吉林省2024-2025学年高二年级上册11月期中联考数学试题（含解析）

局一数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章3.2.1.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.直线2氐—27+3=0的倾斜角为()

兀兀2兀5兀

A.—B.-C.—D.—

6336

2.若直线4：ax+3y+6=0与直线(：x+(a+2)y—2=0平行，则°=()

、3

A.-3B.C.1D.—1

2

3.已知向量1=(5,1,3),3=(9,8,5),则向量B在向量1上的投影向量为()

68_17_23_13_

A.—uB.—aC.—aD.—a

359127

4.若构成空间的一个基底，则下列选项中能作为基底的是()

^.a-c,a-b,b-cB,a+c.b.a-^-c-b

C.b+a,b-a+c,c+2bD.a+b,b+c,a+c

5.空间内有三点尸(—1,2,3),E(2,则点尸到直线£下的距离为()

A，V2B，V3C.2V2D.2G

22

6.已知椭圆C：(+?=l的右焦点为尸，上顶点为4,点尸(—2,-2),。是C上一点，则|尸。卜|。川的

最小值为（）

A.2-V2B.4-2V2C.2-4V2D.2-2点

—►1—►

7.如图，在棱长为3的正四面体P—48。中，O为V/BC的中心，。为24的中点，BE=-BC,则

3

PO,DE=（）

A.2B.3C.4D.6

2222

XV4+A=l（x<0）组成的曲线称为“果圆”，其

8.如图，已知半椭圆G：—+二1（%..0）与半椭圆。2

ab"c

中=A2+c2,a〉b〉c〉0.“果圆”与无轴的交点分别为4,4,与歹轴的交点分别为综与，点尸为

半椭圆g上一点（不与4重合），若存在网.可=0,则半椭圆G的离心率的取值范围为（）

rvs-i2]

仕君-1）

D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知曲线C:机X?+即2=机〃，则下列说法正确的是（）

A.若〃2>〃>0,则C是椭圆，其焦点在〉轴上

B.若m<0<n则C是双曲线，其渐近线方程为y=±

C.若机=2〃>0,则C是椭圆，其离心率为J注Q.

2

D.若〃?=—2〃<0,则C是双曲线，其离心率为百

10.已知球O的半径为R,则()

A.球O的内接正方体的内切球表面积为2兀及2

B.球O的内接正方体的内切球体积为生871H3

27

C.球O的内接正四面体的内切球半径为工R

3

D.球O的内接正四面体的内切球半径为R

3

II.如图，正方体258—44。A的棱长为2,£,厂分别为/民BC的中点，尸为底面48—CD内的动

点，且。］尸=石，贝U()

兀

A.动点尸的轨迹长度为一

2

JT

B.存在点尸，使异面直线与所所成的角为一

4

C.点P到平面D.EF的距离的最小值为《-24

17

D.点P到平面D.EF的距离的最大值为上叵

17

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在平行六面体中，设75=%赤=3,麴=1，则西=.(用心人］

表示)

13.若点(1,3)在圆/+/—方-2即+5。=0的外部，则正实数。的取值范围是.

14.已知圆C:(x+2y+(y—Ip=8,直线/：4x—歹―8=0,/为直线/上一动点，N为圆C上一动点,

定点尸（2,3）,则|九W|+|九0的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

己知直线/：机x+（机+1）＞一2机+1=0,圆C:/+/-4x+4y-l=0.

（1）证明：直线/与圆C相交.

（2）记直线/与圆C的交点为48,求|48|的最小值.

16.（15分）

22

已知椭圆C:]+£=l（a〉b〉0）的焦距为12,长半轴长为4G.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线/与椭圆C相交于48两点，若线段48的中点坐标为求直线/的方程.

17.（15分）

如图，在体积为2行的三棱柱Z5C—451G中，平面48与4,平面

ABC,AB=AAX=/C=2,ZABBX=60°.

（1）证明：48]，平面45G.

（2）求平面48。与平面Z/CG夹角的余弦值.

18.（17分）

如图，在三棱台A8C—44cl中，4&J.平面

4SC,/R4C=120°,49=ZC=348]=34G=3,44]=2,。是棱/C的中点，£为棱上一动点.

—•1—•

(1)若C£=§C8,证明：幺用〃平面GQE.

（2）是否存在£,使平面CQEJ_平面448片？若存在，求此时461与平面GQE所成角的正弦值；若

不存在，说明理由.

19.（17分）

已知片，耳分别为椭圆C：:+，=1（a〉b〉0）的左、右焦点，4B分别为椭圆C的左、右顶点，

尸（玉）Jo）为椭圆C上的动点，过动点P（x0,y0）作椭圆C的切线.分别与直线x=-3和x=3相交于D,C

两点，四边形4BCQ的对角线相交于点M,记动点M的轨迹为£.

（1）证明：椭圆C在尸点处的切线方程为里=1.

94

（2）求动点〃■的轨迹£的方程.

（3）过点N（2,0）作斜率不为。的直线/与£相交于点K,S,直线/R与3S的交点为。，判断点。是否

在定直线上.

高二数学试卷参考答案

1.B直线2Gx—2y+3=0的斜率为G，所以倾斜角为

2.C因为4〃(，所以a(a+2)—3=a?+2Q—3=(a+3)(Q—1)=0,所以Q=—3或a=l.

当Q=—3时，4:—3x+3y+6=0,(：%—P—2=0,4,(重合；

当Q=1时，4:x+3y+6=0,/2：%+3»-2=0,符合题意.

一b-aa68_

3.A向量b在向量不上的投影向量为^・育=7?。.

|可囿35

4.D因为万一己=(万一3)+(3—己)，所以万一己为共面；

因为万+己=3+(1+1-B),所以万+工3,万共面；

因为3+1=(1+26)—(3—之+己)，所以B+万,B-M+5,?+2B共面；

因为不存在孤儿使得d+B=x(B+，+y(N+u),所以2+RB+E为+已不共面.

5.A因为而=(—1,1,1),所以£尸的一个单位方向向量为"=g(—1,1,1).

因为尸£=(3,-1,-2),所以点P到直线EF的距离为yJpE2-(PE-u)2=V14-12=J5-

6.C设椭圆C的左焦点为尸，则由椭圆的定义知|。司+|°厅］=4后，所以

|尸。一|。川=10。+|纱1―4后.当尸,0尸三点共线时’(|尸。|+|。尸］)3=「k1=2,所以

|尸。H°E|的最小值为2—4A历.

7.B连接AO,AE,PE(图略).因为

PO-DE=PO-(DA+AE^=Pd-(^PA+^AB+^Ac}=^Pd-PA

I/►►\►1►1

=5(尸。+。4)•尸。=]1尸。F=]X6=3.

8.D(解法1)^P(ccos^?&sin^),cos^G(-l,0),

因为4(一*0)，4(凡°)，所以4尸=(比058+。,加山。)，4尸=(℃05。一。,加由8).

2222122

4尸.A2P=(ccos0+c)(ccos8-a)+bsin0=ccos^-accos0+c2cos0-ac+b-Z7cos^

222

=(02-Z7^COS<9+^C一cQ)cose+Z?2-ac=[('一b2)cos9+Z)2-QC](COS6+1)=0,所以

<:058=与二年.因为馆5夕€(—1,0),所以_]<£—4：<0.

b2-c2'7b--c1

c?+ac—a?>0,(yj-5—12

因为〃=/—/,所以《解得ee——.

5c+ac-2a<0,12力

(解法2)设尸(%,%),%e(-c,0),

因为4(-c,0),(a,0),所以尸&=(-c-x0,-j(),PA2=(a-x0,-v0),

所以尸4•尸幺？=XQ+(c-a)x0-ac+VQ.

A22__________„2_A2

因为y；=〃—2学，所以可.巨石=-(c—a)Xo+〃—•因为存在可•可=0,所以

cc

2

(/_,2)x：+02(C—Q)/+(/-aC^C=0在与m(-c,0)上有解.因为

22

(02―叫片+c(c-a^x0+(〃-ac^c=[(/—方2)与+(62—ac)c](xo+c),且x()e(-c,0),所以

22即x=G―在(-c,0)上有解.因为

(c-6)XO+(〃—QC)C=0在/£(—c,0)上有解

°b2-c2

__.Q2—ac—c?<0,(亚-12)

222

b=a-c^所以c2c2八解得■2力

3c+ac-2a<0,、

9.ACD若机〉〃>0,则C的方程可整理成工+-—=1,其表示焦点在N轴上的椭圆，所以A正确；

nm

22其表示双曲线，渐近线方程为土所以

若机<0<〃，则C的方程可整理成^--工=1,y=J—%x,B

n—mVn

不正确；

22J2Tl-H\/2

若机=2〃>0,则。的方程可整理成二+乙=1,其表示椭圆，离心率为〜，=’,所以C正

n2ny[2n2

确;

若m=-2〃<0,则C的方程可整理成工—22=1,其表示双曲线，离心率为"=M，所以D正

n2n7n

确.

10.BC对于A,B,设球O的内接正方体的棱长为。，则球O的内接正方体的内切球半径八,球O

的半径区=丰0,所以八=餐氏，所以表面积51=4叼2=17^2,体积匕=：跖3=挈兀/，故A

不正确，B正确.

对于C,D,设球O的内接正四面体的棱长为b,如图，可知O[A=q~bQiB=Sb,OO[=]~b—R.

由++?/A

b-RY=R2,解得b=

3J3

因为球。的内接正四面体的体积％.半〃・^^=挈氏3,球。的内接正四面体的表面积

1=闻2=更氏2,所以球o的内接正四面体的内切球半径g=等=：氏，故C正确，D不正确.

3之3

H.ACD因为尸为底面48c。内的动点，且DD[=2,D[P=5所以。尸=1,所以动点尸

的轨迹是以。为圆心，1为半径的圆落在底面ABCD内的部分,

71

所以动点尸的轨迹长度为一，故A正确.

2

如图，建立空间直角坐标系，则颐2,1,0),下(1,2,0),丽=(—1,1,0),

设尸(cos8,sine,0),e£0弓，因为2(0,0,2),所以口尸二(cos8,sine,-2).

DPEF正无解,

因为cosDiRET7=Xsin。—cos。

印而V5xV22

所以不存在满足条件的点尸，故B错误.

设平面厂的法向量为为=(x,y,z),因为丽=(—1,1,0),印=(2,1,—2),所以

<——一''令x=2,得万=(2,2,3).因为丽=卜05。—2,5/。—1,0),所以点尸到平

力•=2x+y-2?=0,

面*尸的距离|丽臼」2sin9+2cos”6|_2Mmj—6，当e=工时,

"=布=布4

=6后—2庖,所以c确.

min]7

兀，=生47,所以D正确.

当。二0或一时，d

21max]7

12・3一方+己BD、=AD-AB+DD[=b-a+c.

（-Q）2+（-2Q）2—4x5Q>0,

13.（4,5）由v『+32_q一6。+5。>0,得ae（4,5）.

Q>0,

4X^Z2._A±1_8=0,

22%=6,

14.2&设点。关于/的对称点为。0(%,盟)，贝卜11解得即

%-1=1Jo=-1，

%+24

C0（6,-l）,所以|MC|+\MP\=\MC0\+\MP\...\C0P\=4也.^\MN\+|必）|的最小值为

4V2-2V2=272.

15.(1)证明：将直线/的方程整理得加(x+y-2)+y+l=0,

x+y-2=0.Ix=3,/、

令jy+；=0得［=_］即直线/经过定点

将点（3,-1）的坐标代入圆C的方程得32+（-1）2-4X3+4X（-1）-1=-7<0,

所以点（3,-1）在圆。的内部，所以直线/与圆C相交.

（2）解：圆C的圆心为。（2,-2）,半径为3.

记点C到直线I的距离为d,则|48|=243?-屋=2的-屋.

记点（3,—1）为尸，因为a,\PC\=7（2-3）2+（-2+1）2=V2,

所以|28京=2后历=2屿・

CL—

16.解：（1）由题意可知《

c-6.

因为尸=02一。2=12,所以椭圆C的方程为三+匕=1.

4812

22

工+J

4812

（2）设4（石，必）,5（%,%），则<

22

逗+9=1,

〔4812

x

两式相减得万一巧+才—，=0，整理可得直二^1x+x2

4812%一々4%+匕

因为线段48的中点坐标为（-4』），所以西+々=-8,%+耳=2,

所以直线/的斜率左=上及]L1+>2=__Lx—=1

4%+8—42，

故直线/的方程为歹—l=x+4,即x—歹+5=0.

17.（1）证明：取48的中点O,连接。与，由V814B为正三角形，得0814g.

因为平面48男4，平面4BC且交于所以。吕，平面4BC,即。片为该三棱柱的高.

因为三棱柱ABC-481G的体积V=SVABC，OB\=2且,所以S,ABC=2.

因为SV/BC=；Z8-ZCsin/8NC=2,所以NB4c=90°，即

由平面ABBXAX1平面ABC且交于AB,可得/CJ_平面ABB^.

因为平面4B814,所以ZC_L48].因为NC〃4G，所以481_L4G，

在菱形ABB4中，ABI±AXB.因为AXBn4G=4,所以ZgJ_平面45cl.

(2)解：如图，以O为原点，以砺，函的方向分别为x,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则

^（-1,0,0）,5（1,0,0）,C（-1,2,0），4（-2,0,A/3）.

设平面45c的法向量为或=（玉,必,句）,因为A&=卜3,0,6），4。=0,2,-6）.

m-BA.=-3x+也z、=0,

所以_2'

in•4。=%+2yl-<3Z[=0,

令芭=1,得应=G）.

设平面N/CG的法向量为拓=（乙，F2,22）,

因为您=（—1,0,6）,就=（1,2,—G）,

n-AA=-x+V3Z=0,

所以_2?9厂

n-AxC=々+2%-A/3Z2=0,

令々=6,得万=（6,0,1）.

市.五2\[^J]5h.

因为cos<玩，万〉=II=-F--=——,所以平面ABC与平面AACC夹角的余弦值为-一.

\m\\n\75x25{XX5

18.解：如图，以4为原点，以NC,44]的方向分别为x,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则5,c(3,o,o),4(o,o,2)，3--,^,2,q(1,0,2),z»

<7V>

一1一(3△'

(1)证明：因为CE=—C8,则E—,0,

3122J

设平面G°E的法向量为拓=(X]/I，zj,因为/=[—；,0,21,瓦=0,^,0,所以

12)<2J

_——►1

n,DC1-—-Xj+2Z]—0,

_TT?Gn

n-DE=—yl=0,

令苞=4,得方=（4,0,1）.

因为481

I22J

—.1

所以A5i•云=—5义4+0+2*1=0,

所以48]〃平面GQE.

__（33\[3、

⑵解：设平面448片的法向量为应=（%,为，Z2），因为五彳=（0,0,2）,益k=—5，,0,

in-AAX-2z2=0,

所以V_—,33由令％=1，得比=

JTI,A.B——X?~\------%—0,

、22

_k(93Q、

设C£=4C5(0”4,1),则£3—%,----4,0,

、22?

-；,0,2）,瓦

设平面GQE的法向量为万=（x,y,z）,因为。GG—MM，

[222)

n,DC,=—x+2z—0,

12广——-（1、一■1393百，

所以一市Q9/十3、员令x=M九,得。G=[-5,0,2|,Z）E=—.

-2j=0,'J<J

[U2）2

假设平面CXDEI平面A.ABB,,则而•方=0.

//—Y/—\

解得2=—，所以万

设AB,与平面CQE所成的角为。，

-.IV3

,/—.曲词~T__6V13

则sin。—cos(AB,,n)—___—1—

网同号小W-65'

84q

此时ABX与平面C.DE所成角的正弦值为小叵.

所以存在E,使平面CQE1平面A.ABB,,

65

至+里=1

19.(1)证明：联立方程组《22消去〉整理得

XV

——+—:=1

194

,22、。222

庄+9》2_*+1』=0…xy1

—+—=1,

(3681J9