2024-2025学年高二上学期期末复习选择题压轴题二十三大题型专练（范围：第一、二、三章）（含答案）

2024-2025学年高二上学期期末复习选择题压轴题二十三大题型专练（范围：第一、二、三章）【人教A版（2019）】题型1题型1向量共线、共面的判定及应用1．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）在下列条件中，使M与A，B，A．OMB．OMC．MAD．OM2．（23-24高二上·新疆伊犁·期末）已知e1、e2、e3为空间三个不共面的向量，向量a=e1+μe2+4eA．−3 B．3 C．−15 D．153．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有OP→=xOA→+yOB→+zOC→，则x+y+z=1是A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．（23-24高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（）A．OM=3OA−2C．MA+MB+题型2题型2空间向量的数量积问题5．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠DAA1=∠BAAA．CM=−12C．BD1=6．（24-25高二上·湖南·阶段练习）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PA=3,∠ABC=∠BAP=π3，且cos∠PAD=A．−277 B．277 7．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足ME⋅MF=−40，AB是正方体的一条棱，则AMA．162−4 B．162−2 C．8．（23-24高二上·河北邯郸·期末）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的校长均为3，且AB,AD,AA

A．截面BDDB．AEC．AC,AD．平行六面体ABCD−A1题型3题型3空间向量基本定理及其应用9．（24-25高二上·重庆·期中）如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点N在BC上，且A．12a−C．12a−10．（24-25高二上·广东深圳·期中）如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，且GN=2MG，现用向量OA,OB,OC表示向量OG，设OG=xA．23 B．1 C．13 11．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M、N分别在线段OA、BC上，且2OM=MA，A．−13aC．13a−12．（24-25高二上·吉林·期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2

A．AM=12C．AM=11 题型4题型4空间向量平行、垂直的坐标表示13．（24-25高二上·广东深圳·期中）设x,y∈R，向量a=x,2,2,b=2,y,2,c=3,−6,3，且A．−8 B．−2 C．2 D．814．（24-25高二上·山东泰安·期中）设x,y∈R，向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=2,−4,2且aA．3 B．10 C．22 D．15．（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知向量n=4,1,2，点A−1,2,1，B2,s,t，且AB→A．112 B．212 C．11416．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知空间向量a=1,2,3,2a+A．b=6 C．2b+c题型5题型5利用空间向量研究点、线、面的距离问题17．（24-25高二上·云南普洱·期中）如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是A1

A．63 B．263 C．218．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是棱AB，AD，B1A．13 B．23 C．1219．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）已知四棱锥A−EBCD,AE⊥平面BCDE，底面EBCD是∠E为直角，EB//DC的直角梯形，如图所示，且CD=2EB=2AE=4,DE=23，点F为AD的中点，则F到直线BC的距离为（

A．312 B．232 C．31420．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为A．直线AG与平面AEF所成角的余弦值的取值范围为15B．点G到平面AEF的距离为2C．点B1到AFD．若线段AA1的中点为H，则GH题型6题型6利用空间向量求空间角21．（23-24高一下·河北承德·期末）在正四棱锥P−ABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值是（

）A．612 B．68 C．3822．（23-24高三上·福建福州·期中）正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，四面体ACBA．12 B．14 C．1323．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知圆锥的顶点是P，底面圆心是O，AB为底面直径，∠APB=120∘，PA=4，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45∘A．AC与平面PAB所成角的正弦值为3B．O到平面PAC的距离为2C．PC与AB所成角的余弦值为3D．平面PAB与平面PAC所成角的正弦值为224．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1DA．三棱锥P−AB．异面直线AP与A1DC．平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是[D．直线C1P与平面A题型7题型7立体几何中的探索性问题25．（2024·北京怀柔·模拟预测）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，F为线段

A．存在点E，使EF//平面ABCDB．三棱锥B1−ACE的体积随动点C．直线EF与AD1D．存在点E，使EF⊥平面A26．（23-24高三上·四川成都·期末）如图所示的几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到的，设G是圆弧CE的中点，H是圆弧DF上的动点（含端点），则下列结论不正确的是（

）A．存在点H，使得EH⊥BGB．存在点H，使得EHC．存在点H，使得EH//平面D．存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°27．（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点①存在点P满足PD②存在点P满足PD1与平面A1③存在点P满足MD其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．328．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，在多面体ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且DE//SA，SA=AB=2DE=2，M，N分别是线段BC,SB的中点，Q是线段DC上的一个动点（含端点D，C），则下列说法正确的是（

）A．存在点Q，使得NQ⊥SBB．存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角的余弦值为5C．当点Q自D向C处运动时，直线DC与平面QMN所成的角不变D．三棱锥Q−AMN体积的最大值是2题型8题型8直线与线段的相交关系求斜率范围

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示29．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知点A(2,3),B(−3,2)，若直线ax+y+1=0与线段AB相交，则a的取值范围是（

）A．[−1,2] B．(−∞,−1)∪[2,+C．[−2,1) D．−∞30．（24-25高二上·广东广州·期中）已知点M3,0关于直线x−y−1=0的对称点为P，经过点P作直线l，若直线l与连接A−7,1，B5,8两点的线段总有公共点，则直线l的斜率kA．18,3C．−18,31．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）过点P0,−1作直线l，若直线l与连接A−2,1，B2A．π6,πC．0,π6∪32．（23-24高二上·陕西安康·期末）已知直线l过点P−1,2且与线段AB的延长线有公共点，若A−2,−3，B3,0，则直线lA．−14 B．0 C．14题型9题型9根据两直线平行、垂直求参数

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示33．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线l1:ax−3y+2=0与直线l2:3ax+y+3=0垂直，且直线l3:a²x−y+4=0与直线l₄：A．1 B．−1 C．2 D．−234．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知a，b都是正实数，且直线2x−b−3y+6=0与直线bx+ay−5=0互相垂直，则2a+3b的最小值为（A．12 B．10 C．8 D．2535．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线l1:ax−2y−2=0与直线l2:x−a+1A．-2 B．−1 C．1 D．236．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线l1:(a+2)x+3y+4=0，l2A．当a=0时，直线l1的一个方向向量为B．若l1与l2相互平行，则a=−3C．若l1⊥D．若l1不经过第二象限，则题型10题型10与距离有关的最值问题37．（24-25高二上·广东汕头·期中）点A2,−4到直线l:mx−y−4m−8=0（mA．5 B．25 C．4 D．38．（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x−a2+y−b2可以转化为平面上点Mx,y与点NA．210 B．22 C．2+39．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知点A−1,3，直线l:m+2x−m+1y+2m−1=0，则AA．23 B．25 C．2640．（23-24高二下·辽宁·开学考试）对于直线l1:ax+2y+3a=0,lA．l1//l2的充要条件是a=3或a=−2 C．直线l2经过第二象限内的某定点 D．点P(1,3)到直线l1题型11题型11点、线间的对称问题41．（2024高三·全国·专题练习）光线自点2,4射入，经倾斜角为135∘的直线l：y=kxA．14,2 B．14,1 C．13,2 D．13,142．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点A(2,0),B(0,2)，从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（

）A．3 B．10 C．33 D．43．（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为B−2,0，若将军从山脚下的点A13,0处出发，河岸线所在直线方程为A．1453 B．5 C．15 D．44．（23-24高二上·山西太原·期中）已知直线l1:x+y=0,lA．直线l1与l2B．直线l1、l2C．直线l2关于原点O对称的直线方程为D．直线l2关于直线l1题型12题型12圆的切线长及切线方程问题45．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆x−12+y−12=r2A．x+y−4=0 B．x+y=0C．x−y=0 D．x−y−4=046．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知圆C：x2+y2=4，点P为直线x+y−4=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，BA．22 B．32 C．4 47．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线l:x+ay−1=0(a∈R)是圆C:x2+y2−4x−2y+1=0的对称轴.过点A(−4,a)作圆C的两条切线，切点分别为B、A．3x+y−5=0 B．2x+y−5=0 C．3x−y+5=0 D．2x+y−5=048．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆C:x−12+y−12=3，直线l:x+y+1=0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A．PA的取值范围为6B．四边形PACB面积的最小值为3C．存在点P使∠APB=D．直线AB过定点0,0题型13题型13直线与圆有关的最值（范围）问题49．（24-25高二上·重庆·期中）圆C:x−22+y2=4，P是直线l:x+2y−8=0上的动点，过点P作圆C的切线，切点为M，A．55 B．1655 C．50．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知点O是坐标原点，点Q是圆(x−3)2+(y+4)2=1上的动点，点P(t,−t−4)，则当实数tA．8 B．7 C．6 D．551．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆C1:(x−2)2+(y−2)2=14与圆C2:(x+1)2+(y+2)2=14，过动点Mm,n分别作圆A．192 B．154 C．19252．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知直线l:kx−y+k=0，圆C:x2+y2−6x+5=0，点A．x0B．y0xC．x0+D．圆心C到直线l的距离最大为4题型14题型14直线与圆有关的面积问题53．（2024·河南洛阳·模拟预测）从直线l:3x+4y=15上的动点P作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为C、D，则∠CPD最大时，四边形OCPDA．3 B．22 C．23 54．（2024·甘肃酒泉·三模）若直线3x−y−3=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，动点P在圆x2+(y−1)2A．[2,32] B．[3,255．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知点M是直线l：x−y+4=0上的动点，过点M作圆O：x2+y2=4的两条切线，切点为C，DA．2 B．2 C．22 56．（23-24高三上·广东汕头·期中）已知圆C:(x−2)2+y2=1，点P是直线l:x+y=0上一动点，过点P作直线PA､A．圆C上恰有一个点到l的距离为12 B．直线AB恒过定点C．AB的最小值是2 D．四边形ACBP面积的最小值为2题型15题型15求圆锥曲线的离心率或其取值范围57．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知点F1、F2是椭圆B:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点FA．36 B．33 C．102558．（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，Mx1A．22,1 C．63,1 59．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点A．52 B．6 C．35560．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1A．0.3 B．0.6 C．0.9 D．1题型16题型16椭圆的弦长与“中点弦”问题61．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线l:mx−y+1=0与椭圆C:x24+y2=1交于A，BA．±52 B．±32 C．62．（23-24高二上·浙江温州·期中）直线l：y=−2x+1在椭圆y22+A．103 B．253 C．863．（24-25高二上·湖北·期中）已知椭圆y29+x24=1与直线l交于A,B两点，若点P(−1,1)A．9x+4y−13=0 B．9x−4y+13=0C．4x−9y+13=0 D．4x−9y+3=064．（24-25高二·上海·随堂练习）设椭圆的方程为x22+y24=1，斜率为k≠0的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A、BA．直线AB与OM垂直B．若点M坐标为1,1，则直线方程为2x+y−3=0C．若直线方程为y=x+1，则点M坐标为1D．若直线方程为y=x+2，则|AB|=题型17题型17双曲线的弦长与“中点弦”问题65．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线x2−y29=1交于A，B两点，线段AB的中点为点A．−49 B．49 C．−66．（2024·山东·模拟预测）过双曲线x2−y2=2的左焦点作直线l，与双曲线交于A,B两点，若ABA．1条 B．2条 C．3条 D．4条67．（23-24高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x，过其左焦点F(−3,0)A．7 B．8 C．9 D．1068．（23-24高二上·广东佛山·期末）设A,B是双曲线y24−x2A．−1,2 B．1,1 C．1,3 D．2,5题型18题型18抛物线的弦长与焦点弦问题69．（23-24高三上·广东广州·期中）直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若AF=3BF，则A．83 B．3 C．163 70．（2024·四川·模拟预测）已知过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若AF=3BF，则A．433 B．833 C．71．（2024·山东聊城·三模）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，过F的直线l与C交于A，B两点，则ABA．2 B．4 C．6 D．872．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知拋物线C:x2=2py(p>0)上的动点M到焦点F的距离最小值是2，经过点P2,−3的直线l与C有且仅有一个公共点，直线PF与C交于两点A．p=2 B．抛物线C的准线方程为y=−2C．AB=58 D．满足条件的直线l题型19题型19圆锥曲线中的切线与切点弦问题73．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C:x2=4y，过点P(m,−1)作抛物线的两条切线，两个切点分别为A,B，若|AB|=8，则mA．2或−1 B．1或−2C．2或−2 D．1或−174．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知椭圆C:x2+y2t2=1，离心率为22，过P1,2的直线分别与A．x+y−1=0或x+4y−1=0 B．x+4y−1=0C．x+y−1=0 D．x+y+1=0或x+4y−1=075．（23-24高三·江西上饶·阶段练习）已知抛物线y2=2px(p>0))的焦点为F，过F且倾斜角为π4的直线l与抛物线相交于A，B两点，AB=12，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点①QA⊥QB；②若M(1，1)，P是抛物线上一动点，则|PM|+|PF|的最小值为52③1AF④△AOB(O为坐标原点)的面积为32A．①③ B．②④ C．①② D．③④76．（23-24高三下·广东·阶段练习）已知抛物线C：x2=2pyp>0的焦点为F，点P−1,t在C的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为M，A．M，F，N三点共线B．若PF=13PMC．当t=−1时，直线MN的方程为y=−D．△PMN面积的最小值为3题型20题型20圆锥曲线中的面积问题77．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知P为椭圆x24+y2=1y≠−1上任一点，过P作圆C:x2A．3 B．22 C．53378．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，F1,F2分别是双曲线的左､右焦点，点M−a,0,NA．4 B．8 C．23 D．79．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知中心在原点O，焦点在y轴上，且离心率为23的椭圆与经过点C−2,0的直线l交于A,B两点，若点C在椭圆内，△OAB的面积被x轴分成两部分，且△OAC与△OBC的面积之比为3:1，则△OAB面积的最大值为（A．873 B．473 C．80．（23-24高三上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线y2=x的焦点，点Ax1,y1A．x1x2=6 C．△ABO的面积最小值是22 D．△ABO与△AFO面积之和的最小值是题型21题型21圆锥曲线中的参数范围及最值问题81．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知抛物线Γ：y=14x2的焦点为F，过F的直线l交Γ于点A,B，分别在点A,B处作Γ的两条切线，两条切线交于点PA．0,1 B．0,12 C．0,182．（24-25高二上·全国·课后作业）已知A,B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点，M,N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM,BNA．1 B．2 C．32 D．83．（2024·江西赣州·一模）已知M、N是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0上关于原点对称的两点，P是C上异于M、N的动点，设直线PM、PN的斜率分别为k1、k2A．112,18 B．−1884．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知F为椭圆C:x216+y28=1的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆C交于A,B两点，AD⊥x轴，垂足为D，BD与椭圆A．AB⊥AE B．△ABD面积的最大值为4C．△ABF周长的最小值为12 D．1AF+题型22题型22圆锥曲线中的向量问题85．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线y=116x2与双曲线y2a2−x2=1a>0有共同的焦点A．415−16 B．16−415 C．15−486．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆M:x24+y2=1的上、下顶点为A,B，过点P0,2的直线l与椭圆M相交于两个不同的点A．−1,16 B．−1,16 C．87．（2024·湖北黄石·三模）已知Mx0,y0为双曲线x2−y2=4上的动点，x0>0，y0≥0，直线l1：xA．−8 B．−4 C．0 D．88．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，左，右焦点分别为F1，F2，过F2且倾斜角为πA．a，b满足b=32a B．C．存在点P，使得∠F1P题型23题型23圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题89．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆x24+y22=1上的两个动点P，Q，设Px1A．12,0 B．1,0 C．2,0 90．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知抛物线C：y2=4x内有一点A3,−2，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点B3,−6和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线A．−1,0 B．1,0 C．−3,0 D．3,091．（2024·广西梧州·一模）已知双曲线C:x2a2−y24=1a>0的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C右支上的动点，过①a=4；②PA⋅③双曲线C的离心率e=2④当点P异于顶点时，△PF1FA．1 B．2 C．3 D．492．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知椭圆x24+y2=1的左顶点为A，上、下顶点分别为C,D，动点Px1,y1A．y1x2为定值C．△OCP与△OAQ的面积相等 D．△OCP与△ODQ的面积和为定值2024-2025学年高二上学期期末复习填空题压轴题十六大题型专练（范围：第四、五章）【人教A版（2019）】题型1题型1根据数列的递推公式求数列的项、通项公式1．（24-25高三上·上海·期中）数列an满足：an为正整数，an+1=an2,【解题思路】利用递推关系式可推得数列an是周期为3【解答过程】因为an+1=a所以a2=3a1+1=4，a以此类推，可知an+3=an，即数列所以a=674×1+4+2故答案为：4723.2．（24-25高三上·全国·自主招生）数列an，a1=2，−7080.【解题思路】由递推关系式求前几项的值，易判断an【解答过程】由题意可得a1故数列an则a2022=a故2022a故答案为：−7080.3．（2024高三·全国·专题练习）在数列an中，a1=13，前n项和Sn=n【解题思路】当n≥2时，由已知的等式可得Sn−1=n−12n−3a【解答过程】由于数列an中，a1=13所以当n≥2时，Sn−1两式相减可得：an所以n−12n−3n−12n−3所以2n−3a所以an所以a=1a1因此an故答案为：an4．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列an满足：a1=1且anan−1=【解题思路】根据累乘法求数列通项公式即可.【解答过程】因为an所以a2累乘可得a2即ana1当n=1时，a1所以an故答案为：an题型2题型2求数列的最大项、最小项5．（23-24高二下·安徽亳州·阶段练习）数列an的通项an=nn2+5【解题思路】由作商法求出数列an的单调性，可得a1<【解答过程】因为an=n则an+1令an+1an>1，即解得n=1，所以a2令an+1an所以a1故数列an中的最大项为a2，其值为故答案为：296．（23-24高二上·上海杨浦·阶段练习）已知数列an的通项公式为an=n22n【解题思路】通过列举法进行观察，然后利用差比较法比较求得正确答案.【解答过程】依题意，an则a1当n≥5时，an+1所以当n≥5时，an+1所以数列an的最大项为第3故答案为：3.7．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知数列an的通项公式an=n−197n−198【解题思路】分离常数，然后利用数列单调性求最小项.【解答过程】an当n>198时，a当n<198时，a又当n<198时，a所以当n=14时，a14故答案为：14.8．（23-24高二下·广东·阶段练习）在数列an中，an=2n−178n【解题思路】利用作商法，结合n∈N∗，判断得【解答过程】因为an所以an+1an又n∈N∗，所以当1≤n≤7时，an+1>a所以a8最大，则n=8故答案为：8.题型3题型3求等差数列的前n项和及其最值9．（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知等差数列an的前n项和为Sn,a1【解题思路】根据等差数列的基本量运算得出通项公式，再根据通项的正负得出和的最大值.【解答过程】设公差为d，因为a1所以d=−1，即an因为n≤3,an所以Sn故答案为：6.10．（2024高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=15,(n+1)an−nan+1=2n(n+1),n∈【解题思路】化简得到an+1n+1−ann=−2，得出a【解答过程】由数列an满足(n+1)an又由a1=15，可得a11=15，所以数列a所以an令ann≥0，即17−2n≥0，解得n≤所以，当1≤n≤8,n∈N∗时，ann>0所以数列ann的前n项和的最大值是故答案为：64.11．（23-24高二下·山西晋中·阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1<0，S6=【解题思路】根据S6=S20，利用等差数列前n项和公式推得175d=−14a1，结合【解答过程】由题意知a1<0，S6=S则6a1+15d=20因为a1<0，故d>0，即等差数列又由S6=S即7(a13+即等差数列an故Sn取最小值时，n=13故答案为：13.12．（23-24高二上·河南洛阳·期末）首项为正数，公差不为0的等差数列an，其前n项和为S①若S8<S②若S11=0，则③若S13>0,S14<0④若S2=S10，则使其中所有真命题的序号是②③④．【解题思路】①由题意可以推出a9>0，不能推出a10>0，判断①错误；②由题意可得a1+a【解答过程】若S8<S9，则a9若S11=0，则S11=11(若S13>0,S所以a7>0,a8<0若S2=S即2a因为首项为正数，则公差小于0，则a6则S11=11(则使Sn>0的故答案为：②③④．题型4题型4求等比数列的前n项和及其最值13．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知公比不为l的等比数列an满足a1+a3=5，且a1,a3,a2构成等差数列．记S【解题思路】利用等差数列的性质与等比数列的通项公式求出a1,q，再利用等比数列的前【解答过程】设等比数列an的公比为q，且q≠1因为a1+a∴a1+∴S∴Sk=∴831−当k为偶数时，−1所以k为奇数，设k=2m−1,m∈N则−122m−1即14m>所以正整数m≤2，所以m的最大值为2，此时k的最大值为3，所以使Sk>23故答案为：3.14．（24-25高三上·山东聊城·期中）等比数列an的前n项和记为Sn，若S2=−1,S8【解题思路】由题意知公比q≠1，设首项为a1，根据等比数列公式，由S8=17S4求出q，再代入【解答过程】设首项为a1因为S8=17S所以a1所以1−q8=17⋅所以q4=16，解得又因为S2=−1，所以当q=2时，a1=−1当q=−2时，a1=1故答案为：−21.15．（2024·河北邯郸·模拟预测）记Sn为等比数列an的前n项的和，若a3+a4=1，【解题思路】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.【解答过程】设等比数列an的公比为q，由题意可得q≠1由4S6=7S2又a3+a4=1同理a5+a6=12因为S12所以S12故答案为：631616．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知数列an为正项的递增等比数列，a1+a5=82，a2⋅a4=81，记数列2an【解题思路】由下标和性质得到a1⋅a5=81，从而求出a1、a5，即可求出a【解答过程】因为数列an为正项的递增等比数列，所以a又a1所以a1、a5是关于x方程解得x1=1，所以a1=1a设公比为qq>1，则q4=a5a所以an=3所以Tn=2所以202413Tn−1又函数fx=3x在定义域上单调递增，f5所以n≤6，故正整数n的最大值为6.故答案为：6.题型5题型5等差、等比数列的综合应用17．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，b5=3【解题思路】利用等差、等比数列的通项公式列方程求基本量，并求出{an}的通项，进而有c【解答过程】令{an}的公差为d，{则b1q4所以cn所以数列{cn}的前n故答案为：3n18．（2024·湖北襄阳·二模）已知等差数列an和等比数列bn满足a1=5，b1=2，a2=2b2+1，a3=b3+5.数列an和bn【解题思路】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，求得an，bn，由题意可得{cn}【解答过程】设等差数列{an}的公差为d和等比数列{由a1=5，b1=2，a2=2b解得d=4，q=2，则an=5+4(n−1)=4n+1，由a15由{an}和{bn}中无公共项，可得则S20故答案为：557．19．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）正项等比数列|an满足a1+a3=54，且2a2,【解题思路】先由题意列出关于a1,q的方程，求得an的通项公式，再表示出(【解答过程】设an公比为q，且q>0∴a3=得：2×1∴2×1∴q∵q>0，∴q=2，∴a∴a1=14∴b∴=2∴n=2时，上式有最小值2−4故答案为：2.20．（24-25高三上·上海长宁·期中）已知数列an是公差不为0的等差数列，a4=5，且a1、a3、a7成等比数列，设bn=a【解题思路】设等差数列an的公差为d，则d≠0，根据a32=a1a7求出【解答过程】设等差数列an的公差为d，则d≠0因为a1、a3、a7成等比数列，则a即5−d2=5−3d5+3d，因为所以，an所以，bn对任意的k∈N∗，b4k−2=4k−1b4k所以，b4k−3因为2024=4×506，故数列bn的前2024项和为2×506=1012故答案为：1012.题型6题型6数列的求和21．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列an满足2n−1a1+2n−2a2+⋯+2an−1【解题思路】根据所给递推关系，得出2n−2【解答过程】当n=1时，a1=3⋅22n−1当n≥2时，2n−2①−2×②得an所以an当n=1时，a1=2也适合综上，ancnT=n+2故答案为：n+2−22．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）设数列an满足a1+3a2+5a3+⋯+2n−1【解题思路】由a1+3a2+5相减可得an【解答过程】因为a1所以当n=1时，a1当n≥2时，a1（1）−（2）可得：2n−1an=2当n=1时，a1所以an=所以2n记数列2nan的前n则Tn所以2T①-②可得：−T所以−T所以Tn故答案为：2n23．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数fx=4x4x+2，数列an满足【解题思路】由函数f(x)的解析式，求出数列{an}的通项公式，将n=2019代入即可得到a【解答过程】依题意，函数fx=4x4数列an满足a所以an=fnan设此数列前2019项的和S2019S2019S2019所以2S2019=1×2019故答案为：2019224．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列an的首项a1=1，且an+1+an=3⋅2n【解题思路】根据题意，推得an+1−2n+1=−an【解答过程】因为an+1+an=3×2n所以数列an−2n是首项为所以an−2可得2n+1⋅则Sn记Tn则−T由①-②得2T即2Tn=−3+2×记Mn=3×2所以Sn故答案为：n+1⋅题型7题型7数列不等式25．（24-25高二上·上海·期中）设Sn是数列an的前n项和，a1=14，且对任意正整数m，n，都有am+n=a【解题思路】根据给定条件，由任意性可得数列an为等比数列，求出公比及前n【解答过程】在数列an中，对任意正整数m，n，都有am+n=am则有an+1=a1⋅an则Sn=14[1−所以实数a的取值范围为a≥1故答案为：a≥126．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在数列an中，a1=1,an+1=3an+4【解题思路】利用构造法分析得数列an+2是等比数列，进而求得an+2，从而将问题转化为k≥3n−5【解答过程】由an+1=3an+4故数列an+2为首项为3，公比为所以an则不等式kan+2≥3n−5可化为当n=1时，fn<0；当n≥2时，又fn+1则当n=2时，f3>f2，当n≥3所以fn≤f3=3×3−533故答案为：42727．（2024高二·全国·专题练习）在数列an中，a1=3，3a1a2+3a2a3【解题思路】在已知等式中用n−1替换n得另一等式（n≥2），两式相减得3anan+1，然后用累乘法求得通项公式an，不等式λ【解答过程】因为a1=3，3a所以当n≥2时，有3a两式相减可得3anan+1=当n=1时，3a1a2=1+所以an而a1=3也满足该式，故由于λan≥由于cn+1当n=4时，c4当n<4时，cn+1cn当n>4时，cn+1cn所以c1故数列cn最大项为c4=故答案为：3208128．（24-25高三上·上海·开学考试）已知数列an的通项公式是an=2n−1，记bm为an在区间m,2m【解题思路】分别谈论m为奇数和偶数时，bm+1−b【解答过程】由m≤2n−1<2m⇒当m为奇数时，bm当m为偶数时，bm所以当m为奇数时，bm+1−bm=2由2m−1−1>2062⇒当m为偶数时，bm+1−bm==由2m−1>2062⇒又m为偶数，所以m≥14综上可知：m的最小值为13.故答案为：13.题型8题型8新情景、新定义下的数列问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示29．（24-25高二上·湖南长沙·期中）若数列an满足1an+1−1an=d（n∈N∗，d为常数），则称数列【解题思路】根据题设易知正项数列bn为等差数列，公差为d，应用等差数列前n项和公式得b1+【解答过程】由题意，正项数列1bn为“调和数列”，则bn+1所以正项数列bn为等差数列，公差为d则b1+b则b1b2022所以b1故答案为：100.30．（2024·北京通州·三模）若数列{bn}、{cn}均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得bm∈[cn,cn+1]，则称数列①存在等差数列{an}，使得{an②存在等比数列{an}，使得{an③存在等差数列{an}，使得{Sn④存在等比数列{an}，使得{Sn【解题思路】对于①取an=n分析判断，对于②④取【解答过程】对于①：例如an=n，则{an}所以an+1−a故{an}取m=n(n+1)2，则am所以{an}是{对于②，例如an=2n−1>0，则{所以an+1−a故{an}取m=n+1，则am=a所以{an}是{对于③，假设存在等差数列{an}，使得{Sn设等差数列{an}因为{an}又因为{Sn}为严格增数列，所以Sn+1−取n0∈N∗，满足an又因为{S所以对任意正整数m≥n0+1，则有S对任意正整数m≤n0，则有Sm故当n=k+1时，不存在正整数m，使得ak+1对于④，例如an=2n−1>0，则{an所以an+1−a故{an}取m=n，则Sm=S所以{Sn}是{故答案为：①②④.31．（23-24高二下·安徽宿州·期中）定义np1+p2+⋯+pn为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列an的前n项的“均倒数”为【解题思路】根据数列新定义可求得Sn=n2，继而求得an【解答过程】设数列an的前n项和为Sn，则nS当n=1时，a1当n≥2时，an=S故an所以bn=a故数列1bnbn+1的前故答案为：nn+132．（24-25高三上·北京朝阳·期中）对于无穷数列an，若存在常数M>0，使得对任意的n∈N∗，都有不等式a2−a1①存在公差不为0的等差数列an具有性质P②以1为首项，qq<1为公比的等比数列an③若由数列an的前n项和构成的数列Sn具有性质P，则数列an④若数列an和bn均具有性质P，则数列an其中所有正确结论的序号是②③④.【解题思路】对于①，可使用反证法证明①错误；对于②，取M=q−1⋅11−q【解答过程】对于①，假设存在公差为dd≠0的等差数列an具有性质P，则存在常数使得对任意的n∈N∗，都有不等式则对任意的n∈N∗，都有但这对大于Md的正整数n对于②，设an是以1为首项，qq<1为公比的等比数列，则a所以正实数M=q−1⋅1a=q−1对于③，若由数列an的前n项和构成的数列Sn具有性质P，则存在常数使得对任意的n∈N∗，都有不等式从而正实数a1+2M满足对任意的a==a对于④，若数列an和bn均具有性质P，存在常数M1都有不等式a2−a使得对任意的n∈N∗，都有不等式从而正实数b1M1a≤≤k=1≤k=1≤=≤b故答案为：②③④.题型9题型9两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示33．（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线y=x+t是曲线y=lnx−1和y=ax2−3x的公切线，则a+t【解题思路】利用导数的几何意义求解即可.【解答过程】令fx=ln因为直线y=x+t是曲线y=ln所以由f′x=1所以fx在2,0处的切线为y=x−2，所以t=−2又y=x−2是y=ax联立y=x−2y=ax2令Δ=16−8a=0解得a=2所以a+t=0，故答案为：0.34．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线y=kx+b是曲线f(x)=ex−1与g(x)=ex+2023【解题思路】设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在y轴上的截距相等即可求解.【解答过程】设直线y=kx+b与f(x)的图象相切于点P与g(x)的图象相切于点P2又f'(x)=e曲线y=f(x)在点P1x1曲线y=g(x)在点P2x2故ex解得x1故k=y故答案为：1.35．（2024·北京朝阳·一模）已知函数fx=12sin2x.若曲线y=fx在点Ax1【解题思路】利用导数的几何意义，结合条件可知，cos2【解答过程】f′x=即cos2x1⋅cos2x2=−1或cos2x1=−1cos2x所以x1−x2=−所以x1−x故答案为：π2(答案不唯一)36．（2024·河北邯郸·三模）若曲线y=ex与圆(x−a)2+y2=2【解题思路】易得曲线y=ex在点x0,y0处的切线方程为y−ex0=ex0x−x0，再根据切线与圆x−a2【解答过程】解：曲线y=ex在点x0由于直线y−ex0=e因为曲线y=ex与圆即方程e2令gx=e2xx−a−1显然，g′当x∈−∞,a−1时，g′x>0，当x∈a−1,a+2所以，gx在−∞,a−1上单调递增，在a−1,a+2且当x→−∞时，gx=x−a−12因此，只需ga−1>2g解得a>1.故答案为：1,+∞题型10题型10函数的单调性问题37．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数fx=sin2π3，【解题思路】利用导数判断函数的单调性即可.【解答过程】f′x=令f′x=2cosx+12+当x∈0,2π3时，f′当x∈2π3,4π3当x∈4π3,2π时，f综上可知，函数fx的单调递减区间为2故答案为：2π38．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数fx=x2+x−2ex−2x+5【解题思路】根据题意可知y=f'x【解答过程】由题意知f'因为fx在区间2m−1,3m+2上不单调，即y=f'x在区间2m−1,3m+2有变号零点，又ex+2>0，所以所以x=1在区间2m−1,3m+2内，所以2m−1<13m+2>1，解得−13<m<1，即故答案为：−139．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数fx的导函数为f′x，对任意x∈0,π，有f′xsinx>fxcosx，设a=2fπ6，【解题思路】构造函数Fx【解答过程】构造函数Fx=fxsin则x∈0,π时，所以函数Fx在0,于是Fπ即2fπ所以a<b<c，故答案为：a<b<c.40．（24-25高三上·安徽·开学考试）定义在R上的函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，当x∈[1,+∞)时，f(x)=12x2−x【解题思路】根据给定条件，可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称，再利用导数求出f(x)在[1,+∞【解答过程】依题意，函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[1,+∞)时，f′(x)=x−ln函数f′(x)在[1,+∞)上单调递增，f′不等式f(3x−1)≥f(0)化为|3x−1−1|≥|0−1|，解得x≤13或所以不等式f(3x−1)≥f(0)的解集为(−∞故答案为：(−∞题型11题型11函数单调性、极值与最值的综合应用41．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）设函数fx=x3+ax2−3x−ba,b∈R在x=x1,x=x2【解题思路】利用导数求函数的单调性及极值，结合韦达定理求参数a，再分类讨论b的范围计算即可.【解答过程】由已知得f′x=3可得Δ=4则x2可得fx=令f′x>0，解得x<−1或x>1；令f易知fx=x3−3x−b在−故当x∈0,2时，0,1上单调递减，1,2而f1当−b<0<2−b，即0<b<2时，M=f当b=0时，M=f当b≥2时，M=f当b<0时，M=f显然对于∀b∈R，当b=0时，M故答案为：2.42．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）若函数fx=13x3−x2【解题思路】求得函数的导数，判断单调性，确定函数极值，结合函数值情况，列出使得函数fx在区间−2,1+a【解答过程】由fx=1当x<0或x>2时,f′x>0；当0<x<2即fx=13x故x=0为函数的极大值点，且f0令fx=13x故要使函数fx=13x需满足0<1+a≤3,∴−1<a≤2，故答案为：(−1,2].43．（23-24高三下·浙江·开学考试）设x1，x2是函数fx=12ax2−e【解题思路】根据极值点定义可将问题转化为y=a与gx=exx有两个不同交点x1,x2；化简得到ex2−x【解答过程】∵f′x=ax−e∴x1,x2即ex1=ax1，ex2所以ex2−x1令ℎ(t)=lntt−1令u(t)=1−1t−所以u(t)在[2,+∞)上单调递减，所以所以ℎ(t)在[2,+∞)所以a=e令φ(x)=exx所以φ(x)在(0,ln2]故答案为：2ln44．（23-24高二下·北京·期末）已知函数fx①当a≥0时，y=fx在0,+②当0<a<12时，③当a≤0时，y=fx④若函数存在两个不同的极值点x1，x2，则其中所有正确结论的序号是②④．【解题思路】根据导函数的正负，即可判断①,极值点的定义，结合函数的单调性即可判断②③，根据极值点，构造函数ga【解答过程】fx=xf′当a≥0时，2x2−2x+a=2x−1若y=fx存在两个极值点；则2x2−2x+a=0有两个相异的正实数根，所以当a≤0时，令f′x=0,则2x2则x1x2当x∈0,x2所以fx在0,x2因此当x=x2时，由②知若函数存在两个不同的极值点x1，x2，0<a<1令ga由于y=2a,y=lna−1均为所以g′a=2a+lna−1为0<a<12故ga为0<a<12上的单调递减函数，当a趋近于0时，ga也趋向于于0，因此故答案为：②④.题型12题型12利用导数研究函数的零点（方程的根）45．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数fx=x2−12lnx【解题思路】根据题意转化为fx=x2−12lnx【解答过程】因为函数fx=x2−12所以fx=x所以a>lnx2设gx=ln因为x>2，lnx2>0，可得1−所以gx在区间2,+∞上单调递减，所以gx所以，实数a的取值范围为[−2,+∞故答案为：[−2,+∞46．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数f(x)=x⋅ex,x<1lnxx,x≥1，方程【解题思路】分x<1和x≥1两种情况，分别求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极值，从而得到函数图象，由方程fx【解答过程】因为fx当x<1时fx=x⋅e当x<−1时f′x<0，当−1<x<1所以fx在−∞,−1上单调递减，在−1,1上单调递增，fx在x=−1当x≥1时,fx=当1≤x<e时,f′x>0，当所以fx在1,e上单调递增，在所以fx在x=e取得极大值，令lnx=t，若x≥1，则t≥0，从而ln当t→+∞时，ln所以fx

方程fx由图可知当且仅当a∈−故答案为：−147．（23-24高三上·黑龙江鸡西·期末）已知函数fx=x2,x≤0xex−1,x>0，若关于x【解题思路】求得f′x=1−xe【解答过程】当x>0时，fx=x当x∈(0,1)时，f′x>0当x∈(1,+∞)时，f′x<0画出函数y=fx关于x的方程f2令fx=t，令则gx=0在则满足Δ=−m2所以实数m的取值范围为(1故答案为：(1

48．（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ex,x≤0lnxx,x>0【解题思路】题目转化为函数y=fx与函数y=x−a=x−a,x≥aa−x,x<a【解答过程】函数gx则函数y=fx与函数y=作出函数y=fx

当x≤0时，fx=ex，则故曲线fx=ex在x=0处的切线方程为当x>0时，fx=lnxx故曲线fx=lnxx在x=1综上所述：实数a的取值范围为−∞故答案为：−∞题型13题型13利用导数研究恒成立、存在性问题49．（24-25高三上·上海·期中）已知k为常数，若关于x的不等式(x−k)2exk≤1e对任意的x∈(0,+【解题思路】分析可知k<0，整理可得xk−12ex【解答过程】显然k≠0，若k>0，当x趋近于+∞，y=(x−k)2可知k<0，因为(x−k)2ex由x>0，可得xk<0，令t=x原题意等价于t−12et构建ft=t−1令f′t>0，解得t<−1；令f可知ft在−∞,−1则ft≤f−1所以实数k的取值范围为−1故答案为：−150．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数fx=5ex+alnx+1−a+5x−5，若【解题思路】就a>0、a≤0分类讨论，前者再就0≤a≤5,a>5分类后结合导数的符号讨论单调性后可得相应范围，后者结合常见的函数不等式可得恒成立，故可得参数的取值范围.【解答过程】当a>0时，f′设gx=5因为a>0，故y=5ex,y=−故g′x在若5−a≥0即0<a≤5，则g′x>0故gx在0,+∞上为增函数，故故fx为0,+∞上为增函数，故故0<a≤5符合，若5−a<0即a>5，此时g′0=5−a<0故存在x0∈0,且∀x∈0,x0，g′x故∀x∈0,x0，gx<g故fx当a≤0时，设sx=x−ln故sx在0,+∞上为增函数，故sx设tx=etx在0,+∞上为增函数，故tx而a≤0，故5e即5ex+alnx+1综上，a≤5，故答案为：a≤5.51．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）若关于x的不等式x2−mx+3m−2≥0在区间1,2上有解，则实数m的取值范围是−2,+∞【解题思路】分离参数可得m≥2−x23−x在区间【解答过程】∵x∈1,2∴不等式x2−mx+3m−2≥0，即m≥2−设g(x)=2−x2则g(x)=−令t=3−x,t∈1,2设ℎ(t)=−t+7tℎ′(t)=−1−7t故ℎ(t)min=ℎ(1)=−2故要使m≥2−x23−x在区间即实数m的取值范围是−2,+∞故答案为：−2,+∞52．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数fx=lnx2+1,gx=【解题思路】根据题意得fx【解答过程】由题意，可得fx当−1≤x≤1时，f′由f′x<0，可得−1≤x<0，由f所以函数fx在−1,0上单调递减，在0,1上单调递增，所以f因为gx=1ex−a，所以所以0≥1e2−a，解得a≥1故答案为：1e题型14题型14利用导数研究双变量问题53．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数fx=12x2,gx=【解题思路】由f′x1=gx2得【解答过程】因为f′x=x，若f′令ℎx=3x−当x∈0,13时，ℎ当x∈13,+∞时，ℎxmin=ℎ故x2−x故答案为：1+ln54．（24-25高二·全国·课后作业）若函数fx=x3−3ax2+12xa>0【解题思路】根据极值点定义可知x1,x2为f′x=0的两根，由Δ>0可求得a>2，并得到韦达定理的形式；结合韦达定理将fx【解答过程】由题意知：fx的定义域为R，f∵fx有两个极值点x1,x2∴Δ=36a2−144>0，又a>0，解得：a>2∴fx1+fx2=x令ga=−4a∴当a>2时，g′a<0恒成立，∴g∴ga<g2=−4×8+24×2=16，则故答案为：−∞55．（2024·江苏南通·二模）已知函数fx=lnx,x≥11−x2,x<1，若Fx=f【解题思路】先运用分段函数的解析式，得出F(x)=f(f(x)+1)+m的解析式，再利用导数求得函数的单调性区间,即可求得x1【解答过程】当x≥1时,f(x)=lnx≥0,∴f(x)+1≥1,当x<1，f(x)=1−x综上可知：F(x)=f(f(x)+1)+m=ln则f(x)+1=e−m，f(x)=e−m−1有两个根x当x≥1时,lnx2=e−m令t=e−m−1>12,则lnx2=t，x2设g(t)=et(2−2t)，t>12,所以g′(t)=−2t∴g(x)的值域为(−∞,e),∴x故答案为：(−∞,e56．（2023·湖南郴州·模拟预测）已知函数fx=12x2+1−ax−xlnx有两个极值点x1,x2【解题思路】由f(x)有两个极值点x1,x2，得f′(x)有两个变号零点，构造函数ℎx=x−lnx−a，利用导数研究函数的性质，得函数的草图，利用草图列式可求出【解答过程】f(x)的定义域为(0,+∞)，由已知得x1,x令ℎx=x−ln当x∈0,1时，ℎ′x<0,，ℎ(x)单调递减，当x∈1,+所以函数f′x在0,1上单调递减，在当x→0时，lnx→−∞，−ln当x→+∞时，lnx→−∞，−如图：由图可知，只需f′xmin即实数a的取值范围是1,+∞若3x1≥x2由已知a=x1−则tx1−x1所以lnx令mt=t+1令φ(t)=−2lnt+t−1所以函数φ(t)在t∈(1,3]上递增，又因为φ(1)=0，所以当t∈(1,3]时，φ(t)>0