

考点三、异面直线的判断与异面直线所成角

1.（2022•安徽马鞍山•模拟预测）正方体48CD-中，点M是CC】上靠近点G的三等分点,平面ZM%n

平面力BCD=/,则直线1与B4所成角的余弦值为（）

AV5,,715^710^375

A.—o.C.U.

1010510

2.（2024・重庆・二模）已知a,b是空间中的两条直线，贝b,6没有交点是a〃b的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

即0举丈

1.（23-24高三下.河南.阶段练习）过三棱柱任意两个顶点的直线中，其中异面直线有（）对

A.15B.24C.36D.54

2.（2021•全国•高考真题）在正方体ABCD-4/1GD1中，P为/A的中点，则直线PB与公劣所成的角为（）

A.-B.-C.-D.-

2346

3.（2022・浙江•高考真题）如图，已知正三棱柱4BC-&B1C1，4c=A4,E,F分别是棱上的点.记

EF与所成的角为a,EF与平面ABC所成的角为万，二面角F-BC—力的平面角为y,则（）

A.a<p<yB.p<a<yC.<y<aD.a<y<p

考点四、立体几何截面问题

典例引领

1.（2024•重庆沙坪坝•模拟预测）圆台上、下底面半径分别为r,R,作平行于底面的平面a将圆台分成上下两

个体积相等的圆台，截面圆的半径为（）.

'r2R+rR2

2.（2024•四川绵阳•模拟预测）在长方体4BCD—中，AB=2AD=点M是线段好名上靠近5

的四等分点，点N是线段CG的中点，则平面2MN截该长方体所得的截面图形为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

即时检测

1.（2024・安徽蚌埠•模拟预测）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为4cm和6cm,AA,,为圆台的两

条母线，截面4BB14与下底面所成的夹角大小为60。，且O01劣弧生功的弧长为詈cm,则三棱台力B。-

4/101的体积为（）

B

A.ycm3B.10-\/3cm3C.19cm3D.20V3cm3

2.（2024•浙江温州•模拟预测）边长为2的立方体被一个平面所截，截得的截面图形面积最大值为（）

A.4V2B.2V3C.3V3D.6a

3.（2024・全国•模拟预测）已知正方体4BCD中，点E是线段上靠近当的三等分点，点F是线

段。1的上靠近5的三等分点，则平面AEF截正方体2BCD-&B1C1A形成的截面图形为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D,六边形

4.（2023•安徽马鞍山•模拟预测）已知正四棱锥S-4BCD的所有棱长都为2,点E在侧棱SC上，过点E且垂直

于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形的面积的最大值为

ML好题冲关・

A基础过关

1.（2024（Wj二・天津,专题练习）若血，九为两条直线，a为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A.若荏u仇，贝！Jm〃nB.若zn//a,n//a,贝！

C.若m〃a,n1a,则7nlnD.若zn〃a,n1a,则m与ri相交

2.（2024高三・全国・专题练习）若直线，不平行于平面a,且/0a,则下列说法中正确的是（）

A.a内的所有直线与，都异面B.仇内的所有直线与1都相交

C.a内不存在与/平行的直线D.a内存在唯一的直线与/平行

3.（2024高三・全国・专题练习）下列说法正确的是（）

A.若直线1平行于平面a内的无数条直线，则l〃a

B.若直线a在平面a外，则a〃a

C.若直线a〃b,bca,则a〃a

D.若直线aCa,135且@〃卜贝!ja〃a

4.（2020•天津河东•模拟预测）已知平面a1,直线Zua,直线6不在平面a上，下列说法正确的是（）

A.若a〃，,?n〃/?,贝！J/〃znB.若。〃，,7n1，，贝取1zn

C.若,则/n〃SD,若I则a1£

5.（23-24高三上•天津和平•阶段练习）设TH,几是三条不同的直线，％/?是两个不同的平面，下列命题正确

的是（）

A.若则〃/九B.^l//m,m//a,则〃/a

C.若11m,〃/a,则m〃aD.若mIn,mHa,nilB,则a///?

6.（23-24高三上•天津武清•阶段练习）已知m,n是两条直线，a,夕是两个平面，则下列命题成立的是（）

A.若al/?,maa,则mlSB.若a〃B，mca,nu0,则？

C.若mua,nu0,mlIn,则a〃/?D.若anS=m,nila,n〃/7,则

能力提升

1.（20-21高三上•天津红桥•期中）已知血、九是不重合的直线，*夕是不重合的平面，有下列命题:

①若n〃a,mccr,则m〃几；

②若zn〃a,mlip,则a//；

③若m1/?,a1£,则/n//a；

④若zn1a,ml/?,则a///?；

⑤若a1S，me/?,则TH1a；

⑥若。〃/?,ml/?,则7nla；

⑦若aC\0=n,mlIn,贝（Jzn〃a.

其中真命题的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2020•天津北辰・二模）m,九是不同的直线，a,夕是不重合的平面，下列说法正确的是（）

A.若仇〃夕，mua,nuB,则相〃九

B.若九ua,m///?,n“B，则。〃£

C.若a“B，m//a,则m〃/?

D.m,ri是异面直线，若m〃a,n//a,n[邛,贝!Ja〃/?

3.（20-21高三上•天津•期中）在正三棱柱/BC—49C，中，。为棱ZC的中点，AB=AA\则直线次C和80所

成的角的余弦值为