胡不归模型-2024年中考数学二次函数压轴题

胡不归模型

一、知识导航

在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如7M+必最值，除此之外我们还可能会遇上形如

aPA+kP^'这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆.本

文简单介绍“胡不归”模型.

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最

短”，虽然从他此刻位置幺到家8之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽

了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”

（“胡”同“何”）

而如果先沿着驿道/。先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

【模型建立】

如图，一动点。在直线aCV外的运动速度为T4,在直线4CV上运动的速度为以，且V1VV2,/、B

为定点，点C在直线ACV上，确定点。的位置使生++的值最小.

B

【问题分析】

-A-C1-B-C=-1AC\,亍己左=乜，

匕KKJ匕

即求8G■后4C的最小值.

【问题解决】

构造射线AD使得sinZDAN=k,CHIAC二k,CH^kAC.

将问题转化为求BC+8最小值,过8点作助工/。交AGV于点C,交/。于〃点，此时838取

到最小值，即8C+后4C最小.

【模型总结】

在求形如“PA+kPB'的式子的最值问题中，关键是构造与以中相等的线段，将“PA+kPg'型问题转

化为'3+用'型.

而这里的心必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到此打的等线段.

二、典例精析

如图，AABC中，AB=AC=1Q,tanA=2,BE_LAC于点E,。是线段BE上的一个动点，则8+手8。的最

小值是.

【分析】本题关键在于处理“日瓦M',

考虑tanA=2,△A3E三边之比为1:2:石，sinZABE^-,故作£)//

LAB交AB于H悬,则DH=与BD.

问题转化为CD+O8最小值，故C、。、H共线时值最小，此时C£>+r>H=CH=BE=4百.

【小结】本题简单在于题目已经将54线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线。即可解决问

题，若稍作改变，将图形改造如下：

则需自行构造a,如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在.

A

三、中考真题演练

1.（2023・山东・中考真题）已知抛物线y=-d+6x+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点。（0,4）,其对称

⑴求抛物线的表达式；

（3）如图2,动点尸在直线AC上方的抛物线上，过点尸作直线AC的垂线，分别交直线AC,线段5c于点E,

F,过点尸作尸轴，垂足为G,求尸G+0FP的最大值.

【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出6的值，即可解答；

（3）求得3C所在直线的解析式为％=-4x+4,设尸（利-苏-3根+4）,设PE所在直线的解析式为：

m

%=t+%，得%=f-布-2加+4,令%=%,解得x=；a,分别表示出FG和垃PF,再对FG+也FP

进行化简计算，配方成顶点式即可求解.

【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点。（0,4）,

c=4,

3

:对称轴为x=——,

J抛物线的解析式为y=-/一3%+4；

(3)设BC所在直线的解析式为％=%x+4,

k[+l\=0

把8、C坐标代入得:

4=4

勺=—4

解得

4=4

%——4%+4,

9：OA=OC,

：.ZCAO=45°f

ZAEB=90°,

・•・直线PE与％轴所成夹角为45。,

设P(m,-m2—3m+4)

设尸石所在直线的解析式为：％=-x+%，

把点P代入得瓦=-m2-2m+4,

2

y2=-x-m-2m+4,

令％=%,贝I-4x+4=加之一2%+4,

m2+2m

解得％=

3

—4(加2+2m)

••FG=y—-----------^+4

F3

_2

>J2PF=V2—―士=A/2・y/2-(xF.^p)=—(m-m

cos453

22

.「-4(m+2m)2(m-m\2(5Y49

••FG+42FP=—----------^+4+-^---------/=--m+-+—

332J6

・・•点P在直线AC上方,

-4<m<0,

540

工当机=-7时，尸G+血尸尸的最大值为高.

26

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键.

2.(2023•黑龙江绥化•中考真题)如图，抛物线必=加+法+c的图象经过A(-6,0),5(-2,0),。(0,6)三点,

(1)求抛物线和一次函数的解析式.

(3)将抛物线％=ax?+b尤+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线％，此抛物线的图象与x轴交于M，N

两点(/点在N点左侧).点尸是抛物线％上的一个动点且在直线NC下方.已知点尸的横坐标为机.过点

P作PDLNC于点。.求为何值时，CD+gpD有最大值，最大值是多少？

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

(3)得出CQN是等腰直角三角形，印＞£＞是等腰直角三角形，则m==点P在抛物线为上,

2

且横坐标为加得出〃(加，-m+6),进而可得==疗+3机)=一乎一+芈则

；如.半.一O喈’根据二次函数的性质即可求解.

【详解】(1)解：把A(—6,0),5(-2,0),C(0,6)代入+c

36a-6Z?+c=0

得＜4〃一2b+c=0

c=6

1

a二一

2

解得＜。=4

c=6

19,

y1=—x+4x+6

才巴3(—2,0)代入y=米+6得上=3

y=3x+6

ii

29

(3)Vyi=-x+4x+6向右平移8个单位长度得到抛物线为=](尤一8)一+4(x-8)+6

1,

当必=0，即5(犬一8)+4(尤-8)+6=0

解得：Xj=2,X2=6

：.M(2,0),N(6,0)

:%过河，N,C三点

1,

y2=—<-4x+6

在直线NC下方的抛物线为上任取一点P，作轴交NC于点H,过点我作法?，丫轴于点G

:N(6,0),C(0,6)

/.ON=OC

.CON是等腰直角三角形

VZCHG=45°,NGHP=90。

：.NPHD=45。

又PDLCN

.HPD是等腰直角三角形

，HD=DP^—HP

2

•••点P在抛物线为上，且横坐标为机

CG=GH=m

CH=^2m

,•*%v=f+6

HP=-m+6-1—m2-4m+6|=--m2+3m

(2)2

HD=DP=—Lm2+3/n]=-^^加2m

2I2)42

CD+-PD=CH+HD+-PD=CH+-PD=-Jim+-f-—m2

2222(42J

372f1371690

=--------m-------H-------------

8I3)24

.♦.当力==时，CO+!PO的最大值为皿1.

3224

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数

的性质是解题的关键.

3.(2023•四川内江・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=++6x+c与x轴交于3(4,0),C(-2,0)

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若点尸是直线A3下方抛物线上的一动点，过点尸作无轴的平行线交A3于点K,过点尸作y轴的平行线

交x轴于点D,求与;PK+尸。的最大值及此时点尸的坐标；

【分析】(1)将A、B、C代入抛物线解析式求解即可；

(2)可求直线A3的解析式为y=gx-2,设尸[根，:(0<m<4),可求

K\-m2\,从而可求1尸犬+尸£)=一,*+3,7+2,即可求解；

1242J222

【详解】(1)解：由题意得

16a+4b+c=0

<4〃一2b+c=0,

c=-2

1

a=­

4

解得：</?二一5

c=-2

二抛物线的解析式为

(2)解：设直线A3的解析式为>=履+"则有

4左+b=0

b=-2

k=L

解得：,2,

b=-2

・,・直线AB的解析式为y=；

设尸］机，:机2_；m_2

(0<m<4),

1c121c

_x_2=_m—TTI-2,

242

解得:x=-m2-m,

2

K6

42J

|m12-m

PK=m-

=—m2+2m,

2

112

/.—PK=——m+m,

24

PD=-|—m2--m-2|

(42)

11c

=——m2+—m+2,

42

1111

/.—PK+PD=——m7+m——m9+—m+2

2442

13

=——m2+—m+2

22

3175

，当根==时，：PK+尸。的最大值为?,

22o

(3、

故：1PK+即的最大值25为P35.

2o1，1。J

4.(2023•天津・中考真题)已知抛物线y=-*+6x+c(b,c为常数，c>l)的顶点为尸，与》轴相交于A,

一b

8两点(点A在点8的左侧)，与y轴相交于点C,抛物线上的点M的横坐标为加，且-c<〃z<],过点M

作MN_LAC,垂足为N.

⑴若"=-2,c=3.

①求点P和点A的坐标；

②当=0时，求点Af的坐标；

(2)若点A的坐标为(―GO),^MP//AC,当4V+3MN=9应时，求点"的坐标.

【答案】(1)①点P的坐标为(-1,4)；点A的坐标为(-3,0)；②点/的坐标为(-2,3)

【分析】(1)①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得尸的坐标，令>=0,解方程，即可求得A

的坐标；

②过点以作MELx轴于点E,与直线AC相交于点尸.得出。4=OC.可得RtAOC中，

NQ4c=45。.RtA£F中，EF=AE.设点”(私---2"+3),点E。%。).根据MN=及，解方程即可

求解；

(2)根据题意得出抛物线的解析式为y=-d+(l-c)x+c.得点”(八-加+(l-c)zn+c),其中

_c<m<lz£.则顶点p的坐标为［二,对称轴为直线/”==.过点"作MQL/于点Q,

2（24）2

则/M2尸=90°,点。］宁,一疗+（1-C）MI+CJ.由MP〃AC,得/尸加。=45°.于是MQ=QP.得出

q=-2加-1,C2=-2m+1（舍）.，同（I）,过点加作MEJ_x轴于点E,与直线AC相交于点/，则点矶7”,0）,

点八私-初-1）,点疗-1）.根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解.

【详解】（1）解：①由b=-2,c=3,得抛物线的解析式为y=/-2x+3.

y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,

•••点P的坐标为（T4）.

当y=0时，-x2-2x+3=0.解得占=-3,々=1.又点A在点8的左侧，

；•点A的坐标为（—3,0）.

②过点/作ME轴于点E,与直线AC相交于点厂.

•.•点4（—3,0）,点C（0,3）,

AOA=OC.可得RtAOC中，NO4c=45。.

中，EF=AE.

:抛物线y=-V一2x+3上的点/的横坐标为"Z,其中一3（根＜-1,

设点“9九,-病-2m+3）,点网根,0）.

得EF=AE=m—（—3）=m+3.即点F（m,m+3）.

FM=（-〃/-2m+3）-（祖+3）=-m2-3m.

RtFMN中，可得ZMFN=45°.

FM=-J2MN.又MN=6,

得FM=2.即-m2_3帆=2.解得吗=-2,%=-1（舍）.

点河的坐标为(-2,3).

(2),点A(-c,O)在抛物线yu-f+fer+c上，其中c>l,

—c2—bc+c=O.得b=l—c.

，抛物线的解析式为y=-f+（l—c）x+c.

得点M（〃2,-〃/+（1-C）〃Z+C）,其中

••v_T2A\（1-C）2jl+c）2

•y——X-rI1-CIX~rC——X-----------------------,

v7I2J4

，顶点p的坐标为[宁，，对称轴为直线/：》=一•

过点/作M2,/于点Q,则/M2尸=90。，点。(宁，-疗+

由MP〃AC,得NPMQ=45。.于是MQ=QP.

.1—c(l+c)2r2/i\n

..-......m=——--------y—m+(l-c)m+cj.

即（c+2利）2=1.解得C]=一2加-1,。2=-2m+1（舍）.

同(I),过点以作轴于点E,与直线AC相交于点尸,

则点E(m,0),点网以一罐一1),点/(犯病-1).

'•*AN+3MN=AF+FN+3MN=j2EF+2>/2FM=942,

0（-相-1）+2忘（加2-1+帆+1）=9底.

即2机2+m-10=0.解得叫=—|,〃12=2（舍）.

521

.,.点的坐标为

M2,T

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函

数的性质是解题的关键.

5.（2023•福建泉州•模拟预测）如图，已知抛物线>=5（尤+2）（尤-4）（人为常数，且%>0）与》轴从左至右

依次交于A,8两点，与y轴交于点C,经过点8的直线y=与抛物线的另一交点为。.

备用图

⑴若点。的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；

⑵在（1）条件下，设尸为线段8。上一点（不含端点），连接AF,一动点〃从点A出发，沿线段"以每

秒1个单位的速度运动到产，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到。后停止.当点歹的坐标是多少

时，点/在整个运动过程中用时最少？

【答案】⑴"』一空x-典

-999

⑵卜2,2百）

【分析】（1）由点3的坐标求出直线30的解析式，再由点。的横坐标代入直线3D的解析式求出点。的坐

标，然后将点。的坐标代入抛物线解析式求3从而得到抛物线的函数表达式；

（2）过点。作轴于点E,过点。和点P分别作x轴的平行线和V轴的平行线，交于点N,过点A作

AH工DN于点H,由点8和点。的坐标求线段OE、BE和3。的长度，得到/DBE=30。，结合速度可知

时间为+然后利用“30。角所对的直角边是斜边的一半”得;DF=NF,从而得到

[AF+^-DF]=(AF+NF^B=AH,进而求得此时点P坐标.

k

【详解】(1)解：对于y=Xx+2)(x-4),当y=0时，*=-2或x=4,

8

/.A(-2,0),5(4,0),

将点B(4,0)代入y=-,得：-1~x4+b=0

.473

••bz-----,

3

贝IJ直线BD的解析式为：y=_Bx+处,

33

当x=-5时，＞=-。？(5)+#=3不，

.•.味5,3@,

将点刃卜5,3君)代入y=：(x+2)(x-4),得:1(-5+2)(-5-4)=3^,

.,8A/3

9•k----,

9

二抛物线的表达式为：y=*(x+2)(x-4)=号V-手x-孚；

(2)由题意得：点"的运动时间为+

过点。作轴于点E,

•.•味5,3⑹，5(4,0),

/.DE=3y[3,EB=9,BD=6币,

NDBE=30°,

过点。和点/分别作*轴的平行线和y轴的平行线，交于点N,

ZDBE=NFDN=30。,

：.NF=-DF,

2

：.AF+-DF=AF+NF,

2

过点A作于点H,此时(AF+NF^—AH,

...AH与直线30的交点即为所求点尸，

VA(-2,0),

.•.当x=-2时，y=_[x(-2)+¥=2A，

•••点F的坐标为卜2,2力)时，点加在整个运动过程中用时最少.

【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求抛物线解析式、特殊角的直

角三角形三边关系，第2问的突破点是利用转化的思想结合“30。角所对的直角边是斜边的一半”将;。尸进

行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点F坐标.

6.(2023•广西柳州•二模)已知抛物线丫=/+灰+。(。中0)过点4(1,0),3(3,0)两点，与V轴交于点C,

OC=3,

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)点P为抛物线上位于直线3C下方的一动点，当PBC面积最大时，求点尸的坐标；

(3)若点。为线段OC上的一动点，问：AQ+^C。是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在,

请说明理由.

【答案】⑴解析式为y=%2-4x+3,顶点。的坐标为。(2,-1)

⑵点p的坐标为尸j

(3)存在，最小值为®±1

2

【分析】(1)根据题意设抛物线的交点式，然后代入点C的坐标，求解即可；

(2)作尸加//丁轴，交BC于点通过设尸和M的坐标，利用“割补法”表示出Sme，从而利用二次函数

的性质求解最值即可；

(3)将直线CQ绕着。点逆时针旋转30。，并过点C作其垂线，垂足为N,分别连接AQ,QN,CN,构

造出含30。角的直角三角形，然后转换为求AQ+N。得最小值，继而确定当A、Q、N三点共线时，满足

AQ+NQ取得最小值，此时利用含30。角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论.

【详解】(1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a(xT)(x-3),其中awO,

•/0C=3,

点C的坐标为C(0,3),

将C(0,3)代入y=a(x—l)(x—3),解得:a=l,

y=(x—l)(x—3)=厂—4x+3,

抛物线的解析式为y=f_以+3,

-4

:对称轴为直线X---=2,

.,.将x=2代入y=f-4%+3,得：y=-l,

...顶点。的坐标为。(2,-1)；

(2)解：•；3(3,0),C(0,3),

直线3c的解析式为：y=-尤+3,

•••点P在抛物线上，且位于直线BC下方，

设尸(p炉一4p+3),其中，0<p<3,

如图所示，作PM//y轴，交2C于点〃，

M(p,-p+3),

2

・，.PM=yM-yP=-p+3p,

SPBC=SPMS+SPMC，SPMB=3PM«XB_Xp),SPMC=3PM«Xp-Xc),

,,SPBC=—PM^XB-XP)+—PM^XP-XC)=—PM^XB-xc),

S咏=gPM•(4-％)=J("2+3p)x3,

整理可得：S

3

.•.当P=Q时，S.BC取得最大值,

如下图所示，将直线CQ绕着。点逆时针旋转30。，并过点C作其垂线，垂足为N,

分别连接A。，QN,CN,则/CQN=30。，ZCNQ=90°,

.,.在RtZkCNQ中，cosZCQN=cos30°=—=—,

CQ2

，随着。点的运动，总有NQ=^CQ,

'AQ+^-CQ^AQ+NQ,

要使得AQ+gC。取得最小值，即要使得AQ+NQ取得最小值,

如下图，当A、Q、N三点共线时，满足AQ+N0取得最小值，

此时，ZCNQ=ZAOQ=90°,NCQN=ZAQO=30。,

•/OA=1,

：.AQ=2,OQ=6

：.CQ=OC-OQ=3-s/3,

/.NQ=CQ.cos30。=(3-塔义=龙卢,

..czcC373-33月+1

・・AQ+NQ=2+---=---,

，AQ+半C。存在最小值，最小值为湾里.

【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线段和

最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键.

7.(2022・四川成都・模拟预测)抛物线>=办2+汝+6分别交x轴于点A(1,O),B(-3,0),交y轴于点C,

抛物线的对称轴与x轴相交于点。，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且MNLAC.

⑴求抛物线的表达式；

(2)线段MN,NC在数量上有何关系，请写出你的理由；

(3)在V,N移动的过程中，是否有最小值，如果有，请写出理由.

Wy=--x2-—x+y/3

33

(2)NC=43MN,见解析

⑶有，最小值为6

【分析】(1)利用待定系数法即可求解；

(2)在RtAOC中，OC=G，OA=l,MNLAC,有/MNC=90°,即可得tan/OC4=^=黑，

问题得解；

(3)先求出/OC4=30。，即4c=60。，即有MN=，CM,则OM+,MC的最小值是。的最小

22

值，即点。到AC的垂线段。N的长，问题随之得解.

【详解】(1)把点A。,。)，3(-3,0)代入抛物线”办2+法+君中得：

6

a=-----

〃+z?+y/3—03

解得：,

9Q-3b+g=026

b=-------

3

••・抛物线的解析式为：片-看--孚x+5

（2）NC=43MN,

理由是：如图1,

令尤=0,则y=JL即C（0,后）,

：A（l,0）,C（0,A/3）,

,OC=y/3,OA=1,

在RtAOC中，OC=6,OA=1,

,：MN1AC,

：.ZMNC=90°,

MN

tan^OCA=—

OCIvc

1MN

国一RE

NC=6MN;

(3)在M,N移动的过程中，有最小值是收,理由如下:

由（2）知：tanNOCA==—j==—-

OC733

AZOCA=30°,即NOAC=60°,

2

，的最小值是DM+MN的最小值，即。、M、N三点共线时，点。到AC的垂线段。N的长,

如图2,

K2

抛物线解析式为：y=_』一也x+5,

33

.二对称轴是：x——1,即。(-1,0),

・•・AD=OA+OD=1+1=2,

在中，ZDAN=60°,

DN=ADxsinADAN=6,

即DM+-MC=DM+MN=DN=y/3,

2

...在M,N移动的过程中，。河有最小值是

【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段

最短等知识.题目难度不大，细心作答即可.掌握二次函数的性质是解答本题的关键.

4

8.(2022•广西梧州•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-1尤-4分别与尤，y轴交于点A,B,

(1)求此抛物线的解析式;

⑵若点C的坐标是(0,6),将△ACO绕着点C逆时针旋转90。得到AECF，点A的对应点是点E.

①写出点E的坐标，并判断点£是否在此抛物线上；

3

②若点尸是y轴上的任一点，求gBP+EP取最小值时，点P的坐标.

［答案］⑴y=

lo2

3

⑵①点E在抛物线上；②尸(0,

【分析】(1)先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；

(2)①根据旋转的性质求出项三AO=3,CF=CO=6,从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入(1)的函数

解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；

②过点E作交y轴于尸，垂足为sinZABO=4?=—=则”尸=合82，得

ABBP55

3

-BP+EP^HP+PE,可知"0+PE的最小值为EH的长，从而解决问题.

【详解】(1)解：当％=0时,尸4,

4

当,二0时，一§%—4=0,

x=-3,

AA(-3,0),B(0,-4),

士5A、B代入抛物线丁=之%2+灰+。，

c=-4

•••抛物线解析式为y=尤2—：》一4.

lo2

(2)解:①(-3,0),C(0,6),

.\AO=3,CO=6,

由旋转知：EF=AO=3,CF=CO=6,ZFCO=90°

至IJ尤轴的距离为6-3=3,

...点E的坐标为(6,3),

当x=3时，y=—x62--x6-4=3,

182

・••点E在抛物线上；

\OA=3,08=4,

\AB=5,

HP3

sinZABO=-----

AB~BP5

3

\HP=-BP,

3

\-BP+EP=HP+PE,

\HP+PE的最小值为EH的长,

作EGLy轴于G,

'：ZGEP=ZAB0,

tanNGEP=tan/ABO,

.PG_A0

•茄一茄

.PG_3

9~6~~4f

9

•・PG=-,

2

93

\0P=--3=-

22

3

•・P(0,——).

2

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之

3

间、线段最短等知识，利用三角函数将转化为HP的长是解题的关键.

9.(2018•江苏徐州・一模)如图，抛物线y=-N+/«+c与直线A8交于A(-4,-4),B(0,4)两点，直线AC：

y=-；x-6交y轴与点C,点E是直线A8上的动点，过点E/〃y轴交AC于点R交抛物线于点G.

(1)直接写出抛物线y=-x2+bx+c的解析式为；

(2)在y轴上存在一点H,连接即，HF,当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为顶点的四边形是

矩形？求出此时点E,H的坐标；

(3)在(2)的前提下，以点E为圆心，长为半径作圆，点M为圆E上一动点，求;AM+CM的最小值.

【答案】(1)y=-x2-2x+4；(2)运动到x轴时，此时E(—2,0),H(0,T)；(3)在

2

【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式即可；

(2)先判断出要以A,E,F,反为顶点的四边形是矩形，只有所为对角线，利用中点坐标公式建立方程

即可；

(3)先取EG的中点P,进而判断出即可得出尸连接CP交圆E于点

再求出点P的坐标即可得出结论.

【详解】解：⑴将点A(T,-4),3(0,4)代入抛物线解析式可得：

-16-40+c=-4b=-2

,解得

c=4c=4

抛物线的解析式为y=-x2-2x+4

(2)设直线AB解析式为>=区+分

「一44+b=T

将A(-4,-4),3(0,4)代入得,解得

|6=4

由题意可得：C(0,-6)

设_E(a,2a+4),H(0,p),则尸(Q,-；a-6)

,AB='不+8?=4下>BC=10»AC=V42+22=2>/5

AC2+AB2=BC2

_ABC为直角三角形，ABAC=90°

结合图形可得，以4E,F,H为顶点的矩形为矩形AEHE,跖为矩形的对角线

由矩形的性质可得，线段AH、FE的中点重合

则工(_4+0)」(Q+〃)，-(-4+p)=-(2a+4--a-6)

22222

解得〃=-2,P=—l

・・・E(—2,0),H(0,-l)

由E点坐标可知，E在x轴上

(3)取EG的中点P,如下图:

由(2)可知，£(—2,0),H(0,—1),A(—4,—4)

EH="AE=275

PE=-EG=—

22

连接CP交圆E于点以，连接EM、AM

EM=EH=y[5

.PEIME

又：NPEM=ZMEA

/\PEM^Z\MEA

.PMME_1

**AM-AE-2

PM=-AM

2

：.^AM+CM=PM+CM>PC,当尸、C、加三点共线时，等号成立

设尸(p,2p+4),

PE2=(p+2y+(2p+4)2=(当了

化简得5(p+2)2=：

4

解得。=-5]或P=-3=(舍去，P在点E的左边)

•*-P(-1>-1)

...PC=J(一|)2+(T+6)2=¥

即!AM+CM的最小值为上叵

【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，矩形的性质，相似三角形的判定

与性质，中点坐标公式，距离公式，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解.

10.(2021九年级•全国•专题练习)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=o%2+6无+。的图象经过点A(-

1,0),B(0,-73),C(2,0),其对称轴与x轴交于点D

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；

(2)点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱

形，求点M的坐标；

(3)若尸为y轴上的一个动点，连接P。，求gPB+PO的最小值.

【答案】⑴y=也(x-4)2一型，(J,-至)；(2)(1,且)或(；，-也)或(一石+姮)

22828222222

或(J,一g-姮)或(J,-@)；(3)遇

22264

【详解】思路引领：(1)将4B、C三点的坐标代入尸aN+bx+c,利用待定系数法即可求出二次函数的表

达式，进而得到其顶点坐标；

(2)当以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有

两个交点，此时AM=A8；②以8为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时③线段AB

的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时分别列出方程，求解即可；

(3)连接AB,作。于H,交OB于P,此时;PB+P。最小.最小值就是线段求出。H即可.

_A/3

d---

a-b+c=O2

,有

答案详解：（1）由题意，c=-百，解得b=----

2

4〃+2b+c=0

c=-A/3

，••抛物线解析式为y=乎_*飞,

•.3=旦2-与一有=/（X--）2一蛀，

-22、228

•••顶点坐标（J,-%叵）；

28

（2）设点M的坐标为（；，y）.

VA（-1,0）,B（0,-V3）,

，A82=I+3=4.

①以A为圆心48为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM=AB,

则（；+1）2+产=4,解得y=±近，

即此时点M的坐标为（1,五）或（（，-也）；

2222

②以8为圆心A8为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM=AB,

则（；）2+（"白）解得尸一g+姮或y=一行一姮，

222

即此时点M的坐标为（；，一6+妪）或（；，一石一反）；

③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=BM,

则（4+1）2+产=（1）2+（y+白）2,解得尸_且，

226

即此时点"的坐标为（1，-B）.

26

综上所述，满足条件的点M的坐标为（J,且）或（J,一且）或（J,一石+巫）或（J,一尺叵）

22222222

或（k

26

（3）如图，连接48,作。H_LA8于H,交OB于P,此时;PB+P。最小.

理由：・.・。4=1,OB=6

・•・ZABO=3Q°,

：.PH=-PB

2f

・•・-PB+PD=PH+PD=DH,

2

J此时;尸5+尸。最短（垂线段最短）.

3

在R3A。“中，VZAHD=90°,AD=-ZHA£>=60°,

29

sin60°=,

AD

:,DH=^~,

4

PB+PD的最小值为殛.

24

11.（2019•四川绵阳•中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数丁=依2（。＞0）的图象向右平移1个单位,

再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、3（点A在点3的左侧），04=1,

经过点A的一次函数y=kx+b（kW0）的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D,MBD

的面积为5.

（1）求抛物线和一次函数的解析式;

(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求AACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标;

3

(3)若点尸为》轴上任意一点，在(2)的结论下，求巫+不巳4的最小值.

【答案】(i)y=：f-x-=；尤+9⑵AACE的面积最大值是孑，此时E点坐标为9,-V；

222216<2QJ

3

(3)/^+^^的