2024-2025学年高一上学期期末复习填空题压轴题十六大题型专练（范围：第四、五章）（含答案）

2024-2025学年高一上学期期末复习填空题压轴题十六大题型专练（范围：第四、五章）【人教A版（2019）】题型1题型1指数式的给条件求值问题1．（24-25高一上·上海·期中）已知a+a−1=3，则a32．（23-24高一下·云南·期中）已知xx2+x+1=a（a≠0且a≠12），则x3．（2024高一·江苏·专题练习）已知a=−827,b=1771，则4．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知x12+x−1题型2题型2解指数不等式5．（2024·陕西西安·一模）已知函数y=fx+1是偶函数，且在区间−∞,−1上是增函数，则不等式f−26．（24-25高三上·上海·阶段练习）若m∈R,fx=3x,x≥03−x7．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）不等式2x2−2x−3<123x−3与不等式8．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知函数fx=ex−e−x题型3题型3指数型复合函数的应用9．（23-24高二上·浙江·期末）函数fx=2ax2−2x−1在区间1,+10．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数f(x)=1①f(x)在定义域上单调递增；②f(x)存在最大值；③不等式f(x)≤13的解集是④f(x)的图象关于点(0,1其中所有正确结论的序号是.11．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数.例如：−3.6=−4,3.6=3.已知函数fx=112．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域均为R，且满足f(x)+g(x)=2x+1，若fg(x)−a+1≥32恒成立，则题型4题型4带附加条件的指、对数问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示13．（24-25高一上·上海·期中）若实数a>b>1，且logab+logba=514．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知实数x，y满足2x=43．15．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知2x=24y=3，则3y−x16．（2024·上海·模拟预测）已知正实数a,b满足logab+logba=52，题型5题型5指、对、幂的大小比较

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平面向量线性运算的坐标表示17．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）设a=0.52.5,b=12log218．（2024·北京通州·三模）已知a=2−1.1，b=log141319．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）设a=log20.3，b=log120.4，c=20．（23-24高一上·湖北·期末）定义域为R的函数fx满足fx+2为偶函数，且当x1<x2<2时，fx2题型6题型6对数型复合函数的应用

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平面向量线性运算的坐标表示21．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数fx=log2−x2+ax+15在22．（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知函数fx=log12−x2+2x−t23．（23-24高三·云南·阶段练习）已知函数f(x)=log3(1x+a)(a>0)，对任意的t∈[14,1]，函数f(x)24．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数f(x)=loga9−ax,g(x)=logax2−ax（a>0且a≠1），若对任意.x题型7题型7函数零点（方程的根）的个数问题

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平面向量线性运算的坐标表示25．（24-25高一上·浙江·期中）已知f(x)=x2+23x+2,x≤0lnx,x>0，若函数g(x)=26．（24-25高一上·吉林长春·期中）设函数fx=3x−1，若关于x的方程4fx27．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数fx=3x−x2,x≤02−x−1,x>0，若关于x28．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知函数fx=log2x,x>014x2+x+2,x≤0，方程fx=a有四个不同根x1、x2、x3、题型8题型8弧长公式与扇形面积公式的应用

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平面向量线性运算的坐标表示29．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若∠AOD=2π3,OA=4，且该扇环的周长为4+4π

30．（23-24高一上·浙江宁波·期末）杭州第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成如图1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.会徽的几何图形如图2所示，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，几何图形ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2.若S1S31．（23-24高一上·湖北·期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为．32．（23-24高一下·上海金山·期末）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，设OA=1，则阴影部分的面积是.题型9题型9同角三角函数的基本关系

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平面向量线性运算的坐标表示33．（24-25高三上·宁夏银川·开学考试）若tanθ=−3，则sin2θ+cos34．（24-25高一上·全国·课后作业）若0<θ<π,，sinθcosθ=−6035．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知sinθ−2cosθsinθ+cos36．（23-24高一上·四川泸州·期末）若A∈0,π，且sinA+cosA=1题型10题型10诱导公式的综合应用

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平面向量线性运算的坐标表示37．（24-25高三上·上海·阶段练习）若tanπ2+α=1338．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知锐角α满足6cos2α−cosα−1=0，则39．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知sinα=2m−3m+2，cosα=−m+1m+2，且α40．（2024高三·全国·专题练习）已知sin(3π＋θ)＝13，则cos(π+θ)cosθcos(π−θ)−1＋题型11题型11三角函数的参数问题

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平面向量线性运算的坐标表示41．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数fx=sinωx+φ（ω>0，φ≤π2），x=−π8为fx的零点，x=π8为42．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数fx=sinωx+π3的图象关于直线x=π3对称，且fx43．（2024·江苏南京·二模）已知函数fx=sinωx+φω>0,φ∈R在区间π4,π2上单调，且满足fπ344．（23-24高一下·四川内江·期末）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)最大值为2，最小值为0，且函数图象过点(0,32.题型12题型12三角函数的图象与性质的综合应用

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平面向量线性运算的坐标表示45．（2024高三·全国·专题练习）关于函数f(x)=sin①fx是周期为2②fx在[0,③fx在[0,2其中所有正确结论的编号是.46．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知x1,x2是函数f(x)=2sin①函数f(x)在0,π3②函数f(x)的图象关于直线x=−π③函数f(x)的图象关于点(π,0)④当x∈π2,π时，函数其中正确命题的序号是．47．（23-24高一上·山西运城·期末）关于函数fx①fx②函数fx是周期函数，且最小正周期为2③函数fx在区间π④函数fx在−⑤函数fx其中所有正确结论的编号是．48．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知函数fx=sinωx−π①fx在0,π②fx在0,π③fx在0,④ω的取值范围为114其中正确的所有序号是．题型13题型13三角恒等变换的综合应用

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平面向量线性运算的坐标表示49．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知0<α<β<π2，且sinα+β+cosα+β50．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知sinα−βcosα−cosα−βsin51．（24-25高三上·山东淄博·阶段练习）已知x∈π6,2π3，sin52．（24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知α,β为锐角，且α+2β=2π．题型14题型14由部分图象求函数的解析式53．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B①f(x)关于点(π6②f(x)关于直线x=π③f(x)在区间[π④f(x)在区间(−5π12正确结论的序号为.54．（23-24高一下·北京·期中）函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π

①函数y=f(x)的图象关于点(−π②函数y=f(x)的图象关于直线x=−5③函数y=f(x)在[−2④该图象向右平移π6个单位可得y=2以上结论正确的是.55．（2024·湖南·一模）已知函数fx=Asin①f②f③fx在4所有正确结论的序号是.56．（23-24高三上·甘肃张掖·阶段练习）函数fx=2sinωx+φω>0,①若把函数fx的图像向右平移π6个单位长度，得到函数ℎx②函数y=fx的图像关于点4π③函数y=fx在−④该图像先向右平移π6个单位，再把图像上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2⑤∀x∈−π3,π3，若题型15题型15函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用57．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=sin2ωx+3sin①函数fx的图象关于直线x=②函数fx的对称中心是π③函数fx在区间π④函数fx的图象可以由gx=58．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）已知函数fx=3sinx+①fx的一个对称中心为5②fπ6是③fx在−④把函数y=cos2x的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后，再向上平移159．（23-24高一上·江西南昌·期末）设函数fx①点−512π,0②直线x=π3是函数③函数fx的最小正周期是π④将函数fx向右平移π其中正确结论的序号是.60．（23-24高一下·北京·期中）已知函数fx=sin①若ω=1，则−π2是函数的一个②若ω=1，函数fx的最小值是−③若ω=2，函数fx图象关于直线x=④若ω=2，函数fx图象可由y=2sin2x图象向右平移π4题型16题型16三角函数的应用61．（23-24高一下·广东佛山·期中）“广佛之眼”摩天轮半径为50m，成为佛山地标建筑之一，被称作天空之眼摩天轮．如图，圆心O距地面的高度为60m，已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min转动一圈，游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱10min时他距离地面的高度为62．（23-24高一下·江苏·阶段练习）为了估算圣索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得建筑物顶A､教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则计算圣索菲亚教堂的高度CD为m

63．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．假定在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当t=0时，筒车上的某个盛水筒M位于点P0(2,−23)处，经过t秒后运动到点P(x,y)，点P的纵坐标满足y=f(t)=Asin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2．已知筒车的轴心O距离水面的高度为2米，设盛水筒M到水面的距离为h（单位：米）（盛水筒M在水面下时，则h64．（23-24高一下·贵州毕节·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为ℎ（单位：m）（在水面下则ℎ为负数），则ℎ与时间①A=2.4,ω=π②点P第一次到达最高点需要的时间为103③在转动的一个周期内，点P在水中的时间是403④若ℎt在0,a上的值域为0,3.6，则a的取值范围是20其中所有正确结论的序号是.2024-2025学年高一上学期期末复习填空题压轴题十六大题型专练（范围：第四、五章）【人教A版（2019）】题型1题型1指数式的给条件求值问题1．（24-25高一上·上海·期中）已知a+a−1=3，则a3【解题思路】根据立方和公式及完全平方公式化简求解.【解答过程】因为a+a所以a+a−12所以a3故答案为：1872．（23-24高一下·云南·期中）已知xx2+x+1=a（a≠0且a≠12），则x【解题思路】根据指数幂的运算性质即可得x+1x=【解答过程】由xx2+x+1=a且a≠0知x≠0，于是从而x4由于a≠12，因此故答案为：a23．（2024高一·江苏·专题练习）已知a=−827,b=1771，则【解题思路】根据指数幂运算法则化简原式，结合已知数据求值即可.【解答过程】a=a因为a=−827故答案为：944．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知x12+x−1【解题思路】利用分数指数幂的运算，根据平方关系即可求得结果.【解答过程】由x12+即x+x又因为x+x即72=即x−x−1=所以x2故答案为：±215题型2题型2解指数不等式5．（2024·陕西西安·一模）已知函数y=fx+1是偶函数，且在区间−∞,−1上是增函数，则不等式f−2【解题思路】由y=f(x+1)与y=f(x)图象的平移关系，可得f(x)的对称性与单调性，利用单调性解抽象不等式即可.【解答过程】因为函数y=fx+1是偶函数，且在区间−而函数f(x)图象可由函数f(x+1)向右平移1个单位得到，故函数f(x)关于直线x=1对称，且在区间−∞由f−2x得−2x>−8，即2不等式f−2x故答案为：−∞6．（24-25高三上·上海·阶段练习）若m∈R,fx=3x,x≥03−x【解题思路】首先得出fx的奇偶性、单调性，进一步结合已知列出关于m【解答过程】显然fx当x>0时，f−x=3−−x当x=0时，fx所以fx当x≥0时，fx=3x单调递增，所以当所以fm−2所以满足fm−2≥fm+3的m故答案为：−17．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）不等式2x2−2x−3<123x−3与不等式【解题思路】根据指数函数单调性解不等式，结合一元二次不等式解法进而得到答案.【解答过程】因为y=2x则2x2−2x−3即x2+x−6<0，解得因为−3＜x＜所以−3+2=−a−3×2=b此时x2+ax+b<0，即x2故a−b=7故答案为：7.8．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知函数fx=ex−e−x【解题思路】根据函数的单调性化简不等式，根据对数函数以及二次不等式的性质，可得答案.【解答过程】由于fx=e由ffx>则ex−e−x>−1，e所以x>ln5−1故答案为：ln5题型3题型3指数型复合函数的应用9．（23-24高二上·浙江·期末）函数fx=2ax2−2x−1在区间1,+【解题思路】由复合函数的单调性来进行分情况讨论得出a的取值范围.【解答过程】解：函数fx=2ax由于y=2t是单调递增，函数fx所以tx=ax当a>0时，不符合题意；当a=0时，tx当a<0时，tx=ax故需要满足1a综上：a≤0.故答案为：a≤0.10．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数f(x)=1①f(x)在定义域上单调递增；②f(x)存在最大值；③不等式f(x)≤13的解集是④f(x)的图象关于点(0,1其中所有正确结论的序号是①③④.【解题思路】根据给定的函数，分析单调性判断①；利用指数函数值域判断②；解指数不等式判断③；探讨函数图象的对称性判断④即得.【解答过程】函数f(x)=11+e−x的定义域为R，函数y=e−x在由于e−x>0，则1+e−x>1不等式f(x)≤13，即11+e−x≤13，整理得由于f(x)+f(−x)=11+e−x+所以所有正确结论的序号是①③④.故答案为：①③④.11．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数.例如：−3.6=−4,3.6=3.已知函数fx=1【解题思路】依题意可得fx=−12+11+【解答过程】因为fx=1因为y=1+ex在定义域上单调递增，则所以fx=−1当x<0时，ex当x=0时，f0=1当x>0时，ex所以，当x>0时−x<0，则fx=−1,f当x<0时−x>0，则fx=0,f当x=0时，fx综上所述，y=fx+故答案为：−1,0.12．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域均为R，且满足f(x)+g(x)=2x+1，若fg(x)−a+1≥32恒成立，则【解题思路】利用函数奇偶性结合f(x)+g(x)=2x+1，求出函数f(x)和g(x)的解析式，由函数单调性解不等式fg(x)−a+1≥3【解答过程】奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域均为R，且满足f(x)+g(x)=2则有f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)=2解得f(x)=2x−函数y=2x和则f(x)=2x−fg(x)−a+1≥32=f由g(x)=2x+2−x所以a≤2，即a的取值范围是−∞故答案为：−∞题型4题型4带附加条件的指、对数问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示13．（24-25高一上·上海·期中）若实数a>b>1，且logab+logb【解题思路】根据换底公式及对数式与指数式的转化即可得解.【解答过程】因为a>b>1，所以0<由loga解得logab=1所以a12=b所以ab故答案为：1.14．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知实数x，y满足2x=433．【解题思路】设log2x=t,log3y=s【解答过程】设log2x=t,log故2t+1=4整理得到：2×3故32s,故32s=32故答案为：3.15．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知2x=24y=3，则3y−x【解题思路】首先，将所给指数幂形式化为x=log23【解答过程】∵2∴x=log23∴1x=log∴3y−xxy故答案为：−1.16．（2024·上海·模拟预测）已知正实数a,b满足logab+logba=52，【解题思路】令t=logab，则由logab+logba=5【解答过程】令t=logab由logab+log所以2t2−5t+2=0，解得t=所以logab=1所以a12=b当a12=b由aa=bb，得由2a=ba=b2，又a>0所以a+b=3当a2=b时，由aa=b由a=2ba2=b，又a>0所以a+b=3综上所述，a+b=3故答案为：34题型5题型5指、对、幂的大小比较

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示17．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）设a=0.52.5,b=12log2【解题思路】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得.【解答过程】依题意，0.52.5<0.52.1=所以a,b,c的大小关系为b>c>a.故答案为：b>c>a.18．（2024·北京通州·三模）已知a=2−1.1，b=log1413【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质确定出a,b,c的范围，即可求解.【解答过程】因为a=2b=log14c=log故a<b<c，故答案为：a<b<c.19．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）设a=log20.3，b=log120.4，c=【解题思路】根据指数函数和对数函数单调性分别限定出a,b,c的取值范围即可得出结论.【解答过程】根据对数函数单调性可知a=log20.3<而b=log12由指数函数单调性及值域可得0<c=0.40.3<所以可得a<c<b.故答案为：a<c<b.20．（23-24高一上·湖北·期末）定义域为R的函数fx满足fx+2为偶函数，且当x1<x2<2时，fx2【解题思路】根据函数的奇偶性、单调性以及指数函数、对数函数等知识求得正确答案.【解答过程】因为函数fx满足f所以函数fx的图象关于直线x=2因为当x1<x2<2则fx2−fx1>0，即则fx在2,+由a=f1=f4−1根据函数y=lnx在0,+∞由1<54，根据函数y=3x在R上单调递增，则由函数fx在2,+∞上单调递减可知故答案为：b>a>c.题型6题型6对数型复合函数的应用

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平面向量线性运算的坐标表示21．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数fx=log2−x2+ax+15在【解题思路】根据对数函数性质分析可知：gx=−x2+ax+15【解答过程】因为y=log2x由题意可得：gx=−x2+ax+15则a2≥4g所以实数a的取值范围为8,+∞故答案为：8,+∞22．（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知函数fx=log12−x2+2x−t【解题思路】先根据定义域求出m,t的值，再结合复合函数的单调性求出单调区间.【解答过程】因为函数fx=log所以m,m+8为−x所以Δ=22即fx令ℎx=log12令gx则gx为开口向下，对称轴为x=1的抛物线，且g所以x∈−3,1时，gx单调递增；x∈1,5因为fx所以函数fx的单调增区间为1,5故答案为：1,5.23．（23-24高三·云南·阶段练习）已知函数f(x)=log3(1x+a)(a>0)，对任意的t∈[14,1]，函数f(x)【解题思路】判断函数f(x)的单调性，利用单调性求函数在[t,t+1]的最值，由条件列不等式求a的取值范围.【解答过程】函数f(x)=log3(因为函数y=1x+a在(0,+∞)所以f(x)在区间(0， 所以函数f(x)在区间[t， t+1]上的最大值与最小值分别为f(t)，则f(t)−f(t+1)=log得1t+a≤31令ℎ(t)=2at2+2(a+1)t−1，则ℎ(t)所以ℎ(t)在t∈14，  1上是增函数，即2a×142所以a的取值范围为45故答案为：4524．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数f(x)=loga9−ax,g(x)=logax2−ax（a>0且a≠1），若对任意.x【解题思路】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式.根据题意可得只需fx【解答过程】根据题意可得只需fx1min9−a2>0⇒0<a<1当0<a<1时，此时fx,gx在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知fx在1,2上单调递减，gx在3,4上单调递减，所以fx1min=f当1<a<3时，由复合函数单调性可知fx在1,2上单调递减，gx在3,4上单调递增，所以所以loga9−a2≥综上：a∈0,1故答案为：0,1∪题型7题型7函数零点（方程的根）的个数问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示25．（24-25高一上·浙江·期中）已知f(x)=x2+23x+2,x≤0lnx,x>0，若函数g(x)=【解题思路】令t=fx，画出fx的图象，要使函数g(x)=[f(x)]2−af(x)−1有5个不同的零点，即函数ℎt=t2【解答过程】令t=fx，画出f要使函数g(x)=[f(x)]即函数ℎt=t2−at−1有两个零点−1<t1当−1<t1≤2，t2=−1时，即ℎ−1=a=0当−1<t1≤2，t所以ℎ−1=a>0ℎ综上所述：a的取值范围为0∪

故答案为：0∪26．（24-25高一上·吉林长春·期中）设函数fx=3x−1，若关于x的方程4fx【解题思路】先画出函数fx=3x−1的图象，再结合题意，令fx=tt≥0，可得关于t的方程4t【解答过程】如图，画出函数fx

关于x的方程4f令fx=tt≥0，则关于t一个根在0,1上，一个根为0或一个根在0,1上，一个根为1或一个根在0,1上，一个根在1,+∞当一个根在0,1上，一个根为0时，则3m−2=0，即m=23，此时方程为4t2−当一个根在0,1上，一个根为1时，则4−4m+3m−2=0，即m=2，此时方程为4t2−8t+4=0当一个根在0,1上，一个根在1,+∞设gt则Δ=−4m2综上所述，实数m的取值范围是mm>2故答案为：mm>227．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数fx=3x−x2,x≤02−x−1,x>0，若关于x【解题思路】把原题分解为fx=−12、fx=3a的实根个数之和为4即可，在平面直角坐标系中画出y=fx【解答过程】2⇒fx=−1在平面直角坐标系中画出y=fx、y=−12

若关于x的方程2f则当且仅当−1<3a<03a≠−12，解得−所以实数a的取值范围为−1故答案为：−128．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知函数fx=log2x,x>014x2+x+2,x≤0，方程fx=a有四个不同根x1、x2、x3、【解题思路】做出函数大致图象，数形结合可得出实数a的取值范围，由对称性得x1、x2关系，对数函数的性质的x3从而化简代数式，由双勾函数的定义域得出取值范围.【解答过程】作出函数fx与y=a由题意可知，直线y=a与函数fx的图象有4由图可知，1<a≤2，因为二次函数y=14x由图象可得x1+x由fx3=f由于0<x3<1<x4，则−从而得x3x4=1，且所以，x4令y=1x32+2令t=1x32，则则gt在4,16单调递增，则g故x4x3故答案为：1,2；92题型8题型8弧长公式与扇形面积公式的应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示29．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若∠AOD=2π3,OA=4，且该扇环的周长为4+4π

【解题思路】利用扇形弧长公式结合题设条件列出方程，求出小扇型的半径，利用扇形面积公式计算大小扇形面积，作差即得扇环面积.【解答过程】设OB=r，依题意可得，2π3×r+故该扇环的面积为12故答案为：4π30．（23-24高一上·浙江宁波·期末）杭州第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成如图1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.会徽的几何图形如图2所示，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，几何图形ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2.若S【解题思路】根据扇形的面积公式及S1【解答过程】设扇形AOD的面积为S，∠AOD=α，则S1所以SS2=4所以l1故答案为：2.31．（23-24高一上·湖北·期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为1−3π【解题思路】利用扇形的弧长、面积公式计算即可.【解答过程】由题意易知以点A,B,C为圆心，圆弧BC,AC,AB所对的扇形面积各为12中间等边△ABC的面积为12所以莱洛三角形的面积是2π3×3−2×故面积与周长之比为1−3故答案为：1−332．（23-24高一下·上海金山·期末）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，设OA=1，则阴影部分的面积是π−24【解题思路】设两个半圆交于点O,C,连接OC、BC,可得直角扇形OAB的面积等于以OA、OB为直径的两个半圆的面积之和，OC平分∠AOB,可得阴影部分的面积.【解答过程】解：设两个半圆交于点O,C，连接OC、BC,∵14∴直角扇形OAB的面积等于以OA、OB为直径的两个半圆的面积之和，由对称性可得：OC平分∠AOB,故阴影部分的面积是：S=2×[1故答案为：π−24题型9题型9同角三角函数的基本关系

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示33．（24-25高三上·宁夏银川·开学考试）若tanθ=−3，则sin2θ+cos【解题思路】根据正余弦的齐次式化为正切函数即可得解.【解答过程】因为tanθ=−3所以sin2故答案为：−534．（24-25高一上·全国·课后作业）若0<θ<π,，sinθcosθ=−60【解题思路】先由0<θ<π,sinθcos【解答过程】∵0<θ<∴sinθ>0,∴sin故答案为：171335．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知sinθ−2cosθsinθ+cos【解题思路】利用同角三角函数之间的基本关系可得sinθ=−4【解答过程】由sinθ−2cosθsinθ+所以sin=将tanθ=−4代入计算可得−63+即sin3故答案为：4713536．（23-24高一上·四川泸州·期末）若A∈0,π，且sinA+cos【解题思路】根据题意结合sinA+cosA,【解答过程】因为sinA+cosA=解得sinA且A∈0,π，可得A∈π2,又因为sinA−cosA联立方程sinA+cosA=所以3sin故答案为：2.题型10题型10诱导公式的综合应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示37．（24-25高三上·上海·阶段练习）若tanπ2+α=13【解题思路】首先根据商数关系及其诱导公式求出tanα【解答过程】已知tanπ2+αsin2构造齐次式可得：sin2代入tanα=−3，得：tan故答案为：6538．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知锐角α满足6cos2α−cos【解题思路】由方程求出cosα，再由诱导公式化简后代入cos【解答过程】由6cos2α−cosα−1=0解得cosα=12所以sinπ故答案为：2.39．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知sinα=2m−3m+2，cosα=−m+1m+2，且α【解题思路】由已知可求出m的取值范围，由同角三角函数的平方关系求出m的值，可求出tanα【解答过程】因为sinα=2m−3m+2，cos则2m−3m+2>0−m+1m+2因为sin2整理可得2m2−7m+3=0，即2m−1m−3=0所以，sinα=2m−3m+2所以，tanα=因此，sinα+2024故答案为：−740．（2024高三·全国·专题练习）已知sin(3π＋θ)＝13，则cos(π+θ)cosθcos【解题思路】由已知求得sinθ，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值.【解答过程】由sin3π+θ=1∴cos=−=1=2故答案为：18.题型11题型11三角函数的参数问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示41．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数fx=sinωx+φ（ω>0，φ≤π2），x=−π8为fx的零点，x=π【解题思路】首先根据对称轴和对称中心间的距离，得到关于ω的关系式，再验证，即可求解.【解答过程】设函数f(x)的最小正周期为T，因为x=−π8为f(x)的零点，x=π所以π8−−所以ω=22k+1因为π8∈π18,当ω=2时，由x=−π8为f(x)的零点可得2×−因为φ≤π2因为fx=sin(2x+π4)故答案为：2.42．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数fx=sinωx+π3的图象关于直线x=π3对称，且fx【解题思路】函数的对称性可求出ω的一个范围，再根据函数在π36,π8上单调，可得【解答过程】因为函数fx=sin所以πω3+π3=π因为fx在π36,即T=2πω当ω=192时，当x∈π36,π8所以当x∈π36,π当ω=132时，f(x)=sin13x2此时，函数fx在π故ω的最大值为132故答案为：13243．（2024·江苏南京·二模）已知函数fx=sinωx+φω>0,φ∈R在区间π4,π2上单调，且满足fπ3【解题思路】根据三角函数单调区间以及零点个数求出周期的范围，即可解得ω的取值范围.【解答过程】不妨设函数fx的周期为T因为fx在区间π4,π2又fπ3=0，可得π2−又fx在区间π3,11综上可得2π3≤T<解得83<ω≤3，即ω的取值范围为故答案为：8344．（23-24高一下·四川内江·期末）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)最大值为2，最小值为0，且函数图象过点(0,3273≤ω<【解题思路】根据给定条件，依次求出A,B,φ，结合零点的意义把问题转化为函数y=sin(ωx+π【解答过程】由函数f(x)的最大值为2，最小值为0，得A+B=2−A+B=0，解得A=B=1则f(x)=sin(ωx+φ)+1，由f(0)=32，得sinφ=因此f(x)=sin(ωx+π6)+1则函数f(x)的零点和最大值点分别为y=sin(依题意，y=sin(ωx+π当x∈[0,π]时，ωx+π6∈[π所以ω的取值范围是73故答案为：73题型12题型12三角函数的图象与性质的综合应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示45．（2024高三·全国·专题练习）关于函数f(x)=sin①fx是周期为2②fx在[0,③fx在[0,2其中所有正确结论的编号是①③.【解题思路】根据周期的定义，以及单调性的性质，函数零点的判断方法，结合正弦函数和余弦型函数的图像，对每个选项进行逐一分析，即可判断.【解答过程】①：fx+2π=则f(x)是周期为2π②因为f(π4)=即f(π4)>f(π2③由f(x)=sinx−|cos作出函数y=sinx和

由图象知两个函数在[0,2π故f(x)在[0,2π故正确的编号为①③．故答案为：①③．46．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知x1,x2是函数f(x)=2sin①函数f(x)在0,π3②函数f(x)的图象关于直线x=−π③函数f(x)的图象关于点(π,0)④当x∈π2,π时，函数其中正确命题的序号是①②④．【解题思路】首先求得ω，然后根据三角函数的单调性、对称性、值域等知识确定正确答案.【解答过程】由于x1−x2的最小值是所以fx①，0≤x≤π所以函数f(x)在0,π②，sin−所以函数f(x)的图象关于直线x=−π③，sin2所以(π,0)不是④，π2所以sin2x−所以fx=2sin2x−π故答案为：①②④.47．（23-24高一上·山西运城·期末）关于函数fx①fx②函数fx是周期函数，且最小正周期为2③函数fx在区间π④函数fx在−⑤函数fx其中所有正确结论的编号是①③④⑤．【解题思路】利用函数奇偶性的概念即可判断①；由f−由x∈π2,由函数fx是偶函数，则只需要考虑0,π上的零点个数，由函数fx是偶函数，则考虑x≥0【解答过程】解：①函数的定义域为R，又f−x∴函数fx②当x=−π2时，f−π2=2，③当x∈π2,π时，④∵函数fx是偶函数，∴只需要考虑0,此时fx=sinx+sin∴fx在−π,⑤∵函数fx∴考虑x≥0的情况即可，当x≥0时，fx∴fx故答案为：①③④⑤.48．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知函数fx=sinωx−π①fx在0,π②fx在0,π③fx在0,④ω的取值范围为114其中正确的所有序号是③④．【解题思路】对于①②：作出符合题意的图像，利用图像否定结论；对于④：根据fx在区间0,π上的图象有且仅有2个最高点，列不等式，解得ω对于③：利用复合函数的单调性法则进行判断.【解答过程】对于①：作出fx

当图像如图2所示，符合题意，但是在0,π上的图象有2个最低点.故①错误；对于②：

当图像如图3所示，符合题意，但是在0,π上有5个零点.故②错误；对于④：令t=ωx−π4，因为x∈0,π，所以t∈要使fx在区间0,π只需52π≤ωπ−π对于③：当x∈0,π8因为114≤ω<194，所以3π32≤ωπ8−故答案为：③④.题型13题型13三角恒等变换的综合应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示49．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知0<α<β<π2，且sinα+β+cosα+β【解题思路】根据给定条件，利用同角公式求出cos(α+β)，再利用和差角的余弦公式求出cos【解答过程】由0<α<β<π2，得0<α+β<π由sinα+β+cosα+β=0由sinαsinβ=6即cosαcosβ=因此sin(α−β)=−1−(故答案为：−150．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知sinα−βcosα−cosα−βsin【解题思路】利用正弦的差角公式先计算sin−β【解答过程】因为sinα−β且β为第三象限角，所以sinβ=−所以sin=−故答案为：7251．（24-25高三上·山东淄博·阶段练习）已知x∈π6,2π3，sin【解题思路】由同角三角函数的平方关系可得cosx−π6【解答过程】由x∈π6,2π因为2x+π6−2则cos=−2sin故答案为：−2452．（24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知α,β为锐角，且α+2β=2π6+2【解题思路】根据条件，利用正切的差角公式，得到tan2β+(3−3)tan【解答过程】因α+2β=2π3，得到α=所以tan(π3解得tanβ=1或tan当tanβ=2−3时，tanα当tanβ=1时，得到β=π4所以sin2α+β故答案为：6+题型14题型14由部分图象求函数的解析式53．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B①f(x)关于点(π6②f(x)关于直线x=π③f(x)在区间[π④f(x)在区间(−5π12正确结论的序号为②③.【解题思路】先由图象求出A,B，接着将点0,2代入函数f(x)结合正弦函数性质和φ<π2求得φ，再由f(−π6)=1和T4>π6求出ω，进而求得函数f(x)解析式，对于①，计算f(π6)≠3即可判断；对于②，计算f(【解答过程】由图得A=5−12=2，B=将点0,2代入函数f(x)得2sinφ+3=2，即所以φ=2kπ−π6,k∈所以φ=−π6，故又f(−π6)=2所以ωπ又由图像可知T4>π所以0<ω<3，所以ω=2，所以f(x)=2sin对于①，因为f(π6)=2sin2×对于②，因为f(π对于③，令2kπ+π所以函数f(x)在区间kπ故当k=0时，函数f(x)在区间π3因为[π2,5π对于④，x∈(−5π12,π所以2sin(2x−π6)+3∈1,3，所以故答案为：②③.54．（23-24高一下·北京·期中）函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π

①函数y=f(x)的图象关于点(−π②函数y=f(x)的图象关于直线x=−5③函数y=f(x)在[−2④该图象向右平移π6个单位可得y=2以上结论正确的是①②④.【解题思路】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数f(x)，再逐一判断各个命题即可.【解答过程】观察图象知，A=2，函数f(x)的周期T=4(π3−由f(π12)=2，得2×π12因此f(x)=2sin(2x+π3)，而f(−又f(−5π12)=2sin(−当x∈[−2π3,−π6]时，2x+则函数y=f(x)在[−2函数y=f(x)图象向右平移π6个单位，得f(x−π6所以正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④.55．（2024·湖南·一模）已知函数fx=Asin①f②f③fx在4所有正确结论的序号是②.【解题思路】借助图象可得fx【解答过程】由图可得A=2+02=1，B=2−02=1，且π3×2+φ=3又φ<π，故φ=5π对①：2×5π6+5故f5π6对②：fπ则fx对③：当x∈4π3由函数y=sinx在故函数fx在4故正确结论的序号是：②.故答案为：②.56．（23-24高三上·甘肃张掖·阶段练习）函数fx=2sin①若把函数fx的图像向右平移π6个单位长度，得到函数ℎx②函数y=fx的图像关于点4π③函数y=fx在−④该图像先向右平移π6个单位，再把图像上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2⑤∀x∈−π3,π3，若【解题思路】根据函数图像，先求出fx【解答过程】由图像可知：fx的最小正周期T=4×π3∴2×π12+φ=π2+2kπk∈∴fx对于①，fx的图像向右平移π6个单位长度得：ℎx=2sin对于②，令x=4π3，求得f4对于③，在−2π3,−π6对于④，把fx的图像先向右平移π6个单位，可得再把图像上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin对于⑤，f0=2sinπ3当x∈−π3,π∴3−2∴a≥3+2，即实数a的取值范围为故答案为：①②④⑤.题型15题型15函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用57．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=sin2ωx+①函数fx的图象关于直线x=②函数fx的对称中心是π③函数fx在区间π④函数fx的图象可以由gx=【解题思路】根据二倍角公式、辅助角公式和T=2πω求得ω=1【解答过程】f(x)=sin又f(x)的最小正周期为π，所以T=2π2ω=π所以f(x)=sin①：f(π所以x=π3是f(x)图象的一条对称轴，故②：f(π所以(π12+kπ③：由π12≤x≤5π所以f(x)图象在[π12,④：g(x)=cos2x+1得y=cos[2(x−π故答案为：①④.58．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）已知函数fx=3①fx的一个对称中心为5②fπ6是③fx在−④把函数y=cos2x的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后，再向上平移1【解题思路】先利用三角函数恒等变换有关公式，把函数fx=3【解答过程】因为fx=3sinx+cosxcosx对①：由函数性质，函数fx的对称中心的纵坐标为1对②：因为fπ6=对③：由2kπ−π≤2x−π3≤2k所以函数fx在kπ−令k=0，得函数fx在−对④：将函数y=cos2x的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度，可得函数y=cos2x−π6=故答案为：②③④.59．（23-24高一上·江西南昌·期末）设函数fx①点−512π,0②直线x=π3是函数③函数fx的最小正周期是π④将函数fx向右平移π其中正确结论的序号是②③④.【解题思路】依次判断每个选项：−512π,1是对称中心，①错误；2x+π3=π是【解答过程】解：ff−5π12x=π3时，T=2π函数fx向右平移π6得到故答案为：②③④.60．（23-24高一下·北京·期中）已知函数fx=sin①若ω=1，则−π2是函数的一个②若ω=1，函数fx的最小值是−③若ω=2，函数fx图象关于直线x=④若ω=2，函数fx图象可由y=2sin2x图象向右平移【解题思路】当ω=1，得fx=2sinx+142−98，从而可对①②判断；当【解答过程】对①②：当ω=1，fx因为−1≤sinx≤1，所以当sinx=−1当x=−π2时，f对③④：当ω=2，fx当x=3π8，将fx图象向左平移π4得f故答案为：①②③.题型16题型1