黑龙江省牡丹江市部分学校2025届高三年级上册期中考试数学试题（含解析）

牡丹江市省级示范高中2024-2025学年度高三期中

数学试卷

考试时间：120分钟分值：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1,若（2-2i）z=i,贝］.=（）

.11.11.11.11.

A.—1—1B.-----------1C.-------iD.------1—i

44444444

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求得z=-L+』i,再根据共轨复数的概念分析判断.

'44

.i(2+2i)=

【详解】因为则

(2—2i)z=i'Z=2-2](2-2i)(2+2i)44'

所以亍=一工一工1.

44

故选B.

2.从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数

依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40,这11个数据的60%分位数是（）

A.16B.30C.32D.51

【答案】C

【解析】

【分析】将数据按照从小到大的顺序排列，根据百分位数的计算方法即可求解.

【详解】把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51,

因为11x60%=6.6,这11个数据按照从小到大排列第7个是32.

故选：C.

3.如图，在A/BC中，NA4C=120°,Z8=2,ZC=l,。是8C边上靠近8点的三等分点，E是边上

的动点，则五百.函的取值范围为（）

A

V7”一f-_4W-__47'

A.，B.，c.D.

7373L33_L33J

【答案】C

【解析】

【分析】先用余弦定理求出|石斗，再将向量用基底/，方表示，借助向量运算性质计算即可.

AS|2+M2TM2

【详解】由cos/8ZC=解得|而|=J7.

2

设酝=x屈

则

—►—►/—►——►/—»—►、2—►2—►—►2—>2

AE-CD=(AC+CEyCD=(AC+ACBj-CB=-AC-CB+-ACB

2—■—■2--214414410

=-ACAB——AC+—2=——+—2e5

333333T

故选：C

4.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小

满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后

三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日17时37分为春分时节，其日影长为（）

A.4.5尺B.3.5尺C.2.5尺D.1.5尺

【答案】A

【解析】

【分析】由题意构造等差数列{%},设公差为d,利用基本量代换求出通项公式，然后求啊.

【详解】小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构

成等差数列{%},设公差为乱由题意得：

%+2+%=28.5

+%]+=1.5

为=10.5

解得：\,

所以%=为+（〃一l）d=11.5-〃，

所以％=11-5—7=4.5,

即春分时节的日影长为4.5.

故选：A

【点睛】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：

求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语

言转化成数学语言，建立相应的数学模型；

(2)等差(比)数列问题解决的基本方法：基本量代换.

5.若函数/(乃=1080」(12-狈)在区间(3,6)上单调递增.则。的取值范围是()

A.(—8,0)B,(-2,0)C.(0,2)D.(0,2]

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数及对数函数的定义域计算求解.

【详解】/(x)=log01(12-«x)在区间(3,6)上单调递增，令，=g(x),y=log。./单调递减，

则g(x)=12-办在区间(3,6)上单调递减且恒为正，

所以a>0且g(6)=12—6。20,所以0<。42.

故选：D.

6.已知tan6,是一元二次方程必+"—5=0的两个根，贝U。=()

A.6A/3B.-673C.473D.-473

【答案】A

【解析】

【分析】结合根与系数关系可得tan。+tan=-a,tan0tan=-5,再利用两角和的正

切公式可求出a的值.

【详解】因为tan。，tan是一元二次方程X2+(ZX-5=0的两个根,

显然A=a2+20〉0，所以tan，+tan=-a,tan0tan

所以a=6-\/3.

故选：A.

7.已知函数/(x)=13+3x+l,若关于x的方程/(5加)+/(加+851)=2有实数解，则加的取值范围

为()

A.[-1,V2]B,[-1,1]C.[0,1]D.[-V2,V2]

【答案】D

【解析】

【分析】设g(x)=/(x)—l=x3+3x,利用函数的单调性和奇偶性，把/(sinx)+/(加+COSX)=2转化

成加二-sinx-cosx,再结合三角函数的性质求加的取值范围.

【详解】令g(x)=/(x)—l=d+3x,贝常'(》)=3/+3〉0恒成立，则g(x)在R上单调递增，且g(x)

是奇函数.

由/(sinx)+/(加+cosx)=2,得/(sinr)-l=—[/。〃+cosx)—1],ipg(sinx)=g(-m-cosx),

从而sinx=-m-cosx,即加=-sinx-cosx=-V2sin(x+^-Je[一后，行]

故选：D

【点睛】方法点睛：设g(x)=/(x)-l=d+3x,可得函数g(x)为奇函数，利用导函数分析函数g(x)的

单调性，把/(5血)+/(加+(：05%)=2转化成加=—52-©08%,再求加的取值范围.

8.若函数/(》)=1一一2、/5%+；加卜111：加x—|■)加eN*)在[0,4]上恰有3个零点，则符合条件的m

的个数是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】就加＞8、加=8、1W加48分类，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值范围.

【详解】令/（'）=0，则x2-2A/2X+—m=0或sin］,加工一三］=0,

4143）

由A=（-2夜）—m=8—m,

当加〉8时，y=x2-2行工+；加在［0,4］上没有零点，

则y=sin；加x-0）在［0,4］上应有3个零点，

l,r1兀兀71/兀C口「7兀，1071

因为一加X---€—,m——,所以2兀V加——<3兀，即——<m<---，

4333J333

与加〉8联立得8＜加＜—,因为加wN*，所以机的值依次为9,10；

当加=8时，歹=/一2立:+；加在［0,4］上有1个零点正，

y=sin'x-g］在［0,4］上有3个零点0,§,詈，不满足题意；

当1K加＜8时，y=/-2行》+,加在［0,4］上有2个零点，

4

故了=sin］；加x-/］在［0,4］上应有1个零点，

因为用eN*，所以该零点与y=x?-2后工+,加的零点不相同，

,4

所以一女＜兀，即巴〈加〈史，与1K加＜8联立得四

33333

因为加eN*，所以掰的取值依次为2,3,4,综上得符合条件的加的个数是5.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量值=（一2,1）,b=（/,-1）»则（）

A.若值16，则，=——B.若之，b共线，则t——2

C.3不可能是单位向量D.若f=0,则12万—，=5

【答案】AD

【解析】

【分析】根据给定条件，利用垂直关系、向量共线的坐标表示计算判断AB；利用单位向量的意义判断C,

利用向量线性运算的坐标表示及利用坐标求模判断D.

【详解】对于A,由彳工6，得万,b=-2t—1=0,解得％=—5，A正确；

对于B,由a,B共线，得—2x(—1)—11=0,解得/=2,B错误；

对于c,当/=0时，B是单位向量，c错误；

对于D,当/=0时，21—3=(—4,2)—(0,—1)=(—4,3),贝125一,=5,D正确.

故选：AD

10.在等比数列｛%｝中，％%=2,°3=4,贝(1()

A.｛%｝的公比为亚B.｛%｝的公比为2

C.。3+生=20D.数列＜log,—＞为递增数列

〔'an\

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意，列出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断即可.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4,

a、q=2,a.-1,.

依题意得412解得4C所以%=2,

,/=4,[q=2,

故%+%=2?+24=20,故BC正确，A错误；

对于D,10g2—=l-",则数列log,一卜为递减数列，故D错误.

故选：BC.

11.已知函数/(%)=6工，g(x)=lnx,若/(x),g(x)的图象与直线/：y=qx+4分别切于点Z(XQJ,

=aX+b

B（x2,歹2）（再＞%），与直线l2-y22分别切于点C,D,且/一，2相交于点P(Xo，%)，则()

Xj+1

A.x-Inx=0B.eX1

r2X]—1

C.>2-a

2D.xo+yo>-^—^

【答案】BC

【解析】

【分析】根据公切线的有关概念判断为与马的关系，可判断A、B选项的真假；根据指数函数与对数函数

的图象的对称性，可判断公切线斜率的关系，结合基本不等式，判断C的真假；也可求两条公切线的交点，

判断D的真假.

【详解】由题意得/'(x)=e，,g'(x)=-,所以q=r(xJ=g〈X2)="")―g(/),即

X%1-X2

Ie项一Inx1

4=e/=一=--------由e*=一,整理得再二一111工2，且In%。。，A错误;

x2Xj-X2X2_一

I—Inxx+1

把％=丁，In%=—X],代入d=------Z,整理得6%=^7,B正确;

x,

ex1-x2X)-1

Y-L1

分别作出y=e*与y=——的图象如下:

x-1

两图象有2个交点，所以/(x)图象上的切点有2个，即/(x)与g(x)的公切线有2条.

因为/(x)，g(x)的图象关于直线V=x对称，所以点2伍,9)&W0)关于直线y=x的对称点为

D(e*,X]),q=e*,%=g'(e~)———，/+出=e"——>2,C正确；

因为直线48,CQ关于直线V=x对称，则点尸就是直线48与直线V=x的交点，

直线Z8的方程为>—e』=e』(x—七)，与y=x联立得》=止3

eX1-1

(XiT)e"2(万-1)铲

所以%=%=所以/+为

eX1-1eX1-l

项+1=1+^—

由。国且石〉可得1<<2,

再一1X]一]

92

设/z(x)=(x—l)e%l<x<2),贝!I〃(x)=xe，〉0,所以/z(x)<〃(2)=e?,所以/+为<―P^,D错误.

eX1-1

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：（i）同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，这一

性质的应用在判断D选项时很重要.

（2）看到不等式，就要想到求代数式的最值，常见的最值的求法有：第一：与二次函数有关的最值问题的

求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函数的单调性求最值；第三：利用三角函数的有界性求最值.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12已知平面向量比，亢满足历•万=3,且而J_（玩一2万），则网=.

【答案】V6

【解析】

【分析】由向量数量积的运算律和向量垂直的表示直接计算即可得解.

【详解】因为应_L（应一2万），

所以成•（应一2方）=0,则比2=2比.力=6，

所以网=布.

故答案为：^6•

13.若c,且cos2a=cos[a+[],则£=.

TT

【答案】方

【解析】

【分析】化简三角函数式，求出sin[（z+；]=；,根据celgoj即可求解.

【详解】由cos2a=cos[a+，得cos%-sin2a=^^（cosa-sina）.

因为所以cosa—sinaw0,贝Ucosa+sina=，则sin[a+z]=5.

由得则a+：=g,解得&=—三.

k2J4（44j4612

TT

故答案为：——.

12

S„3n+2

14.设S〃，4分别为等差数列｛诙｝,｛儿｝的前〃项和，且U=一1设N是直线8C外一点，尸是直线8c

T„4〃+5

上一点，且彳万=华氏方+24则实数2的值为

a

【答案】-二9

25

【解析】

【分析】运用三点共线向量公式和等差数列的性质，即可求解.

【详解】依题意，B,C,P三点共线，

<7,+a.a.

:+2=1,'.A—1—2x-

b3b3

依口页音色_2%/+%_（%+生）义3_55-3X5+2_17

依鹏丁友一而T—^工一…一百

.•.A=l-2x—=--

2525

9

故答案为：----

25

【点睛】关键点睛：本题需要熟练掌握三点共线向量公式，以及等差数列的求和公式的逆运用.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知等比数列｛%｝为递增数列，其前〃项和为‘，出=9，=39.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）若数列｛%,-〃｝是首项为1,公差为3的等差数列，求数列也｝的通项公式及前〃项和0

【答案】（1）%=3"

3"M—3/+〃—3

(2)“=3"-3〃+2,T,,

2

【解析】

【分析】（1）设等比数列｛4｝的首项为q,公比为q,依题意得到关于％、q的方程组，解得%、q,即

可求出通项公式;

（2）依题意可得”=3"-3〃+2,利用分组求和法计算可得.

【小问1详解】

设等比数列｛%｝的首项为q,公比为q,

a=27

a.q=9=3x

根据题意可得2cc，解得｛c或《1

ax+a｛q+axq~=39=3Q=~

a,=3

因为等比数列｛为｝为递增数列，所以।,

q=3

所以数列｛%｝的通项公式为%=3".

【小问2详解】

因为数列｛%-"｝是首项为1，公差为3的等差数列，

所以a“-或=1+3(〃-1)=3〃一2,

所以“=3"-3〃+2,

所以北=(3+9+27+--+3")-(1+4+7+--+3〃-2)

_3(1-3")_"(1+3〃-2)_3什1_3"+〃_3

-1-32=2'

16.在锐角V48c中，内角4民C的对边分别为"c,且@=9;二/1.

cb~-ac

(1)证明：B=2C.

(2)若点。在边ZC上，且CD=BD=4,求。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)(4枝,4百).

【解析】

【分析】(1)化简已知等式结合余弦定理可得a=c(l+2cos5),再利用两角和的正弦公式即可证明结论;

(2)由已知条件结合正弦定理可得BC=8cosC,根据锐角V48C确定角C的范围，即可求得答案.

【小问1详解】

证明：因为2=所以a/一°2c=/c—03，

cb-ac

整理得/(Q—C)=C(Q+0(Q—C).

又所以a—cwO,从而〃=ac+c2=a2+c2-2accosB，

整理得a=c(l+2cosS),则siM=sinC(1+2cos5).

由siiU=sin（5+C）=sinficosC+cosSsinC,得siaScosC一cosBsinC=sinC，

即sin（B—C）=sinC,结合锐角V4BC中，5-Ce（-|,|）,

则5—C=C,即5=2C.

【小问2详解】

如图，由CD=5。，可得乙4cB=NDBC,则/BDC=兀―2/ZC8.

BCBD

在△BCD中，由正弦定理得

sinNBDCsin^BCD

BDsinNBDC4sin2C

整理得8C==8cosC.

sin^BCDsinC

o<Y，

因为5=2C,且VZBC是锐角三角形，所以《0<2C<?解得畀°苦，

71

0<7i-3C<-,

2

则也<cosC<立，

22

从而472<8cosC<4G，即a的取值范围为(4亚,4行).

17.18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒(BrookTaylor)发现的泰勒公式(又称麦

克劳林公式)有如下特殊形式：当f(x)在x=0处的〃(〃eN*)阶导数都存在时，

/W=/(o)+r(o)-x+~~~~~~'X?+――,•*3+...+―――■•X“+...•其中，/0)表示/(X)的二

阶导数，即为f'(x)的导数，/⑺(x)(〃23)表示/(x)的〃阶导数.

(1)根据公式估计cosg的值；(结果保留两位有效数字)

.X3X5X77xn-\X2w-1,x3

(2)由公式可得：sinx=+(-1)------+,当x〉0时，请比较sinx与x------

3!5!7!(2〃-1)!6

的大小，并给出证明;

1

sin

（3）已知〃eN，证明:、、几十k）1

£ln（〃+左+l）-ln（〃+左）12〃+9

【答案】（1）0.88

Y

（2）sinx>x-----，证明见解析

6

（3）证明见解析

【解析】

2468

【分析】（1）根据泰勒公式求得cosx=l-土+土-土+——，赋值即可求得近似值;

2!4!6!8!

（由

（2）构造函数g（x）=sinx-X-—（x>0）,利用导数判断其单调性和最值，即可证明；

[6J

.（1）

sin-------/

（）根据（）中所得结论，将目标式放缩为）

32---------\-n--+--k--------〉[---1-1------1------------1-----

ln（〃+左+l）-ln（〃+左）3（2〃+2左一12〃+2左+1

再裂项求和即可证明.

【小问1详解】

记/（x）=cosx,则/'（X）=一sinx=_co&xJ⑶（x）=sinxJ⑷（X）=cosx,

1X2X4X6X8

/.cosx=l------+-----------+——

2!4!6!8!

所以l

cos—

2

2k2k+22k+22k+2

因为I

-@--r->-r---a>0'

（24）！（2后+2）!（2后）！（2后+2）!>r（2左+2）!

所以

I—=0.875<cos—<I------1-----------<0.878,cos—~0.88.

82816x242

【小问2详解】

令g(x)=sinx-x-----(x>0),贝！Jg'(x)=cosx_]+_x2,g"(x)=_sinx+x,g(x)=]—cosx,

I6J2

g"(X)>0恒成立，，g"(x)在(o,+。)递增，.二g"(x)>g"(O)=0,gr(x)在(o,+8)递增，

C3、

・•・g'(x)>g'(o)=o,，g(x)在(0,+8)递增，g(x)=sinx—x-^—>g(0)=0,

I6J

V

即sirix>x-----.

6

【小问3详解】

由题，〃eN+，lWkW〃，则0<—1—<i,则sin[^——一工(^—]>0,

n+k\n+k)n+k6\n+k)

x

令9(x)=ln(x+l)-x,9‘(x)=—--1=-

x+1x+1

易得9（X）在（TO）上递增,在（o,+。）上递减，从而9（力49（0）=0,

即ln（x+l）V式当且仅当x=0时取等号）,

11

0<ln(〃+化+1)—ln(〃+左)=In1+<

n+kn+k

_________1_________

即ln(〃+A;+l)-ln(〃+人)>n+k>0,

sin]」—]

\n+k)

(72+k)1-------------7

ln(〃+《+l)-ln(〃+A;)6(〃+左)2

a1〉1二__1__=1-2__________1__________

6(2〃+2左)23(2〃+24)2—13(2〃+2左一l>(2〃+2左+1)

312〃+2左一12n+2k+1J

sin,

y____U±AJ___--------p...-i

£ln(〃+左+l)-ln(〃+A?)32〃+l2〃+32〃+32〃+5--------47z-l4〃+1

---

3(2〃+l4〃+l

>〃--------9------=〃----------，得证•

318«2+6«）12〃+9

【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为

.（1]

________\n+k）1<____1__________1:再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的

ln（〃+左+l）-ln（〃+左）3\2n+2k-\2〃+2左+1J

利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.

18.某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4

个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二

次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第

«次抽奖所得的奖券数额X”（1<«<6）的数学期望为E（X“）.

（1）求£（吊）及男的分布列.

（2）写出E（X“）与£（X“T乂〃22）的递推关系式，并证明｛E（X"）+50｝为等比数歹人

（3）若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.（考数据：1.266a2.986）

【答案】（1）£（区）=40,分布列见解析；

（2）E（X"）=1.2E（X“T）+10（2W〃<6）,证明见解析；

（3）593.7（元）

【解析】

【分析】（1）根据条件，直接求出万2的取值及相应的概率，再利用期望的计算公式，即可求出结果;

（2）根据条件，建立关系式£（万“）=2£（丫,1）*0.6+25*0.4,即可求出结果，再构造成

E（X"）+50=1.2（E（X“_i）+50）,利用等比数列的定义，即可证明结果；

（3）由（2）得到E（X"）=90xl.2"T—50,即可求出结果.

【小问1详解】

依题意，抽到一个红球的概率为2=0.6,抽到一个黑球的概率为0.4,

10

显然X]的值为25,50,则尸(&=25)=0.4,尸(福=50)=0.6,

所以E(X])=25x0.4+50x0.6=40,

又占的值为25,50100,

则「匹=25)=0.4,?区=50)=04x0.6=0.24,「区=100)=0.6x0.6=0.36,

所以万2的分布列为:

2550100

P0.40.240.36

【小问2详解】依题意，当〃N2时，甲第〃次抽到红球所得的奖券数额为2E(X_J,对应概率为0.6,

抽到黑球所得的奖券数额为25元，对应概率为0.4,

因此当2K〃〈6时，E(X“)=2E(X“_Jx0.6+25x0.4=\.2E)+10,

)+50=1.2£(X_J+60,即E(X,J+50=1.2(E(X"T)+50),又£(Xj+50=40+50=90,

数列｛E(X“)+50｝为等比数列，公比为1.2,首项为90.

【小问3详解】

由⑵得，£(X")+50=90xl.2"T(l<〃<6),即E(X")=90X1.2'T-50,

所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为

告.厂、90(1-1.26)490x(1-2.986)__，一、

〉E(Xj=--------------50x6«-----------------300=593.7(兀).

金〃1-1.2-0.2

19.已知/(叼=叶当一4L.

(1)求/(x)的定义域；

(2)若/(x)Na恒成立，求。能够取得的最大整数值;

68102〃+4,n2+3〃+2/7

(3)证明:-----1-------1---------I-,,•+——：—>In-------------weN

149A?2,

【答案】(1)(0,+”)

(2)1(3)证明见解析

【解析】

【分析】⑴根据函数有意义，得到不等式组〈--，构造函数g(x)=_-41nx,通过求导推

x>0

出g(x)2g(行)〉0