考研笔记 尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第11版）笔记和课后习题详解

之一，被国内部分院校(主要是北京大学、中国人民大学、南京大学等名校)指定为考研考济理论——基本原理与扩展》的考生复习专业课，我们精心编著了供免费下载，免费升级):1.尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》(第11版)笔记和课后习题详解2.尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》讲义与视频课程【25小时高清视频】3.尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》(第11版)课后习题详解4.尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》配套题库【课后习题+章节题库(含名校考研真题)+模拟试题】本书是尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》(第11版)教材的配套电子书，主(1)浓缩内容精华，整理名校笔记。本书每章的复习笔记对本章的重难点进行了整理，并(2)解析课后习题，总结知识考点。本书参考国外教材的英文答案和相关资料对每章的习(3)补充相关要点，强化专业知识。一般来说，国外英文教材的中译本不太符合中国学生(4)最新补充内容，可免费升级获得。本书后期会进行修改完善，对于最新修订完善的内|经济类()提供全国各高校经济类专业考研考博辅导班【一对一辅导(面授/网授)、网授精讲班等】、3D电子书、3D题库、全套资料(历年真题及答案、笔记讲义等)、经济类国1.直播答疑：扫码下载本书手机版，找学友互动学习，看名师直播答疑有学友，可精确查找学友的具体位置，可与学友互动，交流学习(视频、语音等形式);本2.720度立体旋转：好用好玩的全新学习体验3.质量保证：每本电子书都经过图书编辑队伍多次反复修改，年年升级4.手机扫码即可阅读，精彩内容，轻松分享扫码即可在手机阅读，随处随学。可以不用客户端不用账号，简单方便!5.免费升级：更新并完善内容，终身免费升级6.功能强大：记录笔记、答案遮挡等十大功能(1)知识点串联列举相同知识点内容列表呈现，便于读者记忆和复习，举一反三，触(2)划线添加笔记——使用颜色笔工具，划一条线，写笔记，提交纠错。【独家推出】(3)答案遮挡——先看题后看答案，学习效果好。【独家推出】(4)全文检索——输入关键词，本书相关内容一览无余。【独家推出】7.多端并用：电脑手机平板等多平台同步使用本书一次购买，多端并用，可以在PC端(在线和下载)、手机(安卓和苹果)、平板(安卓和苹果)等多平台同步使用。同一本书，使用不同终端登录，可实现云同步，即更换不同()是一家为全国各类考试和专业课学习提供辅导方案【保过班、网授班、3D电子书、3D题库】的综合性学习型视频学习网站，拥有近100种考试(含418个考试科目)、194种经典教材(含英语、经济、管理、证券、金融等共16大类),合计近万小时的面授班、网授为您处理!全国热线：400-900-8858(8:30-00:30)详情访问：(经济类)1.1复习笔记1.2课后习题详解第2章微观经济学中的数学工具2.2课后习题详解第二篇选择与需求第3章偏好与效用3.2课后习题详解第4章效用最大化与选择4.1复习笔记第5章收入效应与替代效应第6章商品间的需求关系第三篇不确定性与策略第7章不确定性第四篇生产与供给第9章生产函数第10章成本函数第11章利润最大化第五篇竞争性市场第12章竞争性价格决定的局部均衡模型第13章一般均衡与福利第六篇市场势力第15章不完全竞争第七篇要素市场定价第16章劳动力市场第17章资本和时间17.2课后习题详解第八篇市场失灵第18章不对称信息第19章外部性与公共品1.经济模型(1)经济模型的含义(2)经济模型的三个共同因素(3)检验经济模型的方法3.经济均衡(1)局部均衡理论(2)一般均衡理论一般均衡理论是1874年法国经济学家瓦尔拉斯创立的。瓦尔拉斯认为，整个经济体系处于1.2课后习题详解第2章微观经济学中的数学工具2.1复习笔记1.一元函数最大值问题假设企业所获得的利润(π)仅取决于出售商品的数量(q),它的数学表达则(1)最大化的一阶条件(必要条件):对于上述一元函数，如果在某一点取到最大值，它在该点的导数(如果存在)必为零。即(2)最大化的二阶条件(必要条件):在满足一阶导数等于零的条件下，并不能保证该点为极大值点，还必须满足二阶导数小于零，即2.多元函数的最值问题函数取最大值(或者最小值)的必要条件是，对于任意罪的微小变化的组合都有一=,这样该点必有：为极值的一阶条件，但这个条件并不=,组合都有一=,这样该点必有：为极值的一阶条件，但这个条件并不=,3.包络定理在经济分析中，人们常常要考察经济中的某些参数的变化对目标函数(最大值)的影响，如一商品价格的变化对消费者的效用的影响，一投入要素价格的变化(或要素禀赋的变动)对厂商收入(或利润)的影响，此时，包络定理为这种分析提供了方便。L(x,α;)=f(x,α)-ig(x,α)即参数k对最大值函数(目标函数的最大值)的影响，就等于拉格朗日函数直接对参数k4.有约束条件的最大化问题求解具有约束条件最大化问题的一种方法是拉格朗日乘数法。假设求解，范，…,x的其中函数8表示所有X满足的关系。:局5.有约束条件下的最大化问题中的包络定理函数与8对参数a具有依赖性。求解这个问题的一种方法是建立拉格朗日表达式：求解最优值i,….,的一阶条件，它可以表示为：即当参数a的改变(与所有重新计算的三的最优值)导致的最优值的改变可由对拉格朗日表达式求偏导数，再将极值点的数据带入得到。因此，拉格朗日表达式在计算有约束条件下的问题和没有约束条件的问题时，包络定理起了相同的作用。6.齐次函数则称其为「次齐次函数。(1)齐次函数的偏导数一个次齐次可微函数的各个偏导数是次齐次的。对齐次函数表达式关于1求偏导数，可见「是满足同次齐次的定义的。(2)欧拉定理齐次函数的一个重要性质是对因子求偏导得到的。对齐次函数表达式的两边分别对求偏这就是齐次函数的欧拉定理。它说明了对于齐次函数，其函数值与其各个偏导数之间有确定的关系。(3)位似函数函数值对应的序关系。即对于函数f,如果一组自变量对应的函数值大于另一组的，那么经7.动态最优化(1)最优控制问题假设一个决策者希望在时间区间[to,t;]内找到变量x(t)的最优c(t),t]的收益，同时他的目标是最大化(2)极大值问题单一时间点上决策者的决策问题：不仅仅关注目标函数的现值，同样也关注x(t)值的隐性变化。x(t)的现值由λ(t)x(t)给出，它的即时变化率由下式给出：8.数理统计能够体现其每一个特定结果出现的概率。任意概率密度函数都要满足f(x)0,同时函数值求和(或者积分)为1。常用的概率密度函数有：二项分布、均匀分布、指数分布和标2.2课后习题详解a.计算翘=-2×0²共40×10-100=1000满足。处，利润最大化的二阶条件为：,因而利润最大化的二阶条件值。解：(1)代入消元法由x+y=1可得：y=1-x,将其代入f可得：f=Ay=.-,因为f"=-2<0,所以此问题是一个受约束的全局优化问题，同时也是一个局部最优化问题。构造拉格朗日函数：从而可以解得：4.上一题的对偶问题是给定xv=0.25,求x+y的最小值。并用拉格朗日乘数法求解。比较这两题中算出的拉格朗日乘数的大小。并解释其关系。解：设最小化问题的拉格朗日函数为：一阶条件为：由前两个方程式可得：x=y联立第三个方程式，解得：将本题与第3题进行比较可知，两种情况下求得的的值是一样的。因此，第3题中受约束的最大化问题是本题中受约束的最小化问题的一个对偶问题。5.垂直向上抛球，秒后高度为(其中仁是重力加速度)。a.达到最高点时为多少?将其写成的函数。b.用上一问的结果解释当「发生改变时，最高点高度如何变化。c.用包络定理求解b问题。d.在地球上一=,但在不同的地方略有不同。如果两地「相差0.1,球能达到的最大高度大约差多少?解：a.对高度函数关于时间求导数可得：即可以解得使高度最大的时间为：从而可知，小球处于最高处的时间t与参数8成反比例关系。b.将代入高度函数中可得：即随着8的增大，最大高度将变小。c.由包络定理可知：取决于8,这是因为取决于8。因而两地最大高度的差异为：6.为了建造一艘油轮，我们把一块长，宽「的铁皮四角各剪去一块边长为t的正方形，再折起来，就形成了无盖油轮的结构。a.证明油箱的体积一d.如果造船厂只有1000000平方英尺的铁皮，即t,满足约束条牛现在求解「的最大值。此时的结果和b,c两个问题有什么区别?V=t(x-2t)(3x-2t)=3t²-L=3x²-8t²x+4t³+2(100000L=x₁+5lnx₂+2(k-x₁-x₂)b.当k=4时，由(1)的解x=k-5可得：d.如果k=20,则由(1)可得最优解为：5,额外的增量应该全部由1的增加来实现。8.假定一个企业的边际成本函数是Cigi=c.如果价格上涨到20,企业将获得多少利润?函数求解；(2)对逆边际成本函数MC¹(p)=p-1积分，积分下限为P=15,由于企业的边际成本是指企业多生产一单位的产品所增加的企业成本。用公式描述企业总成本函数和边际成函数之间的关系就是。而上述所求的总成本函数代表了在此边际成本函数下的总成本函数族。此时，要使总成本函数唯一，主要取决于固定成本F。所以说，总成本函数只取决于一个代表了固定成本的积分常数。企业在这个价格时不赚不赔，此时的企业利润为零，即：解得此时企业的固定成本为，F=98c.如果价格上涨到20,则企业产量满足：解得，q=19此时，企业将获得利润为：d.如果继续假设企业依据利润最大化规律做决策，由P=MC(q)可将企业的产量表示为：那么企业的利润函数为：因为f(x1,X₂)是一个凹函数，而二阶连续可微函数f(x)是凹函数，当且仅当其海塞矩阵是负半定的，所以对于海塞矩阵i₁<0.f22<0.fi₁f22-而海塞矩阵D²f(x₁.x2)是负定的，从而可知，海塞矩阵D²f(x₁:x2)D²f(x₁.x2)在子空中至少是半负定的，因而可知f(xi,X2)也是一个拟凹函数。对于拟凹函数，其加边矩阵是负半定的，即有：(2)直观的，从图形上看，函数f(x)为拟凹表示线段x₁、x₂之间的点的函数值要高于点A,或者说曲线ACB之间的点都高于点A。显然，当函数f(x)是凹函数，曲线呈一个倒置的锅状，则上述性质是满足的。从这一点看，凹函数一定是拟凹函数。(3)逆命题拟凹函数是凹函数不正确。如图2-2所示，在曲线AC段，函数是凹的；而在CB段，函数是凸的。这说明拟凹函数的概念要比凹函数更弱。图2-2凹函数与拟凹函数10.你即将碰到一个经济学中特别重要的函数：科布一道格拉斯函数：b.用y=c的等高线围成的区域是凸集的办法证明它是拟凹函数。c.证明当α+β>1时该函数不是凹函数。(这也说明拟凹函数不一定是凹的)。注：柯布一道格拉斯函数在扩展章节中有介绍。0.显然ff²-2/if+f₂f²中的所有项都是负的，从而可得：fif2-2fi₂fif₂+f₂f²<0b.如果y=c=xix2,则=z:,因而当α、β>0时，x₂是x₁的凸函数。关于当α+β>1时，该式是负的，因而此时函数不是凹函数，从而可知，并非所有的拟凹函数都11.幂函数这类情况下一般使用y=x⁸/8的形式以保证微分表达式有适当的符号)a.证明幂函数是凹函数(自然也是拟凹函数)。注意只有当时函数才是严格凹的。b.证明多元幂函数也是凹的(也是拟凹的)。这里由于交叉偏导数==:==0,凹性很明显。解释为什么交叉偏导数为零?函数g是否具有凹性?是否具有拟凹性?解：a.当E时，因为,所以此时函数一E三是严叉偏导数为0。g=y,B=8₂=y¹v₂,8=r(r-1)y²v²+882-gi2=γ²(γ-1)y²³v²v₂=y²o²(δ-1)y²-³x-2x₂-²(xi8n8²-2g₂8&₂+8n8=r³(v-D)y³(-当op>1时，818m-8<0,8不是凹因为是拟凹函数，所以当/>1时，8不是拟凹函数；当/≤1时，8不是拟凹函数。a.写出求解这个问题的拉格朗日表达式，并写出其一阶条件。b.将包含X的两个一阶条件相加。c.将b中的求和式对Q求导数。这一结果将告诉我们随着Q的变化，X必须要改变相对应的量，才能使一阶条件成立。f.把e中的结果乘上λ(拉格朗日乘数),并且运用c中的一阶条件，将这两个结果带人d的微分式中。应该可以得到：这个等式就是在x取到最优值时，拉格朗日表达式的偏微分。这也就证明了包络定理。请在直觉上解释这一证明为何能够保证x被调整到最优值。g.请解释本书例2.8中如何在篱笆周长这个例子中运用包络定理，即篱笆周长P的变化如何影响篱笆包围的面积?并使用包络定理说明，在这个例子中拉格朗日乘数如何施加约束。构造拉格朗日函数：一阶条件为：b.包含X的两个一阶条件相加得：c.将b中的求和式对Q求导得：d.将目标函数对a求导得：①e.将约束条件对Q求导得：②f.将②乘以2再加入①式，有：所以13.泰勒逼近泰勒定理说的是任意函数在任意光滑点附近都可以用一系列原函数及微分的线性组合近似表示。下面是泰勒定理在一元函数和二元函数中的运用。fl"(a)(x-a)+0.5f""(a)(x-a)²+有关的f",仅用前三项逼近就称为二次泰勒逼近。对f'"(x)<0中的凹函数使用二次泰勒逼近可以说明，任何凹函数要么正好在a点的切线上，要么在a点的切线下方。f(x,y)=f(a,b)+f₁(a,b)(x-a)+f₂(a,b)(y-b)+0.5[f²+2f₁2(a,b)(x-a)(y-b)+f22(同样的，使用上述逼近可以说明，任意的凹函数(由定义)要么正好在点(a,b)的切线上，要么在点(a,b)的切线下方。f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+0.5f上面的方程表明的是f(x)在a点的切线方程，因此，任何凹函数要么位于a点的切线上，要么在该点切线的下方。b.f(x,y)在(a,b)点的二次泰勒逼近式为f(x,y)=f(a,b)+f₁(a,b)(x-a)+f₂(a,b)(y-b)+0.5[f²+2fi₂(a,b)(x-a)(y-b)+f22(y根据凹函数的性质，有上面的方程表明的是f(x,y)在(a,b)点的切线方程，因此，任何凹函数要么位于(a,b)点的切线上，要么在该点切线的下方。14.由于期望这个概念在经济学理论中有很重要的作用，下面将会在这里进一步总结这个统计学概念的性质。贯穿这个问题，我们都假设x是一个连续随机变量，概率密度函数为f(x)。a.(Jensen不等式)假设g(x)是一个凹函数。证明E[g(x)]<g[E(x)]。提示：在点E(x)处作函数g(x)的切线。这个切线的性质是，对所有的x和c+dE(x)=g[E(x)]b.用a中的方法证明如果g(z)是凸函数，那么有E[g(x)]≥g[E(x)]。c.假设x只能取非负值，即O≤x≤o,使用分步积分法证明：d.(马尔科夫不等式)证明，如果x只能取正值，则下面的不等式成立：e.考虑概率密度函数f(x)=2x⁻³,其中x≥1。1.证明上述函数确实是一个概率密度函数。2.求出其累积分布函数F(x)。4.证明这个函数满足马尔科夫不等式。f.在一些经济学问题中会用到条件期望这个概念。即在某些事件发生的条件下表示为E(x|A)。计算条件期望需要知道在事件A发生的条件下x的概率密度函数(用f(x|A)表示)。定义了上述表达式，可以得到,其中-1≤x≤21.证明上述函数是一个概率密度函数。2.计算期望E(x)3.计算-1≤x≤0的概率4.考虑事件0≤x≤2,并记为事件A。求解f(x|A)。5.计算E(x|A)。6.在直觉上解释上述结果。b.在点E(x)处作函数g(x)的切线，则对所有x和有二f(x)是密度函数。的累积分布函的期望函数E(x)=为二f(x)满足马尔科夫不等式。f(x)是密度函数。6.由以上结果可知：要消除x的最低值，应增加剩余值的预期值。15.从随机变量方差的定义式出发，可以推导出一些结论。b.使用马尔科夫不等式(练习题14d)证明下面的不等式成立，其中x为非负数。这一结果告诉我们一个随机变量偏离期望的程度是有限制的。令k=ho,上述结果可以转化举个例子，一个随机变量偏离期望超过两个标准差的概率永远小于0.25,这个结果也被称为切比雪夫不等式。c.Var(x+y)=Var(x)+Var(y)+2Cov(x,y)说明，如果两个(或两个以上)的随机变量是独立的，那么它们的和的方差等于方差的和。把这一结果推广到n个随机变量，每个随机变量的期望和方差都是u和o²。这n个随机变量的和的期望为nμ,方差为no²。这n个随机变量的均值的期望为u,方差为o²/n。这有时被称为大数定理：随着随机变量个数的增加，其均值的方差会逐渐收敛到0。d.利用c的结果证明，如果x₁和x₂是两个同期望、同方差的独立随机变量。这两个随机变量的加权平均值X=kxi+(1-k)x₂(O≤k≤1)的方差在k=0.5时取到最小值，那么合理设置k的取值能够使X的方差减少多少?e.如果d中的两个随机变量方差不相等，最后的结果会发生怎样的变化?解：a.根据方差的数学定义得：c.如果两个(或两个以上)的随机变量是独立的，即：如果x,y相互独立，则有Var(x+y)=Var(x)+Var(y)对于相互独立的n个随机变量，其期望和方差满足：则这n个随机变量和的期望和方差分别为：E(x+x₂+…+x,)=E(x)+E(x₂)+…+这n个随机变量的均值的期望和方差分别为：随着随机变量个数n的增加，其均值方差的极限为：d.由题意得，方差为：Var[ox+(1-k)x]=[k²+(1-k)²].c²=(2k²-2k+一阶条件满足：e.此时，方差为Var[by+(1-k)x]=k²Var(x)+(1-k)²Va一阶条件满足：2kVar(x₁)-2(1-k)Var16.这里介绍一些与随机变量x₁和x₂的协方差有关的关系式。a.证明Cov(xj,x₂)=E(x1x₂)-E(x₁)E(x₂),上述关系的一个重要应用就是，当Cov(x₁,x₂)=0时，E(x₁,x₂)=E(x₁)E(x₂),即随机变量乘积的期望等于这两个随机变量期望的乘积。c.在练习题2.15d中，我们计算了X=kx₁+(1-k)x₂(O≤k≤1)的方差。如果Cov(x,x₂)≠<0,上面的结论当k=0.5时，X的方差最小，是否还成立?d.两个随机变量的相关系数定义为：分别从数学上和直观上解释么=1e.假设随机变量y是x的线性变换y=a+βx。证明：这里，β也被称为y关于x的回归系数。如果使用真实数据，上述表达式也被称为最小二乘(OLS)回归系数。解：a.根据协方差数学定义得：时，有：b.由方差的定义得：c.此时，有：一阶条件为：解得：,因此结论依然成立。根据柯西一施瓦茨不等式，有：所以-1≤Corr(x:x₂)≤1从直观上理解，相关系数度量的是两个变量之间的相关关系，当两个变量之间正线性相关时，相关关系最强，此时相关系数为1;当两个变量之间负线性相关时，相关关系最弱，此时相关系数为1。两个变量之间的相关关系介于正线性相关和负线性相关之间，因此相关系数介第二篇选择与需求3.1复习笔记1.理性选择公理偏好是指消费者按照自己的意愿对可供选择的商品组合进行的排序。偏好是微观经济学价值理论中的一个基础概念。偏好是主观的，也是相对的概念。为了便于经济分析，经济学中通常假定人们的偏好关系满足以下三个基本假设：(1)完备性：偏好是完备的，即消费者可以在所有可能的消费组合中进行比较和排序。例如，对于任何两个消费组合A和B,消费者要么偏好其中的A,要么偏好其中的B,要么觉得两者无差异。其中，无差异是指消费者从两个消费选择中获得相同的满足程度。(2)传递性：偏好是可以传递的，这意味着，如果消费者在消费组合A和B中更偏好A,在B和C中更偏好B,那么消费者A和C中更偏好A。这一假定保证了消费者的种种偏好是一致的，因而也是理性的。(3)连续性：如果消费者认为消费组合A优于B,那么充分接近A的消费组合也一定优于(1)效用的含义效用是指消费者消费或拥有一定数量的某种商品时所获得的满足程度。一种商品给消费者所带来的效用不同于该商品的使用价值，它是消费者对所消费商品给予的主观评价，不同的消费者在相同的时间、地点消费相同数量的商品组合可以分别获得不同的效用，即使同一消费者在不同的时期、不同的地点消费同样数量的商品组合也可获得不同的满足程度。效用有总效用和边际效用之分。边际效用量的大小在消费者的消费决策中具有重要作用。(2)度量效用方式的不唯一性只要准确符合原本的偏好排序，可以任意给定一组数值来表示同样的选择次序。例如U(A)=5,U(B)=4和U(A)=1000000,U(B)=0.5没有区别。由于赋予效用的数值并不唯一，因此不能在不同人之间比较效用。(3)其他条件不变的假定影响效用度量的因素的有很多：①所消费的实物商品的影响；②内心的态度；③来自同阶层的心理压力；④个人经历；⑤所处的一般文化环境等等。所以，对效用最大化选择的经济分析中，为了使选择分析形式简单、易于处理，一般都假定其他条件不变。(4)效用函数①消费商品的效用在单一时点上，在n种消费品x₁,X2,….,xn中，考虑个人的选择问题。将假定个人对这些消效用=U(x1,X₂,…Xn;其他事物)这里x表示可能选择商品的数量，其他事物表示消费者的福利还来自其他许多方面。a.当讨论个人从真实财富(W)中获得的效用时有：效用=U(W)。财富带来的效用，是给定时间内的非工作时间(即闲暇)。效用函数表示为U(x1,X2,…,xn),这里x1,X₂,….,xn分别代n种商品的数量，如果个人的偏好序维持不变，那么这个效用函数就是唯一的。3.交易与替代(1)无差异曲线图3-1。图3-1无差异曲线图3-2相交的无差异曲线意味着偏好不一致c.在正常情况下，无差异曲线总是凸向原点的。这一特点是由商品的边际替代率递减规律所决定的。(2)边际替代率边际替代率(MRS)指在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需放弃的另一种商品的消费数量。以MRS代表商品的边际替代率，底和-E分别是商品1和商品2的消费变化量，则商品1对商品2的边际替代率的公式为：当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为：显然，无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点的斜率的绝对值。4.特定偏好的效用函数(1)柯布一道格拉斯效用函数柯布一道格拉斯效用函数为,具有良好的性状，是经济分析中常用的一种效用函数，参数一=反映了商品X和Y对于个体的相对重要性。其边际替代率为：图3-3柯布一道格拉斯效用函数就说商品X是Y的完全替代品，如图3-4所示。特别地，当这个固定的替代比例是1:1图3-4线性效用函数5所示。此时消费者关于这两种商品的无差异曲线呈L形，所有无差异曲线的拐点的连线是一条直线，而直线的斜率就表示两种商品的搭配比率，比如鞋和袜子这两种商品。图3-5里昂惕夫效用函数(4)CES效用函数CES效用函数又称不变替代弹性效用函数，其表达式为：当δ=1时，它是表示完全替代的线性效用函数；当δ=0时，它是科布一道格拉斯效用函数；当δ→0时，它是表示完全互补的里昂惕夫效用函数。CES效用函数的无差异曲线如图3-6CES效用函数3.2课后习题详解1.画出下列效用函数的无差异曲线并判断它们是否是凸的(即它们的边际替代率是否随着x递增而递减)。解：a.效用函数的无差异曲线为一组直线，如图3-7所示。边际为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。图3-7完全替代型的无差异曲线b.效用函数的无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。其边际替代率为：即随着x的递增，将递减，因而是凸的无差异曲线。图3-8凸性的无差异曲线即随着x的递增，MRS₂将递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。图3-9拟线性型的无差异曲线d.效用函数的无差异曲线如图3-10所示。边际替代率为：即随着x的递增，递增，无差异曲线不是凸状的。图3-10凹状的无差异曲线e.效用函的无差异曲线如图3-11所示。边际替代率为：MRS,即随着xMRS,将递减，无差异曲线是凸状的。2.在本章脚注7里中我们曾说明，为了使两种商品的效用函数有严格递减的边际替代率(即曲线呈严格拟凹),必须满足下列条件：利用这一条件检验练习题1中的各效用函数无差异曲线的凸性。写出你在解题过程中发现的边际效用递减和拟凹性之间的关系的种种情况。解：a.对于效用函数一1,有：则UU²-2U,U₂U,+U,U²=0该效用函数不是严格拟凹的。即当两种商品的边际效用不变时有UU²-2U₂U₂U,+UU²=0。b.对于效用函数(U(x,y)=√x·y,有：²<该效用函数是严格拟凹的。即当两种商品的边际效用递减时有…c.对于效用函数,有：则UU²-2UU₂U,+U,v²<0,该效用函数是严格拟凹的。即当有一种商品的边际效用递减，另一种商品的边际效用不变时有：d.对于效用函数,有：此时的符号也无法判定，因此该效用函数并不是严格拟凹的。e.对于效用函数,有：3.对于下列效用函数：从以上分析可知，单调变换会影响递减的边4.如我们在下图中所见，为证明无差异曲线的凸性，一种方法是证明在一条满足U=k上的无差异曲线上的任意两点(x,yi)、(x₂,y₂)和点上的效用不小于k。试用这种方法讨论下面三个函数的无差异曲线的凸性，并b.U(x,y)=Max(x,y)解：a.如果两个商品组合的数量相等，则有：如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，则有：因而有：从而可知，无差异曲线如图3-11所示，是凸状的。b.同a可知，两个商品组合的数量相等，则有：如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，则有：y₁<x₁=k=y₂>x₂.(x₁+x₂)/2<k.(v₁+v₂从而可知无差异曲线如图3-10所示，不是凸状的，而是凹状的。c.在完全替代型的效用函数下，有：(x₁+y)=k=(x₂+y₂)=[(x因而无差异曲线既不是凹状的，也不是凸状的，而是线性的。图3-12利用图形来判断无差异曲线的性状5.PhilliePhanatic总是以他独特的方式来吃自己带到球场的食物——一英尺长的热狗肠配半块圆面包，1盎司芥末和2盎司酸黄瓜。他的效用是这四种物品的函数，并且其中单一元素的增加是没有价值的。a.他的的效用函数是哪种类型?b.如何通过将他的效用函数视为单一商品的函数来简化问题?这个商品是什么?c.假设一英尺长的热狗肠的成本是1美元，每个圆面包的成本是0.50美元，一盎司芥末的成本是0.05美元，一盎司酸黄瓜的成本是0.15美元，b问中的商品的成本是多少?d.如果热狗肠的价格上升50%,b问中的商品的价格上升的百分比为多少?e.如果圆面包的价格上升50%,这将会对商品的价格造成什么样的影响?你的答案为什么和d问的不同?f.如果政府想通过征收PhilliePhanatic买的那四种商品的税来获得1美元税收，试问政府应该如何分配税额以使他损失的效用最小?U(h,b,m,r)=Min(h,2b,m,0.b.可以将PhilliePhanatic的效用视为一种商品的函数来简化问题，即将上述四种物品的组c.该种商品的价格是：1+0.5×0.5+0.05+2×0.15=1.6(美元)。d.如果热狗肠的价格增至1.5美元，则该商品的价格为：因此，该种商品的价格上涨幅度为：(2.1-1.6)÷1.6=31%。e.如果圆面包的价格增至0.5×(1+0.5)=0.75(美元),则该种商品的价格为：1+0.5×0.75f.提高价格以使完全调配好的热狗肠的价格增至2.6美元，从而在征税1美元的情况下，这将等价于购买力的总额减少。为使PhilliePhanatic的效用成本最小化，增收的1美元税收美元，每单位圆面包征收0.44美元，每盎司芥末征收0.22美元，每盎司酸黄瓜征收0.11美元，此时PhilliePhanatic的效用成本最小。6.很多广告词都像是在断言某种人们的偏好。请用不同的效用函数描述下列广告词?a.人造黄油和天然的一样棒。b.一切都因可口可乐变得更好。c.品客薯片一口停不住。解：a.如果用p代表人造黄油消费量，b代表真黄油消费量，则效用函这表示人造黄油和真黄油是完全替代品，它们之间的替代比率是1:1。U(x,y).且满足：e.如果用U代表其他人的效用水平，x代表其他商品是消费，b代表啤酒的消费，则效用换取1单位y,当他拥有12单位x和3单位y时，他愿意用6单位x换取2单位y。并且消费束(6,5)和(12,3)对他而言没有差异，试问他的效用函数是怎样的?提示：考b.考虑某人消费两种商品x和y,在消费束(8,1)处，他愿意用4单位x换取1单位y,在消费束(4,4)处，他愿意用1单位x换取2在消费束(8,1)处，他愿意用4单位x换取1单位y,则MRS=在消费束(4,4)处，他愿意用1单位x换取2单位y,则MRS=,b.进行等式变形得：c.c.对于分析问题9.初始禀赋假设给某人提供效用的商品，其初始数量为和。a.在此人的无差异曲线图上标出这两个初始数量。b.如果此人可以用X和别人交换V,他将会做怎样的交易?不会做怎样的交易?这些交易和此人在点==时的有何关联?c.假设此人在拥有初始数量的商品时已比较快乐，要是交易给他增加的效用小于k,他根本懒得去做，你怎样在无差异曲线图上标出这一点?解：a.此人无差异曲线如图3-13所示，它的初始商品拥有量为图中的作点。图3-13无差异曲线及交换活动对效用的影响b.任何不同于在(T,)处的MRS的交易机会都有可能提高效用水平。如图3-13所示，c.对初始商品组合的偏好要求交换活动能够大幅度提高效用才能促使交换发生。因而交换活动只有在交换后的MRS显著不同于在(x,D)处的MRS时才更有可能发生，如图3-13所示。10.柯布——道格拉斯效用函数a.这个结果是否取决于a+β=1?它与选择理论有没有关系?b.对于一组商品y=x,其边际替代率是如何取决于a和β的?为什么a>β时，MRS>1?请这是一个位似函数吗?(更进一步的讨论请参见第4章的扩展部分。)解：a.对于柯布一道格拉斯效用函数,边际替代率这个结果不取决于a+β=1,它也受x与y之间关系的影响，与选择理论有关系。b.对于一组商品y=x,其边际替代率为：a>β时，此时由上述等式可知MRS>1。如图3-14所示，图中A,B,C三点均在直线y=x上，这三点处的边际替代率均为,即过此三点的预算线的斜率都大于1。X图3-14对于一组商品y=x组合处的边际替代率点c.位似函数是指齐次函数经过任意的单调映射所得到的函数。U(tx.t)=(x-x)"(y-yo)为非齐次函数，所以该函数不是位似函数。该函数关于(x-x₀)和(y-yo)是位似的，而关于x和V不是位似的。11.独立边际效用如果效用函数满足：则称这两种商品具有独立的边际效用，试证明当我们假定每一商品的边际效用为递减时，具有独立边际效用的效用函数都会有递减的边际替代率。举例证明其逆命题是错的。证明：由本章课后习题第2题可知，U=0原命题的反命题是：如果具有独立边际效用的任一效用函数有递减的边际替代率，则其每一种商品的边际效用是递减的。下面来证明此命题不一定成立。在两种消费商品的效用函数下，递减的边际替代率意味着下式成立：当=0时，上式变为。显然，这无法推出U,U,<0的结论。12.CES效用函数b.证明：从a中得出的结果与δ=1(完全替代)和δ=0(科布一道格拉斯)相符。b.如果δ=1,为一常数；如果δ=0,,这与本章课后习题第8yy无差异曲线预算线0b.由U₂=1v=¹-va=QUa=0,可得y=eC-stp₁x+P₂V=m若x¹>x²和x²>x³可推出x¹>x³,则偏好a.加总式偏好：这个偏好关系假设人们能真实地将苹果和橘子加总起来。具体地说，当且b.字典式偏好：字典式偏好的偏好关系就像字典一样。若x₁¹>x₁²,则x¹>x²(不管其他n-1种商品);若x₁¹=x₁²并且x₂¹>x₂²,那么x¹>x²(不管其他n-2种商品);以此类推。L,由于时，存在数使得,因此存在消费束使得,因此加总式偏好是连续的；对于,假设b.对于两个消费束…,假设其前一种商品是无差异此下述关系也必有一个成立：,所以字典式偏好是完备的；对于—|==,由于存在,因此，存在使得差异的，i=2,3.….n,对于第1种商品，假设—c.对于两个消费束x₁=(x,.x).x₂=(x².x²x),由于必有其一成立，因此必有其一成立，因此餍足式偏好是完备的；因此存在消费束使得,假设,因此，若二1,则,所以餍足式偏15.收益函数DavidGluenberger在其1992年的论文中介绍了收益函数，他将其定义为一种将某种程度的要重复多少次才能将他的效用水平提高到目标值。假定只有给定。再假设基础的消费束为(xo,yo)。则收益函数的价值一，就a.假定效用函数由给出。计算xo=yo=1时的收益函数。b.利用a中给出的效用函数，计算xo=1,yo=0的收益函数。解释该结果为何与a中的结果c.收益函数也可以在个人拥有两种商品的初始禀赋时定义。如果这些初始禀赋为d.考虑两种可能的初始禀赋，和泪。用画图和文字(直观上)两种方法解释为b.xo=1,yo=0时，有故当xo=1,yo=,0时，收益函数c.当一|==或一==时，收益为正：当一或一国时，收益为负解释：如果基础消费束(xo,yo)没有达到初始禀赋，收益函数就为负；如果基础消费束超过初始禀赋，收益函数就为正。d.作图略。记第4章效用最大化与选择4.1复习笔记1.两种商品的情形：图形分析(1)预算约束假定某人有I美元可用来购买商品x与商品y,设x的价格为Px,y的价格为Py,则消费者图4-1两种商品条件下消费者的预算约束预算约束如图4-1所示，消费者只能购买三角形区域内(包括边界)的商品组合，如果I美元全部用来购买x,那么能够购买到一三单位的x;同理，如果I美元都用来购买y,那么能够购买一=单位的y。(2)最大化的一阶条件为了获得最大效用，应当花费掉所有的收入，并且MRS要等于商品的价格之比。如图4-2所示，在A点，消费者并没有花费掉剩余的货币，所以不能达到最高点效用水平；在B点，通过重新分配在两种商品上的货币支出，消费者可以达到比B点更高的效用水平；在D点，消费者在现有收入水平下并不能达到；只有在C点可以取得最大的效用，此时即满足预算约束，又满足预算约束线的斜率等于无差异曲线的斜率。图4-2效用最大化的几何解释(3)最大化的二阶条件无差异曲线与预算约束线相切的原则只是获得最大效用的必要条件，并不是充分条件。如果无差异曲线不满足边际替代率递减的假设，那么并非所有的切点都是能达到效用最大化的点。如图4-3所示，切点C的商品组合的效用低于其他许多能用现有货币购买的商品组合的效用。为了保证效用最大化的必要条件(也即相切条件)同时也是充分条件，通常要假定边际替代率是递减的，即效用函数是严格拟凹的。图4-3相切条件并不能保证最大效用的无差异曲线举例2.n种商品的情形(1)n种商品最优选择的数学表述(2)拉格朗日方法求解及一阶条件设拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以化简为：效用，消费者必须使自己心理上的交易比例与市场上的交易比例相等，即市场上与=的交换比例需等于消费者愿意用=交换的比例。(3)角点解在某些情况下，消费者的偏好使其在不消费其中的某一种商品时才能达-4所示，效用最大化的点是E点，此时y的消费量为0,并且预算线与无差异曲线F并不是正好相切。在E点预算线比无差异曲线U更平缓，这表明：市场上商品x与y的交换比率要比消费者心理上的替代率(MRS)低。在现行的市场价格条件下，消费者更愿意不断地用y来换取更多的x。图4-4效用最大化问题的角点解如果当商品价格(F)超过它为消费者带来的边际价值(一=)时，消费者对它的购买量将3.需求函数与间接效用函数(1)需求函数(2)间接效用函数控制收入，实质便是收入政策的内容。可见，间接效(3)一次总付原则4.支出最小化与支出函数(1)支出最小化问题的数学表达式一般地说，消费者对偶的支出最小化问题就是选择x₁,x₂,...,x.与所要求的效用水平日，如果改变其中任意一种商品的价格，或者消费者的效用“目标”发生变化，最优的商品组合就会改变。(2)支出函数消费者的支出函数表明了在一组特定的商品价格条件下，要达到某一既定的效用水平所必需的最小支出，即：定义说明，支出函数与间接效用函数是互为反函数关系的。它们都取决于市场价格，但所受到的约束却不同(前者为收入，后者为效用)。(3)支出函数的性质①齐次性：如果所有商品的价格都加倍，则所需的支出也加倍。②支出函数关于价格单调不降，用数学表达式简明地表示如下：③支出函数是价格的凹函数。4.2课后习题详解1.三年级学生保罗每天在校用餐，它只喜欢奶油小蛋糕(t)和橘子汁(s),他从中得到a.如果每份奶油小蛋糕为0.1美元，每杯橘子汁0.25美元，为了使效用最大化，保罗应该如何将妈妈给他的1美元伙食费分配在这两种食物上?b.学校为了减少奶油小蛋糕的消费，将其价格提高到每份0.4美元，那么为了让保罗得到与a中相同的效用，妈妈要多给他多少美元伙食费?解：a.对效用函数进行单调变换，令,这并不改变偏好保罗效用最大化问题为：设拉格朗日函数为：b.消费品奶油小蛋糕价格提高了，但效用水平却保持不变，则保罗面临如下的支出最小化由上述三式解得F=,,则最小支出为：I,所以妈妈现在要多给他1美元伙食费(即给他2美元伙食费)使他的效用水平保持不变。2.a.一位年轻的品酒师欲支出600美元建一座小酒窖，他特别喜欢两种酒：一种是1997年生产的法国波尔多白葡萄酒(F),每瓶价格为40美元；另一种是稍微便宜的2005年产的加利福利亚葡萄酒，每瓶8美元。如果他的效用函数如下式所示，则他应该在每种酒上花b.当他来到酒店时，我们年轻的品酒师发现由于法郎贬值，法国波多尔白葡萄酒(三)已经降到每瓶20美元，如果加利福尼亚葡萄酒依旧是每瓶8美元，此时，在价格已变的条c.解释为什么这个品酒师在b的情况下要比a更好。你如何用货币值来衡量这个效用的增加?此时，消费者效用最大化时两种酒上的花费分别为：即在法国波尔多白葡萄酒和加利福尼亚葡萄酒上的花费分别为400美元和200美元，此时该调酒师的效用达到最大化。b.法国波多尔白葡萄酒(WF)已经降到每瓶20美元，此时的预算约束方程可写为：利用a中的方法可得：联立预算约束方程解得：即调酒师效用最大化的每种酒的购买量分别为20,25。,即这个品酒师在b的情况下要比a更好。法国波多尔白葡萄酒(WF)降价，使得该调酒师对波多尔白葡萄酒的实际购买力增加，此时，货币的边际效用变得更大。3.a.在某一个晚上，J.P.以下列函数的形式享用雪茄(c)和白兰地(b):那么他这天晚上要抽多少支雪茄，喝多少瓶白兰地酒才能得到最大效用(假定他不受预算约b.后来，J.P.的医生告诫他：每天喝的白兰地与抽的雪茄加起来不能超出5单位。在这一条件约束下，他会喝多少白兰地，抽多少雪茄呢?一阶条件为：4.a.Ball先生享用商品x和y所得的效用函数为：如果—|==美元，=美元，而他的总收入为50美元，求他所能获得的最大效用?提示：求U²的最大值要比求U的最大值方便得多，但这种方法为什么不影响计算结果呢?为的?你找到真正的最大值了吗?解：a.因为-兰可由U经过单调变换得到，所以，最大化-三同时也就使U最大化的。因b.Ball的无差异曲线如图4-5所示，显然该无差异曲线没有递减的MRS。无差异曲线与预算线的切点如图4-5中的A点所示。在A点处，仅满足效用最大化的必要条件，但是不满足充分条件，因而A点不是一个局部最优点，效用最大化的点应该是B点，奥德鲍尔将图4-5Ball的无差异曲线图5.A先生从马丁尼酒(m)中所得的效用与马丁尼酒的消耗量成正比：U(m)=m。特别喜欢他的马丁尼，但他只喜欢喝将杜松子酒(g)与苦艾酒(v)按2:1的固定比例混b.求出对g与v的需求函数。c.利用b的结论，求出A先生的间接效用函数。d.试计算A先生的支出函数；对于每一种效用水平，将支出表示成pg和pv的函数。解：a.A先生的无差异曲线如图4-6所示。无论商品g与v的相对价格(即预算线的斜率)6.假设一位快餐爱好者的效用取决于三种商品：软饮料(x),汉堡包(y)和冰淇淋圣代(z),根据柯布—道格拉斯效用函数，有同时假设这些商品的价格分别为：px=1,py=4,pz=8,该消费者的收入为I=8。a.证明：当z=0,效用最大化得到的的最优选择与例4.1相同。同时证明z>0(哪怕z非常小)时的任何选择都会使效用减少。b.你如何解释z=0时达到最优这一事实?c.为了购买z,这个人的收入要有多高?解：a.当z=0时，效用函数为,根据柯布一道格拉斯效用函数的性质此时效用U=(4)0.5(1)⁰.5=2,与例4.1结果相同。如果略大于0(不),则利用柯布一道格拉斯效用函数的性质可得：因而效用为：因而在匡处，从看获得的边际效用“不值”商品的价格。效用函数中的“1”导致了在任何正的数量时已经具有递减的边际效用。商品满足“互补松弛”原理。c.如果收入一，则最优选择为：,,z=1(可以利用拉格朗日方法求解，此处略去)。为了找到在任何处的购买量，可以利用柯布一道格拉斯函数的性质，即：7.图4-7中所示的一次总付原则不仅可以应用于税收，也可以应用于转移支付。这个问题研究该原则在此政策下的应用。图4-7税收中的一次总付原则a.用与图4-7类似的图解释在政府花费相同的情况下，对一个人进行收入补贴比对物品xb.利用柯布一道格拉斯支出函数,计算需要多少额外购买力才能将这个人的效用从U=2提高至U=3。c.再次使用(,估算为了将这个人的效用从U=2提升至U=3,需要对商品x进行补贴的程度，并和b中得到的结果进行比较。d.习题4.10要求你计算的支出函数是与比例4.4的情形更一般化的柯布一道格拉斯效用函数相对应的。当a=0.3(这个数字接近于低收入的人花费在食物上的收入份额)时，再次使用这个支出函数，回答b和c的问题。解：a.如图4-8所示，收入补贴可以使消费者预算线向右平行移动，在新的最优点C处消费者的效用要大于对商品x进行补贴后消费者达到最优点B处的效用，因此，相同数额图4-8一次性收入补贴与对商品x补贴下消费者境况的比较b.商品价格。对于方程4.52中的柯布一道格拉斯函数而言，其支出函数为：当效用为一F=时，支出要使这个人的效用从U=2提高至U=3所需要增加的支出为：c.当效用为一E=时，支出,设在此条件下，对x的补贴为r时才能达到F=的效用水平。即有：解得，对每单位x的补贴在此补贴价格下，消费者将选择购买：d.当一：三时，效用函数,最优的x和y的取值为：贴贴在此价格下，消费者选择购买3个单位的x,政府补贴金额为2,价格补贴金额与在一次总8.考虑以下两个最简单的效用函数：1.固定比例效用函数：2.完全替代效用函数：a.分别对以上两个效用函数，计算：对于x和y的需求函数、间接效用函数和支出函数。解：a.设两种商品的价格分别为==,收入为庄。1.对于固定比例效用函数,均衡的消费满足：2.对于完全替代效用函数分三种情况讨论均衡的消费：(1)当一时，由于x和y相互替代，此时消费者只消费y,不消费x。支出函数：时，由于x和y相互替代，此时消费者只消费x,不消费y。此时的需求函数：间接效用函数：支出函数：间接效用函数：支出函数：b.对于完全互补的两种商品来说，两种商品间按固定的比例进行消费，超出比例多消费任何一种商品都不会带来效用的增加，如果按1:1比例进行消费的两种商品，那么其效用函数为,如图4-9所示；而对于对于完全替代的两种商品来说，两种商品间相互替代的比率是不变的，其效用函数为I==,如图4-10所示；图4-9完全互补图4-10完全替代9.考虑包含两种商品的线性效用函数：。计算与之对应的支出函数。提解：由于两种商品的效用函数,即此两种商品为完全替代品。设两种商=。下面分三种情况进(3)当时，此时商品x与y无差异。此时的支出函数为：分析问题10.柯布—道格拉斯效用函数在例4.1中，我们用到了柯布—道格拉斯效用函数,其中O≤a≤1这个问题说明了该函数的一些其他属性。a.计算柯布一道格拉斯情况下的间接效用函数。b.计算这种情况下的支出函数。c.明确解释当x价格上升时，为了抵消其影响所需的补偿是如何与指数α的大小相关的。解：a.对于柯布一道格拉斯效用函数，其相应的需求函数为：将需求函数代入效用函数中，得间接效用函数为：b.利用对偶原理，可以从间接效用函数中解出支出函数为：c.支出关于价格的弹性值为：即：x在效用函数中越重要，则支出份额中用于补偿其价格上涨的比例也越大。11.CES效用函数一般的CES效用函数可以表示为：a.证明上述函数在约束条件下，效用最大化的一阶条件是消费者按一定比例选择商品，这b.前面在讨论一些问题时已经说过：对于柯布—道格拉斯函数(δ=0),消费者将在x与y之间平等分配费用，证明a中的结论也包含了这种情况。C.的值与δ的值有什么关系?直观地解释你的结论。(如果要对此函数进行更深入的探讨，参见本章扩展E4.3)d.推导这种情况下的间接效用函数和支出函数，并运用齐次函数的性质加以检验。从而可以解得：者将在x与V之间平等分配费用。c.由a可知,所以，当时，收入中用于购买x的相对份额与其相对价格正相关；当时，收入中用于购买X的相对份额与其相对价格负相关。d.支出最小化问题为：设拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以解得：所以，支出函数为：由齐次函数的性质，对于任意的同，可得：12.Stone—Geary效用函数消费者需要一定量的食品(X)来维持生存，假设这个量为F。一旦购买年的食品，消费者将从作与其他商品()得到效用：其中，a.证明：如果—F=,在商品V上花费则为了取得最大效用，消费者将会在食品x上花a.证明：如果—F=,在商品V上花费b.在这个问题上，如果收入增加，三的比值将会怎样变化?(有关此函数的进一步讨论请参见本章扩展EA.2。)解：a.如果同，则效用值为负，因而消费者将会首先支出-F。对于剩余的收入，这是一个标准的柯布一道格拉斯效用函数最大化问题，从而有：b.由a以及预算约束条件可得：对取极限可得：13.CES间接效用函数和支出函数现在，我们讨论形式更标准的CES效用函数的间接效用函数和支出函数，函数形式如下：该函数的替代弹性a.证明此函数的间接效用函数为：b.证明a中计算出的函数是关于价格和收入的零次齐次函数。c.证明此函数是收入的严格递增函数。d.证明对于任何价格，该函数都是严格递减的。e.证明此种情况下的CES效用函数的支出函数为：f.证明e中计算出的函数是关于商品价格的一次齐次函数。g.证明支出函数是关于任何价格的递增函数。h.证明函数是任何价格的凹函数。解：a.设两种商品的价格分别为PxPs,收入为，则消费者效用最大化问题：构造拉格朗日函数：一阶条件：将上式带入,得间接效用函数：b.对于任意正数t>0,有：C.,所以说此函数是收入的严格递增函数。d.,所以说，对于任何价格，此函数是严格递减的。e.反解间接效用函数得此函数的支出函数：f.对于任意正数t>0,有：g.,所以说支出函数是关于任何价格的递增函数。h.对支出函数关于=求二阶偏导数得：14.利他主义米歇尔有一个相对高的收入I,并且他十分同情生活贫困、收入很低的索菲亚。假设米歇尔此处分别表示米歇尔和索菲亚的消费水平，函数形式和两商品的柯布一道格拉斯效用(通过慈善捐赠),并且1美元收入可为米歇尔或索菲亚带来1单位相等的效用(也就是说，消费的价格一=)。少时，米歇尔会是一个完美的利他主义者(把别人看作和自己同等重要)?b.求解米歇尔的最优化选择，并说明其如何随着@的变化而变化。c.假设所得税为t,求解此时米歇尔的最优化选择。在慈善捐款可税前扣除(用于慈善捐款的那部分收入不用缴纳所得税)的情况下，米歇尔的选择会发生怎样的变化?对于利他主义程度高和程度低的两种人，慈善捐款扣除对该式和扩展E3.4相似，根据定义，米歇尔直接关心索菲亚的效用水平，间接关心索菲亚的1.若索菲亚的效用函数和米歇尔是对称的，即·l,计算米歇尔的最优选择，并和b中的结果加以对比，米歇尔的利他主义程度是更大还是更小?解释这一结果。2.若索菲亚的效用函数为,重新分析上述问题。当时米歇尔会是一个完美的利他主义者(把别人看作和自己同等重要),其效用函数b.设米歇尔的收入为m,利用柯布—道格拉斯效用函数的性质可得米歇尔的最优选择为：c.如果所得税为t,此时米歇尔的最优化选择为：设慈善捐款额为一=,在慈善捐款可税前扣除(用于慈善捐款的那部分收入不用缴纳所得税)的情况下米歇尔的最优化选择为：为一常数，与α无关。所以，对于利他主义程度一=高和程度低的两种人来说，慈善捐款扣除对两种人的激励作用一样大。d.1.若米歇尔的效用函数S=,且索菲亚的效用函数=,由此可以推出米歇尔的效用函数：米歇尔的最优选择：所以，随着Q的提高，在米歇尔的最优选择处，米歇尔的消费水平会降低而索菲亚的消费水平会增加。2.若索菲亚的效用函数为U₂(c₂)=c₂,此时米歇尔的效用函数为U:(q₂c₂)-c。和中的情况相同。第5章收入效应与替代效应5.1复习笔记1.需求函数及其性质(1)需求函数一般地，普通需求函数又称马歇尔需求函数，它反映了在给定的(各种商品的)价格与收入下，能使消费者实现效用最大化的各种商品的需求量，因而是价格与收入的(向量)函数。(2)需求函数的性质一般而言，需求函数关于价格P和收入I是零次齐次的，即有：其原因在于，当价格和收入同时发生相同比例的变化时，消费者的预算约束没有发生实质性的变化，因而理性的消费者也不会改变其最优消费选择，(在理论上)消费者的需求不受“纯”通货膨胀的影响。2.收入变化对消费者最优选择的影响(1)收入变化与正常品、劣等品收入变化会引起消费者预算线的移动，从而引起消费者最优消费选择发生相应的变化。根据收入变化时消费变化的方向，可以将商品分为正常品和劣等品。正常品是指随着收入的增加其需求也增加的商品，即;劣等品是指随着收入的增加其需求减少的商品，即正常品还可分为必需品和奢侈品。必需品是需求收入弹性大于0小于1的物品，奢侈品是需求收入弹性大于1的物品，即对于必需品，有;对于奢侈品，有(2)恩格尔定律3.价格变化对消费者最优选择的影响(1)吉芬商品(2)价格变化所引起的替代效应与收入效应②正常品替代效应和收入效应(注：此为斯勒茨基替代效应与收入效应)如图5-1(a)中的横轴OX₁和纵轴OX₂分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是正常物品。商品1的价格P₁下降前的消费者的效用最大化的均衡点为a,P₁下降后消费者的均衡点为b。价格下降所引起的商品1的需求量的增加量为一=,这便是价格下降所替代效应：作一条平行于预算线一庄且与无差异曲线U₁相切的补偿预算线FG。FG与U₁相切，表示假设的货币收入的减少(预算线的位置由向左平移到FG表示)刚好能使消费者回到原有的效用水平。FG与底平行，则以这两条预算线的相同的斜率，表示商品1价格和商品2价格的一个相同的比值P₁/P₂,而且，这个商品的相对价格P₁/P₂是商品1的价格P₁变化以后的相对价格。补偿预算线FG与U₁相切与均衡点c,与原来的均衡点a相比，需求量的增加量为一3=,这个增加量就是在剔除了实际收入水平变化影响以后的替代效应。进一步地，就预算线AB和补偿预算线FG而言，它们分别与无差异曲线U₁相切于a、c两点，但斜率却是不相等的。预算线AB的斜率绝对值大于补偿预算线FG,AB所表示的商品的相对价格P₁/P₂大于FG,当AB移至FG时，随着商品的相对价格P₁/P₂增加对商品1的购买而减少对商品2的购买，即用商品1去替代商品2。于是，由a点到c点的商品1的需求量的增加量X{XI,,便是P₁下降的替代效应。收入效应：把补偿预算线FG再移到AB'的位置上去，于是，消费者的效用最大化的如图5-1(b)中的横轴OX₁和OX₂分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是低档商品。商品1的价格P₁下降前后的消费者的效用最大化的均衡点分别为a、b点，因此，价格下降所引起的商品1的需求量的增加量为,,这是总效应。作与预算线AB'平行且与无差异曲线U₁相切的补偿预算线FG,将总效应分解成替代效应和收入效应。P₁下降引起的商品相对价格的变化，使消费者由均衡点a运动到均衡点c,相应的需求增加量为使消费者由均衡点c运动到均衡点b,需求量由一减少到=,这就是收入效应，它是一如图5-1(c)中的横轴OX₁和纵轴OX₂分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1相应的商品1的需求量的减少量为XiXi,这就是总效为替代效应；XiX1是收入效应,它是一个负值。而且,负的收入效应XiX1的绝对值大于正的替代效应X"X1的绝对值，所以，最后形成的总效应XIX1为负值。在图5-1(c)(3)马歇尔需求曲线与希克斯补偿需求曲线曲线。马歇尔需求曲线的图形推导如图5-2所示。图5-2马歇尔需求曲线的推导之间的关系的轨迹。希克斯补偿需求曲线的图形推导如图5-3所示。图5-3希克斯需求曲线的推导③两者之间的关系马歇尔需求和希克斯需求满足关系。马歇尔需求和希克斯需求曲线如图5-4所示。一般地，对于正常物品而言，马歇尔需求函数比希克斯需求函数平坦，这是因为马歇尔需求既包括替代效应，又包括收入效应；而希克斯需求仅仅包括替代效应。图5-4正常商品的马歇尔需求函数和希克斯需求函数(4)价格变化经济效应的数学方法——斯勒茨基方程由马歇尔需求与希克斯补偿需求之间的关系式：对商品x的价格求导可得：从而可得斯勒茨基方程为：恒为商品x价格变化的总效应；为替代效应；为收入效应。斯勒茨基方程可写为：替代效应+收入效应(5)价格与收入弹性⑦需求价格弹性与需求收入弹性之间的关系(齐次性):4.显示偏好原理的偏好。这是一种不基于“偏好关系(效用函数)消费者选择”的逻辑思路，而是一个相(1)显示偏好原理设消费者在价格为一==时购买的商品束为,如果另一个商品组合(2)直接显示偏好=是在收入既定条件下如果这一不等式成立，且一确实是不同于(x.x₂)的商品束，就称(x₁,x₂)直接显示偏好于。如图5-5所示。图5-5直接显示偏好(3)间接显示性偏好如果(x₁:x₂)直接显示偏好于直接显示偏好于一，则称(xY:x₂间接显示偏好于一阳，记作：图5-6间接显示偏好(4)显示偏好弱公理(WARP)与显示偏好强公理(SARP)①WARP的含义如果(x₁:x₂)是(v₁:v₂)的直接显示偏好，且(x₁.x₂)和(v₁.v₂)不同，那么(v₁.就不可能是(x₁:x₂)的直接显示偏好。换言之，假定一个商品束(x₁,x₂)是按价格(Pi,P₂)购买的，另一个商品束(v₁.v₂)是按价格一==购买的，那么,只要：就不可能再有：②显示偏好强公理(SARP)如果(x₁:x₂)被直接或间接显示偏好于(v₁v₂),