海南省某中学2024-2025学年高二年级上册11月期中考试 数学试题（含解析）

海南中学2024-2025学年度第一学期期中考试

高二数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共19小题，满分150分，考试时

间为120分钟.

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择

题时，将答案写在答题卡上.

第I卷（选择题，共58分）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

一『.兀兀、

p=sin—,cos—

1.已知直线’的一个方向向量为I66人则直线/的倾斜角为（）

兀兀2兀4兀

A.-B.一C.—D.—

6333

2.M，N分别为直线3x—4y—12=0与6x—8y+5=0上任意一点，贝最小值为（）

29291717

A.—B.—C.—D.—

105510

3.已知4—1,0）、8（3,6）,则以4B为直径的圆的一般方程为（）

Ax?+y?—2%-6y+3=0B.—2x—6y—3—0

C.尤2+>2+2x—6y+3—0D.+2x—6y—3—0

4.圆G：（x—2）?+（y—4）2=9与圆。2：必+/一10%+9=0的公切条数为（）

A.2条B.1条C.3条D.4条

5.已知双曲线V—>2=2的左，右焦点分别为居,工，点尸在双曲线的右半支上，点Q（o,2）,则

归。|+|咫|的最小值为（）

A.272B.4C.6D.472

6.若直线/：丁=依+3—左与曲线C：y=Jl—%2恰有两个交点,则实数左的取值范围是（）

7.若圆G:（x+1）2+（y—2）2=/（/>0）上恰有2个点到直线/:4龙—3y—10=0的距离为1,则实数厂

的取值范围为（）

A.（3,+oo）B.（5,-H»）C.（3,5）D,[3,5]

8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于

春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是

一个半径为夜的圆，圆心到伞柄底端距离为夜，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分

时，北京的阳光与地面夹角为60。），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为

（）

A.2—y/3B.-y2—1C.y/3—1D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

2

9.已知抛物线Cl：y2=履（加>0）与双曲线C2：/一=1有相同的焦点，点F（2,%）在抛物线a上，则

下列结论正确的有（）

A.双曲线C2的离心率为2B.双曲线G的渐近线方程为y=土号

C.m=8D.点P到抛物线。的焦点的距离为4

10.己知直线+左=0,圆C：Y+V-6关+5=0,POo,%）为圆C上任意一点，则下列说法正确

的是（）

A,直线/与圆。相切时，k=+—

3

B.&的最大值为35

/5

C.圆心C到直线/距离最大为4

D.看+y的最大值为5

22

11.已知椭圆C:工+4=1（2〉6〉0）的左、右焦点分别为6、F],上顶点为3,动点尸在椭圆C上，则

4b-

下列描述正确的有（）

A.若APKK的周长为6,则人=6

B.若当/月产6=1时，APEK的内切圆半径为辛，则5=6

若存在P点，使得则b）

C.PFXLPF2,e[V2,2

D.若|尸耳的最大值为26,则be[也2）

第n卷（非选择题，共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.动点尸到两定点4（—4,0）、3（4,0）距离之和为10,则点尸的轨迹方程为.

13.设E为抛物线C：/=8%的焦点，过尸且倾斜角为60。的直线交C于A,3两点，。为坐标原点，

则△OAB的面积为

14.法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：过圆E：f+y2=q2—上任意一点作双曲线。：

22

当=1的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆E称作双曲线C的蒙日圆.过双曲线

a2b1

W：土-y2=i的蒙日圆上一点尸作w的两条切线，与该蒙日圆分别交于A,3两点，若

3

NK钻=30°,则△K4B的周长为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.光线自点P（—3,4）射到点（2,0）后被x轴反射.

（1）求反射光线所在的直线的方程；

（2）求过点（4,2）且与入射光线垂直的直线方程.（请用直线的一般方程表达解题结果）.

16.安庆市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短

轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618.我们把短轴长与长轴长的平方比为避二1

2

y2

的椭圆称为黄金椭圆.现有一黄金椭圆c：「+=l(a〉6〉0)其中A,尸分别为其左顶点和右焦点，B

a

为上顶点.

(1)求黄金椭圆C离心率;

(2)某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测厂可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并

说明理由.

17.已知圆G：/+y2+6x—i0y+25=0与圆。2：必+产—8y+7=0交于A,3两点，圆C经过

A,3两点，且圆心在直线4%-3丁-3=0上.

(1)求IA5I；

(2)求圆C的方程.

2

18.已知双曲线C:?—/=i,斜率为左的直线/过点

(1)若m=0,且直线/与双曲线C只有一个公共点，求左的值；

(2)双曲线C上有一点尸，/耳P鸟的夹角为120。，求三角形P与耳的面积.

19.直线族是指具有某种共同性质直线的全体，例如％=)+1表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线

定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族

中的某条直线.

(1)若圆。1：犬+,2=i是直线族〃优+胡=1(%“611)包络曲线，求机，”满足的关系式；

(2)若点POo，y°)不在直线族：Q(2a—4)x+4y+(a—2)2=0(aeR)的任意一条直线上，求y0的取值

范围和直线族。的包络曲线E；

(3)在(2)的条件下，过曲线E上两点作曲线E的切线乙4,其交点为P.已知点C(0,l),若

A&C三点不共线，探究"C4=NPCB是否成立？请说明理由.

海南中学2024-2025学年度第一学期期中考试

高二数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共19小题，满分150分，考试时

间为120分钟.

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择

题时，将答案写在答题卡上.

第I卷（选择题，共58分）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

一『.兀兀、

p=sin—,cos—

1.已知直线’的一个方向向量为I66人则直线/的倾斜角为（）

71兀2兀4兀

A.-B.—C.—D.—

6333

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线方向向量写出斜率，结合斜率与倾斜角关系确定倾斜角大小即可.

【详解】由题设万=（sin£,cos£）=（g,g）,则直线/的斜率左=百,

7T

结合直线倾斜角的范围，易知直线/的倾斜角为一.

3

故选：B

2.M,N分别为直线3x—4y—12=。与6x—8y+5=0上任意一点，则|肱V|最小值为（）

,29291717

A.—B.—C.—D.—

105510

【答案】A

【解析】

【分析】利用两平行线间的距离公式可求出|肱»的最小值.

34-12

【详解】由一=—w—,可得两条直线相互平行，

685

所以|儿网最小值为平行线之间的距离，6x-8y+5=0可化为3x—4y+1=0,

-12-5

所以,-l2-29.

732+4210

故选：A

3.已知A(—l,0)、5(3,6),则以48为直径的圆的一般方程为()

A.%之+y?—2%一6y+3=0B.x2+—2x—6y—3—0

C.%2+>2+2%-6y+3=0D.x2+^y2+2x—6^y—3=0

【答案】B

【解析】

【分析】求出4B的中点和|4却可得以4B为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将

其转化为一般方程即可得解.

【详解】己知A(-1,0)、6(3,6),则AB中点坐标为(今°,等)即(1,3).

IAB\=J(3+1)2+(6-0)2=J16+36=显=2屈，

所以以4B为直径的圆的圆心为(1,3),半径为厂=加.

所以圆的标准方程为(x—Ip+(y—3)2=13,展开可得x2-2x+l+y2-6y+9=13,

»Mx2+y2-2x-6y-3=0.

故选：B.

4.圆G：(x—2)?+(y—4)2=9与圆02：必+/—1°》+9=0的公切条数为()

A.2条B.1条C.3条D.4条

【答案】A

【解析】

【分析】首先把圆的一般式转换为标准式，进一步判断两圆的位置关系，最后得出两圆的公切线的条数.

【详解】由。]：(%—2『+(y—4)2=9是以(2,4)为圆心，3为半径的圆.，

C2+,2_]0x+9=o转换为(尤_5)2+y?=16,

即该圆是以(5,0)为圆心，4为半径的圆.

所以圆心距d=^（2-5）2+（4-0）2=5，

所以4—3=1<5<4+3=7

所以两圆相交，故公切线的条数为2,

故选：A

5.已知双曲线好―y2=2的左，右焦点分别为耳,心，点尸在双曲线的右半支上，点Q（o,2）,则

I尸。|+|四|的最小值为（）

A.242B.4C.6D.472

【答案】D

【解析】

【分析】首先利用双曲线的定义转化|PQ|+|P周=卢。|+（户阊+20）,再结合图象，求|PQ|+|P闾的

最小值，再联立方程求交点坐标.

【详解】由题意并结合双曲线的定义可得

|PQ|+附I=|叫+（附|+2后）=户。|+1叫+20.+2拒=2应+20=4虚，

当且仅当。，尸，F2三点共线时等号成立.

y——x+231

由;2丫2_2可得x=5,所以丁=5,

而直线QF2的方程为y=-x+2,

x—y一乙，L

所以点尸的坐标为（|彳）.

所以当且仅当点P的坐标为（|4）时，|尸。|+归行|的最小值为4应.

故选：D.

6.若直线/：3=履+3—左与曲线c：y=Jl-/恰有两个交点,则实数左的取值范围是（）

43

B.D.£』

3J2

【答案】B

【解析】

【分析】先得到直线过定点P（L3）,作出直线/与曲线C,由图求出直线/过点4（-1,0）时斜率和直线/

与曲线C相切时的斜率即可树形结合得解.

【详解】由丁=履+3—左=上（%—1）+3可知直线/过定点P（l,3）,

曲线c：y=J匚2两边平方得f+V=i（y»。），

所以曲线C是以（0,0）为圆心，半径为1且位于直线X轴上方的半圆，

当直线/过点4（—L0）时，直线/与曲线C有两个不同的交点，此时0=—左+3-左n左=：,

当直线/与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0,0）到直线/的距离1=亍*=1,两边平方

4

解得左=一,

3

43

所以结合图形可知直线/与曲线C恰有两个交点，则一〈左〈一.

32

故选：B.

7.若圆G：（x+l）2+（y—2）2=/（厂>0）上恰有2个点到直线/：4元—3丁—10=0的距离为1,则实数r

的取值范围为（）

A.（3,+oo）B,（5,+<»）C.（3,5）D,[3,5]

【答案】C

【解析】

【分析】求出与直线/平行且到直线/的距离为1的直线的方程为4x-3y-5=0和4x-3y-15=0,数形

结合可知，圆G与直线4x—3y—5=0相交，与直线4x—3y—15=0相离，利用点到直线的距离公式可求

得r的取值范围.

【详解】如图所示.

设与直线/平行且与直线/之间的距离为1的直线方程为4x-3y+c=0,

|c+10|

则1,解得c=—5或c=—15,

M+(-3)2

|-4-6-5|

圆心G(—1,2)到直线4x—3y—5=0的距离为4==3,

也2+(一3)2

|-4-6-15|

圆G(―L2)到直线4x—3y—15=0的距离为4==5,

#+(-3)2

由图可知，圆G与直线4%—3y—5=0相交，与直线4x—3y—15=。相离,

所以4＜厂＜4,即3〈厂＜5.

故选：C

8.油纸伞是中国传统工艺品，至今己有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于

春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是

一个半径为血的圆，圆心到伞柄底端距离为血，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分

时，北京的阳光与地面夹角为60。)，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为

()

A.2-6B.V2-1C.6—1D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答.

【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点8是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长

轴的另一个端点，

对应的伞沿为C,。为伞的圆心，尸为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为。，半焦距为

由0/，3。,|0/|=|05|=拒，得4+。=|3/|=2,/尸3。=45°,\AB|=2a,\BC\=242,

在7ABe中，ABAC=60，则ZACB=75°，

sin75°=sin(45°+30°)=—x^+—x-=+,

22224

国y/6+42

0B，2x-------i

由正弦定理得，9_^土，解得。=------尸4—=1+—,贝|c=l—

sin750sin60°V3

所以该椭圆的离心率e=£=g^=2—6.

ay/3+1

故选：A

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

2

9.已知抛物线G：V=s（加＞0）与双曲线C?:尤2-4=1有相同的焦点，点？（2,阳）在抛物线6上，则

下列结论正确的有（）

A.双曲线C?的离心率为2B.双曲线C?的渐近线方程为y=

C.m=8D.点P到抛物线G的焦点的距离为4

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据双曲线C2方程求出离心率可判断A；求出双曲线C?的渐近线方程可判断B；由£,。2有

相同的焦点求出m可判断C；点尸坐标代入。方程可判断D.

2

【详解】双曲线。2：/一（=1的焦点为（2,0）,（-2,0）,〃=1方=3,

对于A,双曲线G的离心率e=N3=2，故A正确；

1

对于B,双曲线C?的渐近线方程为'=±4，故B错误；

对于C,由。1，。2有相同的焦点，得1=2,解得力=8,故C正确；

对于D,抛物线=8%的焦点为（2,0）,点P（2,y°）在。上，

则为=±4,故P（2,4）或P（2,—4）,

所以点尸到。的焦点的距离为4,故D正确.

10.已知直线/:履—y+左=0,圆C:/+y2—6x+5=O,P（Xo，%）为圆C上任意一点，则下列说法正确

的是（）

A,直线/与圆C相切时，k=+—

3

B.总的最大值为2叵

/5

C.圆心C到直线/的距离最大为4

D.看+次的最大值为5

【答案】AB

【解析】

【分析】根据直线和圆位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】圆C的方程可化为（x-3『+y2=4,

所以圆。的圆心为C（3,0）,半径r=2.

直线/:Ax—y+左=0,即y=k（x+l）,过定点（一1,0）,

若直线/与圆C相切，则圆心。（3,0）到直线/的距离为2,

|3人+用n

即I==2,解得左=±—，所以A选项正确.

如图所示，当直线OP的斜率大于零且与圆相切时，业最大,

%

此时|oq=3,|Pq=2,|OP|=JL且砧=tan/POC=*=当，B选项正确.

圆心C（3,0）到直线I的距离d==^==

当左=0时,d=09

,|4勺4

d——।―=——<4

当左。0时,7I7FI—r，所以c选项错误.

、'V1+F

又凶=3,P（九0，%）是圆上的点，

所以常+义的最大值为（3+2）2=25,D选项错误.

故选：AB.

22

11.已知椭圆C:土+1=1（2〉6〉0）的左、右焦点分别为《、£,上顶点为3,动点尸在椭圆C上，则

4b

下列描述正确的有（）

A.若己的周长为6,则6

B.若当/月尸&=1时，△「£亮的内切圆半径为孝，则5=6

C.若存在P点，使得PF}LPF2,则be[V2,2）

D.若|PB|的最大值为2为则:e[也2）

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用焦点三角形的周长求得c=l,可求）判断A；利用余弦定理求得焦点三角形的面积，可得

g（|P£|+|呷+|月月；|）¥=#（2+C）,求解可判断B；若「耳上呷则以。为圆心，b为半径

的圆与椭圆有交点，则Z?<c,求解可判断C；|P8|=J（1—，）（y—，3）2—，工+。2+4,利用二次

函数的最值可求得6的范围判断D.

22

【详解】对于A,由椭圆C：土+4=1（2〉6〉0）,可得。=2,

4b

因为耳鸟的周长为6,所以2a+2c=6,解得c=l,

因为〃―匕2=°2,所以4—82=],解得6=石，故A正确；

对于B,由a=2,可得|「丹|+|「乙|=2a=4,

当〃户24时，由余弦定理可-2E小"F

22

=(.\PFi\+\PF2\)-3\PFi\-\PF2\=4a-3\PF]\-\PF2\,

则31尸耳I•I0工|=4/-4c2=4b2,解得IP耳|•|Pg|=,

1w

所以^PFlF2=-\PF1|.|PF2|.sin/RPF?=宣，

又△尸耳身的内切圆半径为走，

3

1出出

所以之峥=5(1期1+1呷+1481)考=事(2+。)，

所以走(2+0)=走62,所以2+c=〃=22—02,解得c=—2(舍去)或C=l,

33

所以5=8,故B正确；

对于C,若P耳，「工，则以。为圆心，。为半径的圆与椭圆有交点，则Z?4c,

所以Z?<c2,所以b2<42—)2=4—62,解得0<人<0,

所以存在尸点，使得则人e(O,0],故C错误；

对于D,设P(x,y),3(0,b),

又因为-Z?<y<b,因为下顶点到上顶点的距离为26,又归园的最大值为26,

力3

故y=—b时取最大值，所以一5——<-b,解得0〈b<2，故D正确.

人4—

故选：ABD.

【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论

(1)焦点三角形的周长为2a+2c；

(2)当点尸为椭圆短轴的一个端点时，NRPB为最大.

第n卷(非选择题，共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.动点尸到两定点A(—4,0)、8(4,0)距离之和为10,则点尸的轨迹方程为

22

【答案】—+^=1.

259

【解析】

【分析】利用定义法求点P的轨迹方程.

【详解】解：因为|刚+|尸/=10>|AB|=8,

由椭圆的定义可知，动点尸的轨迹是以4(-2,0),6(2,0)为焦点，长轴长为10的椭圆,

所以c=4,a=5,b2=a2-c2=9>

22

所以点尸的轨迹方程是工+匕=1.

259

22

故答案为：土+匕=1

259

13.设厂为抛物线C：y2=8x的焦点，过产且倾斜角为60°的直线交。于A,B两点,。为坐标原点,

则△OAB的面积为

【答案］更YI

3

【解析】

【分析】

先由抛物线方程，得到尸(2,0),得出直线的方程，由抛物线的焦点弦公式求出弦长|A回,再由点到

直线距离公式，即可得出结果.

【详解】因为E为抛物线C：>2=8%的焦点，所以-2,0),

又直线AB过点F且倾斜角为60°，

则直线A3的方程为：丁=6(》一2),即—y-2百=0,

设5(W，%)，

由＜：=6(X—2)消去y可得3a—2)2=8%,整理得3/—20X+12=0,所以

y=8x3

2032

因此|=X1+X2+4=—+4=-

又点。到直线后—y-2g=0的距离为一」=6，

V3+1

所以△QW的面积为SARC=-\AB\-d^^-.

△/IDCII3

故答案为：蛆叵.

3

【点睛】思路点睛：

求抛物线中三角形面积的一般步骤：

(1)设直线与抛物线交点坐标，联立直线与抛物线方程；

(2)根据抛物线的弦长公式求弦长，根据点到直线距离公式求距离；

(3)根据三角形面积公式，即可得出结果.

14.法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：过圆八*+,2=/一上任意一点作双曲线

22

三―1=1的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆E称作双曲线C的蒙日圆.过双曲线

ab"

2

W：上-丁=1的蒙日圆上一点P作W的两条切线，与该蒙日圆分别交于A,3两点，若

3

N7M3=30。，则△K4B的周长为.

【答案】30+指##«+3近

【解析】

【分析】根据得到|AB|=2jL再利用NK4B=30°求出另外两直角边即可得到周长.

【详解】由题可知，W的蒙日圆方程为必+/=2,半径为拒，且24，依，

所以为直径，所以|AB|=2jL

又NPAB=30°,所以|/狎=夜，|PA|=J(20『—(也『=瓜

所以△K4B的周长为3、叵+逐.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.光线自点。(-3,4)射到点(2,0)后被x轴反射.

(1)求反射光线所在的直线的方程;

(2)求过点(4,2)且与入射光线垂直的直线方程.(请用直线的一般方程表达解题结果).

【答案】(1)4x-5y-8=0

(2)5x-4y-12=0

【解析】

【分析】(1)反射光线过点(2,0),而由物理学知识知反射角与入射角相等，因此反射光线与入射光线的斜

率相反(注意直线的倾斜角不是入射角、反射角)；

(2)根据垂直的直线的斜率乘积为一1可得所求直线的斜率，进而由点斜式可得方程.

【小问1详解】

4444

设N(2,0),则=——=—£,所以左反射=—kpN=-，直线方程为y=£(X-2),即4x—5y—8=0.

—3—2555

【小问2详解】

设所求直线的斜率为左，则左义(—g)=—1,k=^,直线方程为y—2=1(x—4),即5x—4y—12=0.

16.安庆市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短

轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618.我们把短轴长与长轴长的平方比为避二1

2

2

的椭圆称为黄金椭圆.现有一黄金椭圆C:二+y=l(a〉6〉0)其中A,歹分别为其左顶点和右焦点，B

ab2

为上顶点.

(1)求黄金椭圆C的离心率;

(2)某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测△视可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并

说明理由.

【答案】(1)1二L

2

(2)正确，理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据题目中黄金椭圆的定义，再根据离心率的计算公式e'1--可求得椭圆的离心率.(2)通

a-

过计算左.,凝F的值，可以判断出三角形的形状.

【小问1详解】

由题意，设椭圆C的焦距为2c,则《=避二!■，

cr2

正确.理由如下；

_b—b_b1_b2_1

设椭圆中心为。由AB，BF~~a'^~~7c~~a/cr-b2~~[a^-crb2

7T

所以^AB-kBF=一1，即NABF=—,

所以A4防是直角三角形.

17.己知圆。］：/+/+6兀—10y+25=0与圆。2：必+/一8y+7=0交于A,3两点，圆C经过

A,3两点，且圆心在直线4x—3y—3=0上.

(1)求|A3|；

(2)求圆C的方程.

【答案】(1)726；

(2)(x-3)2+“-3>=29.

【解析】

【分析】(1)首先作差得两圆相交弦所在直线方程，然后根据弦长公式计算即可;

(2)求出直线的方程，再联立直线的方程得到圆C的圆心坐标，再求出半径即可.

【小问1详解】

1

因为圆G:公+y+6x—10y+25=0与C2:%?+y?—8y+7=0交于A，B两点，

所以两圆方程作差得直线AB的方程为3x-y+9=0.

又圆C,:/+（y—4）2=9,所以点C2到直线AB的距离d=匕呈!=叵,

V9+12

//—~\2

所以|AB|=249—乂3=726；

M2J

【小问2详解】

G:（x+3）2+（y-5）2=9,圆。2:f+（y一盯=9,

则C"—3,5）,G（0,4），则％=」，

则直线的方程为y=—；x+4,即x+3y—12=0,

x+3y-12=0

由4:c八，解得％=3,y=3,所以C（3,3）,

4x-3y-3=0

所以点C到直线AB的距离4=13*二廿9|=2叵，

V9+12

设圆c的半径为广，所以厂=卜^^!^=j西，

所以圆。的方程为（x—3r+（y—3）2=29.

2

18.已知双曲线C:?—/=i,M（m,2）,斜率为左的直线/过点河.

（1）若m=0,且直线/与双曲线C只有一个公共点，求左的值；

（2）双曲线C上有一点尸，/可尸鸟的夹角为120。，求三角形P4鸟的面积.

【答案】（1）左=±:或左=土且

22

⑵昱

3

【解析】

【分析】（1）根据直线过点写出点斜式，当直线与渐近线平行时，与双曲线有且只有一个交点，当直

线与渐近线不平行时，联立直线与双曲线，根据判别式可得斜率左的值；

（2）根据双曲线的定义及三角形余弦定理与面积公式可得解.

【小问1详解】

当m=0时，M（0,2）,

则直线/方程为丁=6+2,

又双曲线c：'—>2=1的渐近线为y=+-x,

所以当左=土;时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点；

当左w土工时，

2

必2

-----y-1

联立方程组｛4，

y=kx+2

得（1-4左2）炉—16西—20=0,

A二（―16左『_4•（1—4左2）.（-20）=0,

解得k=±;

2

综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时左=±〈或左=±好；

22

【小问2详解】

由双曲线C:二一丁=1,

4-

则网—火,0）,鸟闺月|=2石，

又点尸在双曲线上，即|PG|—|P勾=4,即（户周—户用）2=户用2+归闾2—2归片卜户用=16,

在APKK中，

由余弦定理cos/6Pg=%Tf闾,

1=16+2P片忖阊—20

2―2PF,-\PF2\，

解得1。/讣

所以面积5的&，叫明应114帆=!：¥=『

19.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x="+l表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线

定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族

中的某条直线.

(1)若圆。1：/+,2=i是直线族g+nyuKm/eR)的包络曲线，求加，”满足的关系式；

(2)若点P(x°,yo)不在直线族：Q(2a—4)x+4y+(a—2)2=0(aeR)的任意一条直线上，求为的取值

范围和直线族。的包络曲线E;

(3)在(2)的条件下，过曲线E上两点作曲线E的切线/］」2,其交点为P.已知点C(0,l),若

三点不共线，探究NPC4=NPCB是否成立？请说明理由.

【答案］(1)m2+n2=1

⑵％〉尸

(3)成立，理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据包络曲线的定义利用直线和圆相切即可得根2+川=1；

(2)易知方程(2a-4)/+4%+(。-2)2=0无解，根据判别式可得先〉］.,证明可得直线族。的包络

/

曲线E为y=—；

4

X+X玉%

(3)法一：求出A3两点处曲线E的切线心/2的方程，解得P12